Получение математической модели промышленной системы управления натяжением бумажного полотна на основе двигателя постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Получение

математической модели промышленной системы управления натяжением бумажного полотна на основе двигателя постоянного тока

Б.Р. Хамитов,

магистр гр. ДЦау М 6-1,

Ю.В. Щербина,

д.т.н., профессор

Рассмотрим структурную схему системы управления натяжением [1], изображенную на рис. 1, и перейдем к созданию математической модели данной системы.

Рис. 1. Структурная схема системы управления натяжением ленты рулонным тормозом на основе ДТП

На схеме также использованы следующие обозначения и сокращения: ДР - датчик текущего радиуса рулона, ДН - датчик силы натяжения ленты, ДПТ - двигатель постоянного тока, РД - редуктор, ТГ - тахогенератор, ТП - тиристорный преобразователь, БУ - блок умножения, МУ - масштабный усилитель, РЮ1 - регулятор натяжения, РЮ2 - регулятор угловой скорости.

Вначале определим математические модели каждого элемента входящего в эту систему, используя дифференциальные уравнения рулона, амортизатора, участка бумажной ленты и двигателя постоянного тока.

Ниже приведены дифференциальные уравнения и передаточные функции каждого элемента:

1. Уравнение динамики рулона выглядит следующим образом:

■^-ирЮр) = Ь>Еб&о -Мт, (1)

' трР2 '

У = р -У -У -У (2)

-'р 2 рк р3 Я'

где Урк, кг-м2 - момент инерции пустой части рулона; Урз, кг-м2 - момент инерции рулонной зарядки; У кг-м2 - момент инерции ДПТ.

Подставив в формулу (3) значения массы рулона тр получаем:

' = кЬр2УР2 гсЬурк + , + , Юд = лЬр4у + ур = 2 2 + Урз+ = 2 + Уо,

р

где Ь, м - ширина ленты; р, м - радиус рулона; у, м - толщина ленты.

1=1 I 2 1=1 I 2 %Ьурк

У0 = Урз + УдГ - Урк = Урз + УдГ 2 .

Продифференцируем данное выражение и получим следу-

ющее:

С

сС

^Ьур4 Л к

V 2

- + Уо

с К 1+с УД |,

с-

2 Р

— 0 Р

лЬу С(р3КР) = лЬу ( 2к ( ор+ з Ср

2 ' С ~ 2 Г Ч 2л)' С+Р С

Изменение радиуса рулона во времени выражается через следующую дифференциальную зависимость:

СР= § К (з) = ---. (3)

ш 2л Р

Подставив данное выражение в уравнение динамики, получим нелинейное дифференциальное уравнение рулона:

2

лЬур2. + Jo О

Р2,

dt

—Ь5у-4

Л

2лр4

1/2 МТ

•V = ^^0--Т (4)

р

Установившийся режим размотки рулона напишем исходя из следующих условий:

dt

= 0; бо =8о; V = Ур;Мт = МТ.

Установившийся режим описывается следующим уравнением:

лЬур2 J0

\

2

Р2 ,

0АК

= Ь>ЕбАг0 -

dt АМТ Р '

7 — * У05^ V* Л

—ЬуУр

/

лр

•АИ=

(5)

где Еб, Н/м2 - модуль упругости бумаги; М, Н^м - тормозной момент.

После преобразований дифференциальное уравнение размотки рулона примет следующий вид:

0А V,

Тп--р-АК, = к • Ае0-кММт,

dt

vp - Ле

Здесь

(6)

Тр = 7

лЬУР + А . 2 +Р2

лЬур4 + 2 У0

— « 4^5^ V* Л |Ь5уИр

2 -Р у

—Ь5ур2 -

лр

лр

р —5^ V*

постоянная времени рулона;

ке = 7

5

2£к

3Ь5ур2 -

2./ 05 лр2

• к;

3у-

27 о 5 лр2

• к;

—■уЧ

коэффициент усиления по натяжению;

км = ~7

—Ь5ур2 705

2

лр

*

•V*

1

р

км :

—р ~ коэффициент усиления по тормозному мо-

менту. разом:

Математическая модель рулона выглядит следующим об-

Рис. 2. Математическая модель рулона

2. Пружинный амортизатор с масляным демпфером описывается следующим дифференциальным уравнением:

..-2 d2a da .

Та--^ + 2СЯТЯ — + а = к,еп (7)

а dt2 dt а0 (7)

Здесь:

Т = Уа

'а =.С | _ постоянная времени амортизатора;

У Спр'а к |2

Ча = 2| с _ степень демпфирования;

а\1Спр^а

. 2Ь>Еб

ка = С—^ _ коэффициент передачи амортизатора.

В данных формулах: ]а - момент инерции амортизатора; Спр - жесткость пружины; / - общая длина амортизатора; / - длина амортизатора до масляного демпфера; ка - коэффициент демпфирования.

Дифференциальному уравнению (7) соответствует передаточная функция:

ца(р) = , , ка-. (8)

аР тар2+2^атар+1 (8)

—. Участок бумажной ленты

Линеаризованное уравнение участка бумажной ленты имеет

вид:

°Аъ' + Ае, = + ку(А - А V) + Ае,-,

т

(9)

где Тл = - постоянная времени (или время заполнения) участка бу-

мажной ленты; кь =к =

1 + е

V

- коэффициенты передачи участка бумаж-

ной ленты по каналам «L. ^ е», « ^ е» и « V^ е».

, , ' ,+1 / / /

На рис. — представлена линеаризованная математическая модель участка бумажной ленты. Видно, что в динамическом отношении участок бумажной ленты представляет собой инерционное звено первого порядка. Это звено имеет постоянную времени Т. [2].

Рис. —. Линеаризованная математическая модель участка бумажной ленты

4. Двигатель постоянного тока

Теперь приступим к математическому описанию двигателя постоянного тока. Ток в цепи якоря связан с напряжением, приложенным к якорю, соотношением:

и= (Lяp+Rя)•Iя + Е (10)

где Lя - индуктивность цепи якоря, Rя - активное сопротивление цепи якоря; 1Я - ток якоря; Е- противоЭДС, пропорциональная скорости вращения, равна:

Е=Се • ю.

Отсюда ток якоря равен:

я=

и-Сею ЦяР+Ля).

*

Момент нагрузки: ЛМ=Мд-Мт.

Момент двигателя прямо пропорционален току, протекающему в якоре:

Мд = СМ -Я.

Передаточная функция двигателя выглядит следующим об-

разом:

ш (п) _Юрр __См__, ,

дУИ~ар)~ {(¿яр+Яя)(Ур+Ь) + СеСм]' <12)

Шд(р) ——-г. (13)

Д р2 + 2Сюдр + юд (|3)

Как видно двигатель можно представить в виде инерционного звена 2-го порядка. [3]

Для построения математической модели нужно учитывать следующие соотношения, связывающие передаточное число редуктора с основными параметрами двигателя и рулона:

, _ Юд _ Ид _ Мт

* =юр=ир=мд (14)

Следовательно, скорость и момент двигателя равны:

Мд

Юд _4з-Юр;Мд _ —Ид _0-р *

На основе этих математических моделей была построена следующая математическая модель системы управления натяжением на основе ДПТ (рис. 4).

В данной системе можно объединить рулон с ДПТ и представить их в виде одной передаточной функции. На следующей схеме была проделана эта операция, а также в эту систему был добавлен, в соответствии с функциональной схемой, блок управления угловой скоростью вращения ДПТ (РУС) (рис. 5).

На основании этих математических моделей можно приступить к исследованию данной системы с помощью программ для компьютерного моделирования. В частности, можно использовать программу Mathcad для исследования моделей, представленных в виде дифференциальных уравнений и программу МаШЬ&БтиНпк для исследования моделей, представленных в виде структур.

На рис. 6 приведена компьютерная модель системы управления натяжением на основе ДПТ, построенная в программе Ма^аЬ&БтиНпк. Удобство данной программы в том, что для построения сложных математических отношений, различных видов уравнений

Управление ДПТ

Рис. 4. Математическая модель системы управления натяжением

Рис. 5. Математическая модель промышленной системы управления натяжением на основе ДПТ

11(1)2

Рис. 6. Компьютерная модель промышленной системы управления натяжением в среде Б^иНпк

используются стандартные блоки с наборами параметров для настройки, а также построенные Б^иНпк-модели достаточно наглядно показывают связи между элементами системы.

Изменение основных параметров, таких как силы натяжения относительного натяжения ленты, скорости, тормозного момента можно увидеть в специально подключенных осциллоскопах. График изменения относительного натяжения ленты при различных заданных радиусах рулона представлен на рис. 7.

Рис. 7. Графики изменения относительного натяжения ленты и тормозного момента

На следующем рисунке (рис. 8) показаны переходные характеристики системы по каналу «Лезад ^ Ле0», на данной схеме также отмечены время установления tуст системы при различных радиусах рулона.

Я Ш Viewer: Linearization Quick Plot

в i- ss -Г

File Edit Window Help

□ Я % % E

Step Response From: Manual Switeh3 To: LENTA

р=рк ........

7П"...... \р=рс ......J....... .............

-- p=p0 1

// tycT .............

1 tycT .............

tycT 1

1

10 15 20

Time (seconds)

25 30

Рис. 8. Переходная характеристика системы при различных

радиусах рулона

Как видно из всего вышеизложенного, математическая модель промышленной системы управления натяжением бумажного полотна на основе двигателя постоянного тока имеет достаточно сложную структуру для анализа, но использование программ компьютерной математики значительно упрощает задачу исследования.

Библиографический список

1. Щербина Ю.В. Промышленная система управления натяжением бумажного полотна на основе двигателя постоянного тока / Ю.В. Щербина, Б.Р. Хамитов // Вестник МГУП. - 2011. - № 11. - С. 268272.

2. Щербина Ю.В. Динамические свойства процессов управления движением бумаги и краски в рулонных печатных машинах / Ю.В. Щербина. - М., 2003. - 270 с.

3. Дорф Р.К. Современные системы управления / Р.К. Дорф, Р.Х. Бишоп. - М. : Лаборатория базовых знаний, 2009 - 832 с.