CC BY
87
Educational Technology & Society 4(2) 2001 ISSN 1436-4522
Дискретные математические модели в исследовании процессов автоматизированного обучения
АЗ. Соловов1, А.А. Меньшикова2 ^а^ный руководитель ЦНИТ СГАУ, доцент, кавдвдат технических наук, действительный член Российской академии информатизации образования
2
[email protected], [email protected]
Аннотация
Предлагается моделировать процессы автоматизированного обучения с
.
подхода построены вычислительные алгоритмы и разработаны компьютерные .
.
,
интеллектуализации автоматизированных обучающих систем и как средства педагогического тренинга при подготовке и переподготовке
.
Ключевые слова
,, обучение, интеллектуализация обучающих систем, педагогический тренинг.
Предварительные замечания
Обычная схема функционирования автоматизированных обучающих систем (АОС) включает последовательность шагов, каждый из которых направлен на усвоение учащимися определенной порции учебного материала. Каждый шаг содержит три основных функциональных компонента: предъявление порции
теоретической информации, подлежащей усвоению; выполнение упражнений для
;
.
Порядок работы учащихся в условиях автоматизированного обучения
,,
,
.
,
особенностям учащихся и выбор оптимальных параметров учебного материала -
,
количества и типа упражнений, ввдов помощи и т.п. Оптимизация этих параметров должна приводить либо к минимизации времени обучения при фиксированном
,
.
,
обучаемого и процесса обучения [Ховдинг Д., Голдстейн Н., Эберте Р., 1991].
()
.,
работу [Рас^игин Л А., Эренштейн М.Х., 1988], в которой приведено краткое
.
В данной работе рассматривается новый подход к моделированию процессов
( ),
,
[Робертс Ф.С., 1986].
Взвешенные орграфы как модели процессов АО
Рассмотрим пример простейшей модели функционирования АОС (рис.1). В этом примере вершина графа В - это количество вопросов или упражнений, которые получает учащийся в диалоге с АОС для усвоения какой-либо порции учебной .
Рис.1. Простейшая графовая модель функционирования АОС и ее матрица
смежности.
Вершина УО - это уровень обученности. Его обычно вычисляют как УО = ПОЛЗ, где ПО - количество давильных ответов-решений. Очевидно, что У О е [0,1]. -, упражнений. Это может быть подсказка, намек, теоретическая информация или
( ). зависимости от степени полноты помощи величину П удобно представлять в интервале [0,1]. Здесь 0 - это отсутствие помощи; 1 - полное решение упражнения.
,, параметрами дуг xk (к = 1,2,..,6). В дальнейшем будем говорить о векторе параметров орграфа (дга данного примера X = (х1, х2, ...х6)).
Суть параметров xk можно пояснить на примере так называемого знакового ( . 2). , , имеет знак +. Это означает, что увеличение количества вопросов-упражнений ведет к увеличению уровня обученности, а уменьшение В - к уменьшению УО. Дуга,
-. ,
уменьшению В, а уменьшение У О - к увеличению В. Знаковый граф является частным случаем взвешенного ориентированного графа, когда параметры xk
+1 -1,
.
Рис.2. Пример знакового орграфа и его матрицы смежности.
,
,,
.
Более сложная модель функционирования АОС показана на рис. 3. В нее
( ),
( ), ( ),
( ). , моделируемого процесса, также можно нормировать к интервалу [0,1]. В данной
модели они оказывают влияние лишь на вершины В, У О и П, но обратных связей от них не имеют. Влияние друг на друга вершины ОМ, СМ, УС также не оказывают. Простейший анализ позволяет предсказать знаки ребер х7, х8 ...х15: х7+, х8+, х9-, х!0-, х11-, х12+, х13+, х14+, х15-.
Рис. 3. Пример более сложной модели.
Импульсный процесс
Для более глубокого анализа моделей АО в виде взвешенных орграфов необходимо построить алгоритм влияния изменений значения одной вершины на
.
процесса, предложенную в [Робертс Ф.С., 1986]. Суть ее заключается в том, что в некоторую вершину анализируемого графа вносится внешнее возмущение (увелтивается или уменьшается ее величина). Например, в вершину В (см. рис. 1-3)
.,
распространение этого начального импульса и определяются значения вершин У О и .
Рассмотрим орграф, вершины которого надставлены совокупностью и1, и2,...ип. Предположим, что каждая вершина ш в ходе импульсного процесса принимает значение уОД в дискретные моменты времени t = 0,1,2,... Будем считать, что значение у^+1) определяется значением уОД и информацией о том увеличили или уменьшили свои значения другие вершины и], смежные с ш, в момент времени 1
:
п
V- 0 + 1) = V 0) + £ ™(и] , иг )Р1 (),
1=1
где w(uj, ui) - вес дуги го вершины и] в вершину ш ^(щ, ui) = 0, если дуга (и], ш) отсутствует);
р^) - изменение в вершине и] в момент времени 1
В соответствии с этой формулой, если имеется дуга из и] в ш с весом w И значение вершины и] возрастает в момент времени ^ ^^гае число 7, то значение вершины ш в момент времени t+1 возрастает на величину z*w.
Будем различать понятие исходного у^исх.) и начального у1(0) значений в каждой вершине ш.
у1(0) = у^исх.) + р1(0),
где pi(0) - начальный импульс (изменение в момент времени t = 0) вершины ш.
:
У(исх.) = (у1(исх.), у2(нсх.),... уп(исх.)) - вектор исходных значений вершин; Р(0) = (р1(0), р2(0),... рп(0)) - вектор начальных импульсов;
УОО = (v1(t), v2(t),... уп(^)) - вектор значений вершин в момент времени 1
С учетом этих обозначений алгоритм развития импульсного процесса можно представить следующей матричной формулой:
У© = У(нсх) + (I + А + А2 + ... + Аг)ТР(0), где I - единичная матрица размером п*п;
А - матрица смелости орграфа размером п*п;
Т - означает транспонирование, а 1 - степень.
Устойчивость импульсного процесса
,,
.,
,
вершин орграфа, либо к неограниченному увеличению (или уменьшению) этих .
.
.
-.
В качестве примера на рис. 4 показаны графики развития импульсного
процесса относительно вершин УО и П в орграфе (см. рис. 1) с параметрами Х=
(0.25, -1, 0.3, 0.1, -1, 1), У(исх) = (0, 0, 1), Р(0) = (5, 0, 0).
1^т
17. П *
1Д5. \
□ £. \
□ ,75 ■ / \ а.
\ Р
0,15. \ /
ВЭ- \ /
11,15 ■ \ /
П.Ц.______Ц_
-□,15 .12 3*
-□е ■
Рис. 4. График'" неустойчивого импульсного процесса.
( ) , модели процессов АО (см. димеры на рис. 1, 3), показали, что подобрать эти ,,
.
В работе [Робертс Ф.С., 1986] было установлено и строго доказано, что
,
значение матрицы смежности орграфа по абсолютной величине не превосходит .
.
Формулировка задачи оптимизации
Вектор проектных переменных - это вектор параметров орграфа X = (х1, х2, ..., xk, ..., xm). На вес каждой дуги графа наложим ограничения xk е [ck, dk]. Структуру графа будем задавать матрицей смежности А размером (n*n). Кроме варьируемых k.
Собственные значения матрицы А представим в виде вектора 1 = (11, 12, ..., 1i, ., 1n),
где 1i = ai +bii, т.е. 1i может быть действительным или комплексным числом. Абсолютное значение 1'i вычислятся как корень квадратный из суммы квадратов ai и bi.
Функция цели f(x) = max (1'1,1'2, ..., 1'i, ..., 1'n).
-
минимизировать f(x) при ограничениях xk е [ck, dk].
Алгоритм оптимизации
Для компьютерной реализации выбран метод Монте-Карло с улучшением, суть которого - последовательный анализ случайно выбранных точек в области допустимых проектных переменных. Улучшение сводится к разделению поиска на
.
-,
но превращает алгоритм статистических испытаний из метода глобального поиска в
., разработанная совместно с И.Н. Спасеновым, у^автается пользователем: ряд ее параметров (велтина ребра гиперкуба поиска, исходный вектор X, ограничения на параметры хк, количество случайных проб на этапе) назначаются в диалоге и могут
.
,
приближенный алгоритм Якоби с понижением нормы для действительных матриц [Уилкинсон, Райнш, 1976].
Эффективность компьютерной реализации алгоритма характеризует :
X m=15 и размером матрицы А п=6 (см. рис. 3) требует примерно 10 минут работы компьютера Pentium 233. При этом количество случайных проб в ходе поиска составляет 7-8 тысяч.
Результаты исследований
В ходе проверки работоспособности и достоверности разработанных
,
показанных на рис. 1-3. Они показали, что функция цели Д(х) является
,. Попадание в тот или иной локальный минимум определяется исходными значениями параметров вектора X и ограничениями на эти параметры, т.е. роль эксперта-пользователя, назначающего эти величины, по-^е^е^ весьма существенна.
.5
процесса в орграфе (см. рис. 1) с У(исх) = (0, 0, 1), Р(0) = (5, 0, 0) и вектором параметров в одном из локальных оптимумов X = (0.2, -0.5, -0.1, -0.1, -0.5, -0.2).
Рис. 5. Сходимость импульсного процесса для орграфа с оптимальными
параметрами.
Сферы применения
,
..
и они позволяют наметить ряд направлений для применения результатов данной .
Предлагаемые здесь модели могут рассматриваться как прескриптивные и .,
АО. Они могут быть полезны при разработке АОС. Исследование таких моделей, экспертный анализ и оптимизация их параметров позволяют более обоснованно
,
,,
.
Дескриптивные модели описывают уже существующие процессы АО и могут , , .
Графовые модели процессов АО могут встраиваться непосредственно в АОС и
.,
.3, ,
,
.
величина П - это возможный максимум помощи. Все эти величины, как уже отмечалось ранее, нормируются в пределах [0, 1]. Задав все эти данные, можно определить минимально необходимое количество упражнений для достижения
,
спрогнозировать время для освоения всего объема учебного материала каждым .
,-
( ),
,
-
,.
,
,, средства своеобразного педагогического тренинга при подготовке и переподготовке
.
Литература
[Растригин Л.А., Эренштейн М.Х., 1988], Растригин Л А., Эренштейн М.Х. Адаптивное обучение с моделью обучаемого. - Рига: Зинатне, 1988. - 160 с.
[Робертс Ф.С., 1986], Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам: Пер. с англ. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 496 с.
[Уилкинсон, Райнш., 1976], Уилкинсон, Райнш Справочник алгоритмов и программ на языке Алгол. Линейная алгебра: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1976. - 590 с. [Холдинг Д., Голдстейн Н., Эберте Р., 1991], Человеческий фактор. В 6 т. Т. 3. Моделирование деятельности, профессиональное общение и отбор операторов: Пер. с англ./ Холдинг Д., Голдстейн Н., Эберте Р. и др. (Часть 2. Профессиональное обучение и отбор операторов). - М.: Мир, 1991. - 302 с.
