Полное решение задачи излучения антенны Стреттона-Чу Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

\ / Электродинамика, микроволновая техника, \7 антенны

УДК 621.396.67

Б. А. Панченко, Н. С. Князев

Уральский государственный технический университет - УПИ им. первого Президента России Б. Н. Ельцина

| Полное решение задачи излучения антенны Стреттона-Чу

Приведено полное решение задачи Стреттона-Чу об излучении сферической антенны. Получено решение внутренней задачи для возбуждения кольцевой щели на сфере. Учтено влияние положения щели на сфере, ее ширины, толщины и материала оболочки, а также диэлектрического заполнения резонатора. Результаты позволяют осуществлять инженерные расчеты характеристик антенны. Численные расчеты показали возможность создания сферической антенны малых электрических размеров.

Задача Стреттона-Чу, сферическая антенна, антенна малых электрических размеров, компенсация реактивной энергии, метаматериалы

Решение задачи об излучении кольцевой щели на сфере, опубликованное семьдесят лет назад Стреттоном и Чу [1], [2], является одним из первых строгих решений задач электромагнитного излучения.

Излучатель состоял из двух проводящих сферических сегментов радиусом а, разделенных малым промежутком с угловым раскрывом 2А (рис. 1, а). Центр сферы совпадал с началом сферической системы координат, угол 90 определял положение щели на сфере

(при экваториальном положении щели 90 = 90°).

Полагалось, что радиальный резонатор возбуждается симметрично и магнитный сторонний ток постоянен вдоль щели (нулевая азимутальная вариация тока). Тогда, с учетом бесконечно малой ширины щели (А^ 0), Стреттоном и Чу было получено выражение для внешней проводимости излучения [1].

Рис. 1

© Панченко Б. А., Князев Н. С., 2011

б

а

в

3

Для инженерных расчетов антенны требуется некоторая доработка исходного решения. Во-первых, в нем не учтена ширина излучающей щели, что не позволяет определить реактивную составляющую проводимости излучения. Во-вторых, решена, фактически, лишь внешняя часть задачи, связанная с излучением во внешнюю область сферы, что не дает возможности определить импедансные характеристики антенны. В-третьих, не описан механизм возбуждения щели.

Решение задачи об излучении щели на поверхности сферы. Внешняя задача. Сторонний магнитный ток в щели задан следующим образом:

JM (r') = [/м/(2Да)]5 (r' — a) аф<; — л/2— Д<9'<л/2 + Д; 0 <ф'< 2п, (1)

где r' - радиус-вектор точки источника в сферической системе координат; 1м - амплитуда стороннего тока; 5 (r' — a) - дельта-функция; - азимутальный единичный вектор

сферической системы координат.

Магнитное поле во внешней области [3]:

H (r) = H (r, е, ф) = JГ22 (r, r') JM (r')dV, (2)

V

где r - радиус-вектор точки наблюдения в сферической системе координат; Г22 (r, r') -

тензор Грина магнитных токов; V' - объем распределения стороннего тока.

Чтобы получить выражение для напряженности магнитного поля во внешней области, нужно проинтегрировать поверхностный магнитный ток по поверхности апертуры щели с компонентой тензорной функции Грина Г22 фф.

После интегрирования в (2) с учетом (1) получим:

■X 2),

H_ (r,е) = £ J(n±1_Mn 1 hn (k°rr ,

2Z° n=1n (n +0 de r [h(2) (koaf

где Z° = 12°n = 377 Ом - характеристическое сопротивление свободного пространства;

1 'V ^

Mn = — 1

л/2+А дРп (cos 0)

2А п/ 2 А д0 ;(2)

sin 0d 0;

Рп (cos 9) - полином Лежандра; hn О - функция Ханкеля второго рода порядка

п;

кП^ (•) - ее производная; к0 = 2лДо - волновое число (- длина волны в свободном пространстве).

Полная внешняя проводимость щели определяется методом наводимых магнитодвижущих сил (методом "реакции" [4]):

7ех1 = °ех1 + 'Вех1 = -"2 1 1«м (г') Г22 (гг') « м (г') (3)

Т2 J J м

1м SS'

После интегрирования в (3):

а

я

N

ех1 7 X

¿0 п=1

2п +1 „,2

1

|2'

Б

л" 2п + 1

ех - ( , Лмп

10 п=1 п(п+ 1;

п+1) |лп (V )|'

2 к (к0а) /п (к0а) + пп (к0а) пП (к0а)

(4)

(5)

\К (к0а)|'

где к'п (к0а) - производная функции Ханкеля порядка п; ]п (^а) - сферическая функция Бесселя первого рода; пп (^а) - сферическая функция Бесселя второго рода (функция Неймана); ]'п (^а), п'п (^а) - производные указанных функций. Нормировка сферических функций Бесселя выбирается так, чтобы вронскиан удовлетворял условию ]п (^а) п!п (^а) / (^а) пп (к^а) = 1. При такой нормировке сферические функции называются функциями Бесселя-Риккати [5].

Проведенные исследования сходимости ряда для Бех1 показали, что при ^а < 6 и 2 А = 5° достаточно принять п = 85.

На рис. 2 представлены зависимости активной (сплошные линии) и реактивной (штриховые линии) составляющих внешней проводимости от электрического размера к0а при 00 = 90° для различных величин ширины щели (кривые: 1 - Д = 3°; 2 - Д = 5°; 3 - Д = 10°).

При расположении полусферы над экраном (рис. 1, б) в формулы (4) и (5) под знак суммы следует внести сомножитель

[1 + (-1)п+1 ], так как в этом случае четные члены ряда в выражении для компонента тензорной функции Грина Г22 фф обращаются в ноль.

Учет диэлектрической обкладки. Диэлектрическое укрытие может применяться, например, для защиты от негативного влияния внешней среды (механических и температурных воздействий). Схема антенны с кольцевой щелью на сфере и однослойным диэлектрическим укрытием приведена на рис. 1, в.

Полная внешняя проводимость в этом случае определяется как

I ® 2п +1 . .2 1

£ —-г м2

аехХ БехХ См

0.04

0.02

Рис. 2

¥ ехг =

120

(п +1)

-п=1 п\п +1 Ип (а)

где 11п (а) - ориентированный нормированный импеданс (нормировка обозначена символом ~ ), направленный от поверхности сферы радиуса а внутрь оболочки, который имеет запись

11п (а) = —

у дCn (%а; ка )/ д () -11п (а! г.' ц' дSn (ка к^ )/ д (к^а) ~\/ц1/ г1-'

Сп (к1а;к1а1)-11 п (а1 г.' ц'Sn (к1а;к1а1)

причем , - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости материала оболочки соответственно; а1 - внешний радиус оболочки; к = к()^/;

12п (а1) = - \_кп] (коа1 )\ / кп} (коа1); сп (к1а; к1а1) = Л (к1а) п'п (к1а1)- пп (к1а) ]'п (к1а1);

Яп (к1а; *2 ) = пп (к1а) Л (к1а1) - Л (к1а) пп (к1а1). Внутренняя задача. Определение входного сопротивления резонаторно-щелевой антенны. Возбуждение щели производится с помощью низкого радиального резонатора, который, в свою очередь, возбуждается от коаксиальной линии питания (рис. 3). Радиус

резонатора приблизительно равен радиусу сферы а, его высота с«2Да, р - радиус штыря, являющегося продолжением проводника коаксиальной линии питания. Внутренняя полость резонатора может быть заполнена материалом с относительными проницаемостями в', ц'. Волновое сопротивление коаксиальной линии для основного типа колебаний .

Для рассматриваемого способа возбуждения и низких резонаторов распределение электрического тока вдоль штыря и напряженность электрического поля поперек щели можно считать постоянными.

Входное сопротивление антенны в

( 2)

Рис. 3

точках питания может быть записано как

2вх — ^оч + 1хХВХ — 21П +

2

вх

вх

(УЫ + Уех),

(6)

где - нормированное собственное сопротивление штыря; N- коэффициент связи

"штырь - резонатор"; У^ - внутренняя проводимость резонатора; Уех1; = Оех[ + /£ех1; -нормированная внешняя проводимость щели. Нормировка произведена на характеристическое сопротивление и проводимости свободного пространства.

При определении составляющих формулы (6) использовался аппарат тензорных функций Грина для внутренней области. В результате получены следующие формулы [6]:

У -10 (коар4^У)

4 J0 (к0ау[ёу) J0 (к0ару[Ёу) —0 (к0ау[ёу ) - —0 (к0арЛ[ёу ) J0 (к0а^ёу)

2п J1 (^о/вУ ) ; - _ J0 (к0ар7ё7ц7) Ц с J0 (^а^/ЁУ) J0 (к0а^/ёу)

х

где c = с/a; р = р/a; Jq (•); Jy (•) - цилиндрические функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно; Щ (•) - цилиндрическая функция Неймана.

На рис. 4, а представлены зависимости составляющих входного сопротивления, нормированных на волновое сопротивление линии питания Zф = 75 Ом, а на рис. 4, б - зависимости потерь на отражение (return losses - RL) от электрического размера koa для сферической резонаторной антенны без оболочки и заполнения резонатора.

Как видно из графиков на рис. 4, а, для сферической антенны согласования удается добиться при достаточно больших значениях электрического радиуса kga = 2пa/%q « 3.6. При этом обратные потери составляют -8 дБ.

Применение диэлектрического заполнения резонатора и обкладки из диэлектрика смещает резонанс в область меньших значений kga. Для улучшения габаритных характеристик излучателя следует использовать полусферическую антенну над экраном (см. рис. 1, б), так как при приблизительно равных электрических характеристиках можно получить выигрыш в объеме и весе. На рис. 5 представлены зависимости, аналогичные рис. 4, для полусферической антенны над экраном с внутренним заполнением резонатора и оболочкой толщиной t = ay/ a = 1.05. В качестве материала оболочки и заполнения резонатора применен диэлектрик ФЛАН-16 (е' = е! = 16 - j0.024).

Как видно из графиков рис. 5, хорошее согласование антенны (потери на отражение приблизительно равны -25 дБ) достигается при достаточно малом электрическом размере k0a « 0.9.

а б

Рис. 4

а б

Рис. 5

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 2======================================

Анализ зависимостей сопротивлений и проводимостей, входящих в (6), показывает, что при малых размерах антенны для ее согласования с питающим фидером необходимо скомпенсировать внутреннюю и внешнюю реактивные проводимости Bint + Bext, поскольку компенсация собственного сопротивления штыря Zjnt труда не представляет. Для взаимной компенсации реактивных проводимостей необходимо изменить знак одной из них, что достигается применением в качестве обкладки и заполнения резонатора антенны материалов с отрицательными коэффициентами диэлектрической и магнитной проницаемостей - метаматериалов. Расчеты показали, что наиболее эффективно использование оболочки из метаматериала с диэлектрической прослойкой. В этом случае можно достичь смещения резонанса в область k°a < 0.5,

что позволяет создать антенну сверхмалых размеров.

На основании изложенного материала можно сделать следующие выводы. Рассмотрено полное решение задачи излучения сферической резонаторной антенны и ее модификаций - полусферической антенны над экраном и сферической антенны с укрытием. Расчетные формулы учитывают конструктивные параметры антенн: положение щели и ее ширину, толщину и материал заполнения и оболочки и пригодны для инженерных расчетов. Рассмотрены возможности уменьшения электрических размеров антенны за счет использования диэлектрической оболочки и заполнения резонатора. В этом случае удается сместить резонанс в область значений a/« 0.15.

Список литературы

1. Stratton J. A., Chu L. J. Diffraction theory of electromagnetic waves // Phys. rev. 1939. Vol. 56. P. 99-107.

2. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. А. Электромагнитные поля и волны. М.: Сов. радио, 1971. 664 с.

3. Панченко Б. А., Гизатуллин М. Г. Дифракция электромагнитных волн на металлических и диэлектрических сферах. Екатеринбург: УрТИСИ ГОУ ВПО "СибГУТИ", 2007. 88 с.

4. Harrington R. F. Time-harmonic electromagnetic fields. New York: McGraw-Hill book company, 1961. 568 p.

5. Справочник по специальным функциям / пер. с англ.; под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 c.

6. Панченко Б. А., Князев С. Т., Князев Н. С. Импедансные характеристики кольцевых антенн с радиальными резонаторами // Теория и практика радиолокации земной поверхности: Вест. УГТУ-УПИ. Сер. радиотехническая. 2005. № 19(71). С. 157-164.

B. A. Panchenko, N. S. Knyazev

Ural state technical university - UPI n. a. first President of Russia B. N. Yeltsin

The full solution of a Stretton's - Chu's problem

The full solution of a Stretton 's-Chu's problem about radiation of the spherical aerial is resulted. The solution of an internal problem for excitation of a ring slot on sphere is received. Influence of position of a slot on sphere, its width, a thickness and material of cover and dielectric filling of the resonator is considered. Results allow to carry out engineering calculations of characteristics of the aerial. Numerical calculations have shown possibility of creation of the spherical aerial of the small electric sizes.

Stretton's-Chu's problem, the spherical aerial, the aerial of the small electric sizes, indemnification of reactive energy, metamaterials

Статья поступила в редакцию 29 апреля 2010 г.