CC BY
150УДК 51-7:504:57
Подлевских Марина Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования
Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего образования «Вятский государственный университет», Киров, Россия 610000, г. Киров, ул. Московская, д. 36, e-mail:kspmar@yandex.ru
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Marina Nikolaevna Podlevskih
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Modeling
Federal State Bulget Education Institution of Higher Education «Vyatka State University», Kirov, Russia 610000, Kirov, ul. Moscow, 36, e-mail: kspmar@yandex.ru
USING AN ORIENTED GRAPHS IN MATHEMATICAL MODELS OF ENVIRONMENTAL AND BIOLOGICAL SYSTEMS
Аннотация: в обзорном плане рассматриваются дискретные подходы к изучению экологических и биологических систем, использующие графовые модели. Описание взаимодействия в системе рассматривается как импульсный процесс, протекающий в ориентированном взвешенном графе, что дает возможность решать задачи прогноза, особенно важные при изучении нарушении баланса экосистемы. В качестве примера моделирования биологической системы приводятся генные сети.
Ключевые слова: математическая модель; ориентированный граф; импульсный процесс; устойчивость системы; генная сеть.
Abstract: in the scoping plan discusses some discrete approaches to the study of ecological and biological systems using graph models. The description of the interaction in the system is considered as an impulsive process occurring in the oriented weighted graph that gives the opportunity to solve problems of prediction, particularly important in study of disruption of ecosystem balance. As an example of modeling biological systems are gene networks were reprezented.
Keywords: mathematical model; oriented graph; impulse process; system stability; gene network.
Математическое моделирование является интенсивно развивающимся направлением исследования закономерностей функционирования сложных, в том числе, живых систем. Разнообразие методов, применяемых для моделирования, проявляется использованием дискретных, непрерывных, стохастических и комбинированных подходов.
© Подлевских М.Н., 2017
Моделирование сложных систем начинается с качественного описания структуры системы, в которой выявляются различные отношения между ее компонентами. Математическим аппаратом для формализации структуры отношений в подобных моделях являются графы. В структуре системы, описанной в графовой модели, возможно, например, выявить компоненты связности, циклы взаимодействий, сильные компоненты и другие характеристики системы в зависимости от вида графа. Возможно построение целой иерархии структурных зависимостей при учете разных уровней взаимодействия. Кроме описания структуры графовые модели системы дают возможность изучения ее изменения.
Наглядность в описании структуры зависит от размерности графа, но с помощью разработанных алгоритмов, имеющих реализацию в специальных или стандартных программах, обработка большого числа формализованных данных дает возможность получить необходимую информацию.
Для построения графовых моделей используются разные виды графов. Так, с помощью ориентированных графов можно не только отображать структуру взаимодействия в сложной системе, но и производить оценку возможного изменения или поведения системы в целом, то есть создавать модели динамического характера.
В статье приводятся примеры использования графов при описании экологических и биологических систем. Важными задачами анализа экологических систем являются задачи прогноза, особенно при некотором нарушении баланса экосистемы. В этом случае полезно представить различные варианты развития событий и обнаружить, возможно, скрытые причины, приводящие к хаотическому поведению системы.
В качестве наиболее наглядного примера использования графовых моделей в экологии обычно приводятся сети питания. Однако, граф, в котором зафиксированы только отношения типа «хищник-жертва», недостаточен для моделирования сложной, многокомпонентной экологической системы.
В сложных системах, к которым обычно относятся системы экологического типа, существует большое число контуров обратных связей. Такая связь существует, если две части системы воздействуют друг на друга. Контуры обратной связи могут пересекаться, что служит причиной определенной непредсказуемости в поведении системы и в направлении ее дальнейшего развития.
Для описания типа взаимодействия в системе используется знаковый орграф, где учет различия в силе взаимодействия между компонентами структуры описывается понятием «веса», значение которого присваивается дуге графа. Полученный взвешенный орграф является более тонким инструментом моделирования по сравнению с моделью, построенной в виде знакового орграфа. Отметим, что существует также обобщение данных типов графов в виде функциональных графов, где дугам приписывается значение некоторой функции:
-Пр
если изменения значении в вершинах щ и и^ одного знака если изменения значений; в вершинах щ и т различных знаков.
(1)
Для определения типа знака, значений весов или функционала дуг орграфа используются как экспертные оценки, так и имеющаяся статистическая информация о структурных компонентах системы. При нахождении весов должна быть обеспечена независимость значений этих коэффициентов от других изменяющихся влияний в системе. Весовые коэффициенты, определенные только на основе экспертных оценок, дают менее точные модели. Для знаковых графов значения весов выбираются из множества {+1; 0}.
Изучение механизмов влияния в сложной системе, а также построение прогнозов по ее развитию, может проводиться с использованием аппарата импульсных процессов, применение которого допускает использование знаковых и взвешенных орграфов.
Идея импульсного процесса описана Ф.С. Робертсом [3]. Суть ее заключается в том, что в некоторую вершину анализируемого графа вносится внешнее возмущение, а затем рассматривается распространение этого начального импульса в виде изменений характеристик компонентов, описывающих элементы структуры. В общем случае актуализируется, т.е. имеет изменение состояния вследствие внесенного возмущения, произвольное число вершин графа. Автономный импульсный процесс во взвешенном графе определяется значениями привносимых в систему возмущений, матрицей смежности графа, а также значениями тех характеристик, которые приписываются вершинам графа.
Обозначим вершины орграфа Пусть в ходе импульсного
процесса каждая вершина Щ в дискретные моменты времени / = 0,1,2,... принимает значение г>, (£). Значение г>,(Г + 1) зависит от значения (О, от значений в момент времени £ других вершин графа и}, смежных с вершиной а также от условий, описывающих связь данных вершин. Как было уже отмечено, в знаковом и взвешенном графах связь вершин графа определяется весом дуги: и^ и,) - вес дуги из вершины и^ в вершину Щ; если дуга (г^.и,-) отсутствует, то иг( и^, щ) = 0. В определении веса учитывается знак влияния.
В импульсном процессе это изменение характеристик системы и определяется как понятие импульса.
Значения вершин определяются формулой:
глг- 1:- = ¡':-:г = _г;:>-:п. (3)
В данном выражении и^, гс,) - вес дуги из вершины и^ в вершину и}, если дуга ( и,, щ) , р^ (£:) - изменение в вершине в момент времени
Дополнительно для вершины Щ. графа вводится исходное значение -у{(исх) и начальное значение - ^ (0). Связь между этими значениями:
РАЗДЕЛ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ffo
17,(0) = 17,(ш=0 + Vi (ОХ (4)
где р, (0) - начальный импульс (изменение в момент времени t=0 вершины Щ.
Описание значений вершин в данном виде не учитывает эффект запаздывания, то есть предполагается, что каждое взаимодействие протекает за единицу времени. Если временные промежутки, за которые происходит изменение значений вершин, можно считать кратными некоторому значению, то запаздывание можно учесть, располагая между вершинами графа некоторые дополнительные вершины. Но этот прием может существенно увеличить размерность матрицы смежности графа.
Для получения общих характеристик системы в целом удобно вводить векторные обозначения:
• F(hcx) = (v1 (исх), 172(исх), ..., 17„(исх)) - вектор исходных значений вершин;
• FCO = (i?iC£)i^zCOj ■■чЪ'пСО) ~ вектор значений вершин в момент времени t;
• Р(0) = (рх (0),р2 (0),..., рп(0)) - вектор начальных импульсов, где Рг (0) — внешний импульс, водимый в вершину Щ в момент времени t=0;
• P(t) — CPi(tX Р2 COj ■■■ - Pn CO) - вектор импульсов в момент времени /;
• А— матрица смежности графа, составленная из значений весов.
С учетом этих обозначений алгоритм развития импульсного процесса можно представить следующей матричной формулой:
При этом очевидно, что
= р(О)Л*. (6)
Полученные характеристики позволяют продемонстрировать влияние заданных возмущений на состояние системы с течением времени, т.е. создается
дискретная динамическая модель. Следовательно, существует возможность сравнения различных сценариев функционирования изучаемой системы при наличии распространяющегося внешнего воздействия.
Другим важным фактом, который можно обсудить с помощью таких моделей, является вопрос устойчивости моделируемых систем. Из теории графов известно, что контуры, которые служат в таких моделях для описания обратных связей системы, могут в конечном итоге как усиливать отклонения переменных величин, так и уменьшать их. При этом контур усиливает отклонение тогда и только тогда, когда он содержит четное число отрицательных дуг, и противодействует отклонению, если число отрицательных дуг нечетно. С точки зрения системной динамики наличие большого числа положительных контуров означает неустойчивость, так как малые значения характеристик вершин со временем растут, «раскачивая» систему, что может привести, в том числе, и к ее разрушению. Напротив, отрицательные контуры оказывают стабилизирующее воздействие тем, что «гасят» возникающие отклонения и сохраняют устойчивость системы. Условия, которым должны обладать графовые модели устойчивых или неустойчивых систем для некоторых типов импульсных процессов изучены [3].
В практических приложениях вопросы устойчивости сложных систем очень важны, что делает использование подобных моделей достаточно привлекательными. Приложения теории взвешенных графов в описании функционирования экологических систем можно найти в книге Ф.С. Робертса [3]. При анализе проблем очистки прибрежной зоны, удаления твердых отходов и других - данным моделям уделялось внимание в работах исследователей, начиная с 70-х годов прошлого столетия.
Интересным приложением графовых моделей с реализацией на них импульсных процессов в экологии является работа А.Ю. Переварюхи «Графовая модель взаимодействия антропогенных и биотических факторов в продуктивности Каспийского моря» [2]. В ней дано описание модели структурных взаимодействий природных и антропогенных факторов
в экосистеме Каспийского моря, созданной для анализа эффективности мер искусственного восстановления популяции осетровых. С помощью анализа построенного знакового орграфа в статье делается вывод о выявлении скрытого контура обратной связи, ослабляющего эффективность воспроизводства рыбных популяций.
Следует отметить, что дискретные модели в виде взвешенных графов с реализацией на них импульсных процессов универсальны. Они широко применяются в описании технических систем и протекающих в них процессов. Кроме того, данные модели являются полезными в случае анализа более сложных и неопределенных систем, например, для разработки экономических, социальных программ и управленческих решений.
Создание подобных моделей в практике принципиально невозможно без использования современных информационных технологий и эффективных математических методов анализа данных. Останавливаясь на моделировании биологических систем и процессов, нельзя обойти вниманием теоретическое и компьютерное исследование молекулярно-генетических систем, которое приобрело в настоящее время фундаментальное значение.
Рассматривая приложения графовых моделей, в качестве еще одного примера приведем генные сети [1]. Под ней понимается модель изучения механизмов функционирования генов, с помощью которой описывается взаимодействие группы генов и необходимых для этого взаимодействия белков. При этом учитывается иерархия строения организма, так как генные сети более низкого уровня, взаимодействуя между собой, создают сети более высокого уровня.
Для иллюстрации приложения теории графов остановимся на описании модели. В основе любой генной сети (ГС) находится набор элементарных структур и элементарных событий, которые понимаются как взаимодействие между элементарными структурами. Последними служат гены, РНК, белки и т.д., элементарные события - биохимические реакции, регуляторные,
транспортные процессы и т.д. Функционирование ГС описывается в виде графа, в котором вершины соответствуют элементарным структурам, а ребра -элементарным событиям (процессам).
Моделируемая система является структурно сложным пространственным объектом, содержащим в некоторых случаях тысячи элементов разной природы и сложности: гены и их регуляторные участки; низкомолекулярные соединения, РНК и белки, кодируемые этими генами; ферментные комплексы т.д. Эти элементы связываются в единую функциональную сеть и составляют открытую систему. Функционирование молекулярно-генетической системы клетки можно описать с помощью набора концентраций некоторой совокупности веществ, а также их изменений с течением времени. Для описания системы вводятся константы элементарных процессов, начальное состояние переменных этой ГС, значения критических параметров внешней и внутренней среды, в которой функционирует изучаемый организм.
Сложность подобных систем требует применения специальных программных средств. Развитие биоинформатики позволяет создавать и использовать различные компьютерные программы и их системы как для работы с генными сетями, так и для решения других задач. В качестве примера отметим компьютерную систему «Моделирование клетки» [5], которая состоит из пяти программных (МОЗшоёеПег, МБТЛВОЬ, ЗБИББ, БТЕР+, НОШТ) и пяти информационных компонентов: базы данных Оепе№11, К№ЕТ, Вю1есЬРго, ОепБепБог, СопБепБог.
В используемой нами системе предусмотрена, например, процедура «Конструктор генных сетей». Данный модуль программы МОБшоёеПег предлагает средства конструирования моделей произвольных молекулярно-генетических систем (МГС) для дальнейшего расчета динамики системы, решения обратных задач и задач оптимального управления.
Интерфейс программы позволяет моделировать МГС в виде ориентированного графа (рис. 1), как показано в руководстве к использованию ПК «Моделирование клетки» [5, с. 51].
Рис. 1.
Генные сети, построенные для конкретных биологических систем, сложны для анализа и требуют, как и любая модель предметной области, специальных знаний. Примеры таких моделей можно найти в статьях [1- 4].
Применение теории графов в моделировании сложных биологических систем показывает универсальность методов дискретной математики. При этом задачи, возникающие в предметных областях, в том числе таких, как биология, экология и других, смежных с ними, приводят к возникновению новых математических идей, понятий, теорий.
Список литературы
1. Н.А. Колчанов, Е.В. Игнатьева, О.А. Подколодная, В.А. Лихошвай, Ю.Г. Матушкин. Генные сети // Вавиловский журнал генетики и селекции, 2013. - Том 17. - № 4/2. - С. 833-850.
2. А.Ю. Переварюха Графовая модель взаимодействия атропогенных и биотических факторов в продуктивности Каспийского моря // Вестник Самарского ГУ. - 2015. -№ 10(132).- С. 181 - 197.
3. Ф.С. Робертс Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука. Физматлит, 1986. - 496 с.
4. В.В. Суслов, К.В. Гунбин, Н.А. Колчанов. Генетические механизмы кодирования биологической сложности // Экологическая генетика. - 2004. - T.II. - №1. - С.13-26.
5. http://samurai.bionet.nsc.ru/pages/help/model_cell.pdf (дата обращения 17.09.2017)
