Поля геометрических объектов h -распределение проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ H -РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Будылкин Андрей Александрович

аспирант Балтийского федерального университета имени И. Канта, РФ,

г. Калининград E-mail: AndreyBudylkin@rambler. ru

FIELDS OF GEOMETRIC OBJECTS H -DISTIBUTION OF PROJECTIVE

SPACE

Budylkin Andrey

graduate student of Baltic federal university of I. Kant, Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

Дано задание H-распределения в Pn [7]. Рассмотрены поля геометрических объектов в дифференциальной окрестности 1-го порядка [3], [4]. Построены нормализации в смысле Нордена [5] и квазинормали [6] основных структурных подрасслоений H-распределения, в дифференциальной окрестности 1-го, 2-го порядка. Изучение H-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями специальных классов регулярных гиперполос [2] [8], гиперповерхностей и гиперполосных распределений [9]. Работа выполнена методом Лаптева Г.Ф. [3] Индексы:

T,J,K,... = 0,n;I, J, K,...= 1,п;а,р,г,...= 1,п — 1;i, j, k,...= 1 ,m; a,fi,y,...= m + 1, n — 1.

ABSTRACT

Given a presentation of H-distribution of Pn [7]. Considered fields of geometric objects in the differential neighborhood of the 1st order [3], [4]. Built normalizations[5] in the sense of Norden and kvazinormali[6] of the main structural subbundles, in the differential neighborhood of the 1st, 2nd order. Study of H-distributions is important, because these images are generalizations of the special classes of regular hyperbands [2] and hyperband distribution [9]. Work performed by G.F. Laptev [3] Indices:

T,J,K,... = 0, n;I, J, K,...= 1,п;а,р,т,...= 1,n — 1;i, j, k,...= 1 ,m; a,fi,y,...= m + 1, n — 1.

^ created by free version of

ê DociFreezer

Ключевые слова: распределение; тензор; квазитензор; нормализация; квазинормаль; геометрический объект.

Keywords: distribution; tensor; kvazitensor; normalization; quasinormal; geometric object.

§ 1. Задание H-распределения в n-мерном проективном пространстве

Определение, Скомпонованным гиперплоскостным распределением (H-распределением) [7] называется гиперплоскостное Н-распределение, в каждом центре Х которого зафиксированы две плоскости Лт(Х), Ln-m-i(X) такие, что выполняются соотношения:

[Ат(Х), Ln-m-1(X)]=Hn-1(X), Ат(Х)П Ln-m-1(X)=X .

Присоединим к образующему элементу H-распределения проективный репер R0={A0, AI} следующим образом: X=A0,{Ai}cA(A0), Аа Е L(A0), An g Hn-1.

В репере R0 H-распределение задается следующим образом:

, .п _ лп , Ж , .п _ \п , Ж , .а _ ла , Ж , А _ Aí , Ж

VhniK + ЛПКЫО - 8ПЫ - ЛПкЬЫ, + ЛакЫ°+ЛПкЫа - - ЛакЫ, (1) ^КсК + КсК^О - дК^а — ЛПакьЫ, ^Л1ак + ^K^O+^K^i - ^К^ - ^аКЬ^ -

Функции, стоящие в правых частях равенств, вообще говоря, являются несимметричными по нижним индексам.

Совокупности функций Г1=(лак, Лак, Л°аК, ЛКК},

Г2={Г

1, Л1аКЬ, Лакь, ЛаКЬ, ЛпКЬ} образуют фундаментальные объекты [2] 1-го и 2-го порядка H-распределения. Продолжения уравнений (1) вводят в рассмотрение фундаментальные объекты более высоких порядков Г1сГ2^Г3^Г4с. Имеет место теорема существования H-распределения [1]:

Теорема 1. В n-мерном проективном пространстве в репере R0 гиперплоскостное скомпонованное распределение задается с произволом (2m+1)(n-m-1)+m функций от n аргументов.

created by free version of

DociFreezer

§ 2. Построение полей геометрических объектов Н-распределения в дифференциальной окрестности первого порядка

В дальнейшем будем рассматривать Н-распределение, для которого в каждом центре А0 плоскость Ьп-т-1 сопряжена с плоскостью Лт относительно главного фундаментального тензора, т.е. выполняются условия

Лпш = 0; Апа1 = 0. (2)

В этом случае компоненты тензора Л™р будут иметь следующее строение

п

ор\

Л о 0Лпар

Мы рассматриваем регулярное Н-распределение [8], для которого тензор Л^р невырожденный, т.е. аег\\Л%\\±0. (3)

Следовательно, в силу (3) для тензора первого порядка введём обращенный ему тензор {Л^} [3], удовлетворяющий следующим соотношениям и уравнениям:

Аналогично, для соответствующих главных фундаментальных тензоров Л-,Ь-, подрасслоений {Л™у], {Л™?} вводим обращённые им соответствующие

тензоры {Л1^], {Л*?} такие, что

Ап А1к _ як Ап А$У _ гУ иач дО" .0 _ ач упАаР Аав о _ Аав к

Л11Лп =д1,ЛаВЛп = да,УЛп- Лп^0 = ЛпК^ ,УЛп - Лп ^0 = ЛПК^ '

Следуя работе Остиану Н.М. [6] вводим соответсвия Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода соответсвенно Н-,Л-, Ь- подрасслоений:

где

¿о — — АЧгрШп — — ^ксок,

% = ~КгР£р > + КгР(0Р + шп = ЬпКшК>

Ч « К? - А^к ~ й>? = 4оЛ 4 = , + А1»3 + ч

^ <1еГ ДП Г7*-0 дп ., .0 _ , .К са = лап» *Га - ЛаоО)п - й)а - 1аК0) ,

^пк^ <

+а _ \аР + Т7+СС I , >0 I , .а _ +а . .К

Н ~ ~Ап > + Ап Ыр + 0)п - 1пК(х) ,

Р

+ — —\п + — _ДП + — — Лп 4-Р

11 — лц 1п, I,а — !\ар1,п,1а — лар1,п.

С учетом условий (2) уравнения (1) примут вид:

+ Ларш0 + ЛП1ршП — ЛарКш0,ЧЛа + Лаш0 - — ,

а]

ЧЛап + ЛапК0 + Ксп^п - Ларшп - Ла]ШП — ЛапК,

^ЛЛап + Ксп^О - КА - Ка — КтО^О , + ЛЪК0 + Щ^п — К

(7)

УАап + АапЫо + Лпшп - лцшп - л1рштг — лапкшК

К

Щр + лар< - 8^0 — Лат< члп + — ЛЪк<*К. Щп + ЛМ - ЦК - — ЛппкшК.

Введём нормализацию в смысле Нордена [5] для Л-подрасслоения.

Определение. Л-подрасслоение назовем нормализованным в смысле Нордена, если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей первого рода Ып-т и нормалей второго рода Nт-1:

V ^^ + = у[кСОк , (а) V уу + а? = У«КЮК, (Ь) (8)

причём в каждом центре А0 нормаль первого рода Ып-т=[Л0, Ла,Хп] проходит через плоскость Ьп-т-1^Н(Л0).

Условие инвариантности нормали Кп-т, где Хп — Ап + + У%Аа, приводит к соотношению (8а). Если потребовать, чтобы прямая И=[Л0,Хп] была инвариантной, то кроме (8а) получим условие

УУ« + < = (9)

Уравнения (9) выполняются, если охват объекта {V«} осуществить с помощью квазитензора [А«}: А« = ^Л^ЛП. В дальнейшем считаем, что прямая

И=[Ло,Хп], где Хп — А« + уп,А[ + АПАа, инвариантна. Нормаль второго рода Кт-1

о - »-.01

* * * 0 где функции К}

плоскости Л(А0) задаётся точками * * 0, где функции

удовлетворяют уравнениям (8Ь). Если охваты квазитензоров осуществить по формулам

у1п = А1п,А1п = п_11_1Л1арЛ^1а,уь = Я¿ , Л£ = -ЛуЯ^ - ^ , где VАП + ы1п — А\гкык, УА0 + — А0кык,

то к Л-подрасслоению в дифференциальной окрестности первого порядка внутренним образом присоединяется нормализация в смысле Нордена (А1п, Рассмотрим функции д — — ^ Л«а, удовлетворяющие уравнениям

Уд0 + ы0 — -д0кык. Эти уравнения определяют поле нормалей второго рода для Л-подрасслоения. В силу биекции (5) полю нормалей второго рода соответствует поле нормалей первого рода Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности первого порядка:

д1п = -Л^ + ^ Щ + 0)1п=

Введём нормализацию в смысле Нордена [5] для Ь-подрасслоения.

Определение. Ь-подрасслоение назовем нормализованным в смысле Нордена [5], если к нему инвариантным образом присоединены поля нормалей первого рода Ыт+1 и нормалей второго рода Ып-т-2 :

+ = + ^ = У°аКык,

причём в каждом центре А0 нормаль первого рода Ыт+1=[Л0, ЛиХп] проходит через плоскость Ат^Н(Л0).

В силу биекции (6) полю нормалей 1-го рода (Я£+ ^ = ) соответствует поле нормалей 2-го рода Ь-подрасслоения:

ха = -л^оЯ^ - га , \7Л° + а)а = л°аКо)к.

Функции (ра = --^Л1а1 удовлетворяют уравнениям

4<р° + < = ф0ак"К. (*)

Следовательно, квазитензор {сра } в каждом центре Ао определяет нормаль второго рода для Ь-подрасслоения. В силу биекции (6) полю нормалей 2-го рода (*) соответствует поле нормалей 1-го рода Ь-подрасслоения в дифференциальной окрестности первого порядка:

<р" = -Л 1Р<рр + Х*91<р* + (>% = <р5к<*К-

Теорема 2. В дифференциальной окрестности первого порядка Н-распределение внутренним образом порождает нормализации

); (Кг, ^ А-подрасслоения и нормализации (ср%, (ра )> п> Л* А ^~ подрасслоения в смысле Нордена.

Квазитензоры {Ah}, {&П} функционально независимы, поэтому они определяют пучок нормалей первого рода Л-подрасслоения и по биекции (5) пучок нормалей 2-го рода:

sil(s)=Ain + £(K-Ain),si (e) = Ai -^).(Ю)

Аналогично, для L- подрасслоения получим пучок нормалей 1 -го рода и по биекции (6) получим пучок нормалей 2-го рода

Чп О) = К + - Ча О) = К +z(<Pcc - К )■ (11)

Совокупности функций [Ah] — {Alh,Ah}, l^hi) — {^^п}, определяют поля нормалей 1-го рода Н-подрасслоения:

VAh + = AhKvK, ЧдЦ + = (12)

Поля (12) в силу биекции (4) порождают поля нормалей второго рода Н-подрасслоения:

VA° + й)° = Л%кшк, + ша = даКа)к. (13)

Построенные поля (13) порождают пучки нормалей 1-го и 2-го рода Н-подрасслоения:

sZ(£) = Л°п + г« - А£), qa (г) = Ха + г [ва - Ха ). (14)

Теорема 3. В дифференциальной окрестности первого порядка H-распределение внутренним образом порождает в каждом центре А0 пучки нормалей 1-го и 2-го рода (10), (11), (14) соответственно Л-, L-, Н-подрасслоений.

§ 3. Квазитензоры и квазинормали H-распределения в дифференциальной окрестности первого порядка

created by free version of

DociFreezer

Согласно [4], систему величин |Ка | назовём квазинормалью Н-распределения, если при преобразованиях стационарной подгруппы элемента распределения имеем один из следующих законов преобразования |Ка |:

VSKG + KGn0 = +

VôKa + Кап0 = Миарпри + /ли*, (15) VsKa + Кап00 = ЛА£ап* + wS,

где X, ц — постоянные числа, не равные нулю.

I. Квазинормали и нормали, ассоциированные с L-подрасслоением

Учитывая уравнения (7),(*), построим следующие квазинормали в дифференциальной окрестности первого порядка.

is С1) _ f V7 isW I I^WttO _ лп ti-P I -0.

Ka - la I V<A + n0 ~ ларпи + ^

<2) = i (ta - ЛД + <2)тг0° = \ Aipni + тт°; (16)

Ka3 = Xa — Ла£ХИ, + = Ла£пп — na ;

_ f Лn XI V^ -U - ?ЛП тг^тгО

- la ~ Аа/?лп> vôKa + Ka n0 ~ ¿Accpnn + na ■

Один из способов получения инвариантных нормалей { v^}, [иг ] 1~го и 2-го

родов H-распределения заключается в нахождении общих нормалей (в общем случае единственных) двух квазинормалей. Например, для L-подрасслоения имеем следующие построения в дифференциальной окрестности первого

порядка. Пара (К^, К^) определяет инвариантные нормали

1

= —1tff + К™), Vin = InK^1

1>сс = 2 ~~ I ^а + = &

В дальнейшем это соответствие будем обозначать следующим образом:

а. (К®,- {К = + л* =\- 41')},

б. (К®. К®) - {Hg = 2Л5" - 4«), = К® - 2*®},

в. (К®, К®) - {NS = Af (4« - К®), па = - 2JT® },

г. (к®, к®) - « = f л* (к® -к?).Ра = i(44) -

д. - саг = (к®+к®), 4 = ¿№® - 44')},

е. (К®, К®) - W = (А"® + Kf),Va = i(43) - 2*®)}.

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 1 -го порядка H-распределение внутренним инвариантным образом порождает шесть

нормализации (L£; la ), (Н£; Ла ), (N£; ), (Р®; ), (Е£; ^ ), у/а ) расслоения.

II. Нормализации, ассоциированные с Л-подрасслоением H-распределения

В силу уравнений (7) получаем следующие дифференциальные уравнения квазинормалей Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1-го порядка:

Q(1) = t„VsQ(1i + Q(1)ng = Л^П + п?. Q(2) =1(t,- Л,), V,q(2) + Q^wg = 1 Л^ + ng, (17) Q(3) = Л, - Л^п, V&f + Q<?\g = Л?п'п - ng, Q(i} = VeQ(4) + Q(4)ng = 2ti>,n'n + ng .

Квазинормали (17) порождают следующие пары нормалей 1 -го и 2-го рода Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1 -го порядка:

а. (<?,®, (?,®) - {Ü » « + <?f).h s ;(<?,0) - <?,(1))}'

б. ((?® Q,®) -» {н< Ш 2Л\! (<?® - Q® ), ht 'S Q® - 20p'},

B. (3,®) - (N- S Ml (<?® - , щ Ш (?® - 2Q®},

г. (<?®, <?®) - 1П в(<?,® - <?<«) ,р( в 1 «?<« - 4<?®)},

Д. (о,®.<?,(4)) - {н< »- V (<?® + <?®).» \(2<г® - <?«)}. е. <л\2',(/г ) -* {П = (<?® + <?®)' = - 2<}\Я)}-

Итак, справедлива

Теорема 5. 5 дифференциальной окрестности 1 -го порядка Н-распределение внутренним инвариантным образом порождает шесть

нормализаций (Ь1п; ^ ), (Н^; ), (Ы^; п^ ), (Р^; р^ ), (Е^; ^ ), (Ч^; ^ ) А-подрасслоения.

§ 4. Построение квазинормалей и нормалей основных структурных подрасслоений в дифференциальной окрестности второго порядка

I. Так как Л-подрасслоение невырождено, тогда

ае = Л0 Ф 0. (18)

Дифференцируя (18), получим

аЫЛ0 = 2с\ - т(о} + С) + Лкск, (19)

где Лк = Л} Л^к .

Продолжение уравнения (19) с учетом (7) приводит к уравнениям

а Лк + ЛС - ЛсК + (т + 2)(б1кы° - А}^}) + - ЛпакО = 0.

(20)

Отсюда при K=i, в частности, получаем уравнение

dAi + Atœ0 - Ajo[ -(m + 2)(A7-iœ^ - œ\) = 0,

которое при фиксации центра А0 H-распределения примет вид

^ created by free version of

ê DociFreezer

V 8Л 4 + Л + (т + 2)(Я0 - Л^П) = 0, (21) Таким образом, совокупность функций

е(5) = -а л , + = Л14 -

определяет в дифференциальной окрестности второго порядка квазинормаль, ассоциированную с Л-подрасслоением. Полагая К= а, из (20) получаем

аЛа + ЛаФ0 - - тЛраО^ + тф = Лак®к• (22)

Введём в рассмотрение функции

45) = - Ла, (23)

которые в силу (22) при фиксации центра А0 Н-распределения удовлетворяет уравненям

V ^ + 45)< = Л^а^п - • (24)

Из (24) следует, что совокупность функций {^а5)} есть квазинормаль 2-го

порядка Ь-подрасслоения.

II. Аналогично п.1, учитывая, что Ь-подрасслоение невырождено, т. е.

аег\\лпар\\ Ф 0, (25)

и дифференцируя (25), получим

й1пЬ0 = 2ф°а-(и-т-1)(фпп + Ф0) + ЬкФк, (26)

где ^к =Л аларк •

Продолжая уравнения (26) с учетом (7), получим

VLK + (п — т — 3)(%о°а — ЛкС) + (п — т — 1)(&0°t — ЛПкС) = 0. (27) Из (27) при K=i, К=а находим

VL0i+(n — m — 1)(о° — ЛПсП) = LkC, (28) VL°a + (п — т — 3)(с0а — ЛПаС) = LaC . (29)

Функции

Q(6) ка6 ^ —1—La (30)

Xi n-m-l i a n-m-3 a v 7

при фиксации точки А (центра H -распределения) в силу соответственно (28),(29) удовлетворяют уравнениям

V sQl6) + Q(%g = ЛПп1 — nf, (31) V SK^ + ка%$ = ЛПапП — n0 . (32)

Согласно определению (15) из (31),(32) следует, что совокупности функций {Q(66 },{Ka6)} образуют квазинормали в дифференциальной окрестности 2-го порядка, ассоциированные соответственно с Л - и L- подрасслоениями.

III. Используя квазинормали (17) и (21), (31), вводим нормализации Л-

i

подрасслоения, при условии, что тензор неголономности гП = ^ Л ~ ЛП^ равен 0.

(<?,(1), <?,(5)) - {<Л - i (ö,(1) - <?,(5)) ап''=' - \ (<?» - <?,№))}' (<?<», Q<«) {si S -i(<?,(1) - Q?) als, Ш-\(<?« - <?<«)}. (33)

С помощью квазинормалей (17),(21),(28) находим в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля нормалей 2-го рода внутренним образом присоединенных к Л-подрасслоению:

= | («Г5 - ■ ^ = ;И6,-<?,(4,).(34)

3\21 х1 3\2

Функции (34) удовлетворяют уравнению типа Чу0 + ы0 = У0КыК . По биекции Бомпьяни-Пантази (5) для нормалей (34) 2-го рода получаем соответственно нормали 1-го рода Л — подрасслоения:

^П> ^П>

71 — — А^ 7 4- — — А^ £ 4- ^

^п Лп^] +и Лп$ у +и п,

9п = + £п>Уп = + ¿п-

Теорема 6. Н-распределение в дифференциальной окрестности 2-го порядка внутренним образом порождает два поля нормализаций

((?п> Чь ) > ^ А-подрасслоения, если тензор неголономности равен нулю

т.е. г-у =0, и шесть полей нормализаций в смысле Нордена

(е^ ){д1п.Яч ),(у1у1 ),еслиг£*0.

IV. Если тензор неголономности Ь-подрасслоения г Лр — Ло)

п ъг(1) 1гЛв)

равен 0, то можно, используя квазинормали К^ , К^ , К^ , построить нормализации | Ь-подрасслоения в дифференциальной

окрестности 2-го порядка:

(*<», к?) - (ад а - \ (к™ - к®) a?, ka a § (*<» - )},

(*<», ) - {s?f Ш - \ (4» - К<?) af, Stt « i (*<» - *<«)}■

Если тензор неголономности L-подрасслоения Ф 0, то нормалям 2-го

рода

£а = з - >К = з -

^ (5) (2)^ ^ (6) (2)^

= 3 \2 J'y* =3\2Ка ~Ка )'

в биекции Бомпьяни-Пантази (6), соответствуют нормали 1-го рода L-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка:

са — _\аР с i +а о а _ _\аР и \ +а °п = лп ьр + 1 п, нп = лп пр + 1 п,

па _ _ /\аР v i i-a а _ _\аР с \ fa

Zп = лп ¿/3 + ип,^п = лп S р + ип,

бп - -Kf&p + *п>Уп - + fn-

Функции (35) удовлетворяют уравнению типа Vv¡0 + = У0кык . Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка Н-распределение внутренним образом порождает две нормализации Ь-

подрасслоения (Кп> ка ) * {^п > если тензор неголономности Ь-

подрасслоения равен нулю, и шесть нормализаций в смысле Нордена

(£« га ), ( Н« К ), ), (н£, ), д>а ), (у*, уа ), если г^ Ф 0.

Список литературы:

1. Будылкин А.А. Естественные и математические науки в современном мире. г. Новосибирск, — 2015, — № 2(26), — с. 24—33.

2. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос. Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу — 1950. — Вып. 8. — С. 197—272.

3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований. Тр. Моск. мат. об-ва. — 1953. — Т. 2. — С. 275—382.

4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. Тр. Геометрического семинара. ВИНИТИ. — 1971, — Т. 3, — с. 49—94.

5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. — 432 с.

6. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. Тр. Геометрического семинара. ВИНИТИ. — 1973, — Т. 4, — с. 7—70.

7. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. Монография. Санкт-Петербург. Из-во С-Петербургского университета, 1972. — 172 с.

8. Попов Ю.В., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространства. К-д, 2011. Учебное пособие, из-е 2-ое, БФУ им. Иммануила Канта, — 122 стр.

9. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов. В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., — 1975, — Т. 7, — с. 117—151.