Порядковая непрерывность одного класса неаддитивных операторов

Колдунов Андрей Витальевич

Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2007, Том 9, Выпуск 3

УДК 517.98

ПОРЯДКОВАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОДНОГО КЛАССА НЕАДДИТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ

А. В. Колдунов

Светлой памяти

Григория Яковлевича Лозановского

В статье рассмотрен один класс неаддитивных операторов, действующих из векторной решетки С(К) в дедекиндово полную векторную решетку Описаны условия порядковой непрерыв-

ности и секвенциальной порядковой непрерывности операторов из этого класса. Рассмотрен также вопрос о продолжении таких операторов на элементы дедекиндова пополнения векторной решет-

Ключевые слова: векторная решетка, дедекиндово пополнение, порядковая непрерывность, продолжение оператора, неаддитивный оператор.

Линейные операторы, заданные на архимедовых векторных решетках, традиционно были объектами внимания для участников семинара Б. З. Вулиха по полуупорядоченным пространствам при ЛГУ. Одним из ведущих специалистов в этой области был Г. Я. Лоза-новский (см., например, [1-3]). Интересно, что при обсуждении (на заседаниях семинара) чисто аддитивного случая Г. Я. Лозановский отмечал возможности использования тех или иных подходов для случая неаддитивных операторов.

Действительно, с точки зрения порядковых свойств линейный функционал Ф1:

Ф1/) = / /(ж) йх, заданный на векторной решетке С[0,1], мало чем отличается от неад-

В статье будут рассматриваться неаддитивные операторы Т: С [К ] ^ Сж(Я), действующие из векторной решетки С (К) в дедекиндово полную векторную решетку Сж(Я) всех расширенных непрерывных функций на экстремально несвязном компакте Q. Будет введен один класс операторов, причем все они обладают свойствами й^, $2, йз, определенными в п. 2. Предложение 2.3 показывает, что в этот класс входят как аддитивные операторы, так и операторы, не обладающие хорошими алгебраическими свойствами.

Для анализа строения такого рода операторов были введены величины т(С, т) и ех(^, т) (по существу они использовались еще в [4], а в [5] рассматривались для нормы). Заметим, что для пояснения конкретного смысла получаемых результатов будут обсуждаться два конкретных функционала Ф1 и Ф2, упомянутых ранее.

ки С(К).

1. Введение

1

В качестве примера использования развитой в п. 3 техники будут описаны (в терминах величин т(С,т) и ех(^, т)) условия порядковой и секвенциальной порядковой непрерывности операторов изучаемого класса; для монотонных операторов эти условия оказываются необходимыми и достаточными (см. теорему 4.2. и предложение 4.3.).

Кроме того, рассматривается вопрос о продолжении этих операторов на элементы дедекиндова пополнения векторной решетки С (К)) (см. предложение 5.1. и теорему 5.3.).

Будем использовать следующие обозначения. Буквой К обозначается произвольный компакт, а буквой Q — экстремально несвязный компакт. Как обычно, С (К) есть векторная решетка всех непрерывных на компакте К функций. Причем ек обозначает тождественную единицу. Элементы исходной векторной решетки С (К) будем обозначать обычно ж, у, V; а также а, 6. Решеточные операции будут записываться как ж V у, ж Л у, а для случая бесконечных семейств — 8ир(ха : а £ Г), ш£(жа : а £ Г).

Буквы С, Ш используются для открытых множеств, а Е, Н — для замкнутых множеств. Пусть есть булева алгебра всех открыто-замкнутых множеств в Q. Если Е С К и ж £ С (К), то Ре ж обозначает сужение функции ж £ С (К) на Е.

Порядковая сходимость направления (жа) С С (К) к элементу у £ С (К) (т. е. жа у) означает, что |жа - у| ^ Ур | 0 при а ^ а(в) и а £ Г((жа)), в £ Г((уз)) (т. е. Г((жа)) это упорядоченное семейство индексов для направления (жа)).

Наконец, полагаем для ж £ С (К) нуль-множество г (ж) = £ К : ж(£) = 0} и конуль-множество с^ = К(ж).

2. Ограничения на изучаемые операторы

Всегда предполагается, что оператор Т : С (В) ^ порядково ограничен и

Т(0) = 0. Кроме того, для Т выполнены свойства й^, $2, , которые будут введены в этой части.

Первое свойство оператора Т (обозначается Т £ $1) состоит в следующем: для любого т £ N существует направление и^ | 0 в такое, что для любого индекса

а £ Г((ит)) существует 5 = 5(а,т) > 0, если |ж1|, |ж2| ^ тек и |ж1 — ж2| ^ 5ек, то |Т(ж1) — Т(ж2)| < ит [4].

Лемма 2.1. Предположим, что оператор Т обладает свойством $1.

(1) Пусть ж £ С (К) и ж(п) = (ж+ — П ек) + — (ж(п) — П ек)+. Тогда |ж(п) ^ |ж||, с^(ж(п)) С 02(ж) и |ж(п) — ж| ^ ПеК•

(2) Пусть С С К и р £ N.

Тогда вир [|Т(ж)| : |ж| ^ рек, с2(ж) С С] = вир [|Т(у)| : у ^ рек, с^(у) С С].

(3) Пусть с^(у) С С1 и С2. Тогда существуют ж1; ж2 £ С (К), для которых |жг| ^ |у|, с1с2(жг) С Сг (г = 1, 2) и у = ж1 + ж2.

(4) Пусть ув I 0 в С (К) и р £ N. Если, кроме того, С Э ВД^з)) = П(^з )-1

, то найдется индекс в £ Г((^)), для которого ^ 1.

< (1) Проверяется непосредственно.

(3) Пусть у £ С (К) и с^(у) С С1 и С2. Полагаем Н = с^(у)\С2 С С1. Найдем С С К такой, что Н С С С с1 С С Сь Строим такую у1 £ С (К), что 0 ^ у1 ^ у+, РС1 су1 = у+ и cz(yl) С С1. Аналогично, строим такую у2 £ С (К), что 0 ^ у2 ^ у- и

1,

р ' 1

PelGУ2 = У-, cz(y2) с Gi. Пусть xi = yi - y2- Тогда PelGX1 = y, |xi| ^ |y| и cz(xi) С Gi. Полагаем x2 = y — xi. Тогда |x2| ^ |y| и cz(x2) С G2. (4) Проверяется непосредственно. >

Теперь введем свойство S2 для оператора T(обозначается T £ S2): для любого m G N существует k(m) G N, такое что если |x|, |y| ^ тек, то

|T(x + y) — T(x)| ^ sup [|T(v)| : |v| ^ к(т)ек, cz(v) С cz(y)].

Лемма 2.2. Пусть для оператора T выполнены свойства Si и S2.

(1) Пусть |x|, |y| ^ тек■ Тогда |T(x + y)| ^ |T(x)| +sup[|T(v)| : |v| ^ K(m)eK, cz(v) С cz(y)].

(2) Пусть cz(y) С cz(xi) U cz(x2), причем |y| ^ meK. Тогда |T(y)| ^ sup[|T(v)| : |v| ^ K(m)eK, cz(v) С cz(xi)] +sup[|T(u)| : |u| ^ K(m)eK, cz(u) С cz(x2)].

(3) Пусть D(T) = {x G C(K), если y G C(K), cz(y) С cz(x), то T(y) = 0}. Тогда D(T) есть векторной решетки идеал.

(4) Пусть G(T) = U(cz(x) : x G D(T)). Если yi, y2 G C(K) и Pk\g(t)(yi) = PK\G(T)(У2), то T(yi) = T(У2).

< (1) К неравенству |T(x + y)| ^ |T(x)| + |T(x + y) - T(x)| применяем T G S2.

(2) Пусть сначала clcz(y) С cz(xi) U cz(x2). В силу 3) из леммы 2.1 имеем y = yi + y2, где |yi|, |y21 ^ |y| ^ тек и clcz(yi) С cz(x^), i = 1,2. Остается применить 1). Если теперь cz(y) С cz(xi) U cz(x2), то ввиду 1) из леммы 2.1 вводим y(n) G C(K) так, что |y(n) - y| ^ nек|y(n)| ^ |y| и clcz(y(n)) С cz(y). Поскольку T G Si, то T(y(n)) -+ T(y). Было доказано, что для y(n) требуемое неравенство выполнено. Значит, оно выполнено и для y G C(K).

(3) Следует из (2).

(4) Докажем, что yi — y2 G D(T). Пусть v G C(K) и cz(v) С cz(yi — y2). Пусть v(n) G C(K) из леммы 2.1(1). Тогда clcz(v(n)) С G(T) и по (3) v(n) G D(T). Поэтому T(v(n)) = 0. Опять используем T G Si и |v — v(n)| ^ Пек. Тогда T(v) = 0. Таким образом, yi - y2 G D(T). Получаем |T(yi) - T(y2)| = |T(y2 + (yi - y2)) - TЫ| < sup[|T(x)| : |x| < k(m), cz(x) С cz(yi - y2)] =0. >

Лемма 2.2(4) дает основание ввести для оператора T следующее свойство S3 (T G S3): если x G C(K) и x = 0, то существует y G C(K), для которого cz(y) С cz(x) и T(y) = 0.

Выполнение свойств Si, S2, S3 задает класс операторов, рассматриваемых в этой статье. Очевидно, что любой линейный регулярной оператор T : C(K) ^ C^(Q) удовлетворяет этим свойствам. Следующий результат показывает, что рассматриваемый класс включает в себя операторы, далекие, например, от аддитивных.

Предложение 2.3. Пусть р, ф : R ^ R непрерывно дифференцируемые функции, у которых lim p(t) = lim ф(£) = то. Кроме того, считаем, что ф(0) =0 и из 1111 ^ 1121

t^ж t^ж

следует |^(ti)| ^ |ф(^2)|. Наконец, предположим |p(rt)| ^ |r|-|p(t)|. Пусть функционалФ : C([0,1]) ^ R задан следующим образом: Ф(/) = р ^J ф(/(t)) dt^ . Тогда Ф G Si, S2, S3.

< Пусть |/1, |g| < me. Для t G [0,1] имеем |ф((/ + g)(t)) - ф(/(t))| = |^'ic(t)) ■ <?(t)| <

Mi(^)|g(i)|, где |c(t)| < 2m. Тогда J(ф(/ + g)(t) - ф(/(t))) dt < Mi(^) J g(t) dt . Это

о о

дает

у Ц ф(/ + я№ йг) - у П ф(/ (г)) йг

11 1

= |у(г)| Уф(/ + д)(г)йг ф(/(г))йг < м^м^ 1д(г)йг

Из этого неравенства следует, что Ф £ £1. Теперь проверим, что Ф £ £2.

1

Для этого оценим J |д(г)| йг ^ М(д)ц^(д)) ^ m^(cz(g)), где ц(А) есть мера Лебега о

множества А. Обозначим й = М1(у)М1(ф)т. Найдем г £ М+ с условием: |у(г)| ^ й при |г| ^ г. Пусть |ф(г)| ^ 2г при |г| ^ д. Покажем, что любое к(т) ^ д искомое.

/ф(Н) йц)

>

I Рег(д)\Рф(Н) йЦ -

/Рси(д)\РФ(Н) йц

/^(д)^ф(Н) йц < |ф(д)МС2;(дЛ^)|

1

. Получаем / Ррф(Н) йц о

1

Это дает результат

|ф(д)|(цР - ц^(д)\Р)) ^ |ф(д)|1 цМд)) ^ гц(cz(g)). Таким образом,

/ ф(Н) йг

о

у/ф(Н) йг

о

|у(гц^(д)))| ^ ц^(д))|у(г)| ^ йц(cz(g)). Это и требовалось получить. Доказано, что Ф £ £2.

Установим, что Ф £ £3. Пусть д £ С([0,1]), д = 0. Считаем, что [а, 6] С cz(g), а ^ с — П ^ с < й ^ й + П ^ 6. Найдем г £ М+, для которого |у(г)| ^ 1 при |г| ^ г. Найдем д £ М+, такой что |ф(д)| ^ ¿—с. Зададим функцию Н на [0,1], так что Н([с, й]) = д и

Н[[0,1]\[с, й]] = 0. Тогда 1

/ф(Н) йЦ

/ф(Н) йЦ о

^ 1. Для больших

= |ф(д)|(й — с) ^ 2г и у п £ N выполнено у / ф(Нп) йц ^ 2, где Нп £ С+([0,1]), 0 ^ Нп ^ де, Нп([с, й]) = д, Нп = 0

на [0,с - п] и [й + п° 1]. >

1 (1 А3

Замечание. Функционалы Ф1 = J / йх и Ф2 = I //2 йх 1 удовлетворяют свойствам

оо

Г1

£1, £2, £3. Рассмотрим функционал Фз = Г// |/1 йх. Для него не выполнены условия

о

предложения 2.3. Проверим, что, тем не менее, Ф3 обладает свойствами £1, £2, £3. Имеем |Фз(/ + Н) - Ф3(/)| ^ |Ф3(Н)|. Поэтому Ф3 £ £1, £2. Очевидно, что Ф3 £ £3.

3. Величины ш(О, т) и ех(Р, т)

В дальнейшем полагаем, что Т £ £1, £2, £3. Пусть О открыто в К и т £ N. Полагаем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т(О, т) = 8ир[|Т(д)| : |д| < 'тек, cz(g) С О] £ С(д).

и

1

Заметим, что если Ф1/) = / /(ж) ^ж, то т(С,т) = т^С (где, как и раньше, ^ есть мера

о

Г1 I3

Лебега). Если Ф2(/) = / /2(ж) ^ж , то т(С,т) = т6^С.

о

Лемма 3.1. Справедливы следующие утверждения:

(1) если С1 Э С2, то ш(Сьт) ^ т(С2,т);

(2) т(С и С2,т) < т(С ,т) + т(С2,к(т)).

< (1) Очевидно. (2) Пусть |ж| ^ те^ и cz(ж) С С1 и С2. Надо доказать, что |Т(ж)| ^ т(С, т) + т(С2, к(т)). По лемме 2.1(2) можно считать, что с^(ж) С С1 и С2. По лемме 2.1(3) полагаем, что ж = У1 + У2, где |У11 ^ |ж| и clcz(yl) С С1 (г = 1,2). Остается применить лемму 2.2(1). >

Замечание. Последовательно применяя лемму 3.1(2), получаем т(С иС2иСз, т) ^ т(Сь т) + т(С2, к(т)) + т(С3, к(к(т))).

< Полагаем у = (ж1 + ¿(а, т + 1)ек) Л ((ж1 — ¿(а, т + 1)ек) V ж2). Заметим, что |ж1 — у| < ¿(а, т + 1) и |у| < (т + 1)ек. Поскольку Т £ 5Ь то |Т(ж1) — Т(у)| < Ц^1. Далее заметим, что у = ж2 на К\С. Это означает, что у = ж2 + а, где cz(а) С С и И < |у|+|ж2| < (2т+1)ек .Поскольку Т £ ^, то |Т (ж2)— Т (у)| < 8ир[|Т (Ь)| : cz(6) С cz(a) и |Ь| < к(2т +1)] = т(С, к(2т+1)). Поэтому |Т(ж1) — Т(ж2)| < Ц^1 + т(С,к(2т +1)). >

Пусть множество Е замкнуто в К и пусть т £ N. Обозначим

ех(Е,т) = т£[т(С,т) : С Э Е].

Заметим, что в случае функционала Ф1 имеем ех(Е, т) = т^Е, а в случае функционала Ф2 верно ех(Е, т) = т6^Е.

Обозначим через J(Т) семейство таких Е С К, что ех(Е, т) = 0 для любого т £ N. Очевидно, что J(Ф1) и J(Ф2) состоят из всех замкнутых множеств меры Лебега нуль.

Лемма 3.3. (1) Пусть Еь Е2 С К и т £ N. Тогда ех(^1 и Е2,т) ^ ех(Еьт) + ех(^2,К (т)).

(2) Семейство J(С) является идеалом, состоящим из замкнутых нигде не плотных множеств.

< (1) Пусть С1 Э Е1 (г = 1, 2). Тогда Е1 и Е2 С С1 и С2 и по лемме 3.1(2) выполнено ш(С и С2, т) ^ 1п(С1, т) + 1п(С2, к(т)). Из этого следует требуемое неравенство.

(2) По (1) J(Т) является идеалом замкнутых множеств. Пусть Е £ J(С) и ш1Е = 0. Поскольку Т £ 52, найдем ж £ С (К), такую что |ж| ^ тек, cz(ж) С Е и Т (ж) = 0. Если С Э Е, то 1п(С,т) ^ |Т(ж) | =0. >

Замечание. Условие Т £ 5з нужно только для того, чтобы элементы J(Т) были нигде не плотными.

Предложение 3.4. Идеал J(Т) обладает следующим свойством: если Е С К и

оо

Е С и Е„, где Е„ £ J(Т) для всех п £ N, то Е £ J(Т).

п=1

< Надо установить, что ех(Е, т) = 0 для любого т £ N. Для этого фиксируем т £ N, £ > 0 и Ш £ Х(ф). По индукции строим С„ Э Е„ и Ш„ £ £(ф) со свойствами: Ш„+1 С Ш„ С Ш, Р^п[1п(С„, к(к ... к(т)))] < зп. Тогда Е С С1 и ... и С и

£

1п(С1 и... и Ся,т) < Рща 1п(С1,т) + т(С2,к(т)) + т(Сз, к(к(т))) +... < ^.

Таким образом, нашлось открытое множество О = О1 и ... и С8 Э Е, для которого т(О,т) ^ е на множестве Ш С Ш. Это означает, что ш£[т(О, т), О Э Е] = 0. > Возьмем направление (ж,) С С (К), где 3 £ Г((ж,)), и обозначим

Н 3,п) = П {|ж,- 1

-1

0,

1

п

: Л ^ 3

Предложение 3.5. Пусть (ж,) С С (К), |ж, | ^ тек • Имеют место следующие утверждения:

(1) Пусть для любого п £ N выполнено т(К\Н(3, п), А:(2т + 1)) | 0 в С^(^). Тогда направление (Т(ж,)) является о-сходящимся в С^(^).

(2) Пусть у £ С (К). Пусть для любого п £ N и для множества Е(3, п) = П(|ж, - у|-1 [0,1] : 31 ^ 3 выполнено т(К\Е(3,п), А:(2т +1)) | 0 в С(ф). Тогда Т(ж,-) Т(у).

Поскольку т(К\Н(3,р),^(2т + 1)) | 0, то существуют Ш2 £ £(ф) и 30 £ Г((ж,)), такие, что Ш2 С Ш1 и Р-2 ш(К\Я(30,Р), А:(2т + 1)) ^ |.

Замечание. Предложение 3.5(2) показывает, что оператор Т £ ^1,^2,^3 обладает некоторой порядковой непрерывностью. В случае, когда рассматривается функционал Ф1, условие из (1) означает, что ^(Н(3, п)) | 1. Проверяется, что (Ф1 (ж,)) является фундаментальным числовым направлением. Условие (2) означает, что ж, ^ у по мере. Поэтому Тж, ^ Ту. Аналогичная ситуация и для функционала Ф2.

4. Порядковая непрерывность оператора Т

Обозначим через П(Т) семейство всевозможных направлений (V,) С С (К), таких что V, I и для любого п £ N выполнено )) = П V,-1 ([1, £ J(Т). По лемме 3.3(2)

направление V,- | 0. А по лемме 3.3(1) семейство П(Т) замкнуто относительно сложения.

Предложение 4.1. Если в С (К) направление (у,) порядково сходится к элементу у с регулятором (г>в) £ П(Т) (т. е. |у - у,| ^ г>в | 0 при 3 ^ 3(в)), то Т(у,) Т(у).

< Применим предложение 3.5(2) для любого п £ N. Если О Э ((V,)), то существует 3 £ Г((^-)), для которого V, ^ Р на К\О. Поэтому Е(3, п) Э К\О и выполнено условие из предложения 3.5(2). >

Замечание. Пусть на С (К) задан оператор Т : С (К) ^ С^(^) со следующими свойствами: Т порядково ограничен, Т монотонен (т. е. из |ж11 ^ |ж21 следует |Т(ж1)| ^ |Т(ж2)|), из жа | 0 следует Т(жа) -^ 0 (выполнение Т £ ^1,^2,^3 в этом замечании не предполагается). Тогда для Т выполняется следующее условие (*): если Е замкнутое нигде не плотное множество в К, то Е £ J(Т). Действительно, пусть п £ N. Рассмотрим

всевозможные пары а = (О1,О2), такие, что ^ С О1 С с1 О1 С О2. Пусть На £ С (К) обладает свойствами: 0 ^ На ^ тек, На = тек на О1 и На = 0 на К\О2. Тогда На | 0, ТНа 0 и |ТНа| ^ т(Оьт), где а = (ОьО2).

Теорема 4.2. Пусть Т £ Й2, йз и монотонен. Эквивалентны утверждения:

(1) Т порядково непрерывен (т. е. из ха —— у следует Т(жа) —— Т(у));

(2) для К выполнено условие (*).

< Импликация (1)^(2) доказана в замечании к предложению 4.1. Если выполнено (2), то любое направление (vj) с условием: (vj) | 0, принадлежит П(Т). Остается использовать предложение 4.1, чтобы получить (2)^(1). >

Предложение 4.3. (1) Пусть для К выполнено условие (*)ет: если 9 нигде не плотное нуль-множество, то 9 £ J (Т). Тогда оператор Т секвенциально порядково непрерывен.

(2) Пусть оператор Т монотонен. Эквивалентны следующие утверждения: а) Т секвенциально порядково непрерывен; б) для К выполнено условие (*)ет.

< (1) Пусть |жп — у| ^ vn I 0. Из условия (*)о- следует, что (РП) £ J(Т). Остается применить предложение 4.1.

(2) Импликация а)^б) установлена в замечании к приложению 4.1. Импликация б)^а) установлена в 1). >

Замечание. Поскольку в С([0,1]) существуют замкнутые нигде не плотные множества ненулевой меры, то функционалы Ф1 и Ф2 не могут быть порядково непрерывными (то же верно и для секвенциальной порядковой непрерывности).

5. Продолжение оператора Т на элементы дедекиндова пополнения С (К)

Для решения указанной задачи будет использоваться предложения 3.5(1) и 4.1.

Пусть Н принадлежит дедекиндову пополнению к (С (К)) векторной решетки С (К) (п : С (К) — кС (К) каноническое вложение). Пусть

и (Н) = (ж £ С (К) : п(ж) ^ Н), ¿(Н) = (у £ С (К) : п(у) ^ Н).

Обозначим плотное X = X(Н) = ^ £ К : зир(у(£) : у £ £(Н)) = т£(ж(£) : ж £ и(Н)) = Н(£) >. Тогда функция Н : X — Ж непрерывна и ограничена.

Пусть О С К и выполнено следующее условие: если ¿1, ¿2 £ СПХ, то ^(¿1)— /г(^2) | ^ п. Возьмем £ £ О П X и найдем два числа: Г1 = + П и Г2 = — П. Тогда п ^ Н ^ Г2 на прообразе О. Обозначим

Я(Н, п) = К^ {О : если £ О П X, то Н(^) — ^2) < 1/п} ,

Шш(Т) = { Н £ к(С(К)) : |Н — ^| < п^з (при 3 > 3(в)), где ) £ П(Т)} .

Предложение 5.1. (1) Пусть Н £ к(С(К)). Эквивалентны следующие утверждения: а) Н £ Шш(Т); б) для любого п £ N множество Я(Н, п) £ J(Т); в) направление (ж — у : ж £ и( Н), у £ £(Н)) принадлежит П(Т).

(2) Шш(Т) является г-полной векторной решетки.

(3) Для того, чтобы Шш(Т) была дедекиндово полной векторной решеткой, необходимо и достаточно, чтобы для любого регулярного замкнутого ^ С К было выполнено Рг(^) £ J(Т).

< (1) Импликации в)^а)^Ь) очевидны. Чтобы доказать б)^в), рассмотрим = Р| ((ж — у)-1 [П. Тогда по заданию Н(Л, п) выполнено С Н(Л, п) £ J(Т).

(2) Следует из предложения 3.4 и из того, что П(Т) замкнуто относительно сложения.

(3) Если каждое Ег(Т) £ J(Т) для регулярного замкнутого Т, то любая проекция п(ек) £ Шт(Т) и по 2) Шт(Т) = к(С(К)).

Пусть Шт(Т) = к (С (К)) и пусть Т регулярное замкнутое в К. Тогда для соответствующей проекции Л элемента п(ек) выполнено — пж/1 ^ пув и (ув) £ П(Т). Тогда

рТ С П (у-1 [2;+~]) £ J(Т). >

Замечание. В случае функционалов Ф1 и векторная решетка Шт($1) = Шт(Ф2) совпадает с интегрируемыми по Риману элементами из к (С ([0,1])).

Лемма 5.2. Пусть — пж-1 ^ пув, где (ув) £ П(Т). Тогда Тж/ ——^ Т(Л); причем Т не зависит от выбора направлений (ж/) и (ув). Это означает, что задается продолжение Т : Шт(Т) ^ С^(д).

< Для произвольного п £ N. Обозначим = Р| (у-1 [5П; £ J(Т). Пусть С Э Найдется 7 £ Г((ув)), для которого ув ^ 2П на К\С. Поэтому

Н(7,п) = р| [|ж7 — ж711-1[0,1] : 71 ^ т] Э К\С.

По предложению 3.5(1) выполнено Т(ж7) —^ Т(Л). Пусть — па<| ^ п67, где (67) £ П(Т). По предложению 3.5(1) Т(а<) —^ 51 £ С^(^). Устраиваем новое направление (са), в котором попеременно появляются члены из (а#) и (ж7) и — пса| ^ п(ув + 67). Опять по предложению 3.5(1) Тса —^ д2. Но тогда 52 = Т = 51. >

Теорема 5.3. (1) Существует продолжение Т оператора Т на Шт(Т), причем Т £ 51, 5*2, 5з- ^

(2) Оператор Т является единственным продолжением Т с условием: если (ув) £ П(Т), Л, Л7 £ Шт(Т) и |Л7 — Л| < пув, то Т(Л7) ^ Т(Л).

< Сначала проверим, что Т £ 51. Пусть Л1, Л2 £ Шт(Т), |Л1|, |Л2| ^ тп(ек) и |Л1 — Л2| < ¿(т + 1,а)пек. Докажем, что |Т(Л1) — Т(Л2)| < ЦТ+1, где (Ц^1) из условия Т £ Й1. Имеем |Л,1 — пж(?)| ^ п(ав). И |Л,2 — п(у5)| ^ п(ав). Тогда п(жлу5) —^ ^ — Л2 Обозначим с75 = (ж7—у5)У(—п($ек))Л(п(^ек)). По условию пс75 ——^ —Л2 и |с751 ^ ¿ек. Тогда |с75 + у<51 ^ (т + 1)ек и |Т(с75 + у5) — Т(у<)| ^ ит+1. Остается перейти к пределу в неравенстве: \Т(Л1) — Т(Л2)| < \Т(Л1) — Т(ст5 + у5)| + |Т(/ + у5)| + |Т(у5) — Т(Л2)|.

Теперь проверим, что Т £ 52. Пусть |Л11, |Л21 ^ тп(ек). Тогда |Л1 — п(ж7)| ^ п(ав), |Л2 — п(у5)| ^ п(ав). Всегда можно считать, что |Л1| ^ |п(ж7)|, |Л2| ^ |п(у<)|. Получаем \Т(Л1 + Л2) — Т(Л2)\ < \Т(Л1 + Л2) — Т(ж7 + у5)\ + |Т(ж7 + у5) — Т(ж7)| + \Т(ж7) — Т(Л1)\. Первое и третье выражения в правой части стремятся к нулю. Для второго выражения имеет место оценка: [Т(ж7 + у5) — Т(ж7)] ^ вир [|Т(^)| : 02(5) С cz(yв)т |д| ^ к(т)ек] ^

вир \Т(/) : 02 f ^02(^2), |/1 < к(т)п(ек)].

Выполнение Т £ 5з непосредственно следует из Т £ 5з.

(2) Достаточно установить, что если |Л7 — ^ пув в Шт(Т) и (ув) £ П(Т), то Т(Л7) ^ Т(Л). В (1) было установлено, что для Т выполнены свойства 51, 52, 5з. Тогда для Я1т(Т) и оператора Т можем применить предложение 4.1 и получить требуемый результат. >

Литература

1. Лозановский Г. Я. О дискретных функционалах в пространствах Марцинкевича и Орлича // Исследования по теории функций нескольких переменных: Межвуз. темат. сб.—Ярославль: Яросл. ун-т, 1987.—Вып. 2.—С. 132-142.

2. Бухвалов А. В., Лозановский Г. Я. Представление линейных функционалов и операторов на векторных решетках // Теория операторов в функциональных пространствах.—Новосибирск, 1977.— С. 71-98.

3. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах // Сиб. мат. журн.—1974.—Т. 14, № 1.— С. 140-153.

4. Koldunov A. V. The extensions of operators with the Hammerstein property // Bull. Polish. Ac. Sc.— 1996.—V. 44, № 4.—P. 499-508.

5. Koldunov A. V., Veksler A. I. On normed lattices and their Banach completions // Positivity.—2005.— V. 9.—P. 415-435.

Статья поступила 7 марта 2007 г.

Колдунов Андрей Витальевич, к. ф.-м. н.

РГПУ им. А. И, Герцена

Санкт Петербург, 191186, РОССИЯ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Порядковая непрерывность одного класса неаддитивных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Колдунов Андрей Витальевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Колдунов Андрей Витальевич

Текст научной работы на тему «Порядковая непрерывность одного класса неаддитивных операторов»