Поперечный изгиб винта с учетом изменения момента инерции по его длине Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

менения моментов инерции поперечного сечения винта по его длине и предложить удобные аппроксимирующие зависимости.

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1966. 608 с.

2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976.

480 с.

I. V. Lopa, T.S. Patrikova, E.N. Patrikova

DETERMINATION OF THE MOMENT TO INERTIAS OF THE CROSS-SECTION OF THE SCREW

The results of the computing experiment are Analysed on study of the change the moment to inertias of the cross-section on length of the screw. It Is Shown that section has a complex deskside, which is not described elementary function. The Offered algorithm of the determination of the change the moment to inertias, but in the same way aproximating functions, allowing method least square to calculate falling into them factors for different types and diameter of the threads.

Key words: moment to inertias of the section of the screw, aproximating functions, modeling, stability to designs.

УДК 621.646

И.В. Jlona, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm @tsu.tula.ru,

Т.С. Патрикова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru,

А.И. Ефимова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ВИНТА С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПО ЕГО ДЛИНЕ

Анализируются результаты поперечного изгиба винта. Проводится проверка адекватности предлагаемой математической модели на примере поперечного изгиба винта с учетом и без учета поддерживающего влияния резьбы.

Ключевые слова: изгиб винта, поддерживаюгцее влияние резьбы, момент инерции сечения винта, моделирование.

Винтовая пара «винт - гайка» в механизмах управления применяется повсеместно, что объясняется значительными преимуществами этого механизма по сравнению с другими, а именно: простотой конструкции, компактностью и малыми габаритами, а также свойством самоторможения, благодаря которому винт не может самопроизвольно изменять заранее установленного положения.

При определении конструктивных характеристик винтов существует проблема учета влияния резьбы на прочностные и жесткостные параметры.

Существующие методики предполагают или игнорирование поддерживающего влияния резьбы, т.е. расчет, где в качестве основного геометрического параметра выступает внутренний диаметр резьбы (диаметр впадин), или использование эмпирических зависимостей так называемого приведенного момента инерции сечения винта. В данной работе предлагается использовать в качестве функции, описывающей изменение момента инерции по длине винта, уравнение вида [1]:

J{z) = J0 + а • 8т(со • г + ср). (1)

Рассматривается шарнирно опертая балка с резьбой и без резьбы, нагруженная в середине поперечной силой Р.

Известно, что металлы на начальных участках нагружения сопротивляются деформациям линейно упруго, тогда уравнение изогнутой линии шпинделя с учетом (1) запишется следующим образом:

(2)

где Е - модуль упругости материала; а, ср, со и ./0 - аппроксимирующие коэффициенты [1].

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением второго порядка с разделяющимися переменными. Далее проводится его непосредственное интегрирование:

dz

P

z

2E J ла sІI

■dz.

(3)

Для вычисления интеграла (3) воспользуемся методом замены переменных: со • г = х,

х ф 1

(- '

= dx, dz = —dx, г = ———. Тогда получим со со

dx

Интеграл [

^ + ф) dx

dz = [

со со

1

Jo + а 8ІИ X о)2

xdx

dx

Jo + а 8Іи х J о+а 8Іи х

Jo + а sin х

табличный и равен:

Г

dx

2

Рассмотрим выражение [

Jо + а sin х ^ 2 _

xdx

rarctg

а

Ґ х Л J о^ 2 + а

2

-а

Jo+ а sin х

х

2tg

подстановку: tg— = t, бшх =

х

2

. Для его интегрирования используем

2^ . 1 2dt х = 2 , сіх

\ + tg

2 * 1 + ? 2

2

1 + Ґ

2

Тогда получим [-

xdx

4arctgtdt

J о+ a sin x j0+ j0 .t 2+2at

Полученный интеграл будем брать методом интегрирования по час-

тям: и = arctgt, du

dt

1 + Ґ

dv =

dt

О

Jq ■ t + 2 cit + Ji

v

dt

0

Jo ■ t + 2at + Jo

Интеграл [

dt

o

Jo "t + 2at + Jo dt

í-

табличный и равен:

1

arctg

J0 -t2+2at + Jо -\Jjo~ a

С учетом последнего выражения имеем:

2

Г \

Jo - t + 2a 2

a

4 j" udv = 4{и • v - J" vé/m) = 4

arctgt -

arctg

л Л

J0-t + 2a

2 2 vv-o-a /У

-f-ГГ

arcíg

J0-t + 2a

22 VV“0 -Я y

dt

1 + Ґ

Интеграл [arcíg

J$-t + 2a po - á1

dt

1 + Ґ

берется также по частям.

В результате для выражения (3) получили:

Í

</0+а • sin(co • z + ф)

-dz = -

arctg

Jn

tg

^co • zA

+

a

■J

22 a

x

x

со • z

APo °2 *) A2 °2/

2ф

Упростим (4) с учетом J02»cг2. После этого получаем:

Í

J 0+а • sin(co • z + ф) 1

-dz =

1

2со"

со • z

2

со • z 2ф

з(л-1)”лу

2 2 со -z со-ф-z

б(Л-1) Л

dy Р

+ СЛ

2 2 со • z со • ф • z

+ С

(4)

(5)

1

1

z

2

z

2

После интегрирования (5) получили первое приближение формы изогнутой кривой:

У1 =

р

Ґ 2 3 2

со • z СО • ф • z

+ Сі ■ z + С2

б(/0 0 •'о

Константы интегрирования определяются из граничных условий:

ЯО) = У(0 = 0 => с2= °;

со2 • /2 СО • ф • /

(6)

+ ■

6(1-Л)

Подставляя с\ в (6), и учитывая, что ./о»1 , окончательно получим:

Р

J о

СО-ф-/ со •I

2 ,2Л Л

Jо

6 J0

z

Форма изогнутой линии балки без учета резьбы известна [2]:

р (г3 ,2

18EJ

(7)

(8)

Проведем сравнительный анализ использования уравнений (V) и (8). На рис. 1-3 представлены уравнения изогнутых линий для различных диаметров и шагов резьб при следующих исходных данных: / = 1000 мм; Р = 1000 Н; Е = 2 -105 Н/мм2:

А) для винта с резьбой ТЯ20хЗ: со = ; ф = 0.68; = 5936 мм4 (рис. 1).

0.77

Б) для винта с резьбой ТЯЗ0x3: со = ; ф = 0.68; =31340 мм4 (рис. 2).

В) для винта с резьбой ТЯ20х1: со = ~~ > Ф = ^-68; = 296 мм4 (рис. 3).

¿1 ¡Л

ії.т:

іш

у!ш

УІХІ 1

(¡її

«і!

т'- »■

% ' і ч

* / ч ч ч

/

/ . # / \ ч %

Т У/ V-

&

о и;- 1» п.' мо ¿эз тя гм ют:

I

Рис. 1. Прогиб еинта с резьбой Ш20хЗ: у 1(1) - с учетом резьбы; у2(г) - без учета резьбы

4.38

уЫ

'

2.5

1.88

у У \

4 / % \

/ $ ^ Л \

У л і / \

* / • 4> \ \ \\

0 125 250 375 500 625 750 875 1000

г

Рис. 2. Прогиб еинта с резьбой Г 113 0x3: у 1(7) - с учетом резьбы; у2(7) - без учета резьбы

о

Рис. 3. Прогиб винта с резьбой TR20xl: yl(z) - с учетом резьбы; y2(z) - без учета резьбы

Анализ рисунков позволяет сделать следующие выводы:

1. Учет поддерживающего влияния витков резьбы необходим, так как неучет существенно искажает результаты (в рассмотренных случаях реальный прогиб в 1,5 - 1,8 меньше).

2. Предложенная модель учитывает не только влияния диаметра винта (что очевидно), но и тип, и шаг резьбы (винты с резьбой с мелким шагом прогибаются меньше).

Таким образом, показано, что необходимо учитывать поддерживающее влияние резьбы при поперечном изгибе винтов и предложены необходимые для этого зависимости и алгоритмы.

Список литературы

1. Лопа И.В., Патрикова Т.С., Патрикова Е.Н. Определение момента инерции поперечного сечения винта // Известия ТулГУ. Технические науки. 2010.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 560 с.

I. V. Lopa, T.S. Patrikova, A.I. Efimova

TRANSVERSE SAGGING SCREW WITH PROVISION FOR CHANGE THE MOMENT TO INERTIAS ON ITS LENGTH

The results transverse sagging screw are Analysed. It Is Conducted check to adequacy proposed mathematical model on example transverse sagging screw with provision for and disregarding supporting influences of the thread.

Key words: sagging screw, supporting influence of the thread, moment to inertias of the section of the screw, modeling.