Помехоустойчивость фазометра с измерителем характеристической функции Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 621396 Ю. М. ВЕШКУРЦЕВ

М. В. КУЧЕРОВ

Омский государственный технический университет ОАО «Центральное конструкторское бюро автоматики»

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ФАЗОМЕТРА С ИЗМЕРИТЕЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрено влияние независимых гауссовских шумов на статистические характеристики погрешности измерения фазы по алгоритму, использующему значения оценок характеристической функции (х.ф.). Доказана несмещенность оценки разности фаз. Приведены методика и результаты расчета средней квадратичной погрешности измерения разности фаз.

Случайные процессы наряду с общепринятыми разности фаз сигналов показан в данной статье. функциями распределения можно характеризовать Запишем х.ф. случайной разности фаз сигналов

некоторыми вспомогательными функциями, одно- как [1]:

значно связанными с функциями распределения. -fexpO A-(Vm )+ JB(V^),

К таковым, в первую очередь, относится характерис- где A(Vm )= m, {eos (?'„ Дф В )=/», -¡sin (^Дф

тическая функция. Помимо своего первоначального -действительная и мнимая части х.ф. соответственно;

назначения — теоретических исследований — х.ф. мо- Дф = ф1 — ф2 — разность фаз сигналов; Уш = шДУ —

жет быть использована для решения прикладных задач. вещественный параметр х.ф.; ДУ — шаг квантования

Один из примеров использования х.ф. для измерения параметра; те [1...~]. Такое представление х.ф. позво-

ляет создать новый класс приборов, в основе которых лежит характериометр (анализатор характеристической функции). В работе [2] приведены разные варианты построения анализаторов х.ф., в том числе виртуальный анализатор, у которого имеются пути к развитию и совершенствованию.

В данной работе рассматривается фазометр, у которого анализатор х.ф. идеальный, его структурная схема приведена на рис. 1. Анализатор имеет первый и второй входы, на которые соответственно подаются аддитивные смеси сигналов и шумов:

ги(0=^1.251п(тсг+Фи)+"и(0> (1)

где юс — частота сигнала; ф12 — начальные фазы сигналов, с равной вероятностью принимающие любые значения в диапазоне \-к...к 1: П.. — амплитуды сигналов; п1г (¿)=ип1Л (¿)зт[а>г + еи — некоррелированные помехи типа флуктуационного шума; ип12(1:) — огибающая шума; е12(1:) — равномерно распределенные на интервале [-я...я] флуктуации фазы шума. Везде индекс 1 относится к первому входу анализатора, а индекс 2 — к второму входу. Ограничимся равенством ю = юс.

На рис. 1 каналы преобразования исследуемого сигнала (КПИС1,2) идентичны, они имеют известные схемы [2] и преобразуют аддитивные смеси к виду:

■^ОН/Лч'+чЛО)], <2"

Кроме КПИС1 и КПИС2, измеритель х.ф. включает перемножители (П1,2), фазовращатель на 90 градусов (ФВ) и интеграторы (Инт. 1,2). Схемы и характеристики отдельных узлов анализатора могут быть разные из числа имеющихся в радиоэлектронике, однако нами рассматриваются узлы с идеальными характеристиками.

Для построения фазометра воспользуемся следующим алгоритмом [2]:

.V

г_ + 1

(3)

где - оценка математического ожидания

(МО) разности фаз сигналов.

Если оценку мнимой части х.ф. представить в виде суммы

(4)

то получим:

т=1 *т

(5)

где В(Ут) — истинное значение оценки х.ф.; АВ(Ут) — погрешность измерения х.ф.

Поскольку принято положение об идеальности выполнения преобразований сигналов в схеме на рис.1, то появление слагаемого можно объяснить только присутствием шумов на входах измерителя х.ф. Рассмотрим статистические характеристики случайной величины А¥, а именно математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение (СКО).

Из выражения (5) следует, что смещение оценки МО фазы определяется величиной т1{АВ(Ут)}, и отсутствует, если т1{АВ(Ут)} = 0. В соответствии

Рис. 1

О -20 -40 -60 -80 -100 ■ 120

Г\

А

ПЛл

А

АЛ

АЛААЛлаа

ю

Рис. 2

Рис. 3. Кривые зависимости СКО разности фаз от полосы пропускания: кривая 1 - q = 7 дБ; кривая 2 - q = 10 дБ; кривая 3 - q = 15 дБ; кривая 4 - q = 20 дБ; а0 = 2000 для всех кривых

Рис. 4. Кривые зависимости СКО ошибки измерения разности фаз от отношения сигнал/шум: кривая 1 - Да = 5; кривая 2 - Да = 7; кривая 3 - Да = 10; кривая 4 - Да = 20; кривая 5 - Да = 5, оптимальный фазометр; а0 = 200 для всех кривых

со схемой на рис.1 и формулой (2) выражение для \/,'(| ) имеет вид:

ЩК)- ^ф-]** г» (V+1ф. ■+(Р1 +

(6)

где Т — постоянная времени интегратора. Первое слагаемое суммы (6) зависит только от параметров сигналов, тогда как остальные слагаемые зависят как от параметров сигнала, так и от параметров шумов.

В работе [1] доказано, что если мгновенная фаза сигнала состоит из нескольких слагаемых, хотя бы одно из которых имеет равномерное распределение в пределах -я...я, то распределение такой мгновенной фазы можно считать равномерным в этих же самых пределах. Можно показать, что тригонометрическая функция синус(косинус) мгновенной фазы с равномерным законом распределения имеет закон распределения арксинуса. Математическое ожидание случайной величины, имеющей закон распределения арксинуса, равно нулю. Следовательно, каждое слагаемое суммы (6) имеет математическое ожидание равное нулю. Они не вносят смещения в оценку В(Ут). равно как и в оценку .V:: ■:. Таким образом, можно утверждать, что оценка МО разности фаз сигналов, при действии на измеритель х.ф. некоррелированных гауссовских шумов будет асимптотически несмещенной, т.е. смещение оценки будет неограниченно приближаться к нулю при Дисперсия оценки (3) с учетом (4, 5) равна

Ц] т=1 Ут

(7)

и.

Я«и(°0 =

Да,.

% а - а„ - -

-X а-а„+-

Да, ,1 ( Да,, % \ а +а„ +—а +а„--^

Дац. .2

2Да,.

(8)

(9)

2 ^ Л. 2

где Да12 = ТМп12; Ап12 — ширина полосы пропускания КПИС1,2.; 8() - дельта-функция; %(■) — функция Хе-висайда. Поскольку каналы измерителя х.ф. идентичны, то Аа=Аа1 = Аа2. Путем последовательных преобразова-

ний спектров (8), (9) с учетом принципа работы КПИС1,2 и вычисления интегралов свертки будем иметь

¿■¿(к.Да.Ео.щ.й,^, )= (а,а„,Ут)+ (а, Да,а,,¥т )+

где SI+(■) — энергетический спектр сигнала, сосредоточенный на частоте 2юс; SII(■) — энергетический спектр произведения сигнала z1(t) и шума п2(Ц; Sш(■) — энергетический спектр произведения сигнала z2(t) и шума n1(t); ¡3^0 — энергетический спектр произведения шума п^Ц и шума п2(^. В уравнение (10) не вошла спектральная плотность SI-(■) сигнала, сосредоточенная на разностной (нулевой) частоте, поскольку она содержит искомую разность фаз и определяет слагаемое т1 {Аф} в выражении (5).

Окончательно формула для нахождения СКО оценки МО разности фаз с учетом (7), (10) примет вид

а.

(11)

Для определения М, {дд ([•;,)} нужно просуммировать дисперсии слагаемых в выражении (6). Перейдем в частотную область. Тогда в соответствии с [3] получим

Мг -<Д5 (Уп )}= | ^ (а, Да, а,, ^ )■ [£г (а)} ¿а

,

где SА(а) — спектр мощности сигнала на входе интегратора 2; БТ(а) — модуль коэффициента передачи интегратора 2; а = ГТ и а0 = ГсТ — безразмерная частота; атах = 2а0 + Аа - максимальная безразмерная частота; д12 — отношение сигнал/шум в первом и во втором каналах измерителя х.ф. соответственно.

При нахождении спектра SА(■) используем энергетические спектры сигналов S12(а) и шумов Sn12(а), выражения для которых запишем следующим образом:

,

Для расчетов по формуле (11) модуль коэффициента передачи интегратора взят равным зт(яа)/яа, а отношение сигнал/шум опре-

VI

делено из равенства =-;—, где оп1 2

есть СКО шума в каналах измерителя х.ф.

По формуле (11) были выполнены расчеты с погрешностью, не превышающей 10-4 %, результаты которых в виде графиков представлены на рис. 2 и 3. Для сравнения результатов с известными данными на рис. 3 пунктиром построен график для ортогонального метода измерения фазы, который, как известно [4], является оптимальным по критерию максимума функции правдоподобия измеряемой разности фаз. При выполнении расчетов значения коэффициентов составили: АУ=1, М = 30. Представленные графики позволяют сказать следующее.

Безразмерная частота сигнала а0 влияет, в основном, на подавление спектральных составляющих, возникающих после перемножения сигналов и шумов на частоте, равной сумме частот исходных процессов. При а0 > 10 достигается значительное подавление спектральных составляющих, и их влиянием можно пренебречь. Для надежности в последующих расчетах использовалось значение а0 = 200 и более. Такое значение коэффициента а0 можно получить для сигнала с частотой 200МГц и интегратора с Т=1 мкс.

Важным параметром любого устройства является полоса пропускания. В расчетах предполагалось, что оба канала измерителя имеют одинаковую полосу пропускания, значения которой представлены на рис. 2. Безразмерную полосу пропускания значением Аа =10 можно получить, например, в приборе с полосой пропускания 10МГц, у которого интегратор имеет Т = 1мкс. Как и следовало ожидать, при увеличении отношения сигнал/ шум погрешность измерения разности фаз уменьшается. Более того, эта погрешность резко снижается, когда увеличивается постоянная времени интегратора. Так при Аа=10 и д = 7дБ среднее квадратичное значение погрешности равно 18,5°, а при Аа=100 равно 6°. Следовательно, произведение Т существенно влияет на погрешность измерения разности фаз с помощью х.ф. Более подробную картину представляют графики на рис. 3, в правом верхнем углу которого в более крупном

масштабе помещен рис. 3 в пределах от д = 25 дБ до д = 40дБ. Ранее принятые обозначения на этом фрагменте рисунка сохранены. Из анализа графиков можно видеть, что оД(р = 0,7° при Да=10, д = 35дБ. Такие данные присущи фазометру, работающему в лабораторных условиях, где отношение сигнал/шум может достигать даже 40 дБ. Тогда оДф = 0,4°. На практике в каждом отдельном случае надо правильно выбирать Д и Т, чтобы выполнить требование в отношении помехоустойчивости фазометра, использующего значения х.ф.

Сравнение графиков 1 и 5 на рис. 4 между собой показывает, что оптимальный алгоритм обеспечивает почти в 2 раза меньшее среднее квадратичное значение погрешности измерения разности фаз сигналов, чем алгоритм, изучаемый нами. При одинаковых погрешности измерения и быстродействии, изучаемый алгоритм проигрывает по помехоустойчивости оптимальному алгоритму в 1,7 раза. Однако этот проигрыш исчезает, если снизить быстродействие фазометра. Так, например, при уменьшении быстродействия фазометра в 4 раза погрешность оптимального и исследуемого алгоритмов практически совпадают при любом отношении сгнал/шум (кривые 4, 5 на рис. 4). Кроме того, установлено, что отсутствие шума в любом одном канале фазометра одинаково влияет на помехоустойчивость оптимального алгоритма и алгоритма (3), а именно снижает СКО погрешности измерения в Л раз.

Вполне понятно, что рассмотренный алгоритм проигрывает по помехоустойчивости оптимальному, поскольку при его разработке оптимальные методы оценивания параметров сигнала не применялись. Поэтому алгоритм выглядит просто, не содержит сложных процедур вычисления отношения правдоподобия и в

условиях слабых помех дает неплохие результаты.

В заключение отметим, что с помощью оценок х.ф. можно получить оценку МО (или других вероятностных характеристик), не уступающую оптимальной, однако, при этом алгоритм получается гораздо сложнее рассмотренного [5].

Список литературы

1. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986.

2. Вешкурцев Ю.М. Прикладной анализ характеристической функции случайных процессов. — М.: Радио и связь, 2003.

3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы — 3-е изд., М.: Высш. шк., 2000.

4. Переход Н.Г. Измерение параметров фазы случайных сигналов. — Томск: Томское отд. изд-ва «Радио и связь». — 1991.

5. Вешкурцев Ю.М. Кучеров М.В. Исследование нового алгоритма измерения разности фаз сигналов / Ю.М. Вешкурцев, М.В. Кучеров // Материалы VII Международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП - 2004 в 7 томах 21-24 сентября 2004. - Новосибирск, 2004. - Т.3. - С.32-38.

ВЕШКУРЦЕВ Юрий Михайлович, доктор технических наук, профессор кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики». КУЧЕРОВ Михаил Викторович, инженер ОАО «Центральное конструкторское бюро автоматики».

Дата поступления статьи в редакцию: 16.12.2007 г. © Вешкурцев Ю.М., Кучеров М.В.

УДК 621.372.632.001.5:621.382.2 Г. В. НИКОНОВА

Омский государственный технический университет

ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ФАПЧ ПРИ УСТАНОВКЕ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ С УПРАВЛЯЕМОЙ ТОЧНОСТЬЮ_

Дана оценка поведения системы ФАПЧ в устройствах с самонастройкой и слежением за электрическим сигналом в области ультравысоких частот.

Исходя из современных тенденций развития методологии измерений, следует отметить значимость средств измерений с управляемой точностью для областей науки и техники, сложных в исследовании и реализации. Измерительные приборы интегрируются в высокопроизводительную информационно-вы-

числительную среду посредством сети (в том числе Internet), что определяет эффективность развития конкретной области. Базы данных такой среды пополняются сообществом пользователей, и затем в соответствии с объектом измерений и воздействий выбирают аппаратуру, методы и режимы измере-