CC BY
66
Математическая
модель системы
управления
намоточным
устройством
флексографской
печатной машины
Ю.В. Щербина,
д.т.н., профессор
М.Е. Михеев,
аспирант
Ю.А. Тюрин,
студент
Введение
Функциональная схема системы управления [2] намоточным устройством флексографской печатной машины (ФПМ) представлена на рис. 1. Регулирование силы натяжения ленты F0 обеспечивает устройство обратной связи, которое включает тензометрический датчик натяжения (ДН), измерительный усилитель (ИУ), регулятор натяжения (РН), тиристорный преобразователь (ТПО) и двигатель постоянного тока (Д0), который с помощью редуктора (Р0) воздействует на рулон и формирует вращающий момент, влияющий на линейную скорость намотки полотна на поверхность рулона в точке А.
Угловая скорость вращения последней бумаговедущей пары (БВП) стабилизируется замкнутым электроприводом, который состоит из тахогенератора (ТГ), регулятора угловой скорости (РУС,), тиристорного преобразователя (ТП,) и редуктора (Р,). Для подавления колебаний силы натяжения ленты используется амортизатор, который содержит упругий элемент - пружину жесткостью с и масляный демпфер с коэффициентом передачи кд. Будем полагать, что время установления переходных процессов в электроприводе последней бумаговедущей
109
пары значительно меньше соответствующего времени Цсс в системе управления натяжением ленты, а линейная скорость V ее движения в точке Б не зависит от силы натяжения ленты F0. Тогда в качестве входных переменных лентопитающего устройства мы можем рассматривать заданное значение усилия натяжения F0* и закон изменения во времени первой бумаговедущей пары V(t).
Рис. 1. Функциональная схема системы автоматизированного управления намоточным устройством
На рис. 2 представлена структурная схема системы управления намоткой полотна.
Рис. 2. Структурная схема системы управления намоточным устройством
110
Здесь а, рад - угол поворота штанги амортизатора; uv В -выходное напряжение измерительного тензометрического вала; u2, В -выходное напряжение измерительного усилителя; u3, В - напряжение на выходе регулятора натяжения; U0, В - напряжение на якоре ДПТ0;
M0, Н-м - вращающий момент на валу ДПТ0; M0, Н-м - вращающий момент на выходе редуктора Р0.
Вывод уравнения динамики рулона
Рулон представляет собой однородный цилиндр, вращающийся относительно оси, которая проходит через центр его поперечного сечения. Это сечение имеет форму окружности с текущим радиусом р. Примем, что его рулонная втулка имеет радиус рк Тогда приведенный момент инерции можно представить в виде суммы:
J0 = J (р) + J0 -/0 + J0 _ J (рк )' (1)
где Ур(р), кг-м2 - момент инерции рулона, имеющего радиус р; J0, кг-м2 -момент инерции ДПТ; JJ, кг-м2 - момент инерции крепления рулона;
i0 =ю0/ю0 - передаточное число редуктора Р0, Ур (рк), кг-м2 - момент
инерции остатка рулона, имеющего радиус рк
Момент инерции рулона относительно продольной оси, проходящей через центр его основания, зависит от массы рулона mp и текущего радиуса рулона р:
, = трр2 = лЬур4 (2)
J 2 2 . (2) Здесь: b, м - ширина рулона; у, кг/м3 - объемная плотность материала.
Обозначим JP =/0-/о + J0 - J (рк) и запишем уравнение динамики рулона:
(р)'ю0]= M0 _F 'р. (3)
Здесь ю0 - угловая скорость вращения рулона; F0 - р - тормозной момент, создаваемый силой натяжения полотна; М0 - вращающий момент, создаваемый ДПТ.
Подставим в левую часть формулы (3) выражения для приведенного момента инерции J0 (р) = гсЬур4/2 + Jp и угловой скорости вращения рулона ю0 = V /р:
d { У ^ьур4 , V ^ V0
dt\ Л I Jp 2 p V И
= M0 F - р.
(4)
111
Примем, что рулон имеет идеальную форму и намотан по закону архимедовой спирали:
р(ф) = Ро +^-ф-2п
(5)
где ф, рад - угол поворота рулона.
Продифференцируем по времени левую часть уравнения (4):
2„V А*. +
dt р
лЬур4
2
+ J
л (1 d* _ * dp^ р dt р2 dt
= M0 _F -р. (6)
Найдем из формулы (5) значение производной dp/dt
Ар = 8 Аф = 8 dt 2л dt 2л 0
или
Ар 8 *о
dt 2п р
(7)
Подставив это выражение в левую часть уравнения (6), и после упрощающих преобразований получим зависимость:
nbfр2 J ^ dV0 2 + -2
р
^ ‘'О + 3 А.,8 I/2 8 *0 ti м0 г
— + ^-Ьу8 * _—-р4-/р^ —_/0.
dt
(8)
,^,= Мо
2я р4 р р
Вращающий момент М0 связан с моментом ДПТ МО с помощью передаточного соотношения: М0 = i0 -М0.
Подставим эту зависимость в формулу (8):
л^р2 + Jp '
2
dVo 3
8 V
2
Mo
+ — -bv8 V2 _ —--0--Р = i - —_F0.
dt 4 r 0 2л р4 p 0 р 0
(9)
Свяжем вращающий момент М0 с параметрами ДПТ с помощью приближенного соотношения:
М0
U0 _ Ce -ю0 .
См
Отсюда получаем формулу:
Ce - См
М0 = _>
ЛЯ
или
м0 = Сми0 _-"е'"м - "0 ЛЯ
Ля
Ce - —м
Ля
*0
70
(10)
(11)
(12)
2
Р
со
112
Здесь: Ce, B-c/рад - электрическая постоянная; CM, H-м/А -механическая постоянная ДПТ; Пя, Ом - активное сопротивление обмотки якоря.
Подставим это выражение в формулу (9):
f ■ 2 dVn
лЬУр2 + ' 2 Р2
0 + ^^M v +
dt Пя • p2
3 , „ . 2 8 Vn_ j _ fn CM
- 'P n p
ПяФ
+-^ - Tvf'p _
•Un-Fn.
(13)
Выразим силу натяжения полотна F0 через его относительное удлинение sq с помощью закона Гука:
F _b>En •sn, (14)
где E, H м2 - модуль упругости ленты.
Подставим последнее выражение в зависимость (13) и получим нелинейное дифференциальное уравнение динамики рулона:
~2 'A dVn
лЬФ + Jn 2
'n + Ce • CM
dt Пя ф2
.. 3 , 2 8 V2 .
Vn + Т •byS V - т - • ' _
- 2i р-
dn'CM и b8 e S
— Un DOtn •Sn.
ПЯ Ф
(15)
Линеаризация уравнения динамики рулона
Найдем из условия dVn/dt_ о номинальный режим намотки рулона:
СеСМ
Пя -Р2
•го* + ^•bys(V* )2
70 • CM ПЯФ
• и0 -Ь8Ел 'Sn
А П '
2л • р- 'Р
(16)
и линеаризуем уравнение (15) в области малых отклонений: д V0 _V0 - Ц*,
Део _ So -So, дUo _ Uo - U*.
В результате получим линеаризованное уравнение динамики рулона в наматывающем устройстве с ДПТ:
(
V
лЬур2
2
. 7q • CM ПЯ Ф
J \
+
2
р
•дио
°д V + Се CM
d V П ф2
-Ь8Ел • Де0.
3
+ -•
V*-- ^Jp
л р
•ДГо _
2
(17)
113
Это уравнение в левой части содержит коэффициент при координате АЦ0, знак которого зависит от радиуса рулона. При больших значениях радиуса р этот коэффициент отрицательный и рулон имеет динамические свойства неустойчивого инерционного звена первого порядка. При уменьшении радиуса возрастает влияние слагаемого, зависящего от постоянного момента инерции J. При достаточно малом граничном радиусе р < рК коэффициент при переменной AV становится равным нулю и рулон приобретает свойства инерционного звена первого порядка. При радиусе в пределах р0 ^р<р коэффициент при переменной А V становится положительным, и рулон имеет свойства инерционного звена первого порядка. Здесь р0 и рк - соответственно начальное и конечное значения радиуса рулона.
Квадрат граничного значения радиуса т = (р*) является решением уравнения:
(3/2)-byS- V* m2 +(Ce-См/Яя)m-(5/я)-/р-V* = 0
или
m2 +a1m-a0 = 0, (18)
2Ce -CM 2S-Jp
где a1 =--e—M*, a0 =-----— - постоянные коэффициенты.
3/Rby5-V 3лЬу5
Поскольку граничный радиус р* является положительной величиной, то его значение можно найти по формуле:
р
a a,
— + a0 --Л 4 0 2
(19)
При рК ^р>р рулон имеет динамические свойства неустойчивого инерционного звена первого порядка, и его дифференциальное уравнение имеет вид:
Тр ^ + А V0 = ku (р)- А U0 - k^ (р)- Ае0. (20)
Здесь Тр (р)
лЬур2 + Jp
1 + 2 _________2 р
ССм + 3-b6y V* -R-р 2 1 0
JPSV
лр4
- постоянная времени рулона;
114
k (p) =
Ь8£л ^
CC + 3 -b5y V* - JJV
R • p 2 %p
по относительному удлинению ленты;
CM • 70
kU (p) = —
C •Cm 3
R •P
3 * JDs V
r + 3 b&yVo--^-
R?-P 2 ^p
коэффициент передачи
коэффициент передачи
по напряжению на якоре ДПТ.
Для описания динамических свойств участка бумажной ленты воспользуемся его линеаризованным уравнением (3):
Tndd^°+Aso = kv (А V (t)-AV )-ka dda
dt
dt
(21)
Здесь T =Z*0/V* - постоянная времени ленты; kv =( 1 + e0)/Vo - коэффициент передачи по скорости движения ленты; ka = 2la (l + е0 )/V - коэффициент передачи по углу поворота штанги амортизатора.
В этих формулах используются следующие параметры: L0 -
длина пути ленты между точками А и Б при номинальном значении ее относительного удлинения; /а - длина штанги амортизатора.
Пружинно-масляный амортизатор [2] представляет собой инерционное звено второго порядка. Его динамические свойства описываются линейным дифференциальным уравнением:
т-2 d Аа п
+ 2^aT
dt
dAa , , ,
—y- + Aa = kaAeo dt
(22)
Здесь T =J/(Cnp -/a) - постоянная времени; ^ = Vd^2/аХД>Спр) -
степень демпфирования; ка = 2Ь5£л/(Спр/а) - коэффициент передачи
амортизатора по относительному удлинению ленты.
В данных формулах используются следующие переменные: Ja - момент инерции амортизатора; /д - плечо демпфера.
На рис. 3 представлена схема линеаризованной математической модели системы управления натяжением ленты в наматывающем устройстве с ДПТ при значениях радиуса рулона p^ > p > p .
115
Рис. 3. Линеаризованная математическая модель системы управления натяжением ленты в наматывающем устройстве при рК >р>р
Установившийся режим намотки рулона
В установившемся режиме скорость печати, а, следовательно, и скорость наматывания рулона V0 = V* постоянна. Тогда изменение радиуса рулона определяется выражением:
ар>=_5_ V* dt 2% р
Разделим в дифференциальном уравнении переменные:
5
(23)
pdp = ^-V*dt
2%
(24)
р t *
и проинтегрируем обе его части по отдельности J pdp = 5/(2л)•J^0dt.
ро *
В результате получим выражение:
р(О = >/р0 +(5 / %)-V0*t, (25)
которое описывает закон изменения радиуса рулона р( t) в процессе печати. Тогда в режиме печати процесс наматывания рулона можно описать дифференциальным уравнением:
(%Ьур(02/2)^ + (3/4)-by5 V*2 = M* /р-/*, (26)
116
где p(t) = ^pg +(5/%)V0t
— закон изменения радиуса рулона при
V* = const.
Рассмотрим случай, когда печать ведется на рулоне материала со следующими параметрами: 5 = 0,078 мм, V = 4 м/с, р0 = 0,05 м
и Ел = 6,48 • 109 Н/м2.
Предположим, что печать ведется, начиная с начального радиуса рулона р = р0, до тех пор, пока радиус не увеличится до конечного значения р = р^. Примем, что конечный радиус рулона имеет значение рк = 0,4 м. Найдем время наматывания рулона 7ам из условия:
рк = л р0
= J р2 +-Vt
0 ^нам ■
Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и най-55
дем: рк = р0 + V0 ^нам или V0 7нам = рк -р0 Отсюда выразим время на-
п п
мотки:
п
пЧрк -р0 )
7н*“ = ~(27)
Расчет времени намотки по формуле (27) дает результат:
t
нам
3,14 -(0,42- 0,052) 4 • 0,078 • 10-3
= 1585 с = 26 мин 25 с.
Таким образом, мы получили, что при скорости печати 4 м/с наматывание рулона происходит за 26 мин 25 с.
Найдем среднюю скорость наматывания рулона, которую
можно определить как отношение изменения радиуса Лр = рк-р0 к времени намотки t :
нам
Лр
Л7
.рк -р0 = 0,4 - 0,05
ср
1585
= 0,2 • 10-3 м/с.
t
нам
Отсюда следует, что в среднем радиус рулона увеличивается на 0,2 мм в секунду.
На рис. 4. показан график изменения радиуса рулона за время печати при V = const. Видно, что увеличение радиуса рулона происходит по параболе. В начальный момент времени радиус рулона увеличивается быстрее, чем в конце печати.
117
Рис. 4. График изменения радиуса рулона в процессе печати
Найдем значения скорости изменения радиуса рулона в начальный момент времени:
|ЧЛ =±V = Ода-Ю-М = , 10-2 м/с ^ dt )0 2п р0 2 -3,14 -0,05 1
и в конечный момент времени:
1^ = AV = °-078 •10-3 •4 = 0,1. 10-4 м/с.
^ dt Jк 2п рк 2 • 3,14• 0,4
Найдем значение радиуса рулона рср, при котором текущая скорость его изменения равна средней. Для этого из уравнения
(Рк-Р0)Лнам = 5V/(2п• Рср) найдем значение среднего радиуса
Рср =8'К* Лам/-р0)). Подставим в последнее уравнение значение времени намотки, определяемое формулой (27) и получим, что средняя мгновенная скорость имеет место при среднем радиусе рулона:
5 V0 •(-р2) рк +р0
Рср = (28)
2п (рк -Р0 )5V 2
На рис. 5 показан график изменения мгновенной скорости намотки рулона. Видно, что после середины рулона мгновенная скорость наматывания значительно уменьшается.
118
Рис. 5. График изменения мгновенной скорости намотки рулона
Найдем объемную плотность рулона для материала, масса 1 м2 которого m = 60 г/м2. Для этого воспользуемся формулой:
m 64 • 10-3
У = S = 0,078• 10-3 = 820,5 кг/м3'
Найдем массу рулона, имеющего ширину b= 0,84 м, начальный радиус р0 = 0,05 м и конечный радиус рк = 0,4 м:
mp = nby(р2 -р0) = 3,14 • 0,84^8 20,5(0,42 - 0,052) = 340,8 кг.
Определим длину ленты LM в данном рулоне. Для этого разделим массу рулона на массу 1 метра ее длины:
L =mp/(mb) = 340,8/(64 • 10-3 • 0,84) = 634 м.
Вычислим разрывное усилие для рулона материала, имеющего удельное разрывное усилие /р = 1,08кН/м. Для этого произведем следующий расчет:
/разр = /дазр Ь= 1.08кН/м^0,84м = 0,9 кН.
Номинальное значение силы натяжения ленты /* обычно лежит в пределах /* =(200-500) Н. Примем, что номинальное значе-
119
ние натяжения составляет величину F = 294 Н. Так как F = к5Ел -60, то можно найти номинальное значение относительного удлинения ленты
60 по следующей формуле:
6о =-
F
294
= 0,7 -10-3.
к6£л 0,84-0,078-10-3 -6,48-109 Из уравнения статического режим рулона
*
4 •ky8(b0* )2 = M-к5£л-8*0
можно найти номинальное значение вращающего усилия:
M0/p = (3/4)-kyS(F)2 +к5Ел -80.
Отсюда имеем: M*/p = (3/4)-0,84 -1026-0,078 -10-3-(4 )2 + 294 = 294,8 Н.
В процессе работы наматывающее устройство должно поддерживать требуемую силу натяжения полотна. При этом номинальный вращающий момент должен быть пропорционален текущему значению радиуса рулона M0 = 294,8-p.
Вращающий момент в начале процесса печати:
M0 = 294,81-p0 = 294,8 - 0,05 = 14,74 Н-м.
Вращающий момент в конце процесса печати:
M0 = 294,8-рк = 294,8 - 0,4 = 117,92 Н-м.
Отсюда следует, что в процессе наматывания рулона вращающий момент должен меняться в пределах от 14,74 до 117,92 .
Расчет параметров ДПТ
Исходя из пределов изменения вращающего момента в процессе наматывания рулона, определим мощность ДПТ, а также механи-^■апёо|э I I fid yi i о|э См и электрическую постоянную C.
Угловая скорость движения ленты: ш = v/p. При конечном радиусе рулона она принимает значение шк = 4/0,4 = 10 рад/с. Мощность двигателя при конечном радиусе рулона р =Мк -шк = 117,92-10 = 1179,2 Вт. Из справочника [1] выбираем ДПТ 2ПН100М.
Таблица
Паспортные данные ДПТ 2ПН100М
р, ин, n, n , max' Ли, R. I , ян' JP Масса,
кВт В об/мин об/мин % Ом А кг-м2 кг
2 220 3000 4000 79 0,805 11 0,044 36
120
Механическая постоянная CM вычисляется по формуле:
C — U 1ян 'R
СЛ — -------------■
ю
н
(30)
Предварительно следует пересчитать номинальную частоту вращения пн (об/мин) в номинальную скорость юн (рад/с) юн = (я/30)-пн = = (3,14/30)'3000 = 314 рад/с. Подставляя это значение в формулу (30)
получаем значение СМ —(220-11'0,805)/314 — 0,673 Н-м/А. Принимаем
такое же значение электрической постоянной ДПТ Ce= 0,673 В-с/рад.
После определения параметров номинального режима и выбора ДПТ можно переходить к компьютерному моделированию рассматриваемого намоточного устройства.
Библиографический список
1. Алиев И.И. Электротехнический справочник. - 3-е изд., испр. и доп. / И.И. Алиев. - М. : ИП РадиоСофт, 2000. - 384 с.
2. Щербина Ю.В. Система управления намоточным устройством флексографской печатной машины / Ю. В. Щербина. - Вестник МГУП. - 2011. - № 11. - С. 273-277.
3. Щербина Ю.В. Теоретические основы автоматизированного управления рулонным печатным оборудованием : учеб. пособие / Ю.В. Щербина. Моск. гос. ун-т печати. - М. : МГУП. - 2011. - 242 с.
121
