Анализ инвариантов в задаче разделения неизоморфных орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.17+51-73

Э.О. Душкина, С.К. Игнатов, А.Г. Разуваев

АНАЛИЗ ИНВАРИАНТОВ В ЗАДАЧЕ РАЗДЕЛЕНИЯ НЕИЗОМОРФНЫХ ОРГРАФОВ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Институт информационных технологий, математики и механики

Использование инвариантов орграфов в задаче разделения ориентационных стереоизомеров кластеров воды (Н20)п. Метод базируется на теории групп и состоит в построении специальных функций (инвариантов), определенных на орграфах, задающих сетку водородных связей кластера (Н20)п Предлагаемый метод проиллюстрирован построением схемы разделения стереоизомеров в гексагональной ячейке кристаллического льда (Н20)6. Анализ инвариантов может служить перспективным методом расчета энергий кластеров (Н20)п, что является актуальной проблемой в физике и химии атмосферы.

Ключевые слова: орграфы, группы симметрии, инварианты, стереоизомеры.

Работа является иллюстрацией применения теоретико-групповых методов в решении некоторых задач физики и химии атмосферы. В газовой (пары воды) или твердой фазе (лед) молекулы воды образуют кластеры (Н20)п - структуры, где п молекул воды связаны между собой водородными связями. При данной сетке таких связей положение протонов на них может быть различным. Такие стереоизомеры обладают своими свойствами и особенностями взаимодействия с другими молекулами.

В статье на примере гексагонального кластера (Н20)6 с диэдральной группой симметрии кислородного остова показано, как введенные в [1] инварианты группы симметрии кластера могут быть использованы в задаче разделения стереоизомеров.

В данной статье рассматривается гексагональная структура кристалла льда (Н20)6, которая имеет различные ориентационные изомеры. Атомы кислорода находятся в вершинах бипирамиды, а водородные связи идут по ребрам бипирамиды (рис. 1, а).

Введение

14

1

а)

б)

Рис. 1

© Душкина Э.О., Игнатов С.К., Разуваев А.Г., 2015.

Направление двух атомов водорода, связанных с одним кислородным центром (кислородом) может меняться. Для кристалла льда имеет место правило Бернала-Фаулера: в любую вершину степени четыре входит две дуги и выходит две дуги. Для элементарной ячейки может быть другое расположение атомов водорода, также удовлетворяющие правилу Берна-ла-Фаулера (рис. 1, б). Если структуру (а) нельзя перевести поворотами и отражениями в структуру (Ь) (рис. 1), то, по определению это два разных ориентационных изомера.

Физико-химические свойства ориентационно различных изомеров различны, поэтому актуальной является задача подсчета числа ориентационно различных изомеров.

Поставленная задача может быть решена в рамках перечисления орграфов, построенных на данном неориентированном графе.

Пусть у есть неориентированный граф. Всюду далее считаем, что у - связный граф без петель и кратных ребер, число которых т. Группу АШ;у всех автоморфизмов графа у считаем известной, и пусть О с АШ;у ее некоторая подгруппа. Выбор подгруппы О диктуется постановкой решаемой задачи. Например, если граф у задает некоторую молекулярную систему, то в качестве О обычно выступает точечная группа симметрии системы, которая, как правило, является собственной подгруппой группы АШ;у. Всюду далее считаем, что группа О состоит из п элементов: О = gn }.

Рис. 2

Рассмотрим граф у на рис. 2, который имеет т = 16 ребер и АШ;у - диэдральную подгруппу Д4 элементы которой есть повороты и отражения: О2 - поворот вокруг вертикальной оси на угол п против часовой стрелки, и2,и2 - повороты вокруг горизонтальный осей на угол п, и 52 - симметрия относительно двух вертикальных плоскостей, проходящих через вершины 2, 7 и 3, 6, соответственно, £4 = Ц^, £4 = Ц8 - зеркально-поворотные оси,

то есть В4 = Е, С2,и\,и84,82, £4, £2}

Элементы группы О можно задать в виде подстановок вершин графа у:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14^

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14,

Е =

С =

V ~ ^ ■ ~ ' ----------- -у

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 7 6 5 4 3 2 1 9 11 10 12 14 13

и1 =[•

2 3

3 2

4 1

5 8

6 7

7 6

8 5

9 10 12 14

11 13

12 13 9 11

14 10

ТТ2_ I 1 2 3 4 5 6 7

и 2 -

8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 1 2 3 4 12 13 14 9 10 11

81 -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2 6 5 4 3 7 8 9 11 10 12 13 14

Г1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14^

8 7 3 4 5 6 2 1 9 10 11 12 14 13

82 -

, ., . _ ~ ^ . ^ ..... . . .„у

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3 7 8 1 2 6 5 12 13 14 9 11 10

е2_ I 1234567

¿4 -

8 9 10 11 12 13 14 5 6 2 1 8 7 3 4 12 14 13 9 10 11

Пусть (/, 7) - ребро, соединяющее г и 7. Так как граф неориентированный, то

(/, 7) — (7, I). Представление каждого % е О подстановкой вершин определяет действие О на

ребра графа % (/,7 ) - (/), %(/ )).

Каждому ребру (/, 7) приписываем символ Ьу и ориентацию ребер на у определяем по

правилу Ьу -+1, если ориентация ребра (дуга) направлена от г к 7 и Ьу --1 в противном

случае. Очевидно Ьу - —Ьу. Все т дуг Ьу, где г <7, выбранных в любой последовательности,

будем обозначать Х1, ..., Хт.

Зададим на у некоторую фиксированную ориентацию ребер (рис. 3), удовлетворяющую правилу Бернала-Фаулера.

Рис. 3

Для нашего примера зададим ориентацию: Х1 - Ь23, Х2 - Ь37, Х3 - Ь76, Х4 - Ь62, Х5 - Ь29 , Х6 - Ь79 , Х7 - Ь6,12, Х8 - Ь3,12, Х9 - Ь9,10 , Х10 - Ь9,11, Х11 - Ь12,13, Х12 - Ь12,14,

Х13 - Ь12, Х14 - Ь43, Х15 - Ь87, Х16 - Ь56. Если Ь1] - Хк , то Ь]1 - -Хк ■

Тогда элементам группы О будут отвечать следующие подстановки на множестве ребер:

Е -| Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х 9 Х10 Х11 Х12 Х13 Х14 Х15 Х16 IХ1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х 9 Х10 Х11 Х12 Х13 Х14 Х15 Х16 у

и 1 =

'2

81 =

^ =

$ = s2 =

1 X X 2 X3 X 4 X5 X 6 X7 X 8 X 9 Хо Х1 Х2 Х3 Х4 Х15 Х16 1 •

1X 3 X 4 Х1 X 2 X6 X 5 X 8 X 7 Хо X 9 Х2 Х1 Х5 Х16 Х13 Х14 J'

Г X X 2 X 3 X 4 X 5 X6 X7 X8 X 9 Хо Х1 Х2 Х13 Х14 Х15 Х16

1- XX! - X 4 - X 3 - X 2 X8 X 7 X 6 X 5 Х2 Х1 Хо X 9 Х14 Х13 Х16 Х15

-Г X X 2 X3 X 4 X 5 X 6 X 7 X8 X 9 Хо Х1 Х2 Х13 Х14 Х15 Х16

V- Х3 - Х2 - X - X4 X7 X8 X 5 X6 Х1 Х2 X 9 Хо Х16 Х15 Х14 Х13

Г X X 2 X 3 X 4 X 5 X6 X7 X 8 X 9 Хо Х1 Х2 Х13 Х14 Х15 Х16

V- X4 - X 3 -X 2 - X X 5 X6 X8 X7 Хо X 9 Х1 Х2 Х13 Х16 Х15 Х14 )

Г Xl X2 X 3 X4 X 5 X6 X7 X 8 X9 Хо Х1 Х2 Х13 Х14 Х15 Х16 "

V- X2 - X - X4 - X 3 X6 X 5 X7 X 8 X9 Хо Х2 Х1 Х15 Х14 Х13 Х16

и

X 2 X3 X 4 X 5 X 6 X7 X8 X 9 Хо Хц Х12 Х13 Х14 Х15

X 3 X 4 X X8 X 7 X5 X6 Хц Х12 Хо X 9 Х14 Х15 Х16

X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 Хо Хц Х12 Х13 Х14 Х15

X X 2 X 3 X7 X 8 X6 X 5 Х12 Хц X9 Хо Х16 Х13 Х14

X

16

13

X] X

Задания всех подстановок запишем в табл. 1.

Таблица 1

2

Действие группы О = Д4 на дуги орграфа

Е и 2 и 2 81 8 2 1 s 4 2 s 4

х 1 X1 X 3 - X - X 3 - X 4 - X 2 X 2 X 4

X 2 X 2 X 4 - X 4 - X 2 - X 3 - X X 3 X1

X 3 X 3 X1 - X 3 - X - X 2 - X 4 X 4 X 2

X 4 X 4 X 2 - X 2 - X 4 - X - X 3 X1 X 3

X 5 X 5 X 6 X 8 X 7 X 5 X 6 X 8 X 7

X 6 X 6 X 5 X 7 X 8 X 6 X 5 X 7 X 8

X 7 X 7 X 8 X 6 X 5 X 8 X 7 X 5 X 6

X 8 X 8 X 7 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 X 5

X 9 X 9 Хо Х12 X11 Х1о X 9 Хц Х12

Хо Хо X 9 X11 Х12 X 9 Х1о Х12 Хц

Хц Хц Х12 Хо X 9 Хц Х12 Х1о X 9

Х12 Х12 X11 X 9 Х1о Х12 Хц X 9 Х1о

Х13 Х13 Х15 Х14 Х16 Х13 Х15 Х14 Х16

Х14 Х14 Х16 Х13 Х15 Х16 Х14 Х15 Х13

Х15 Х15 Х13 Х16 Х14 Х15 Х13 Х16 Х14

Х16 Х16 Х14 Х15 Х13 Х14 Х16 Х13 Х15

Произвольный орграф Г на у записываем в виде Г(Х1, ..., Хт), а задание конкретного орграфа состоит в присвоении переменным Хк, конкретных значений ± 1. Последнее приводит к записи конкретного орграфа в виде вектора-строки с компонентами ± 1.

Пусть Ч* есть некоторое множество орграфов, определенных на данном у. От Ч* требуем условия: если Г £ Ч*, то Е Ч1, то есть С действует на Ч*. Для каждого Га <= Ч* определена орбита: Га = {<^1(Га),..., gn (Га)} и ¥ = ^... . По определению каждая орбита - множество орграфов изоморфных относительно группы О, а ^ - число неизоморфных орграфов в Т.

Возьмем орграф Г1, которому отвечает вектор-строка [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], то есть Г1=[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]. Действие G на ребра у определяет действие G на дугах орграфа: Xm) = r(g(X1),...,g(Xm)). Согласно заданию группы G

как подстановок Е,Cf,U\,U81, 82,£4,£4 на вершинах у и введенным обозначениям для дуг орграфа Г(ХЬ X2, X3, X4, X5, X6, X7, Xs, X9, X10, Xu, X12, X13, X14, X15, Xi6), действие G на Г будет определено таблицей 1. То есть

ЕГ = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

С2Г1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

U2Г = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]; и22Г1 = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

81Г1 = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]; 8 2Г1 = [-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

£ 4Г1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

£42Г1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]. Следовательно, орграфу Г1 отвечает орбита длины 2.

Далее берется другая комбинация, которая не встречалась в ранее найденных орграфах. В процессе работы был разработан алгоритм нахождения всех неизоморфных орграфов и реализован в виде компьютерной программы. В результате работы программа выдает файл со списком всех неизоморфных орграфов. Итог: 27 ориентационных изомеров. Г1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]; Г2 = [1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1]; Г3 = [-1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1]; Г4 = [-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1]; Г5 = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, 1]; Г6 = [-1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1]; Г7 = [1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г8 = [1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г9 = [1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г10 = [-1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Гц = [-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г12 = [1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г13 = [1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, 1]; Г14 = [1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1]; Г15 = [1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1]; Г16 = [1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1]; Г17 = [1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]; Г18 = [-1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]; Г19 = [-1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]; Г20 = [-1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1]; Г21 = [-1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1]; Г22 = [1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1]; Г23 = [1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1]; Г24 = [-1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1]; Г25 = [1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1]; Г26 = [1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1]; Г27 = [1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] Все найденные ориентационные изомеры изображены на рис. 4.

'У \

А

у

>

V

/ \

>47

У

/

?

(

у

-"ч

/

"\7 >

¥

/\

V

/и-

. / X

/

Аг

У

4

/

(

N4-

X

/

' \

X

г

У

У

' \

А

>

\ / У

>7\

/

V

-А

>ч г

У

.-Ч—-V

/

/

^

/

X

>

>

(

-

^—ч

\ / V

х

^ / \

У+т'"

V

/

V

А

Г

Рис. 4

л

Для произвольного орграфа Г(ХЬ...,Хтопределим функции J = , Хт ) как суммы:

Л = ТеСх), 3 = ТЕ(х ы(х} 1

31]к = Т Е(х1к(хуЫ^О .., Л/к.../ = Т 8(Хк(х/)%(хкХ-,Ы(х/), (1)

ЫеО ыеО

которые являются полилинейными функциями своих аргументов. Инварианты ,, , и

так далее будем называть инвариантами 1, 2, 3-го и т. д. порядков.

Каждая функция из (1) преобразуется по единичному представлению группы О: 3 (Х1,..., Хт ) =3 (ыХ ),..., Ы (Хт ))=3 (Х1,...

, Хт). Саму систему (1) назовем системой полилинейных инвариантов.

Инварианты (1) - легко вычислимые функции. Для их вычисления применяется табл. 1.

Далее представлены инварианты, необходимые для дальнейшего решения задачи.

35 Т ыХ )= X5 + Х6 + Х6 + X5 + Х7 + Х8 + Х8 + X7,

ЫеО

3 21 = 2(Х1Х2 + Х1Х4 + Х2 Х3 + Х3 Х4 )> 3 31 = 4(Х1 Х3 + X2 X4 ), 361 = Х6 Х1 + Х5 Х3 - Х5 Х2 - Х6 Х4 - Х8 Х3 - Х7 Х1 + Х7 Х2 + Х8 Х4 > 391 = Х9Х1 + Х1оХ3 - Х9Х2 - Х1оХ4 - Х11Х3 - Х12Х1 + Х11Х2 + Х12Х4 >

3 65 = 4(Х5 Х6 + Х7 Х8 ), 311,5 = 2(Х11Х5 + Х12 Х6 + Х9 Х7 + Х1оХ8 )> 3921 = 2(Х9 Х2 Х1 + Х1оХ4 Х3 + Х11Х2 Х3 + Х12Х1Х4 X

3951 = Х9Х5Х1 + Х1оХ6Х3 - Х9Х6Х2 - Х1оХ5Х4 - Х11Х7Х3 - Х12Х8Х1 + Х11Х8Х2 + Х12Х7Х4. Ссылаясь на найденные ориентационные изомеры, вычислим значения инвариантов на заданных 27 орграфах. Эти значения представлены в виде табл. 2, где представлены значения инвариантов на Г1 - Г27.

Таблица2

h J21 J31 /61 J 91 ] 65 J 11,5 J 921 J 951

Г! 8

Г2 4 8 8 8 0 0 0 4 4

Гз 4 8 8 8 0 0 0 4 -4

Г4 4 0 -8 -8

Г5 4 0 0 0 0

Гб 4 0 0 0 -4

Г7 0 0 0 -4

Г8 0 0 -8 -8 -4 -4 8

Г9 0 8 8 8 8 -8 0 0 8

Гю 0 8 8 8 8 -8 0 0 -8

Гц 0 0 -8 -8 4 4 -8

Г!2 0 0 -8 -8 4 4 0

Г!3 0 8 8 8 8 -8 8

Г!4 0 0 -8 -8 -4 -4 0

Г!5 0 8 8 8 8 -8 -8

Г!6 0 8 8 8 8 8

Г!7 0 0 0 4 -4

Г18 0 0 0 4 0 0 0 -8

Г!9 0 0 0 4 0 0 0 8

Окончание табл. 2

Г20 0 0 0 4 4

Г21 0 -8

Г22 -4 0 -8

Г23 -4 8 8 8 0 0 0 -4 4

Г24 -4 8 8 8 0 0 0 -4 -4

Г25 -4 0 8 8 -4

Г26 -4 0 8 8 0

Г27 -8

Система инвариантов называется полной относительно действия группы G на если для любой пары Г( 3 Гу из ¥ найдется такая функция 3из этой системы, что/(Г\) /(Г)).

В результате решения поставленной задачи для конкретного примера (рис. 1) было найдено 27 ориентационных изомеров, которые разделяются с помощью системы инвариантов, состоящей из одного инварианта 1 -го порядка, шести инвариантов 2-го порядка и двух инвариантов 3-го порядка. Процедура разделения представлена на рис. 5.

Рис. 5

Библиографический список

1. Jer-Lai Kuo. Singer: On the use of graph invariants for efficiently generating hydrogen bond topologies and predicting physical properties of water clusters and ice / Jer-Lai Kuo, James V. Coe, J. Sherwin // Journal of chemical physics. - 2001. - № 6.

2. Разуваев, А. Г. Полнота системы полилинейных инвариантов орграфов / А. Г. Разуваев, С. К. Игнатов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2010. -№3(1). - С. 148-153.

Дата поступления в редакцию 26.10.2015

E.O. Dushkina, S.K. Ignatov, A.G. Razuvaev

AN ANALYSIS OF THE INVARIANTS IN THE TASK OF SEPARATION OF NONISOMORFIC ORIENTED GRAPHS

Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, Institute of Information Technology, Mathematics and Mechanics

Purpose: To describe the method of invariants of graphs in the task of separation of orientational stereoisomers of water clusters (H2O)n.

Design/methodology/approach: The usage of The method is based on the theory of groups and consists of building up special functions (invariants), determined by digraphs defining the network of cluster hydrogen bonds(H2O)n. The suggested method is illustrated by building up the scheme of separation of stereoisomers in a hexagonal cell of crystalline ice (H2O)6.

Findings: The solution for the problem is important for the study of physical and chemical interaction processes of ice crystal molecules which are located in the upper atmosphere.

Research/limitations/implications: The analysis of invariants may serve as a promising method of calculating the energy clusters (H2O)n, which is the burning problem in the physics and chemistry of the atmosphere. Originality/value: It is the first time when the usage of invariants was examined in the problem of nonisomorphic oriented graph partition.

Key words: oriented graphs, symmetry groups, invariants, stereoisomers.