CC BY
63
УДК 621.646
И. В. Лопа, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80,pmdm @tsu.tula.ru,
Т. С. Патрикова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru,
Е.Н. Патрикова, канд. техн. наук, доц. (4872) 35-18-69, spv@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ВИНТА
Анализируются результаты вычислительного эксперимента по исследованию изменения момента инерции поперечного сечения по длине винта. Показано, что сечение имеет сложную конфигурацию, которая не описывается элементарными функциями. Предложены алгоритм определения изменения момента хтерции, а так же аппроксимирующие функции, позволяющие методом наименьших квадратов вычислить входящие в них коэффициенты для различных типов и диаметров резьб.
Ключевые слова: момент инерции сечения винта, аппроксимирующие функции, моделирование, устойчивость конструщии.
Винтовые механизмы находят широкое применение в специальной технике, в частности в различных системах наведения. Определение геометрических характеристик сечений винтов является актуальной задачей, так как они необходимы для последующих как проектировочных, так и эксплутационных расчетов на прочность, жесткость, износостойкость и т.д. На рис. 1 показано произвольное поперечное сечение винта.
Рис. 1. Схема поперечного сечения винта
Видно, что сечение винта имеет сложную конфигурацию, которую сложно описать элементарными функциями. Предлагается для определения моментов инерции поперечного сечения винта использовать результаты численного эксперимента, проведенного с использованием комбинированных методов вычислений с применением программного обеспечения «SolidWorks2007» и «КОМПАС-ЗБ V10 » (табл.1).
Таблица 1
Результаты численного эксперимента по исследованию момента инерции сечения по длине винта
Тип резьбы СЕЧЕНИЕ
0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0
М10 Jx 250,9 227,6 235,7 264,6 273,8 250,9 227,6 235,7 264,6 273,8
Ьу 250,1 273, 6 265,1 236,6 227,0 250,1 273,6 265,1 236,6 227,0
М20 Jx 5481,9 5341,1 5308,9 5428,7 5536,2 5481,9 5341,1 5308,9 5428,7 5536,3
Ьу 5357,5 5497,4 5530,1 5410,6 5302,6 5357,5 5497,4 5530,1 5410,6 5302,6
TR10 Jx 290,8 288,4 296,6 303,6 299,6 290,8 288,4 296,6 303,6 299,6
ь 301,2 303,1 294,9 288,3 291,4 301,2 303,1 294,9 288,3 291,4
TR20 Jx 5912,9 5962,4 5940,9 5973,6 5954,4 5912,8 5902,0 5940,8 5973,6 5954,5
■ь 5902,0 5970,8 5932,3 5901,6 5916,3 5962,4 5970,8 5932,0 5901,3 5916,3
иіо ь 313,5 328,7 323,4 304,2 297,7 313,5 328,7 323,4 304,2 297,7
Ьу 314,4 297,7 303,8 323,1 328,1 314,4 297,7 303,8 323,1 328,1
и20 Jx 6081,5 6287,4 6236,0 5988,6 5891,6 6081,5 6287,4 6236,0 5988,6 5891,6
Ьу 6121,5 5899,7 5960,8 6208,8 6292,3 6121,5 5899,7 5960,8 6208,8 6292,3
Таким образом, функции Jx; Jy заданы таблицей своих значений. Задача сводится к отысканию многочленов Jx(z) и Jy(z) фиксированной степени /77, для которых среднеквадратичные отклонения минимальны [1]:
QX =
Пусть А - матрица значений базисных функций в абсциссах точек, Jxvl Jy - вектора ординат этих точек соответственно, а С - вектор искомых
коэффициентов. Известно, что вектор С можно искать как решение нормального уравнения:
” ” (1)
АТ ■ А-С = АГ-В.
У1 • .
где В^ = ¿(г/. У •,/ и В - - • ,/>,/ соответственно для двух векто-
к=0 к=о
ров ординат.
т
Матрица А -А - симметрическая, а если ранг А равен и, то и положительноопределенная. Тогда существует (ат ■ А) и решение (1) единственно:
С = ^АТ ■ А)1 Ат)в. (2)
Так как степень т аппроксимирующего многочлена неизвестна, то возникает проблема выбора оптимальной степени в условиях, когда исходные данные Jx ; ./у содержат случайные ошибки. Для решения этой задачи
можно принять следующий алгоритм: для каждого т=0,1,2,.. вычисляются величины: <2Х ы (2у За оптимальное значение степени многочлена прини-
мается то значение т, начиная с которого величины Ох и ^стабилизируются или начинают возрастать. Общий алгоритм решения поставленной задачи имеет вид:
1. Формирование расширенной матрицы Грамма для степенного базиса:
п п
аі,і = и в, = •
к=0
к=0
2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
С
т
:(2) = *
7 = 0
3. Определение среднеквадратичного отклонения значений полинома и таблично заданной функции:
бх =
1
п +1
(*)-} •
Ц'=0 )
Многочлены среднеквадратичного приближения для резьбы ТЯ20 при т=7 имеют вид:
Лад = 5819.6+ 1105.1- г- 4515.3 -г2 +8071.0-г3 - 7055.6 • г4 + + 3179.5 • г5 - 710.6 • г6 +62.4-г7;
№) = 6118.3-1558.7-2 + 5715.1 -г2 -9658.4-г3 +8212.8-г4 -
(3)
3651.2 • і5 +811.3 - и6
71.1-2'
Графики соответствующих зависимостей .1 х, Jy представлены на
рис. 2.
Рис. 2. Изменение моментов инерции сечения винта в пределах одного шага: табличные значения - пунктирная линия, расчетные - сплошная линия
Из рис. 2 видно, что функции, описывающие изменение моментов инерции по длине винта явно носят периодический характер, и их удобно аппроксимировать зависимостью
Ь
+ Ф
(4)
где Ъ = тс/со.
Результаты численного эксперимента по определению коэффициентов периодических функций представлены в табл. 2 и 3.
Из табл.2 видно, что при увеличении шага резьбы амплитуда колебаний возрастает, начальная фаза колебаний уменьшается, а круговая частота колебаний одинакова для разных типов резьб.
Из табл.З следует, что круговая частота колебаний не зависит от диаметра и типа резьбы, а начальная фаза колебаний одинакова для винтов с резьбой одного типа и шага и не изменяется при изменении диаметра.
Таблица 2
Коэффициенты для винтов с разными типом и шагом резьбы
Тип резьбы Коэффициенты
а 0 Ф 71 СО
М20х1 25 6918 0,06 0,23
М20х1,5 43 6500 0,08 0,35
М20х2 58 6113 0,11 0,45
М20х2,5 100 5748 0,14 0,62
М20х3 125 5425 0,17 0,77
TR20x1 5 7120 0,18 0,23
TR20x1,5 10 6791 0,28 0,35
TR20x2 15 6485 0,4 0,45
TR20x2,5 25 6200 0,5 0,62
TR20x3 38 5936 0,68 0,77
и20х1 94 7175 0,04 0,23
и20х1,5 113 6831 0,05 0.35
и20х2 160 6600 0,06 0,45
и20х2,5 218 6319 0,07 0,62
и20х3 225 6100 0,08 0,77
Таблица 3
Коэффициенты для еинтое с разными типами и диаметром резьбы
Метрическая Т рапецеидальная Упорная
Коэффициенты диаметр резьбы, і мм диаметр резьбы, і мм диаметр резьбы, і мм
10 20 30 10 20 30 10 20 30
а 25 125 570 8 38 90 17 225 900
0 250 5425 31340 296 5936 32830 314 6100 33400
ф 0,17 0,17 0,17 0,68 0,68 0,68 0,05 0,05 0,05
71 СО 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77
На рис. 3 представлено изменение осевого момента инерции винта с резьбой ТЯ20 и шагом 3 мм, построенное по формуле (4) (сплошная линия) и по табличным значениям (пунктирная линия).
5890 ----------------------------------------
03 Ой 0 9 12 15 1В 2.1 2.4 2.7 3
з
Рис. 3. Изменение осевого момента инерции винта с резьбой ТЯ20хЗ: табличные значения - пунктирная линия, по формуле (4) - сплошная линия
Анализ рисунка позволяет сделать вывод о высокой точности аппроксимации реальных табличных значений формулой (4).
Таким образом, проведенный численный эксперимент и обработка полученных результатов позволили разработать методику определения из-
менения моментов инерции поперечного сечения винта по его длине и предложить удобные аппроксимирующие зависимости.
Список литературы
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1966. 608 с.
2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976.
480 с.
I. V. Lopa, T.S. Patrikova, E.N. Patrikova
DETERMINATION OF THE MOMENT TO INERTIAS OF THE CROSS-SECTION OF THE SCREW
The results of the computing experiment are Analysed on study of the change the moment to inertias of the cross-section on length of the screw. It Is Shown that section has a complex deskside, which is not described elementary function. The Offered algorithm of the determination of the change the moment to inertias, but in the same way aproximating functions, allowing method least square to calculate falling into them factors for different types and diameter of the threads.
Key words: moment to inertias of the section of the screw, aproximating functions, modeling, stability to designs.
УДК 621.646
И.В. Jlona, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm @tsu.tula.ru,
Т.С. Патрикова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru,
А.И. Ефимова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ВИНТА С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПО ЕГО ДЛИНЕ
Анализируются результаты поперечного изгиба винта. Проводится проверка адекватности предлагаемой математической модели на примере поперечного изгиба винта с учетом и без учета поддерживающего влияния резьбы.
Ключевые слова: изгиб винта, поддерживающее влияние резьбы, момент инерции сечения винта, моделирование.
Винтовая пара «винт - гайка» в механизмах управления применяется повсеместно, что объясняется значительными преимуществами этого механизма по сравнению с другими, а именно: простотой конструкции, компактностью и малыми габаритами, а также свойством самоторможения, благодаря которому винт не может самопроизвольно изменять заранее установленного положения.
При определении конструктивных характеристик винтов существует проблема учета влияния резьбы на прочностные и жесткостные параметры.
