ПОЛНЫЙ ЛИФТ СВЯЗНОСТИ В КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ ПОРЯДКА К Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список литературы

1. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М.: ИЛ, 1949. 384 с.

2. Cartan E., Schouten J.A. On the geometry of groupmanifold of simple and semi-simple groups // Acad. van Wetens. Proc. Amsterdam, 1926. N29. S. 803-815.

3. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. 360 с.

4. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 84 с.

5. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 83 с.

Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 336 с.

Yu.I. Shevchenko

BUNCHES OF AFFINE CONNECTIONS ON LEE'S GROUP AND PARALLELIZED MANIFOLD

By comparing of Lee's group structure equations and corresponding affinely connected space we introduce bunch of affine connections on Lee's group. Three affine connections of Cartan - Schouten - Eisenhart, two of which without curvature and one without torsion, belong to this bunch. The bunch of affine connections is extended on the parallelized manifold, generalizing Lee's group. In the general case generalized bunch includes only two special affine connections: one without curvature and one without torsion.

УДК 514.76

Е.П. Шустова

(Казанский государственный университет)

ПОЛНЫЙ ЛИФТ СВЯЗНОСТИ В КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ ПОРЯДКА k

Получены формулы, позволяющие эффективно вычислять компоненты полного лифта линейной связности в касательное расслоение порядка k.

Под касательным расслоением [1] k-того порядка TkMn пространства аффинной связности Мп будем понимать множество k-струй гладких отображений у: R ^ Мп, где R это вещественная прямая. Пусть отображение у: R ^ Мп, k-струя j0 у которого служит элементом расслоения TkMn, задано в локальных координатах формулами x=x(t) (i= 1, n), причем при (t=0 получается рассматриваемая точка хеМп. То-

гда указанная к-струя отображения у определяется точкой х и значениями первых k производных от функции х1^) по 1 при ( 1=0. Пусть (х1; хп+1; х2п+1; ...; хкп+1) -локальная система координат в ^Мп, где хтп1 - производная порядка т =1,к от х1 по ^ деленная на т!.

Для дальнейшей компактной записи удобно ввести в рассмотрение оператор Ба, действующий на некоторый дифференциально-геометрический объект О, заданный на базе Мп, следующим образом:

Оа[О] =

а 1 а

I1!зР1...Р10 Х^..!*111"1'1...х

11п+Р1

О,

а = 1,к; а = 0;

где

5 ¡и

[1, 11 +... +11 = а; |0, 11 + ... +11 Ф а;

Р1,.Р1 =1,п.

Здесь и везде далее используется правило суммирования Эйнштейна. В следующем предложении приведем свойства этого оператора, которые будут необходимы при выводе рабочих формул для вычисления компонент полного лифта линейной связности, заданной на базе Мп.

Предложение 1. Оператор Ба обладает следующими свойствами:

Ба[Ф+У] = Ба[Ф]+ Ба[П а = 0, к; Ва[Ф^] = I 5а1а2Оа1[ Ф ]Эач[^], а = 0к;

а,,а2 =0

Ва[Ф^0] = I ¿^аЛ [Ф]Ва^ [У]Ба, [0], а = 0,к;

а1,а2,а3 = 0

д

.¡1п+я а

Ва[ Ф] = д Ла - А Ф], а = 1,к;

д ,Ва[ Ф ] = Ва[ д ¡Ф ], а = 0,к;

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

где Ф, *¥, 0— дифференциально-геометрические объекты, заданные на базе Мп. Первая и пятая формулы этого предложения очевидны. Вторую и третью

можно доказать индукцией по а = 0,к.. Четвертую - индукцией по 81=к,1 для любых Б=1,п, а= 1, к.

сСО

Пусть Г - лифт индекса ] функции £ заданной на базе Мп, в касательное

сО) 1 ^ . -

расслоение порядка ^ т.е. Г = -—— - производная порядка j=1,k от f по £ де-

j!dtJ

ленная на 1!.

Индукцией по 1= 1, к можно доказать, что лифт индекса j функции ^ заданной на базе Мп, в касательное расслоение порядка к в локальных координатах

СО)

(ха) гтт^ имеет вид: { _ Б:|Г].

у уа=1,п(к+1) JL л

с(к)

Заметим, что f _ ] - полный лифт функции £

Тогда в голономном поле реперов д/хда координаты полного лифта векторного поля V, заданного на базе Мп, имеют вид:

С(к) _

V)aп+1 = в>'], а = 0,к, (6)

Ф)

Предложение 2. В локальных координатах (xа )а_1 п(к+1) компоненты Г^

(а,Р,у_ 1,n(k +1)) полного лифта в TkMn линейной связности Г1^к, заданной на базе Мп, вычисляются по формуле:

с(к) ___

^ап + ^

ГЩ++1тСп+, _ Da_ъ_с[Гт,], Ъ,с _ 0,а, а _ 0,к,

причем Ь + с<а. Остальные Га _ 0.

с(к) -та

Ру

Доказательство. Из условия

С(к) С(к)

V) V _ (V V ^)с(к), (7)

V

где V _ V1 д / дх1, и _ и1 д / дх1 - произвольные векторные поля на Мп и

с(к)

Vvu _ V8V8и, находятся компоненты полного лифта Гау линейной связности Г

в рассматриваемое касательное расслоение порядка к.

Воспользовавшись определением ковариантной производной, а в правой части этого равенства и формулами (6) и (1), запишем условие (7) в координатном виде:

С(к) С(к) ■ с(к) С(к)

\к)° _ (дв ^^)ап+1 + Г-1 .) _ ВаКдsw1] + ЭаКдswmГ^], (7')

а _ 0,к, 1,Б,т _ 1,п, а, ц, _ 1,п(к +1). При а = 0 условие (7') в силу формул (6) принимает вид:

С(к). С(к). С(к) С(к) С(к) С(.к) С(к)

vЧwmГ1 + Г1 ^т1п+т) + V 81п+8(Г1 wm + Г1 ^т1п+т) _ vswmГ1

У V" те т1п+тя ™ / У Vх т81п™ ^ т1п+т в1п™ / У ™ те •

Так как это условие должно выполняться для любых векторных полей V, w,

с(к) с(к)

заданных на базе, отсюда имеем: Гт§ _ Гт§. Остальные Г^ _ 0.

При а Ф 0, т.е. при а=11=1,к, условие (7') в силу формул (6) и (2), (3), используемых соответственно в левой и правой частях этого равенства, принимает вид:

с(к) к с(к)

V8 д^пК] +У§1П+8 д ^п+^К] + I ЭаДу8] Г^+та^КЧ =

а1,а2 =0

= I 5а12а1 ^а] [Ув ]^а2 [дя^1 ] + I 5^аДУ^^] + Э^П.], 8! = Ц

а1,а2 =0 а1,а2,аз =0

Заметим, что во второй сумме левой части ненулевые члены только при ч1 = 1,11. Видим, что воспользовавшись еще раз формулой (6), это условие можно записать в виде:

a1=1 аьа2 =0

a2n+m a1n+s

= vs5sDJw1] + I Da1[vs]D11 ^[dsw1] + I Da1[vs]Da2[wm]Di1 -а1-а2[Гms].

a1=1 a1;a2=0,a1+a2 <11

Воспользовавшись теперь формулами (5) и (4), приходим к тому, что условие (7') при а Ф 0, т.е. при а = 11 =1,к, имеет вид:

к с(к) 1]

I Эа [У8ра ^т]Г11п++ + = I Эа [учра [гтч].

^ а11. J а2п +т а1п+ч ^ а11 ^а2 1 -1 11-а1 -а2 тч

а1,а2 =0 а1,а2 =0,а1+а2 <11

Так как это условие должно выполняться для любых векторных полей у, w, заданных на базе, отсюда имеем:

c(k) Г ijn+i

a2n+m ajn+s

Dij-a2—a1 [ГU, a1,a2 = 0,11, a1 + a2 < 11;

0, а1,а2 = 0,к, а1 + а2 > 11.

Тем самым предложение доказано.

Список литературы

1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 264 с.

E.P. Shustova

COMPLETE LIFT OF CONNECTION TO THE k-TH ORDER TANGENT BUNDLE

For a linear connection V on a manifold Mn we give formulas for explicit calculation of components of complete lift of V to the k-th order tangent bundle

ТкМп.

УДК 514.75

Е.П. Юрова

(Калининградский государственный университет)

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ТОЧКИ МНОГООБРАЗИЯ ГИПЕРКВАДРИК

Изучается (и-1)-мерное многообразие невырожденных центральных гиперквадрик аффинного пространства Ап. Введены понятия ф-характеристических направлений и ф-характеристических главных точек, обобщающих соответствующие понятия теории точечных отображений. Доказаны предложения, в которых раскрывается их геометрическая характеристика.

В статье [1] определены и геометрически охарактеризованы порождаемые многообразием Vn-1 в 1-й дифференциальной окрестности центра С

о

гиперквадрики Q аффинные связности g, у, у . Тензор деформации

Tj =- 2aktbijk (i,...= 1,n-1) также задает на поверхности (С) аффинную

связность. Обозначим ее буквой Т. Объектом 1-го порядка {aj bp} многообразия Vn-1 для каждой точки Ае(С) определяются алгебраические многообразия

(btij- ^ bijt)xixj-2atlxl=0, (1)

btijxixj-2atlxl=0, (2)

bijtx1xj+4atlxl=0. (3)

Обозначим их соответственно символами Ig, IY, IT. Пусть ф принимает значения g, у, Т. Многообразие 1ф содержит точку А и в общем случае является алгебраическим многообразием размерности 0 и порядка 2n-1, лежащим в касательной к поверхности (С) в точке А гиперплоскости Г q. Рассмотрим множество хф прямых, содержащих точку А и имеющих с многообразием 1ф 2 общие точки.

Определение 1. Прямая множества хФ называется ф-характеристической прямой многообразия Vn-1 в точке А, а задаваемое этой прямой направление - ф-характеристическим направлением многообразия Vn-1 в точке А.