CC BY
12
НЛТУ
ы КРАЖИ
Hl/IUB
Науковий в!сн и к НЛТУУкраТни Scientific Bulletin of UNFU
http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40270928 Article received 21.11.2017 р. Article accepted 28.11.2017 р.
УДК 004.94
ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)
El Correspondence author M. M. Mysyk mmysyk@i.ua
С. Б. Поберейко1, А. А. Яковенко1, М. М. Мисик1, €. П. Кунинець2
1 Нацюнальний лкотехтчний утверситет Украгни, м. Львiв, Украгна 2 Концерн "ЕНО Меблi ЛТД", м. Мукачево, Украгна
ПОР1ВНЯЛЬНИИ АНАЛ1З РЕЗУЛЬТАТ1В ТЕОРЕТИЧНИХ ДОСЛ1ДЖЕНЬ ГРАНИЧНОГО НАПРУЖЕНОГО СТАНУ АН1ЗОТРОПНИХ МАТЕР1АЛ1В
Метою дослщження е виявлення мехашчних теорш мщноси та математичних моделей визначення граничного напруже-ного стану ашзотропних матерiалiв, придатних для адекватного опису пружно! областi деформування деревини хвойних i листяних порiд в умовах двовюного, плоского та об'емного мехашчних навантажень. Актуальшсть такого дослiдження зу-мовлена тим, що на сьогодш немае едино! методики апроксимацп результаив експериментальних дослiджень короткочасно! мiцностi композитних матерiалiв зi складним напруженим станом. У математичнш постановцi задачi одна i та ж поверхня короткочасно!' мщноси може задовiльно описуватися юлькома критерiями. Для досягнення поставлено!' мети проведено класифжащю та зроблено порiвняльний аналiз вiдомих механiчних теорiй короткочасно! мщност анiзотропних матерiалiв та основних положень загально! теорп квадрик. Зокрема, проаналiзовано критери мiцностi Ашкеназ^ Мiзеса, Марша-Ху, Прагера, Норюа-Мак-Юнена, Хшла, Цай-Хшла, Цай-Ву, Хоффмана, Норрюа, Фшера, Захарова, Малмейстра та Гольденбла-та-Копнова. За результатами такого аналiзу встановлено, що умови мщноси для матерiалiв зi слабкою асиметрiею меж мщ-ност у напрямках структурно! симетри е непридатними для опису поверхонь мщноси матерiалiв зi сильною асиметрiею меж мщность Виявлено, що двовiсний та плоский напружено-деформiвнi стани у тангентально-радiальнiй площинi структурно! симетрп деревини листяних порщ задовiльно описуеться критерiем Ашкеназ^ а деревини хвойних порщ - критерiем Гольденблата-Копнова.
Кл^чов^ слова: ашзотропний критерiй мiцностi; напружено-деформiвний стан; тензор напружень.
Вступ. Через бюлопчне походження деревина мае складну неоднорiдну будову i тому належить до класу анiзотропних матерiалiв, характерною особливiстю яких е асиметрiя характеристик мiцностi у напрямках структурно! симетрп. Така особливють iстотно утруд-нюе прогнозування мiцностi деревини у процесах ii пд-ротермiчного оброблення (Redman, 2017) та для розра-хунку дерев'яних конструкцш i виробiв (Iraola & Cabrero, 2016; Guindos & Guaita, 2012). Понад це, вiдомi на сьогодш теорп та математичнi моделi визначення до-пустимих полiв напружень у композитних матерiалах не дають змоги шльшсно оцiнити меж1 пружно!, в'яз-копружно!, в'язко-пружно-пластично! областей деформування в умовах складних мехашчних та температур-но-вологiсних навантажень. Тому для оцшки та прогнозування мiцностi деревини та виробiв з не! актуальними е задачi побудови нових математичних моделей та ви-бору таких критерпв мiцностi, яш адекватно вщобража-ли б особливосп деформативностi промислово значу-щих порщ деревини.
У ПерШОМу наближеннi ОЦшИГИ pÍ3HOMaHÍTHÍCTb i 3acrocoByBaHÍCTb критерив míhhoctí aнiзотропних мате-рiaлiв можна за частотою використання рiзних критерь !в у наукових пyблiкaцiях. Нaйбiльш згадуваними е критерii Прагера, Ву, Цай-Ву та Хоффмана, решта критерй'в мають iстотно менше застосування (рис.).
10000
1000 100 10 1
N
Пп^
и Ы) сз
х
я
е2
с
се
I
О К
Ь о
г
§
00
i -а
а
I,
tu
•I I
N
« сз
S S к, _
á I о в 'S ^
<111 II
Obi *
Критерш
Рис. Частють N застосування критерив мщност у наукових публжащях у 2012-2017 рр. (за результатами Google Scholar на 11.11.2017)
1нформащя про aBTopiB:
Поберейко Софiя Богдaнiвнa, асистент кафедри шформацШних технологiй. Email: Sofi_23@i.ua
Яковенко Андрш Андрiйович, acnipaHT кафедри автоматизацй' та комп'ютерночнтегрованих технологiй. Email: yakovenkoandriy@gmail.com
Мисик Михайло Михайлович, канд. техн. наук, доцент кафедри автоматизацй' та комп'ютерночнтегрованих технологш. Email: mmysyk@i.ua
Кунинець €вген Павлович, канд. техн. наук, генеральний директор. Email: ye.p.kunynec@gmail.com
Цитування за ДСТУ: Поберейко С. Б., Яковенко А. А., Мисик М. М., Кунинець 6. П. Поpiвняльний аналiз pезультатiв теоретичних дослiджень граничного напруженого стану ашзотропних матеpiалiв. Науковий вкник НЛТУ Укра'ни. 2017. Вип. 27(9). С. 128-132.
Citation APA: Pobereyko, S. B., Yakovenko, A. A., Mysyk, M. M., & Kunynets, Ye. P. (2017). The Comparative Analysis of Theoretical Studies Results of the Boundary Stress State of Anisotropic Materials. Scientific Bulletin of UNFU, 27(9), 128-132. https://doi.org/10.15421/40270928
Для вибору критерй'в мщносп деревини доцшьно провести класифiкацiю наявних механiчних теорш мщносп для анiзотропних композитних матерiалiв з ураху-ванням того, що деревина хвойних порiд належить до матерiалiв 3i сильною асиметрieю характеристик мщ-ностi, а листяних - як до матерiалiв 3i сильною, так i слабкою асиметрiями. Тому потрiбно сформувати двi групи теорiй, одна з яких складалася б i3 критерй'в мщносп матерiалiв 3i слабкою асиметрieю, а шша - з критерй'в для визначення мiцностi матерiалiв зi сильною асиметрieю характеристик мiциостi. Для дослщжения поставлено! мети проведемо анатз механiчних теорiй мiциостi та основних положень загально' теорп квадрик (Elman, Karpenko & Merkurjev, 2008; Mishchenko, Solov-yev & Fomenko, 1985). Такий пiдхiд обгрунтовуеться тим, що лише калька критерй'в записують у формi поль номiв третього чи вищого порядку (Asteris, 2010; 2013), а бшьштсть широко застосовуваних критерй'в мiциостi визначаеться полiномiальними рiвняннями другого сте-пеня (Van der Put, 2005; 2015), як е об'ектом дослвджен-ня теорп квадрик (Mishchenko, Solovyev & Fomenko, 1985).
Критерп та математичш моделi мiцностi для ма-терiалiв 3i слабкою асиметрieю меж мщносп. У прос-торi напружень цi критерп записують у виглядi таких рiвнянь:
3 3 3 3 3
22A—+ 2 2 В.—+2C««a«i-1 = f0, (1)
¿=1 j=1 ¿=1 j=1,j *« ¿=1
3 3 3 3
22 A««——. + 2 2 В . -1 = 0
¿=1 j=1 '-1 j=U *«
(3)
е визначенням критерй'в мiцностi композитiв, коефь цiенти асиметрп яких дорiвнюють одиницi. З огляду на результати дослiджень (Bozhydarnyk, Sulym, 1999) до цих критерй'в належать:
• критерш фон Мйзеса (Yatsenko, 1988; Aicher, Klöck, 2001)
Л111—2 + Л2222—22 + Л3333—33 + 2Лп22—11—22 + ^^11330"11—33 + (4) +2A2233—22—33 + 4A1212—?2 + 4A1313—23 + 4A2323—23 - 1 = 0 ,
1 11 1 1 ■ ■ /сч
де: Лш¿ = —; Aijj = — + —2---,« * J ; Ajj = —,« * J . (5)
—p —p — jp Tj,45 Tj
Вщомо (Aicher & Klöck, 2001), що цей критерш до-сить точно описуе емшричш данi випробувань на мщ-нiсть орiентовано стружкових плит. О^м цього, в цiй робот теоретично обгрунтовано необхiднiсть застосу-вання для оцiнки мiцностi деревини i деревинних мате-рiалiв саме квадратичних, а не лiнiйних критерй'в. • критерш Марша-Ху (Yatsenko, 1988)
A1111—П + Л2222—22 + Л3333—33 + Л1122—11—22 + +Л1133—11—33 + Л2233—22—33 - 1 = 0
де:
= =__1_
Л«««« = 2 ; Л«ijj =
—p ——j1
«* j;
' критерш Норюа-Мак-Кшена (Yatsenko, 1988) Л1111—и + Л2222—22 + Л3333—23 + Л1212—12 +
де:
+Л1313—23 + Л232—23-1 = 0 = = « .,
Л«««« = 2 ; Л«j«j = 2 , « * j ;
• критерш Хшла (Yatsenko, 1988) Л1111—11 + Л2222—22 + Л3333—3)3 + Л1122—11—22 + Л1133—11—33 + +Л2233—22—33 + Л1212—22 + Л1313—23 + Л2323—22—33 - 1 = 0
де:
= = . ,,
Л«««« = 2 ; Л «j«j = 2 , « * j ;
(6)
(7)
(8) (9)
(10) (11)
11
— + —
k *«, k * j i « * j;
де: л. = л.«« ; B jj = Bjj«, (2)
де: Ли..,В..,C«« - сталi мiцностi; —«,—■,— - компоненти тензора допустимих напружень.
З огляду на основш положения теорп квадрик (Mishchenko, Solovyev & Fomenko, 1985), тип i симетрiя поверхонь, яш описуються рiвияниям (1), визначаються значеннями коефiцiентiв Л«ш,ВC««. Якщо C«« = 0, то ri-перповерхнi (1) е симетричними вiдносно початку декартово! системи координат: точки перетину гшерпо-верхш (1) iз прямою, що проходить через початок координат, розмщеш на однакових вщстаиях вiд початку координат. Якщо C«« = 0, то точки перетину пперповер-хш (1) з будь-якою вюсю системи координат, з будь-якою головною вiссю напружень, е симетричними ввд-носно початку координат. Якщо (—.) е розв'язками рiв-няння (1), у якому третiй доданок суми лiво! частини дорiвнюе нулевi, то (-—.) також е розв'язками цього рiвняння.
Отже, полiномiальнi рiвняння другого степеня квадратично' форми
де
' критерiй Фiшера (Gol'denblat, Bazhanov & Kopnov, 1977)
A111— и + Л2222—2 + Л1212—2 + Л1122—11—22 -1 = 0 , (12) = = , .,
Л«««« = 2 ; Л «j«j = 2 , « * j ;
Дц(1 +ß2l)+ E22 (1 +М12)
«* j .
(13)
"JJ 2 a/E11E22 (1 + ^12 )(1 + ^21—1p—2 p
У формулах (5)-(13) використано так1 позначення: —p - меж1 мiцностi розтягу ашзотропного матерiалу в
головних напрямках; т. i т.,45 - меж1 мщносп зсуву в основних i дiагональних напрямках для анiзотропного матерiалу; Е11 i Е22 - модулi пружностi матерiалу в напрямках ашзотропп; /л12 та /л21 - коефщенти Пуассона.
До класу критерй'в (5)-(13) належать також критер^' мiциостi, яш описуються полiномiальними рiвияниями шостого та четвертого степешв. Це критер^' Прагера та Ашкеназi. Ддйсно, якщо будь-яка точка R(—11—22—33—12 —13—23) е точкою гшерповерхш Ашке-назi (Ashkenazi, 1978):
A111—121 + Л2222——22 + Л3333—323 + ^^1122—11—22 + 2Л1133—11—33 + +2Л2233—22—33 + 4Л1212—122 + ^^1313—123 + 4Л2323—- (—121 + —^2 +
+—323 + —11—22 + —11—33 + —22—33 + —2 + —13 + — ^^ = 0 , (14) то точка Q-—1 - —22; - —33; - —12; - —13; - —23) також належить цш поверхнi, бо лiва частина рiвияния (14) е парною функщею компонентiв напружень —..
Звщси, оск1льки точки R i Q гiперповерхнi (14) е симетричними ввдносно початку декартово' системи координат у просторi напружень, то вони належать прямш RQ, яка проходить через початок ще' системи. Але тод^ згiдио iз загальною теорiею квадрик, поверхия (14) е
1
A««jj
2
умовою мщносп для ашзотропних симетричних за мщ-нiстю композитних мaтерiaлiв.
Тут у рiвняннi (14) символами AUjj, Ay у, Aiiii позначе-
но компоненти тензора м1цност1:
= = = J___^ (15)
A т i . A ijij . A ijj + . (15)
Jp 4Tij (Tip <J jp Ту 45
Обгрунтування принaлежностi критерiю Прагера до мехашчних теорiй мiцностi для aнiзотропних композитних мaтерiaлiв з коефiцiентом асиметри меж м1цност1, що дорiвнюе одиниц - aнaлогiчне.
Отже, використання критерив Ашкенaзi, Шзеса, Мaрiнa-Хy, Прагера, Норрюа-Мак-Кшена, Хiллa та Фь шера для визначення допустимих напружень у деревин хвойних порiд е недоцiльним. Аналопчш висновки зроблено у роботi (Mascia & Simoni, 2013), де встанов-лено, що серед експериментально перевiрених критерiiв Хiллa, Цaй-Хiллa, Цай-Ву, Хоффмана та Норрiсa, нaйпридaтнiшим для оцшки мiцностi деревини тротч-них хвойних порщ (Pinus elliotti тр Goupia glabra) е критерш Хоффмана. Але такий висновок не дае тдстав без додатково! експериментально! перевiрки розповсю-джувати цей критерiй на ва iншi хвойнi породи. Разом з тим, вiдомi результати, коли теорiя Цaй-Хiллa може зaдовiльно описувати граничний напружений стан деревини ялини в умовах чистого зсуву (Liu, 2002), а критерш Цай-Ву - криву мщносп ялини у рaзi двовюного навантаження, але з рiзними значеннями коефiцiентiв взaемодii для першого i третього квaдрaнтiв та другого i четвертого (Cabrero, Gebremedhin & Elorza, 2009). окр1м цього, критерш Цай-Ву виявився придатним для оцшки мщносп модифiковaноi полiмерaми деревини хвойних порщ (Kyziol, 2017) та прогнозування граничного нaпрyжено-деформiвного стану деревини твердих порщ у процеа сyшiння (Redman, 2017). Вiдомi також результати експериментально! верифiкaцii критерпв м1цност1 (Garab & Szalaj, 2010), де зроблено висновок, що з-помiж критерив фон Мiзесa, Цай-Ву та Ашкеназ^ остaннiй нaйточнiше прогнозуе мiцнiсть деревини ялини (Picea abies [L.] Karst.).
Критерп та математичш моделi для матерiалiв 3i сильною асиметрieю меж мiцностi. Оск1льки, згiдно iз загальною теорiею квадрик, рiвняння (1) описуе неси-метричнi гiперповерхнi за умови Cii ^ 0, то, очевидно, що ашзотропш aсиметричнi за мiцнiстю композитнi ма-терiaли, до класу яких належить деревина хвойних по-рiд, описуються критерiями, заданими рiвняннями, як1 з використанням певних математичних перетворень зво-дяться до рiвняння (1), у якому стaлi AHjj,Byy та Cii е вщмшними вiд нуля. Одним iз таких критерив е критерш Захарова (Yatsenko, 1988)
A11T11 + A22J 22 + A33 J33 + A1111J 521 + A2222J 22 + A3333 J33 +
+2A1122 J11J22 + 2A1133J11J33 + 2A2233J 22 J 33 + (16) +4A1212Ji22 + 4A1313Jl23 + 4A2323J23 -1 = 0 ,
де:
1
= J___=
Aii ; Aiiii
Jip Jic JipJi
ipv ic
AiyJ 2
yv ip
1 I 1
1
; Ajj=T; (i7) 4 ij
(-1)i+j+1
(-ГГ -+-—--x
• Tj',45
_2_
Jic
11
— + —
'Jc J
2
Th,45
(27*)
С - межа мшносп стиску ашзотропного матершлу в 1-му напрямку ашзотропп.
Р1вняння (17) не мае однозначно! геометрично! ш-терпретацп. Форма поверхш (16) допустимих напружень для матер1алу з1 заданими мехашчними характеристиками встановлюеться на основ1 анал1зу компонен-т1в тензора м1цност1 (17). У часткових випадках складного напруженого стану ця задача вир1шуеться пор1вня-но просто. Так, наприклад, щоб визначити криву мщносп для матер1алу 1з двовюним напруженим станом (с33 = с12 = с13 = с23) , виходять 1з умов, за яких крива (16) е дшсним елшсом
А* 0; 8> 0; А? < 0, (18)
де: А =
A1111 A1122
A1122 A2222
0,5A21 0,5A22
0,5A2 0,5A2 -1
S= A1111A2222 - A2122; (29)
5 = A1111 + A2222 -
Адже, елiпс - це едина гладка, замкнута та випукла крива 3i сiмейства кривих, як1 описуються piBH^HH^M (16), яке у нашому випадку мае вигляд
АцОп + А22<Г22 + Ап11<Т 11 + A2222<T22 + 2Ап22<Т11<Т22 - 1 = 0 -(20)
Коефiцiенти piвняння (20) можна iдентифiкувати експериментально, випробовуючи дослвджуваний матерь ал на мщшсть (Galicki & Czech, (2013). За формулами (18) та результатами експериментальних вимipювань значень величин <7ip,aic,Tu,TUA5 визначають значення компонент Ай, Aiiii, AUjj та проводять !х подальший ана-лiз. Якщо виявиться, що значення Ай, Аш, Ат не задо-вольняють умови (18), то роблять висновок, що критерш мщносп (20) не придатний для розрахунку допустимих напружень у дослвджуваному матеpiалi. У проти-лежному випадку (20) використовуеться для подальшо-го виршення поставлено! задачi мiцностi.
Важливе практичне значення для моделювання мщносп деревини хвойних поpiд мае критерш Гольденбла-та-Копнова. У розгорнутш фоpмi запису в основнiй системi координат вш мае вигляд (Goldenblat, Bazhanov
6 Kopnov, 1977)
2 2 2 Пц(Т11 + П 22<7 22 + П33(Г 33 + ( Пш1<Г11 + П2222<7 22 + П3333<Г 33 +
+П1122<У 11<Г22 + 2П1133<Т 11<Г33 + 2П2233<7 22<У 33 +
+4П1212<7?2 + 4П13130"523 + 4П 2323^^3) -1 = 0, (21) де: Пу,Пукт - компоненти тензоpiв мiцностi, яш визна-чаються за формулами:
П = 2
niij 8
Jc
11
—+—
. ==i
; nijij = 4J ' Пш = 4
11
-+ —
Jip Jic
11
— + —
(
Jc J
1 + 1
Tj,45 Tj,45
2
; (22) ,(22*)
де r,j,45 - меж1 мiцностi мaтерiaлy за вiд емного чистого
зсуву. Покажемо, що критерш (21) справд! описуе граничний напружений стан ашзотропних асиметричних за мщшстю композитних мaтерiaлiв. Для цього квад-ратний кор1нь у л1в1й частиш р1вняння (21) перенесемо у праву частину i отриманий результат тднесемо до квадрата. тод1 матимемо
П21J п + П 22 J 22 + П33 J 33 + 2П11П 22 J11J22 + 2П11П33 J11J33 +
+2П22П33J22J33- 2niiJii- 2П22J22 - 2П33J33 +1 = 0 . (23)
2
1
J
2
2
1
+
17
a
J
+
J pJ
<7 ¡„J
1
1
x
J
Як бачимо, отримане piBHHHHH, а отже, i piBHHHHH (21) е полiномiальним piBHHHHHM другого степеня. За структурою воно тотожне рiвнянню (1). Звщси, згiдно i3 загальною теорiею квадрик (Elman, Karpenko & Mer-kurjev, 2008; Mishchenko, Solovyev & Fomenko, 1985), якщо компонента тензора мiцностi П1Ь П22 i П33 е вщ-мiнними вiд нуля, то (21) дшсно описуе несиметричнi в основнш системi координат гiперповерхнi другого порядку, що й потрiбно було довести.
Полiномiальними рiвняннями другого та вищих сте-пенiв описуються критерп мщносп Малмейстра
2Lik&ik + 2 LiknmPik<nm +2 Liknmpq7ik<nm7pq--- - 1 = 0 ,(24)
i,k '■knm i,k,n,m,p,q
де Lik, Liknm,Lik„mpq - компонента тензорiв мiцностi другого, четвертого та вищих ранпв, яш визначають повер-хню граничного напруженого стану матерiалу у шести-вимiрному просторi напружень.
Вигляд рiвняння (24) е залежним вiд степеня полшо-ма його лiвоl частини. Чим вищий степiнь■ тим складнь ша практична реалiзацiя критерiю Малмейстра. Адже, зi зростанням степеня збшьшуеться к1льк1сть коефь цiентiв (компонентiв тензорiв мiцностi) при компонентах тензора напружень. Рiвняння (24) з полшомом пер-шого степеня мае шють коефiцiентiв■ а другого, третьо-го та четвертого степешв - 42, 258 та 1554 коефщенти вщповщно (Bozhydarnyk & Sulym, 1999). Тому, осшль-ки на сьогоднi задача експериментального визначення тако!' значно!' шлькосп коефiцiентiв (меж мiцностi) е громiздкою■ i практично невирiшеною для жодного з вь домих композитних матерiалiв■ то цей критерiй виклю-чимо з подальшого розгляду.
Отже, можливими критерiями для визначення по-верхонь мiцностi деревини хвойних порщ е критерп Захарова та Гольденблата-Копнова. Такий висновок збь гаеться з висновками роботи (Osswald & Osswald, 2017), де запропонований удосконалений критерш Гольденблата-Копнова, за твердженням авторiв■ придатний для прогнозування мщносп будь-яких анiзотропних матерь алiв. Спробу розробити новий унiверсальний критерiй мiцностi деревини зроблено також у роботах (Galicki & Czech, 2013; Galicki, 2013), де пропонують вiдiйти ввд стандартних тензорних моделей та (Guindos, 2012; 2014), у яких для цього пропонують застосовувати так звану "теорш середнiх напружень". Висновки
1. На сьогодш не iснуе едино! математично! моделi та за-гальноприйнято! теорп, методи яких давали б змогу адекватно ощнити межi пружно!, в'язкопружно! та в'яз-ко-пружно-пластично! областей деформування ашзот-ропних композитних матерiалiв бiологiчного похо-дження за умов складних мехашчних i температурно-вологiсних навантажень.
2. Умови мщносп для матерiалiв зi слабкою асиметрiею меж мiцностi у напрямках структурно! симетрп е неп-ридатними для опису поверхонь мщносп матерiалiв зi сильною асиметрiею меж мiцностi.
3. Двовiсний та плоский напружено-деформiвнi стани у тангентально-радiальнiй площиш структурно! симетрi! деревини листяних порщ задовiльно описуеться крите-рiем Ашкеназ^ а деревини хвойних порiд - критерiем Гольденблата-Копнова;
4. Перспективним напрямком подальших досль джень е щентифжащя унiверсального критерiю мiцнос-тi■ придатного, на вiдмiну вiд стандартних тензорно-по-
niHOMia^bHHx KpnTepuB, ageKBarHO nporao3yBam noBep-xhm n^acTHHHOCTi Ta oö^acrb b'^3ko npy^Horo ge^opMy-BaHHH aHi3OTponHHx MarepiamB.
nepe^iK BHKopHCTaHHx g»epe.n
Aicher, S., & Klöck, W. (2001). Linear versus quadratic failure criteria for inplane loaded wood based panels. Otto-Graff-Journal, 12, 187-199. Retrieved from: http://www.mpa.uni-stuttgart.de/publika-tionen/ otto_graf_ j ournal/ogj_2001/beitrag_aicher_kloeck.pdf Ashkenazi, Ye. K. (1978). Anizotropiya drevesiny i drevesnykh mate-rialov [Anisotropy of wood and wood-based materials]. Moscow: Lesnaya promyshlennost. [in Russian]. Asteris, P. G. (2010). A simple heuristic algorithm to determine the set of closed surfaces of the cubic tensor polynomial. Open Applied Mathematics Journal, 4, 1-5. Retrieved from: http://users.aspe-te.gr/asteris/Fulltext/1TOAMJm.pdf Asteris, P. G. (2013). Unified yield surface for the nonlinear analysis of brittle anisotropic materials. Nonlinear Sci Lett A, 4(2), 46-56. Retrieved from: https://www.researchgate.net/profile/Panagi-otis_Asteris/publication/259573865_Unified_Yield_Surfa-ce_for_the_Nonlinear_Analysis_of_Brittle_Anisotropic_Materi-al s/links/0c96052ca9bed7a4ff000000.pdf Bozhydarnyk, V. V., & Sulym, H. T. (1999). Elementy teoriyi plastychnosti ta mitsnosti [Elements of the theory of plasticity and strength]. Lviv: Svit. [in Ukrainian]. Cabrero, J. M., Gebremedhin, K. G., & Elorza, J. (2009). Evaluation of failure criteria in wood members. In 2009 Reno, Nevada, June 21-June 24, (pp. 1-3). American Society of Agricultural and Biological Engineers. Retrieved from: http://dadun.unav.edu/bitstre-am/10171/7407/1/WCTE2010 %20failure.pdf Elman, R. S., Karpenko, N., & Merkurjev, A. (2008). The algebraic and geometric theory of quadratic forms, (Vol. 56). American Mathematical Soc.
Galicki, J. (2013). A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part B: General form of polynomial to describe the strength of anisotropic discontinuous materials. Applied Mathematical Modelling, 37(3), 828850. https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.003 Galicki, J., & Czech, M. (2013). A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A: The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood. Applied Mathematical Modelling, 37(3), 815-827. https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.004 Garab, J., & Szalaj, J. (2010). Comparison of anisotropic strength criteria in the biaxial stress state. Drewno: prace naukowe, doniesi-enia, komunikaty, 53, 51-66. Retrieved from: http://yad-da.icm.edu.pl/yadda/element/bwmeta1.element.baztech-article-BAT8-0017-0021/c/httpwww_bg_utp_edu_plartd20nr20183drew-novol2053nr183 j_garabj_szalai.pdf Goldenblat, I. I., Bazhanov, V. L., & Kopnov, V. A. (1977). Dlitelna-ya prochnost v mashinostroyenii [Long-term strength in mechanical engineering]. Moscow: Mashinostroyeniye. [in Russian]. Guindos, P. (2014). Comparison of different failure approaches in knotty wood. Drewno. Prace Naukowe. Doniesienia. Komunikaty, 57(193), 123-128.
https://doi.org/10.12841/wood.1644-3985.065.03 Guindos, P., & Guaita, M. (2012). The phenomenological fracture criteria and the stress integration volumes in heterogeneous models of wood. In World Conference on Timber Engineering, New Zealand (Vol. 5, pp. 629-633). http://www.timberdesign.org.nz/files/00336 %20Pablo%20Guindos.pdf Iraola, B., & Cabrero, J. M. (2016). An algorithm to model wood accounting for different tension and compression elastic and failure behaviors. Engineering Structures, 117, 332-343. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2016.03.021 Kyziol, L. (2017). Description of strength of wood composite in compound state of load. Journal of KONES Powertrain and Transport, 24(3), 32-38. https://doi.org/10.5604/01.3001.0010.3066
Liu, J. Y. (2002). Analysis of off-axis tension test of wood specimens. Wood and Fiber Science, 34(2), 205-211. Retrieved from: https://wfs.swst.org/index.php/wfs/article/viewFile/1905/1905 Mascia, N. T., & Simoni, R. A. (2013). Analysis of failure criteria applied to wood. Engineering Failure Analysis, 35, 703-712. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2013.07.001 Mishchenko, A.S., Solovyev, Y.P., & Fomenko, A.T. (1985). Problems in differential geometry and topology. Translated from the Russian by Oleg Efimov. Moscow: Mir Publishers. Osswald, P. V., & Osswald, T. A. (2017). A strength tensor based failure criterion with stress interactions. Polym. Compos. https://doi.org/10.1002/pc.24275 Redman, A. L. (2017). Modelling of vacuum drying of Australian hardwood species (Doctoral dissertation, Queensland University of Technology). https://doi.org/10.5204/thesis.eprints.110505
Van der Put, T. A. C. M. (2005). The tensor polynomial failure criterion for wood. Delft Wood Science Foundation, Delft. Retrieved from: https://www.researeIigate.net/profile/T_A_C_M_Put/publica-tion/263734321_A2005_Tensorpolynomial_failure_criteri-on_for_wood/links/0c96053bc4c90d9e89000000.pdf Van der Put, T. A. C. M. (2015). Exact failure criterion of wood: Theory extension and synthesis of all series A publications. Delft Wood Science Foundation Publication Series, 1, 201—205. Retrieved from: http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:1c453f6 e-dc03-4c3 e-b2d2-fd87635c954 d/datastream/OBJ/view Yatsenko, V. F. (1988). Prochnost kompozytsyonnykh materyalov [Strength of composite materials]. Kyiv: Vyshcha shkola. [in Russian].
С. Б. Поберейко1, А. А. Яковенко1, М. М. Мысык1, Е. П. Кунынец2
1 Национальный лесотехнический университет Украины, г. Львов, Украина 2 Концерн "ЕНО Мебель ЛТД", г. Мукачево, Украина
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Целью исследования является выявление механических теорий прочности и математических моделей определения предельного напряженного состояния анизотропных материалов, пригодных для адекватного описания упругой области деформирования древесины хвойных и лиственных пород в условиях двухосной, плоской и объемной механических нагрузок. Актуальность исследования обусловлена тем, что на сегодняшний день не существует единой методики аппроксимации результатов экспериментальных исследований кратковременной прочности композитных материалов со сложным напряженным состоянием. В математической постановке задачи одна и та же поверхность кратковременной прочности может удовлетворительно описываться нескольким критериям. Для достижения поставленной цели проведена классификация и сделан сравнительный анализ известных механических теорий кратковременной прочности анизотропных материалов и основных положений общей теории квадрик. В частности, проанализированы критерии прочности Ашкенази, Мизеса, Марина-Ху, Прагера, Норриса-Мак-Кинена, Хилла, Цай-Хилла, Цай-Ву, Хоффмана, Норриса, Фишера, Захарова, Малмейстра и Голь-денблата-Копнова. В результате такого анализа установлено, что условия прочности для материалов со слабой асимметрией пределов прочности в направлениях структурной симметрии непригодны для описания поверхностей прочности материалов с сильной асимметрией пределов прочности. Выявлено, что двухосное и плоское напряженно-деформированное состояния в тангентально-радиальной плоскости структурной симметрии древесины лиственных пород удовлетворительно описывается критерием Ашкенази, а древесины хвойных пород - критерием Гольденблата-Копнова.
Ключевые слова: анизотропный критерий прочности; напряженно-деформационное состояние; тензор напряжений.
S. B. Pobereyko1, A. A. Yakovenko1, M. M. Mysyk1, Ye. P. Kunynets2
1 Ukrainian National Forestry University, Lviv, Ukraine 2 Concern "ENO Mebli Ltd", Mukachevo, Ukraine
THE COMPARATIVE ANALYSIS OF THEORETICAL STUDIES RESULTS OF THE BOUNDARY STRESS STATE OF ANISOTROPIC MATERIALS
The purpose of the study is to identify mechanical theories of strength and mathematical models for determining the limiting stress state of anisotropic materials suitable for the adequate description of the elastic range of deformation of softwood and hardwood in biaxial, planar and bulk mechanical loads. The relevance of the study is due to the fact that today there is no unified methodology for approximating the results of experimental studies of the short-term strength of composite materials with a complex stressed state. In the mathematical formulation of the problem, one and the same short-term strength surface can be satisfactorily described by several criteria. To achieve this goal, a classification and a comparative analysis of the known mechanical theories of the short-term strength of anisotropic materials and the main provisions of the general theory of quadrics was made. It has been established that, to date, there is no single generally accepted theory, which methods would adequately assess the limits of elastic, viscoelastic and visco-elastoplastic deformation regions of biological origin anisotropic composite materials under conditions of complex mechanical and temperature-humidity loads. In particular, the strength criteria of Ashkenazi, von Mises, Marin-Hu, Prager, Norris-McKeenen, Hill, Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hoffman, Norris, Fisher, Zakharov, Malmeister, and Goldenblat-Kopnov were analysed. As a result, it has been established that the strength conditions for materials with a weak asymmetry of strength limits in the direction of structural symmetry are unsuitable for describing the strength surfaces of materials with a strong asymmetry of ultimate strength. We have revealed that the biaxial and flat stress-strain state in the tangential-radial plane of structural symmetry of hardwood is satisfactorily described by the Ashkenazi criterion and softwood by the Goldenblatt-Kopnov criterion. A promising direction of further research is the identification of a universal strength criterion, suitable, in contrast to the standard tensor-polynomial criteria, to adequately predict the plasticity surface and the region of viscoelastic deformation of anisotropic materials.
Keywords: anisotropic strength criteria; stress states; strength criterion; strength tensor.
