CC BY
14
УДК 539.3 DOI 10.18522/0321-3005-2016-1-32-34
ПОЛОСОВЫЕ РАЗРЕЗЫ В ТРАНСТРОПНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ*
© 2016 г. Д.А. Пожарский, Е.А. Артамонова, Ю.В. Смирнов
Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, e-mail:[email protected]
Артамонова Елена Александровна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, e-mail: [email protected]
Смирнов Юрий Владимирович - кандидат технических наук, доцент, кафедра теории и прикладной механики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000.
Pozharskii Dmitrii Aleksandrovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail:[email protected]
Artamonova Elena Aleksandrovna - Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, email: [email protected]
Smirnov Yurii Vladimirovich - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department of Theory and Applied Mechanics, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia.
В трехмерной постановке исследованы задачи о взаимодействии двух одинаковых параллельных полосовых разрезов в трансверсально изотропном упругом пространстве (5 независимых упругих параметров), когда плоскости изотропии перпендикулярны плоскости разрезов. Ввиду анизотропии рассмотрены два случая расположения разрезов: вдоль одной или второй оси декартовой системы координат. Задачи сведены к одномерным интегральным уравнениям, для решения которых использован регулярный асимптотический метод с введением безразмерного геометрического параметра. Проанализированы асимптотические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений.
Ключевые слова: трансверсально изотропное упругое тело, разрез.
The problems on interaction of two identical parallel strip cuts in a transversely isotropic elastic space (5 independent elastic parameters) are investigated in three-dimensional formulation when the planes of isotropy are perpendicular to the cuts plane. Due to anisotropy two cases are considered in which the cuts are situated along one of the two Cartesian axes. The problems are reduced to one-dimensional integral equations and the regular asymptotic method is used to solve these equations by introducing a dimen-sionless geometric parameter. The asymptotic formulas for strength intensity factors have been analyzed.
Keywords: transversely isotropic elastic solid, cut.
В трехмерной постановке исследованы задачи о взаимодействии двух одинаковых параллельных полосовых разрезов в трансверсально изотропном (транстропном) упругом пространстве (5 независимых упругих параметров), когда плоскости изотропии перпендикулярны плоскости разрезов. Ввиду анизотропии рассмотрены два случая расположения разрезов: вдоль одной или второй оси декартовой системы координат. Ранее изучался случай одного полосового разреза в трансверсаль-но изотропном пространстве [1].
Пусть в плоскости x=0 транстропного [2] пространства с плоскостями изотропии z=const имеется два одинаковых полосовых разреза, находящихся в раскрытом состоянии под действием приложенной к их берегам одинаковой нагрузки CTx(±0,y,z)=-q(y,z). Разрезы могут быть параллельны оси y (задача А), или оси z (задача Б). Требует-
ся найти раскрытие разрезов ux(±0y,z)=±u(y,z). В задаче А область разрезов |у\«<», a<\z\<b. В предположении, что д(у,г) = д*(г)ехр(-7'Ру) , используя результаты работы [1], сведем задачу А к одномерному ИУ относительно и(г), при этом
и(у,2) = и(г)ехр(-/'Ру). В задаче Б область разрезов |z|«<», a<\y\<b. Пусть д(у,г) = д*(у)ехр(-г'Рг) , тогда сведем задачу Б к одномерному ИУ относительно и(у), и(у,г) = и(у)ехр(-/рг).
После введения безразмерных обозначений для задачи А
x = zb Х = (bß) k = ab f(x) = q*(z)A^l, Ф(х) = и(z)b_1
(1)
(для задачи Б меняется z на у) ИУ задач при учете симметрии запишем в виде
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-00331).
1
Jp(t) k
n 1+/я x
X
X
^ = kX2 f (x) (k < x < 1), +
(2)
ln (t) = J Ln (u)cos(ut)du, 0
где для задачи А (n=1) Li(u) = Dl
3 3
(m1 -m2)Y3u CllC21
С/1 =Л 3u3 +1 (l = 1,3,3),
(3)
(4)
D1 = m1h21C11 - m3AnC 31 - 4(m1 - m3)C11C 31С3Ь hk1 = (mk + 1)у 2u 2 + 2 (k = 1,2),
а для задачи Б (n=2) L2(u) =--,
(m1 - m 2 )r2С12С 22 С /2 =Л2 + u 2 (/ = 1,2,3),
D2 = m1h23C13 -m2h12C22 -4(m1 -m3)u^12?33?33,
hk 2 = (mk + 1)Y2 + 2u 2 (k = 1,2).
Здесь (для параметров упругости используем обозначения Aj [1])
mk = (АНк -A44)/(A13 + A44), уз = ^A44/Абб,
у1, у2 являются корнями характеристического уравнения
4 2
у - у [A11A33 - А13 (А13 + 2А|4)] + А33А44 = 0.
Параметр X (1) характеризует отношение величины периода волнистой нагрузки к расстоянию между внешними границами полос.
Интегрируя по частям и учитывая, что p(k)=p(1)=0, сведем ИУ (2) к виду
Jp'(t)
к
К 1 + kn (.* + Х
х
X
dt = -tcXf (x) (k < x < 1),
® L (u) kn (t) = J sin(ut )du.
(5)
Решение ИУ (5) должно удовлетворять дополнительному условию 1
|ф'( х)Сх = 0. (6)
к
Применяя для решения ИУ (5) регулярный асимптотический метод [3] при учете (6) и свойств [1] функций Ln(u) (3), (4), найдем, что для случая
f(X)=f
ф'( x) =
f
1+4
Eng(x) [l k'
(
E'
-x2 IX
k' E 1 + k
2
(d 20 + d10 to^X^T--—) -
2
о E - d1o(1 + k 2 - —)
K
X + О
(1 + k 2)E' k 2
3K'
x 4 _L. p(x) ---1---
2 K
W
(K'Y
(ln2 X^
' = V1 - k 2, E' = E (k'), K' = K (k'), (7)
p(x) = x2(x2 - k3)П(
л 1 - k2
2 1 - x
, k'), W = J p(x)dx.
Здесь £(£), A"(ät), П(ф,?,£) - эллиптические интегралы,
d10 =-
E
2n
E
1n
d20 = -d10 - J
2 -1 u [1 - Ln (u)E- ] - dw[1 - exp(-u)]
-2
du,
E1n = An / C1n, E2n = (D2nC1n - D1nC2n )C1n
причем для задачи А (n=1)
2 , 2
2 У +У? 2 C11 = (m1 - «2)У1У 2 У:2, C31 = (m1 - m2)~Z-2 У ^
2 2 4
D11 = [m1(m2 +1) У1 -m2(m1 +1) у2] у3,
2 2 4
_ m1(m2 +1) m2(m1 +1) у;4 d21 =[-г---г-]— +
2у1У 2
у1
у 2
2
+ 4 [у1«1 (m2 +1) - у2m2 (m1 + 1)]у2 - 4(m1 - «з^^2уз, а для задачи Б (n=2)
2 2
2 у +У2 2
C13 = (m1 - ^З^1, C33 = (m1 - m2)---У22,
2 2 2 D13 = 3[(m1 -даз)уз -m^3 + «зу! ],
r^ , 3 3. з 3 4 m1 4 m3 4
D31 = [m1(m: + ^-mi^ + -)]у4 + ^у4--3у4 -
2 2 2 2 2
-(m1 -mз)у1у3 + (3m1m: + m1 + m:)^ -уз)у3.
Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) на границах разрезов определяются для задачи А по формулам (для задачи Б следует заменить z на у)
Kja = lim А6^3л(z - a) u'(z),
z ^a+0 _
KIb =- lim A66J3n(b - z) u'(z).
z ^b-0
На основе решения (7) для безразмерных КИН получим выражения
KIa _ „
¡г* — KIa =
А66^ Eml
E^k (1 - k 3)
л , k' E' 1 + k2
(d30 + d10 --—)-
E - k 3
1 +4
X:
3X K'
3
т E -d10(1 + k3 - —)
П0
K'
(1 + k 3)E' k 3 k 4
W
3K'
6 3
(K)1
+ О
(ln3 X^
+
6
4
X
1
3
k
u
0
0
X
X
+
X
+
+
2
4
X
X
г* KIb KIb =-
-fjn
A664b
' £-1
v K'
1+-1
EiJ 1-k 2
(
к
E
k\ ,E' 1 + k
2
(d 20 + ^ю --~) -
2
-d1o(1 + k 2-—)
"10
А2
(1 + k 2)E' k 2 1
Г
3K'
6 2 (K')2
+ O
<ln2 О
к4
(8)
Решения (7), (8) можно рекомендовать к использованию при Х>3. Анализ формулы (8) показывает, что при достаточно больших значениях X и ^0,7 имеем К*а > К*1Ъ, т.е. при возрастании нагрузки, приложенной к берегам разрезов, их развитие начнется на внутренних границах x = ±k. Если для упругого материала E\\«E\2, то при достаточно больших значениях X КИН на какой-либо границе ^ = ±k или x = ±1) больше для задачи А, чем для задачи Б. Если же E\\>E\2, то наоборот, КИН больше для задачи Б.
Литература
1. Артамонова Е.А., Пожарский Д.А. О полосовом разрезе
в трансверсально изотропном упругом теле // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, вып. 5. С. 768777.
2. Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely iso-
tropic materials. Dordrecht, 2006. 435 p.
3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические
пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М., 1998. 288 с.
References
1. Artamonova E.A., Pozharskii D.A. O polosovom razreze v
transversal'no izotropnom uprugom tele [About bandpass section in transverse isotropic elastic body]. Prikladnaya matematika i mekhanika. 2013, vol. 77, no 5, pp. 768-777.
2. Ding H., Chen W., Zhang L. Elasticity of transversely iso-
tropic materials. Dordrecht, 2006, 435 p.
3. Aleksandrov V.M., Pozharskii D.A. Neklassicheskie pros-
transtvennye zadachi mekhaniki kontaktnykh vzaimodeistvii uprugikh tel [Non-classical spatial problems of mechanics of contact interaction of elastic bodies]. Moscow, 1998, 288 p.
Поступила в редакцию
21 января 2016 г.
х
X
+
