Полнота системы полилинейных инвариантов орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.17+51-73

ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТОВ ОРГРАФОВ © 2010 г. А.Г. Разуваев, С.К. Игнатов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Постапиле вредекцию 16.02.2010

Доказано, что для любого множества орграфов 3 , определённых на данном неориентированном графе у, и группы G ^Ам/у, действующей на 3 , система полилинейных инвариантов будет полной системой относительно группы G. Этот результат имеет принципиальное значение для разработки современных алгоритмов расчета свойств молекулярных структур, способных к образованию ориентационных изомеров.

Ключевые слове: орграфы, группы симметрии, инварианты, полилинейные формы.

В предлагаемой работе рассматривается вопрос изоморфизма ориентированных графов (орграфов), которые можно построить на данном неориентированном графе. Интерес к этой задаче связан, в частности, с задачей расчета свойств молекулярных кристаллов, способных к образованию ориентационных изомеров -структур, различающихся только направлением связей между узлами кристаллической решетки. Примером такой системы является кристалл водного льда, образующий множество изомеров, различающихся ориентацией водородных связей между молекулами воды [1]. Показано, что физическим характеристикам таких структур (энергии, дипольные моменты и т.п.) отвечают инварианты орграфа, которые относятся к определенному классу функций, заданных на графе, - полилинейных форм [2]. Использование полилинейных инвариантов в расчетах свойств молекулярных систем является весьма эффективным: для описания свойств всей системы достаточно ограничиться рассмотрением не всех ее возможных структур, число которых экспоненциально растет с увеличением числа узлов решетки [3], а только небольшого количества «базисных» инвариантов.

С математической точки зрения развиваемые на основе полилинейных инвариантов расчетные схемы не вполне обоснованы из-за отсутствия

доказательства полноты системы инвариантов и, следовательно, невозможности строгого решения задачи построения полного базиса, необходимого для описания всей физической системы.

В данной работе доказывается свойство полноты системы полилинейных инвариантов для любого класса орграфов, определённых на данном неориентированном графе.

1. Пусть у есть неориентированный граф. Всюду далее считаем, что у - связный граф без петель и кратных рёбер, число которых т. Группу Ам?у всех автоморфизмов графа у считаем известной, и пусть О ^Ам?у ее некоторая подгруппа. Выбор подгруппы О диктуется постановкой решаемой задачи. Например, если граф у задает некоторую молекулярную систему, то в качестве О обычно выступает точечная группа симметрии системы, которая, как правило, является собственной подгруппой группы Ам?у. Всюду далее считаем, что группа О состоит из п элементов: О={£ь...}.

Рассмотрим граф у на рис.1, который имеет т = 6 рёбер и Ам?у - диэдральная группа D3. Данный граф является примером, на котором будут иллюстрироваться вводимые ниже определения и обозначения. Определим О как циклическую подгруппу третьего порядка: О = = С3 ^ D3, которую зададим подстановками на множестве вершин у:

12345 6^ _(12345 6^ _(12345 6^

1 2 3 4 5 6) ’ ^ _[2 3 1 5 6 4) ’ 8ъ _[3 1 2 6 4 5)

Таблица 1

Действие группы G= С3 на Г(х15 х2, х3, х4, х5, х6)

\ Г Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Хб

g1 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Хб

g2 х4 -Х1 Х5 -Х2 Хб Х3

g3 -Х2 -х4 Хб Х1 Х3 Х5

Рис. 1. Г раф у с т = 6 рёбрами и группой Auty = D3

Пусть (і, j) - ребро, соединяющее і и j. Так как граф неориентированный, то (і, j) = (/, і). Представление каждого g є G подстановкой вершин определяет действие G на рёбра графа:

g(i,/) = = ^(і)^Ш

Каждому ребру (і,/) приписываем символ Ь/ и ориентацию ребер на у определяем по правилу: Ь/ = +1, если ориентация ребра (дуга) направлена от і к / и Ьу = -1 в противном случае. Очевидно: Ь/ = —Ь/і. Все т дуг Ь/, где і < /, выбранных в любой последовательности, будем обозначать хь...,хт. Для рассматриваемого примера: Ь12 = хь Ь13 = х2, Ь14 = х3, Ь23 = х4, Ь25 = = х5, Ь36 = х6. Если Ь/ = хк, то Ь/і = —хк. Произвольный орграф Г на у записываем в виде: Г(хь...,хт), а задание конкретного орграфа состоит в присвоении «переменным» хк конкретных значений ±1. Последнее приводит к записи конкретного орграфа в виде вектора-строки с компонентами ±1. Например, двум орграфам Г і, Г2 на рис. 2 отвечают вектор-строки Г1(—1,+1, —1, —1,+1, —1), Г2(—1, —1,+1, —1,+1, —1).

Пусть 3 есть некоторое множество орграфов, определённых на данном у. От 3 требуем условия: если Г е 3 , то gГ е 3 , т.е. О действует на 3 . Для каждого Гае 3 определена орбита: 3 а=^1(Га),..., g„(Гa)} и 3_31 и... и35.

По определению каждая орбита - множество орграфов изоморфных относительно группы О, а 5 - число неизоморфных орграфов в 3 . Каждую орбиту будем задавать матрицей-орбитой ОгЬГа со строками g1Гa,...,g„Гa. Например, согласно табл. 1 и заданию Г1,Г2 матрица-орбита есть:

ОгЬГ1 =

ОгЬГ2 =

Г-1 +1 -1 -1 +1 -11

-1 +1 +1 -1 -1 -1

,-1 +1 -1 -1 -1 +1

Г-1 -1 +1 -1 +1 -11

-1 +1 +1 +1 -1 +1

^1 +1 -1 -1 +1 +1

5

5

Рис. 2. Орграфы Г1(—1,+1,—1,—1,+1,—1) (а) и Г2(—1,—1,+1,—1,+1,—1) (б)

Действие О на рёбра у определяет действие

О на дугах орграфа: gГ(xь...,xm) =

Г^СхаХ-^Схт)). Например, согласно заданию О=С3 как подстановок g1, g2, g3 на вершинах у и введённым обозначениям для дуг орграфа Г(х1, х2, х3, х4, х5, х6), действие О на Г будет определено таблицей 1.

Перестановка элементов в орбите не изменяет орбиту, и поэтому две орбиты 3 а и 3 ь орграфов Га и Гь совпадают тогда и только тогда, когда матрицы-орбиты ОгЬГа и ОгЬГь либо равны, либо отличаются перестановкой строк.

Сравнение ОгЬГ1 и ОгЬГ2 показывает, что

Г1 Ж Г2.

Для произвольного орграфа Г(хь...,хт) е 3 определим функции J = J(x1,., хт) как суммы:

3 _ Е ём(х)’ Зи _Е ём(х) ём(х-)’

м_1 м_1

^ (1)

3-к _Е ём (X )ём (Х )ём (X X —

м_1

которые являются полилинейными функциями своих аргументов. Как отмечалось выше, эти функции отвечают определенным физическим характеристикам молекулярной системы. Система функций (1) была введена в [2] и рассматривалась для специального класса орграфов, задающих структуру кристаллов льда с точечной группой симметрии О.

Каждая функция из (1) преобразуется по единичному представлению группы О: 3(хЬ...,Хт) = 3(ё(Х1),.,ё(Хт)) = 3(хЬ.. .,Хт), и из определения действия группы О на 3 и изоморфизма орграфов следует, что 3(Г)=3(Г') для Г = Г', т.е. каждая функция из (1) есть инвариант. Саму систему (1) назовём системой полилинейных инвариантов.

Инварианты (1) - легко вычислимые функции. Например, по табл. 1 для 31, 313 получаем: 31 = = х1 - х2 + х4, 313 = х1х3 + Х4Г5 - х2х6. Если найден 3 такой, что 3(Г) Ф З(Г'), то Г ^ Г'. Обратное, вообще говоря, не верно. Так, для орграфов Г1, Г2 оказывается 31(Г1) = 31(Г2) = 3, но Г1 ^ Г2. Однако 313(Г 1) = +1, 3^^) = -1, т.е. в системе (1) найден инвариант, «разделяющий» два неизоморфных орграфа.

Систему инвариантов называем полной относительно действия группы О на 3, если для любой пары Г ^ Г' из 3 найдётся такая функция 3 из этой системы, что 3(Г)3(Г').

Теорема. Для любого множества орграфов

3 , определённых на данном неориентированном графе у, и группы О ^ Аи?у, действующей на 3 , система (1) будет полной системой инвариантов.

Доказательство теоремы есть следствие более общего результата, который получен во второй части статьи.

2. Рассмотрим прямоугольные матрицы А=(а-), имеющие п строк и т столбцов с элементами а- = ±1. Такие матрицы будем называть А-матрицами. Говорим, что две А-матрицы эквивалентны: А~А', если от А можно перейти к А' некоторой перестановкой строк. Очевидно, что любая матрица-орбита есть А -матрица и две

орбиты 3 а, 3 ь совпадают тогда и только тогда, когда ОгЬГа ~ ОгЬГь.

Для произвольной А-матрицы определим сум мы:

I = Vа .,1 = Vа а ., I , = Vа а а .,... (2)

і М^ / Мі М Р Ук Мі М/ Мк^

М=1 м=1 М=1

Каждой транспозиции строк в А-матрице отвечает перестановка слагаемых в суммах (2) и, следовательно, сами суммы не изменяются. Поэтому система:

4 Іі/, Іі/ к,. (1 < і </ < к < . < т) (3)

есть система инвариантов для А-матрицы относительно транспозиции строк и число инвариантов в (3) есть 2т—1.

Эквивалентные А-матрицы обладают одной и той же системой инвариантов (3). Оказывается справедливым и обратное утверждение, что формулируем как

Критерий эквивалентности А-матриц. Две А-матрицы эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же систему инвариантов (3).

Обоснование утверждения, что неэквивалентные А-матрицы обладают различными системами инвариантов (3), не является тривиальным, и доказательство приводим ниже.

Для произвольной А -матрицы введём ещё один набор инвариантов. Рассмотрим в А произвольный і-й столбец. Для него определим Мі как множество всех строк с элементами а/і =+1. Тогда для пары столбцов і,/ пересечение Мі(ЛМ/ есть множество всех строк в А, для которых а/і = = а/ =+1, или строк вида (+ +). Аналогично, для тройки столбцов і, /, к множество М^ЛМ/ЛМк есть все строки в А вида (+ + +) и т.д. Перестановка строк не меняет числа элементов в этих множествах, и если ввести обозначения:

ті = |М\, ті/ = |Мі 1 м/ , ті]к = | Мі 1MJ1 Мк\

то система:

т і, т і/, т і/к,... (1 < і </ < к< ... < т) (4)

есть система 2 —1 инвариантов относительно операции перестановки строк А-матрицы.

Установим связь между системами (3) и (4). Введём как дополнение Мі до множества М всех п строк А-матрицы: в і-м столбце на строках находятся а/і = —1. Для пары столбцов і, / очевидный смысл имеет Мі 1М/ как множество всех строк вида (— +); для тройки столбцов і, /, к Мі 1М 1М, есть все строки вида (— + +) и т.д.

J к

Из равенства |М;- 1М /1 = М/1 - |М;- 1М /1

получим выражения для числа элементов, в пересечении содержащих дополнения, через систему инвариантов (4):

М . IМ \ _ т. - т..

\Мі1М/ ПМк\ = т/к -т/к

Мі 1М/1 Мк| = тк -(тік + т/к) + т

і/к

(5)

и поскольку МА = п - \МЛ , то:

М,. = п - т..

М 1М/1 = п - (ті + т/) + т/

М 1М/1Мк| = п - (ті + т/ + тк) + +(т/ + тік + т/к) - т,

/к

(6)

Значение инвариантов I., I1.к,... есть разность между числом положительных и отрицательных слагаемых в суммах (2). Поэтому из (5), (6) следует:

I. _ -п + 2т.

І/ = п - 2(ті + т/) + 4тг/

Іі/к =-п + 2(ті + т/ + тк) -- 4(т/ + т,к + т/к) + 8тЦк

(7)

В общем случае «д-индексный» инвариант в (7):

І = (-1)7

11Ъ12,...,1д ( 1)

п - 2Е та, +

А

Л

(8)

+ 22 V т - 23 V т

/-і та1а 2 2 ^ т

+...

а1а 2 ^ а1а 2«3

Р2 Р3 у

где суммирование ведется по перестановкам

Рк _ [аьа2,...,ак], к _ 1,q, с условием 1 < а1 < < а2 <... < ак < т .

Если (7) рассматривать как систему линейных уравнений относительно (4), то единственное решение системы есть:

т

=

і1 ,і2 ,...,ід = 77

+11

! + ЕЛ, +Е Іі1і2 +

(9)

і1і2і3

+...

Покажем, что каждую А-матрицу перестановкой строк можно привести к определённому виду - канонической форме А-матрицы; каноническая матрица в данном классе эквивалентных А -матриц единственная, и она определена

т

системои 2 —1 чисел, которые называем структурными константами.

Определение структурных констант дадим итерационной процедурой, где количество итераций будет равно т — числу столбцов А-матрицы.

Первый шаг состоит в перестановке строк А-матрицы так, чтобы все элементы а/1 =+1, стоящие в её первом столбце, заняли бы первые места. В результате транспозиции строк структура первого столбца в А1 представляется как последовательность: С1Ь С11, где на множестве С11 первых т1 строк стоят +1, а на множестве С11 последующих строк находятся —1. Отмечаем, что структура первого столбца в А1 полностью определяется заданием двух чисел: с11 =| с„| = т1 и с11 =| Сп| = п - т1, которые называем структурными константами первого столбца.

Второй шаг. На множестве строк С11 совершаем перестановку так, чтобы элементы а/2 = = +1, находящиеся в первых т1 строках второго столбца, заняли бы первые места. Результат такого преобразования запишем в виде:

С11 = С21 и С21, где на множестве С21 первых строк находятся пары (+ +), а множество С21 последующих строк из С11 содержит пары (+ —). Краткая запись: С21(+ +), С21 (+ —). Аналогично поступаем со второй группой строк: = С22 и С2 , где С22(— +), С2 (— —).

В результате выполнения второго шага А1^А2. Первый столбец в А2 сохраняет структуру первого столбца в А1, а структура второго столбца определена последовательностью (в порядке возрастания номеров строк) множеств: С21, С21, С22, С22 . Такая последовательность будет однозначно определяться числами

С21 = |С211 , С21 = | С2^ , С22 = |С2^ , С22 = | С22 | структурными константами второго столбца. По определению, С22 есть строки (— +), т.е. С21 = \М 1 1М21 = т12. Из (5), (6) выражаем остальные константы: с21 = т1 - т12, с22 = т1 — т12,

с22 = п - (т1 + т2) + т12.

Структура первых двух столбцов в А2 определена константами с11, с11, с21, с21, с22, с22 , причём в выражении их через инварианты (4) независимыми будут только три:

р

2

р

3

11 = m1

21 = m12

22 = m2

12

(10)

A =

Qi(+ +)

Q(+)

C 21 (+ -)

C22( +)

C1(-)

C22 ( -)

C31(+ + +) C 31(+ + -)"

C32(+-+)

C 32 (+ )

C33(- + +)

C 33(- + -)'

C34(-----+)

C 34 (------)

C34 = IC3J = M nM2 nM^ и, согласно (5), (6), их выражения из (4) есть:

т.к. для матрицы с данным числом п строк остальные сп, с21, с22 выражаются через них.

Третий шаг состоит в перестановке строк в каждом отдельно взятом множестве С21, С21, С22, С22, и, следовательно, преобразование Л2——Л3 будет сохранять структуру первых двух столбцов. Перестановку строк в Л2 проводим так, чтобы получить представление

С21 = С31 и С31, где С31, С31 есть (по возрастанию номеров строк) множества строк вида: С31 (+ + +), С31 (+ + —). Выполнение данной и последующих перестановок аналогично преобразованиям на первых двух шагах, что удобно изобразить схемой (рис. 3).

’31 3 2 S 11

32 3 2 s 1 II + m13

33 3 2 s 1 II + m23

34 1 3 2 s II -m13 - m23 + m3

(11)

Сравнение (10), (11) позволяет задать связь между структурными константами первого, второго и третьего столбцов Л3 через соответствующие инварианты системы (4) с помощью матриц

-т т

и T =

т3

1У

( т2 0

-т т

соот-

ветственно.

Произвольный шаг с номером q (1 < q <m)

q-1

связывает структурные константы Cq1,...Cq,2 q-

го столбца матрицы

m12...q,..., mq при

т =

q

q, •, mq

( т 1 0 '

q-1

-т 1 т 1

V q-1 q-1 У

lq с инвариантами помощи матрицы

Последний шаг: q=m. A-матрица приведена к канонической форме. Каноническая матрица однозначно определена набором 2m - 1 структурных констант:

С1Ь С2Ь c22,•••, cm1,

m-1

cm,2

(12)

Рис. 3. Третий шаг алгоритма. Структура первых трёх столбцов матрицы А3

Структура третьего столбца в А3 будет однозначно определяться структурными константами:

c31 = |C31| = |M1 nM2 nM3 \, c32 = |C32| = |M1 nM2 nM3|, c33 = |C33| = M1 n M2 n M3 ,

Структурные константы (12) однозначно определены через систему инвариантов (4) и, в силу (9), через систему инвариантов (3). Обратно, в силу невырожденности матрицы тп (det тп = 1) и (8) все инварианты (3) однозначным образом выражаются через структурные константы (12).

Если А-матрицы неэквивалентны: А~А', то их канонические матрицы различны - они определены разными наборами структурных констант и, следовательно, разным набором инвариантов (3), что доказывает критерий.

Теорема о полноте системы инвариантов (1) теперь сразу следует из критерия эквивалентности А-матриц и того факта, что любая матрица-орбита является А-матрицей.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-03-00390).

Список литературы

1. Radhakrishnan T.P., Herndon W.C. // J. Phys. Chem. 1991. V.95. P. 10609-10617.

2. Kuo J.-L., Coe J.V., Singer S.J. et al. // J. Chem. Phys. 2001. V. 114, N 6. P. 2527-2539.

3. Pauling L. // J. Am. Chem. Soc. 1935. V. 57,

N 12. P. 2680-2684.

COMPLETENESS OF THE SYSTEM OF POLYLINEAR INVARIANTS OF ORIENTED GRAPHS

A.G. Razuvaev, S.K. Ignatov

It has been proved that for any set of oriented graphs 3 defined at the given unoriented graph r and for any group G ^ Autr acting on 3 , the system of polylinear invariants is complete relative to the group G. This result is of principal importance for the development of modern calculation algorithms for the physical properties of molecular structures capable of forming orientational isomers.

Keywords: oriented graphs, symmetry groups, invariants, polylinear forms.