Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНВАРИАНТНЫЕ НОРМАЛИЗАЦИИ СКОМПОНОВАННОГО

ГИПЕРПЛОСКОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО

ПРОСТРАНСТВА

Будылкин Андрей Александрович

аспирант Балтийского федерального университета имени И. Канта, РФ,

г. Калининград E-mail: AndreyBudylkin@rambler. ru

INVARIANT NORMALIZATION COMPOSITED HYPERPLANE DISTRIBUTION OF PROJECTIVE SPACE

Budylkin Andrey

graduate student of Baltic federal university of I. Kant, Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В статье приведено задание SH-распределения, доказательство теоремы существования в репере нулевого порядка. Получены инвариантные нормализации и соответствия Бомпьяни-Пантази основных структурных подрасслоений. Изучение SH-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями теории специальных классов гиперполос [7] и гиперповерхностей, а также гиперполосных распределений [8], которая имеет приложение в вариационном анализе, физике, механике [1], [2], [9]. Работа выполнена методом Лаптева Г.Ф.[3] Индексы принимают следующие значения: i,j,k,...= 1 ,т; a,fi,...= m + 1 ,п — т — 1; а,р,...= 1 ,п — 1; I,J,K,..= 1 ,п; /,/, К,...= 0/п.

ABSTRACT

The article gives the task SH-distribution, the proof of the existence in the frame of order zero. The invariant normalization and matching Bompiani-Pantazi major structural sub-bundles. The study of SH-distributions is relevant, because these images are generalizations of special classes hyperbands and hypersurfaces, and hyperband distribution, which has application in the analysis of variance, physics, mechanics. Work performed by GF Laptev method. The indices have the following values: i,j,k,...= 1 , m; a,fi,...= m + 1, n — m — 1; a,p, ...= 1 , n — 1; I,J,K,.. = 1, n; I,J, К ,...= 0/п.

Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |

Ключевые слова: распределения; тензор; квазитензор; нормализация. Keywords: distribution; tensor; kvazitensor; normalization.

§ 1. Задание скомпонованного ^^-распределения проективного пространства Рп в репере Яо. Теорема существования

В проективном пространстве Pn рассмотрим тройку распределений плоскостей: Л — распределение m — мерных плоскостей Лт = Л; Ь — распределение (п-т-1) - мерных плоскостей Ln-т-1 = L; Н — распределение гиперплоскостей Нп-1 = Н, элементы которых в каждом центре удовлетворяют соотношениям:

^(А);Л(А)]=Н(А); Ь(Л)ПЛ(А)=А. (*)

Определение. Тройка распределений плоскостей Л-, Ь-, Н-проективного пространства Рп, удовлетворяющая условиям (*) называется скомпонованным гиперплоскостным [6] распределением (или коротко 8И-распределением). Выберем подвижной репер пространства Ко={ Ау}(0-го порядка), ассоциированный с 5И-распределением:

А = Ао, {^}с Л(Ло), {Аа}с Ь(Ло), Ап € Н-1(Ао).

Ж-распределение в этом репере Я0 задается дифференциальными уравнениями:

шП = ЛПкык, ыП = ЛпаКык, < = Лашык, ш? = ЛаКшк. (1) члпк + ЛПк^0 - 6Пи0 = ЛПкьШ1,

ЧЛПак + Лпаки0 - 6ПО>0 = Лпакьш1, (2)

Щк+лакио - 8^0+лпк< = лп^,

УЛак+Лакш0 -8кшсс+ Кск^п = Кхкь^1,

где функции ЛаК1, Л™К1, Л™кь, ЛПК1 не симметричны по нижним индексам

К,Ь.

Имеет место теорема существования БИ-распределений:

Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве скомпонованное гиперплоскостное БИ-распределение в репере нулевого порядка существует с произволом ((2т+1)(п-т-1)+т) функций п аргументов. Замыкание системы (1) можно представить в виде:

АЛп1К Ашк = 0, АЛпаК Ашк = 0,

АЛаК Ашк = 0, АЛаК Ашк = 0. (3)

Определим характеры этой системы:

81= 82= 8п=Ш+(2Ш+1)(П-Ш-1)^Б, Подсчитаем число Картана для этой системы [10]

0=81+282+.. .+^п= (1+2+...+п)В-п(П2+1)Б. Разрешим систему (3) по лемме Картана [10]:

ЬЛПШ = ЛПкьЫ1, АЛПак = ЛпакьО, Щк = =

Найдем число линейно-независимых функций, стоящих в правых частях этой системы. Их число равно Ы=Бп(п+1). Так как 0=К, то система (1), (2) находится в инволюции[10]. Решение этой системы существует, и произвол её определяется характером 8П . Геометрические объекты Г1={ЛПК,Лак,Лак,Л1аК}, Г2={ Г1, ЛГПК1, Лакь, Л<акь, Л1аКЬ } являются фундаментальными геометрическими объектами[3] БИ -распределения.

§ 2. Инвариантные нормализации основных структурных подрасслоений »^-распределения

1. Из уравнений (2) следует, что совокупности функций [Л-}, {Л^ }, [Л™р } = } образуют в силу строения ^-распределения невырожденные фундаментальные тензоры 1-го порядка соответственно Л-, Ь-, Н-подрасслоений:

Щ + = Л71^1, ^ + ЛЦ^О = Л^О, + Л»рю0 = (4)

для которых можно ввести обращенные фундаментальные тензоры 1-го порядка, удовлетворяющие соответсвенно условиям:

л?;Л7 = 8?,Л7ЛП = ¿¿^-л^О = 0,

л7^ = 8Уа,Л1арЛ7 = - =0,

ЛПарЛрпт = 81,Л%ЛП = 6^Лпар - Л*ро0 = 0.

2. В каждом центре Ао нормаль 1-го рода Ып-т(А0) образующего элемента Л-подрасслоения определим следующим образом:

Ып-т(Ао) = [Ьп-т-7(Ло), Ьп], Ьп=Ап + + <Аа.

Требование инвариантности плоскости Ып-т(А0) приводит к уравнениям:

УУП + оП = у7пкОк, (5)

а на величины {у^} это требование никаких условий не накладывает. Однако если потребовать инвариантность прямой 1(у) = [А0,Ьп], то величины [уПа} должны удовлетворять условиям

уупа + оаа = упкок. (6)

Охват квазитензора {у£} (6) можно осуществить таким образом: у7% = &а,

где

£ * , VЛf;+Лf^0 + лда = л^Х.

В дальнейшем будем считать что прямая ¡(у) = [До, Ьп] инвариантна, т. е. в качестве точки Ьп можно взять

^п С17) — Ап + т^А^ +

где величины (у^} удовлетворяют уравнениям (5). Задание поля квазитензора (у^} определяет поле поле инвариантных прямых /(у) = [Ао, Ьп(у)], а следовательно, поле инвариантных нормалей 1-го рода Ып-т(у) = [Ьп-т-1, Ьи(у)]. Подразумевая это, мы в дальнейшем под полем инвариантных нормалей 1-го рода Л-подрасслоения будем понимать поле соответствующего квазитензора }. В репере уравнения инвариантной нормали 1-го рода Ып. т(у) запишутся в виде:

х1 — = 0.

Пусть нормаль 2-го рода Ыт-1(у) плоскости Л(А0) натянута на точки Требование

инвариантности нормали Ыт-1(у) равносильно тому, что величины (V0 }удовлетворяют уравнениям:

К + а>? =

3. Зададим инвариантное поле нормалей 1-го рода Ып-т= [ЦАо), Ьп (А0)] задано полем квазитензора (}. Следуя работе [4], с учетом формул (1), (2), (4), (5) найдем фокальное многообразие Ф™-т-1^,Л) с Ып-т(До):

X = 0, <1еф}х0 + (у^ — Л^Дх* — (Л^ — = 0, (7)

полученное при смещении точки Ао вдоль кривых, принадлежащих полю Л - плоскостей. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия (7) есть плоскость

где

Яп-т-1(А0): = 0, х° — - у%хп = 0, (8)

1 1 у° = - - - л>А), у° = - - (уп - л^М),

>а + <= У°аК^К, Vv£ + - + < = УпкЫК.

Плоскость /Сп_т_1(А0)(8) пересекает:

а) плоскость Ь(Ло) по её нормали 2-го рода Ып-т-2(Ло):

х* = 0, хп = 0, х° - у°°ха = 0; (9)

б) прямую 1(у) = [А0, Ьп (у)] в точке Кп

Кп ■<

а а п

Л Л

п

х1 = у^хп,

(10)

х

°

= (Уп + Уа^а)х

п

4. Пусть задано поле нормалей Нт+](Ло) 1-го рода Ь-подрасслоения, т. е. задано поле квазитензора {у^г}. Здесь

Мт+1(А0) = [Л(А0), £п =Ап + ^ + у«Аа],

где

£П ^ 1ла^лПа, + < = 0.

Аналогично, следуя работе [4], с учетом формул (1), (2), (4), (5), (6), находим фокальное многообразие Ч^-™-1^, Ь):

хп = 0, йа

+ (<р - ЛпарУ%У%)хп - (ЛЧр - —0, (11)

полученное при смещениях точки А0 вдоль кривых, принадлежащих Ь-подрасслоению. Линейная поляра точки А0 относительно многообразия Nт+1(А0) есть плоскость

Кт(Ао): ха = 0,х° — - у0хп = 0, (12)

где

1 1 = -п-1-! (лПп - лПпО. М0п = -П_т_1 (гПп - лп^).

и,,0 / — / \К и<10 _1_ ,0 „0. л i . .0 _ ..0 , .к

Плоскость Кт (А0) (12) пересекает:

а) плоскость Л(А0) по ее нормали 2-го рода (А0):

хп = 0.хп = 0. х0 - у0х1 — 0; (13)

б) прямую £(у) = [А0, £п (у)] в точке

ха — уПхп.

К*-<

Кп- {

х1 — £1пхп. (14)

х — (уп + у1&п)х •

Следует заметить, что плоскость Кп_т_1(А0) (8) является плоскостью Картана для образующего элемента Л-подрасслоения, а плоскость Кт (А0) (12) является плоскостью Картана для образующего элемента Ь-подрасслоения, в данном центре Ао. Точки Кп , соответсвенно назовем V — виртуальными точками Картана прямых ¡(у), 1(у).

§3. Соответствие Бомпьяни-Пантази

1. Плоскость Пп-1(А0) = [Ыт-1(А0)^п-т-2(А0)], натянутую на нормали 2-го рода (9), (13) соответственно плоскостей Ь(Л) и Л(Л), является плоскостью Нордена-Тимофеева неголономной композиции (Л , Ь) [6]:

хп = 0,х0- у°ха - ^0х1 = 0, (15)

а с другой стороны плоскость Пп-1(А0) (15) — нормаль второго рода Н-плоскости в точке А0. Введем в рассмотрение функции Лп = ЛПп, которые удовлетворяют уравнениям (при фиксации точки А0):

У5Лп + ЛпяЦ = -ЛПрП? - пП. (16)

Из (16) следует что совокупность функций {Лп} образует квазинормаль [4], [8] Н-подрасслоения. Согласно работе [5] соответствие Бомпьяни - Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Н-подрасслоения имеет вид

= -ЛПРУ% + Л0п. (17)

Разрешив уравнения (17) относительно у^ получим

где

уПП = -ЛПрУ0р+ЛпП ,

Л£ = -Л°рАр , УК + <рсор + а)£ = Л^а)к С помощью квазинормалей[8]

л* = л* -ЩаУп,+ Л; 0)5 = -л*^ -0)1

Аа=Аа- Апауп- УАа + Аа = -Апаро)^ -

введём в рассмотрение функции

К, = л^л*; vлín + 4 + = о,

К = Аап% ; \7Л" +< + = О,

и затем устанавливаем:

a) биекцию Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения:

^ = -Л>0+Л4,р0 = -Л?/^+ Л0;

b) биекцию Бомпьяни-Пантази между нормалями 1-го и 2-го рода Ь-подрасслоения:

у« = —Л* у* + Л1, у° = —Лпа^ + Л0а.

Если охваты нормалей 1-го и 2-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений представить следующим образом

уа = па у = Ы уа = ра

тогда охваты функций

я0 —--1— (л? — Л" 0а) я0 —' — — (Л • — Лп -0* ) Я0 - Л0 — Лп 0р

определены в дифференциальной окрестности 1 -го порядка, а охваты функций

1 1

к0 —__(Ы — лп Ы рА р0 —__[па — лПрарРЛ

1 — т т л4рпрп),рп — П_ггг_^\рпа ларрпрп),

определены в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Из (17) следует,

что

р0 _ — лп pß + л0 р0 — — Änpj + л0

В результате приходим к следующему предложению:

Теорема 2. SH-распределение в дифференциальной окрестности 1-го порядка порождает внутренним инвариантным образом нормализацию Нордена-Тимофеева (Р£,Р°) Н-подрасслоения, нормализации Нордена (Р1п,Р0), (РП,Ра) соответственно Л- , L-подрасслоений, а в дифференциальной окрестности 2-го порядка поля v- виртуальных точек Картана Кп _ Ln + k°A0, КП _ Ln + 1ПА0 и поля плоскостей Картана Kn-m-1(A0) _ [К°;Аа — PaA0], К™(Ао)_[КП;А^Р0Ао].

Список литературы:

1. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по вектор-н. и тензор-н. анализу/ М. — 950, — вып. 8, — с. 197—272.

2. Гохман А.В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем.// Тр. геометр. семинара. /ВИНИТИ, — 1966, — Т. 1, — с. 111—138.

3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциальнно-геометрических исследований // Тр. Моск. Мат. Об-ва. — 1953. — Т. 2. — С. 275—382.

4. Лаптев Г.Ф. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. Семинара /ВИНИТИ АН СССР — 1971. — Т. 3. — С. 49—94.

5. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространсве. // Тр. геометр. семинара/ВИНИТИ АН СССР. — 1973. — Т. 4. — С. 71—119.

6. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного

пространства: Монография//Из-во С.-Петербургского ун-та, 1992. — 172 с.

7. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространство. Учебное пособие, издание 2-ое. Изд-во БФУ им. Им. Канта, Калининград, 2011. — 122 с.

8. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов. В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М., — 1975, — Т. 7, — с. 117—151.

9. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос// Проблемы геометрии. ВИНИТИ — 1978, — Т. 10, — с. 25—54.

10. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана М.-П. ГИТТЛ, 1948. — 432 с.