CC BY
8
УДК 634.0.812 Доц. Б.П. Поберейко, канд. техн. наук; доц. М.В. Дендюк, канд. техн. наук; асист Л.О. Флуд-НЛТУ Украти, м. Львiв
ВИЗНАЧЕННЯ КОРОТКОЧАСНО1 МЩНОСТ1 ДЕРЕВИНИ З ДВОВ1СНИМ НАПРУЖЕНИМ СТАНОМ
Отримано критерiальнi стввщношення для визначення короткочасно! мщносп деревини з однорiдним двовiсним напруженим станом у радiально-тангентальнiй пло-щиш структурно! симетрп. Розроблено алгоритм побудови кривих мiцностi та проана-лiзовано результати його апробацп.
Мета та актуальшсть задачi. Метою публжаци е визначення коротко-часно! мщносп деревини з1 сталими р1вном1рно-розподшеними полями вологи 1 температури та плоским 1 двовюним однорщними напруженими станами у поперечному перер1з1 тангентально! дошки. Ц частков1 випадки мають важливе зна-чення для технологи пдротерм1чного оброблення пиломатер1ал1в. З огляду на [1], у висушуваних конвективним способом пиломатер1алах поля напружень ха-рактеризуються тензором напружень, значення двох нормальних компоненпв якого значно перевищують значення третьо! нормально! компоненти. Вщмшни-ми вщ нуля вважають напруження вздовж ширини та товщини дошки [1]. Тому, зважаючи на зазначене та на складшсть розрахунку граничного об'емного напру-женого стану деревини, обмежимося пошуком розв'язюв задачу сформульовано! на початку абзацу.
Математична постановка задачi та побудова критер^. Компоненти тензора мщносп ёП для деревини з1 сталими р1вном1рно-розподшеними полями
вологи { температури визначимо з критер1ального р1вняння [2], яке у плоскш постановщ задач1 мае вигляд
Для цього доповнимо (1) законом Гука для малостисливих матер1ал1в та сшввщношенням зв'язку вщносно! об'емно! деформаци 1 -1 з компонентами ёу тензора деформацш [3]:
(1)
1 - 1 = £11 +¿22'-,
(2)
(3)
£33 = £23 = £31 = 0.
Науковий вкник НЛТУ УкраТни. - 2010. - Вип. 20.13
Тодi, поставивши (2) - (3) у (1), отримаемо
AOp2 + 2BOpOp + C2 + 2DOp + 2EOp + KOp2 = TAS, (4)
де символами А, В, С, D, E i K позначено коефiцiенти, як визначають за формулами:
2B =
TSH.I
TSh,
TSh,
1 + v12v21 E1pE2 p
1 + У2У2С1
E1pE2c
1 + v12v21
E1cE2 p
Л =
1
E1p 1
1 — vp
E1c
1 — Vf2
TSH.m.
TSH.m
TSH.m E1c
1 + v12v21
E1cE2c
Л
якщо OP > о i OP > 0;
якщо OP > 0 i OP < 0;
якщо Op < 0 i О > 0;
якщо OP < 0 i OP < 0,
(5)
, якщо OP > 0;
1P
\
C =
2D
(1—VTS (1
E1p
якщо &pp < 0, якщо OP > 0;
1
E2 p 1
1 p TSHm 1 — v21"
V
E TS,
2p
\
1 —vc~ ~нт 1 V21
2E
vc2 ))нт ' Ec
якщо OP < 0,
e2c
(1—v21))
(1—V21)
E2c J
якщо OP > 0;
якщо OP < 0,
E2p TSH.m
e2c
якщо OP > 0;
якщо OP < 0,
K =
G
12
TS
1 — н.т.
G
12 J
Тут , V?, Ер, Ес - коефщенти Пуассона та модуш пружностi матерь
алу. - Випробовуваного на одновiсний стиск (розтяг) вздовж радiального та тан-гентального напрямюв ортотропи; $>нш - густина ентропй недеформованого ма-терiалу; А£ - рiзниця густин ентропш матерiалу у граничному та недеформова-ному станах; Т - термодинамiчна температура.
Отже, у системi координат напружень Ор - 22Р - короткочасну мщ-нiсть деревини з плоским напружено-деформiвним станом у тангентально-радь альнiй площинi структурно! симетрй визначають полiномiальними рiвняннями (4). Ц рiвняння рiзняться мiж собою значеннями коефщденпв при невiдомих. Кожне з них характеризуе граничний напружений стан матерiалу вiдповiдно в одному iз восьми октантiв у вибранш системi координат.
Алгоритм побудови кривих мiцностi та аналiз результатiв його реаль зацп. Задача побудови кривих короткочасно! мiцностi для деревини з двовюним
1
напруженим станом (а12 = 0 ) piBHOcanbHa задачi визначення множини розв'язюв
нелшшного piвняння (4). Для ïï виршення розроблено алгоритм, pеaлiзaцiя якого передбачае виконання таких кpокiв:
1) табулювання функцiï двох змiнних
f {¿ПР, ^22 ) = АдПР2 + 2Bôtfv% + 2 + 2D&1 + 2Eâ% - TAS (6)
з кроками табулювання Aâff та Aâ2? ;
2) знаходження для фжсованих значень аЦ таких значень аргументу ёПР, для яких виконуються умови:
f (~~пр, ~пр )> 0, а f (ôff, + Aa%) < 0, (7)
f (ôtf, ) < 0, а f (ôff, à% + ) > 0; (8)
3) вибip з пари чисел ёПР та ёПР + AâПР такого числа, для якого абсолют-не значення функци f (â^?, оПР ) е мiнiмaльним;
4) побудова кривих текучоcтi за знайденими координатами точок , а22) •
Цей алгоритм pеaлiзовaний у виглядi програмного коду у Visual Basic for Application (VBA).
Для верифшаци розробленого програмного забезпечення виконано чис-ловий експеримент на пpиклaдi побудови кривих коpоткочacноï мiцноcтi для сосни (vrt = 0,38; vtt = 0,79; Ер = 540МПа; Erc = 670МПа; Ер = 470МПа; Etc = = 550МПа) з температурою Т=20 С та вiдноcною вологicтю W=12 % з
двовicним напруженим станом у тaнгентaльно-paдiaльнiй площинi aнiзотpопiï•
Зпдно з викладеним алгоритмом, поставлену задачу виpiшуемо у тaкiй поcлiдовноcтi:
1) на першому етaпi виконання розроблено1' програми за формулами (5) розраховуемо значення сталих А, В, С, D функци f (о1Р,оПР ) • Результати розра-хунку наведено у табл. 1 ;
Табл. 1. Результати розрахунку сталих А, В, С, D, Е
Характер напруженого стану A 2B C 2D 2Е
¿ПР > 0; &22 > 0 0,00197 -0,0022 0,0018 0,0055 0,0055
аПР > 0; 0~22 < 0 0,00197 -0,0021 0,0018 0,0055 0,0055
аПР < 0; &22 > 0 0,00157 -0,0019 0,0021 0,0044 0,0044
аПР < 0; ¿ПР < 0 0,00157 -0,0018 0,0021 0,0044 0,0044
2) на другому етат розрахунку задаемо значення величин SHm та AS.
Зпдно з [2], у цьому випадку SHm « 32,3кДж/м3^, AS « 0,2кДж/м3^ ;
Шуювий вкник НЛТУ yKpa'1'ни. - 2G1G. - Вип. 2G.13
3) на третьому етапi виконуемо процедуру табулювання функци f (д^р, дПр) з кроками табулювання, наприклад, ДдЦ «1,0 МПа та
Да^р «1,0 МПа. Результати табулювання наведет у табл. 2;
4) на четвертому етат знаходимо наближет розв'язки нелiнiйного рiвняння
f (дЮ ) = 0. (9)
Для цього у кожному зi стовпчиюв табл. 2 вибираемо таю пари значень функци 100* f (оПРдПР), щоб складовими кожно! з них були два послщовних
числа з протилежними знаками (у табл. 2 вибраш пари значень функцй позначе-но шрим кольором).
Потiм iз двох чисел у зазначених парах вибираемо мммальш за абсолют-ними значеннями числа (у табл. 2 !х помiчено жирним шрифтом) та за адресами кштинок, у яких вони знаходяться, в таблицi визначаемо наближенi розв'язки дрр i рiвняння (9).
Адреси клiтинок описують iменем першого рядка та iменем першого стовпчика таблищ, а кожне з iмен визначене значеннями компонентiв оЩр та ~2р тензора напружень;
5) на п'ятому етат знайдет наближенi розв'язки оЦ i а^р рiвняння (9) заносимо у табл. 3. У перший рядок таблищ записуемо значення радiальноl компонента дПр напружень, а у другий та третш рядки - вщповщш значення танген-
22
тально! компоненти дПр. У другому рядку виписуемо менш^ а у третьому - бшь-
шi значення величини о
пр 22
6) на завершальному етапi вирiшення задачi за даними табл. 3 будуемо графши кривих короткочасно! мiцностi. 1х наведено на рисунку.
Побудоваш кривi мають точки перетину з координатними осями. Наприклад, крив^ якi наведено на рис., вюь абсцис перетинають у точках А i С, а вюь ординат - у точках В i Б. Координати цих точок е характеристиками корот-кочасно! мiцностi деревини з одновюними напруженими станами розтягу (стис-ку) у головних напрямках ашзотропи. Абсциси точок А i С е характеристиками короткочасно! мiцностi деревини у радiальному напрямку ашзотропи, а ордина-ти точок В i Б - у тангентальному напрямi.
Табл. 3. Значення розв 'язшв рiвняння (9) в МПа
~ пр о11 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
~ пр 22 -11 -12 -13 -13 -13 -13 -13 -13 -13 -12 -11 -11 -10 -9 -7 -5
~ пр 22 -5 -3 -2 -1 0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 -1
З аналiзу координат точок перетину побудованих кривих з осями координат випливае, що побудований вище критерш (4-5) задовшьно вiдображае ашзот-
Науковий вкиик НЛТУ УкраТни. - 2010. - Вип. 20.13
рошю та асиметрда короткочасно! мiцностi деревини вздовж головних напрям-кiв симетри. иг, МПа
с( ,МПа 4
2
0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 аг,МПа Рис. Кривi короткочасно'1 мiцностi деревини сосни з температурою 20 С,
вiдносною вологктю Wта двов^ним напруженим станом у радiально-тангентальнш площиш структурное симетри (Н — площиш): 1 — W=12 %;
2 — W=18 %
Дшсно, оскшьки абсциса точки А е бшьшою за ординату точки В, а абсо-лютне значення абсциси точки С е меншим за абсолютне значення ординати точки D, то межа короткочасно! мщносп розтягу деревини у радiальному напрямку е бшьшою за межу мщносп розтягу у тангентальному напрямку, а у разi стис-ку - навпаки: абсолютне значення меж мiцностi у радiальному напрямку е меншим за абсолютне значення меж мщносп у тангентальному напрям^ що тд-тверджуеться результатами емтричних дослiджень [4, 5].
Висновки. З огляду на результати дослщжень короткочасно! мiцностi деревини з одновюними напруженими станами у напрямках ашзотропп [4, 5], кри-терш (4-5) адекватно описуе граничний напружений стан матерiалу у часткових випадках. О^м цього, зазначимо, що характеристики побудованих кривих задо-вольняють евристичним вимогам побудови вщомих феноменологiчних мехашч-них теорiй текучостi, пластичности та мщносп твердих тiл [6]: 1) кривi граничного напруженого стану (кривi короткочасно! мiцностi) повиннi бути плавними та випуклими; 2) спiввiдношення мiж характеристиками криво! короткочасно! мщносп повинш бути такими, щоб у випадку змiни хоча б одше! константи матерь алу (модулi пружностi, коефiцiенти Пуассона, тощо) нова крива повинна знахо-дитися всередиш або зовнi первинно!. Обидвi кривi можуть мати лише декшька точок дотику, але у жодному випадку вони не повинш перетинатися. Справд^ з огляду на рис., кривi короткочасно! мщносп для деревини сосни з температурою
о
20 С та вщносними вологостями 12 % i 18 % е плавними випуклими кривими. Ц кривi не перетинаються. Замкнена крива для деревини з волопстю 18 % знахо-диться всерединi замкнено! криво!, побудовано! для деревини з вiдносною волопстю 12 %.
Л1тература
1. Уголев Б.Н. Деформативность древесины и напряжения при сушке / Б.Н. Уголев. - М. : Изд-во "Лесн. пром-сть", 1971. - 172 с.
2. Поберейко Б.П. Визначення текучосп деревини та обгрунтування ïï асиметри у нап-рямках ашзотропи / Б.П. Поберейко // Науковi пращ Лшвничо'1' академи наук Украши : зб. наук. праць. - Львiв : Вид-во НУ "Львiвська полiтехнiка". - 2009. - Вип. 7. - С. 146-151.
3. Поберейко Б.П. Синтез тепломасообменных, релаксационно-деформационных и прочностных процессов в гигроскопических материалах / Б.П. Поберейко, Я.И. Соколовский // Актуальные проблемы лесного комплекса : сб. научн. трудов. - Брянськ (РФ) : Изд-во БГТИ, 2007. - Вып. 18. - С. 133-137.
4. Хухрянский П.Н. Прочность древесины / П.Н. Хухрянский. - М. : Гослесбумиздат, 1955. - 152 с.
5. Белянкин Ф.П. Деформативность и сопротивляемость древесины как упруговязкоп-ластического тела / Ф.П. Белянкин, В.Ф. Яценко. - К. : Изд-во АНУССР, 1957. - 184 с.
6. Яценко В.Ф. Прочность композиционных материалов / В.Ф. Яценко. - К. : Вид-во "Выща шк." Головное Изд-во "Наука", 1988. - 191 с.
Поберейко Б.П., Дендюк М.В., Флуд Л.О. Определение кратковременной прочности древесины с двухосным напряженным состоянием
Получены критериальные соотношения для определения кратковременной прочности древесины с однородным двухосным напряженным состоянием в радиально-тангентальной плоскости структурной симметрии. Разработан алгоритм построения кривых прочности и проанализированы результаты их апробации.
Pobereyko B.P., Dendyuk M.V., Flud L.O. Determination short strength of wood with twin axis stress condition
The criterial relations for short-term strength of wood with a homogeneous fault twin axis state of tension in the radial-tangential plane structural symmetry. The algorithm for building strength curves and the analysis results of his approbation.
