Модель линии передачи для анализа круглой микрополосковой антенны Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 621.396.677(024)

В. Н. Митрохин, Н. Ю. Фадеева

МОДЕЛЬ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ ДЛЯ АНАЛИЗА КРУГЛОЙ МИКРОПОЛОСКОВОЙ АНТЕННЫ

Рассмотрена модель радиальной линии передачи, позволяющая определить область возможного положения зонда для эффективного возбуждения круглой микрополосковой антенны.

E-mail: fadeeva.n.u@gmail.com

Ключевые слова: радиальная линия передачи, критическое сечение, собственные волны, диаграмма направленности, эквивалентная плотность тока.

Среди многочисленных методов анализа микрополосковых антенн наиболее распространены: метод линии передачи, метод объемного резонатора, метод тензорной функции Грина [1—5]. Модель линии передачи — самая простая из всех моделей, она дает хорошее физическое понимание принципов работы микрополосковой антенны. При анализе ее излучения непосредственно используют такие характеристики линии передачи, как постоянная распространения Г, характеристическое сопротивление Zc, фазовая скорость Уф, длина волны в системе Xc.

Собственные волны и собственные критические сечения радиальной линии передачи. Радиальной линией передачи принято называть волновод, образованный двумя параллельными металлическими плоскостями, между которыми размещен однородный диэлектрик. Электромагнитные волны в таком волноводе распространяются в радиальном направлении. Поперечное сечение радиального волновода с увеличением радиальной координаты не остается постоянным, поэтому такой волновод относят к категории неоднородных волноводов.

Решение уравнений Максвелла представляется в виде суперпозиции электрических Emn и магнитных Hmn волн, а также Т волны. Кавычки означают, что данное разбиение на типы волн не соответствует принятой волноводной классификации. В этом случае направляемые волны являются цилиндрическими и распространяются вдоль радиальной координаты р (рис. 1) [6]. Используется цилиндрическая система координат р, ф, z.

Основной низший тип волны Т, возбуждаемый в распределительных системах СВЧ на основе радиального волновода фазированных антенных решеток, исследован в работе [1]. В круглых микрополос-ковых антеннах этот тип волны не используется [2, 5]. Компоненты электромагнитного поля «Emn» и «Hmn» типов волн выражают через скалярные функции U и V [6—9]:

AmnZ ( )sin

B Zm (УР) Bmn cos

mn mm л--

V 2 у

cos sin

gnz + ■

nn

(1)

где Атп, Втп — постоянные коэффициенты; у — поперечное волновое

2 т 2 2 т

число, у = к - gn ; к — волновое число в среде с параметрами £а, /а

(абсолютные значения диэлектрической и магнитной проницаемости среды между пластинами, соответственно), к = ; т, gn — собственные значения, определяемые из условия периодичности по координате ф и граничных условий на внутренних поверхностях пластин волновода: т — целые числа, включая 0 для волн магнитного типа и т Ф 0 для волн электрического типа, gn = пп / к — собственные значения радиального волновода высотой к; п — целые числа, включая 0 для волн электрического типа и п Ф 0 для волн магнитного типа.

Функции 2т(ур) удовлетворяют цилиндрическому уравнению Бесселя. Для того чтобы удовлетворить условию ограниченности поля при ур ^ 0, радиальную зависимость ^т(ур) необходимо представить в виде функции Бесселя 1-го рода т-го порядка Jm(yр), а чтобы удовлетворить условию излучения при ур ^ да необходимо 2т(ур) представить в виде функции Ханкеля 2-го рода т-го порядка Н2 (ур) (временная зависимость ехр(т0, рассматриваются прямые волны). В переходной области необходимо дополнительное исследование.

Если представить 2т (ур) = Ят (ур) / у[ур, то от уравнения Бесселя для 2т(ур) для функции Ят(ур) можно перейти к уравнению вида

Рис. 1. Структура радиальной линии передачи:

а — линия с диэлектрическим заполнением; б — положение критических сечений; * — сторонний источник электромагнитного поля

d2Rm (УР)

d (УР)2

л

1

m2 - 0,25 (УР)2

Rm (УР) = 0.

(2)

В точке поворота ур = (ур)кр = ^т2 - 0,25 этого дифференциального уравнения меняется характер решения так, что при ур < (ур)кр

решение данного уравнения описывает процесс затухания волны, а при ур > (ур)кр — процесс распространения волны, т. е. ур = (ур)кр является критическим сечением соответствующего типа волн, рассматриваемого неоднородного волновода [8].

Таким образом, радиальную зависимость поля 2т(ур) в (1), удовлетворяющую условию ограниченности при ур ^ 0 условию излучения при ур ^ го и условию непрерывности при ур = (ур)кр, следует записать в следующем виде:

Zm (УР) =

н(т) [0/% ]Jm ох Yp ^ ou,

кр'

[(ГР)кр wm] (rp), rp ^ (ГР)кр •

(2)

кр

Поперечные (относительно направления распространения волн р0 — орта по координате р) составляющие электромагнитного поля Е±, Н ± внутри радиального волновода представляют собой суперпозицию поперечных составляющих электромагнитного поля «Етп» и «Нтп» типов волн:

где индекс V означает пару индексов тп для «Етп» типов волн, а индекс ¡л — пару индексов тп для «Нтп» типов волн, причем [3, 7]

Ei=1 Щ.+

'd 2U

p dzdç

dz2

+ k 2U

\

H\ = -irnsa

du dp

Ф

p dzd p '

H ; =

irnsa dU p dp

(3)

^ • dV

EJ_ = Ф

d

'dV

dz 2

H- 1 ^ ф° + p dzdç

Eï=jEb_ dV

p ~ л '

p dp

+ k 2V

Hp =

d 2V dzdp

(4)

где ф0, z0

орты по координате ф, z.

v

у"

0

«Постоянная» распространения собственных волн Г определяется логарифмической производной радиальной зависимости Г = = -у2т'(ур) / 1т(ур), где «'» означает производную по всему аргументу. С учетом радиальной зависимости (2) очевидно, что при ур < (ур)кр величина Г действительная и представляет собой коэффициент затухания соответствующего типа волны. При ур > (ур)кр величина Г комплексная, причем действительная ее часть ЯеГ — коэффициент затухания, а мнимая 1тГ — фазовая «постоянная». Поскольку величина Г зависит от р, то слово «постоянная» взято в кавычки. Основные волновые параметры каждого собственного типа волны: фазовая скорость, длина волны в системе, волновые импедансы определяются соотношениями

Уф = а / 1тГ, Хс = 2п / 1тГ, = ¡10у2 / (кГ), 2тпл = -/20(кГ) / у2,

где 20 = / 8а — волновое сопротивление свободного пространства, заполненного средой с параметрами £а, ца.

Каждый собственный тип волны в области ур < (ур)кр находится в квазистатическом состоянии, которое характеризуется реактивной мощностью, определяемой запасенной энергией. В области ур > > (ур)кр формируется излучение, характеризуемое излучаемой мощностью [7, 8]

\Атп\

pmn _ ky Ж

\Bmn Г z0Nl

^[орхф l

где N2, Ы2 — квадраты норм систем тригонометрических функций, У0 = 1 / 20 — волновая проводимость свободного пространства.

Сопротивление излучения Я^ для каждого «Етп» типа волны и

проводимость излучения для каждого «Нтп» типа волны рассчитывают по следующим формулам [7, 8]:

R-I. I Ж 2

GJ_ (УР)кр Jm^PU

Возбуждение радиального волновода при малых значениях высоты подложки микрополосковой структуры к. Для очень тонких подложек (к « X) структура поля в радиальном волноводе значительно упрощается, поскольку вариации поля по оси г отсутствуют д / дг = 0, п = 0 и из уравнений (3) и (4) видно, что остается только система собственных волн Ет0, для которой gn = 0, у = к, а компоненты поля определяются следующими выражениями:

I ^^

Ez = к2U = к2Ат0Zm0(kp)sinI mp + —

iasn dU rnsnm . ^ . I тж =--— =-—Am0Zmo(kp)cos! mp +

p dp

p

ТТ • ди . , . , 1 , . ( тж

Н9 = ~1®8а = ~1а8акАт02т0 (М 8Ш ^+ ~

Составляющие поперечного поля Е±, H± можно представить в

виде разложения в ряд по полной и ортогональной системе собственных волн радиального волновода:

Ex = к2 Z AmoZm (кP) sin I mp + ИЖ | z°;

H±=-J-k 2 Z Amo zm (kp)sin I mp + ^ I ф0.

Z

0 m

mж | 0

(6)

(7)

Если сторонний источник электромагнитного поля расположен на цилиндрической поверхности р = Ь (рис. 1, б), то при кЪ > (кр)кр =

= у/т2 - 0,25 , т = 1, 2, ... и радиальную зависимость можно записать в следующем виде:

^т (кр) =

' Нт2)(кр), кр> кЬ;

= (кЬ) Д1 - (1 + * ^т (кЬ)К (к Р) + ^т (Р кЬ > кР> (кР)кр; (8) [1 + ^ [(кР)кр ] - (1 + *(кЬ)] Jm (кр), (кр)кр > кр > 0,

где ^т(х) = Ыт(х) / Jm(x).

Если сторонний источник расположен на цилиндрической поверхности р = Ь, причем кЬ < (кр)кр, то радиальную зависимость можно представить в виде

^т (кр) =

= Jm (kb)

[1 - i^m [(kp)Kp ]]"1 Hl2 (kp), ® > kp > kp;

[1 - 4 [(kp)Kp ]] Jm (kp) + ^m (kp), (kp)Kp > kp > kb; (9)

[1 - 4 [(kp)Kp ] + 4 (kb)] Jm (kp), kb > kp> 0.

Выражения (8) и (9) записаны в таком виде, чтобы Zm(kр) удовлетворяло условиям излучения при кр ^ от, непрерывности при кр = кЪ, кр = (кр)кр и ограниченности при кр ^ 0. Кроме того, они учитывают поведение поля при переходе через собственное критическое сечение [4, 7]: волновой характер поле собственной волны имеет только после критического сечения, а до критического сечения оно квазиста-тично.

Сторонний электрический ток с заданной плотностью 1Этна цилиндрической поверхности р = Ъ представим через сигнатуру поперечного вектора напряженности магнитного поля Н±(кЪ). Тогда используя формулы (7)—(9) и значения вронскиана цилиндрических функций Бесселя при кр = кЪ, получим

Верхняя строка в фигурных скобках в (10) используется для тех типов волн, для которых кЪ > (кр)кр, а нижняя — для которых кЪ < < (кр)кр.

Выражение (10) представляет собой разложение стороннего электрического тока, заданного на поверхности р = Ъ в ряд Фурье по тригонометрическим функциям на интервале [-п, п]. Обращая это выражение получим коэффициенты разложения:

кЪ20 [0,5(1 + 7)} } э - Г тпЛ „ ,

Ат0 = ~2йг { -г \ -I 81П + —J ^ (11)

а значит и решение задачи возбуждения рассматриваемого радиального волновода.

Область возможного размещения зонда при эффективном возбуждении радиального волновода. Пусть на цилиндрической поверхности р = Ъ параллельно оси г задан линейный электрический ток. Будем считать, что амплитуда и фаза тока постоянны. Использовав ¿-функцию аналитически представим ток с помощью выражения

I эт = 10Ъ-1«%-аг)ж„, (12)

которое означает, что электрический ток задан в виде «бесконечно тонкой нити», расположенной в точке с координатами р = Ъ, ф = а. Подставляя (12) в (11) и затем после интегрирования (11) в (6) и (7) получаем

(13)

2 „ { (кР) \

H 1 0 е ф I со$,(та) сов(тр), т - нечетное;

х 10 ^ ' т | ът(та)ът(тд>), т - четное.

Рассмотрим электромагнитное поле внутри радиального волновода в дальней зоне. Воспользуемся в выражениях (8) и (9) только верхними строчками, а для функции Ханкеля используем ее асимптотическое представление при кр ^ го. Тогда выражение (13) принимает вид

Е± = -^Ы1 Н 02)(кр) Г ; H ±= ^ Н 02)' (кр) Г (р)ф0,

где Г(р) — диаграмма направленности.

Если источник возбуждения расположен так, что (кр)крп < кЬ <

< (кр)кр и+1, где (кр)кр п — критическое сечение п-го типа волны, то

выражение для диаграммы направленности имеет следующий вид:

-. . п .тж

ГР) = Е Jm (кЬ)е 1 ^фт (р, а) +

2 т+1

+ Е Ь[(кр ]- ] Jm (кЬ)е1тЖФт (р, а). (14)

т=п+1 1 + Ьщ [(кр)кр ]

Первая сумма в правой части формулы (14) учитывает вклад в диаграмму направленности тех типов волн, критические сечения которых находятся ниже источника возбуждения (см. рис. 1, б), а вторая сумма — тех типов волн, критические сечения которых находятся выше источника возбуждения.

Пусть источник возбуждения расположен так, что а = 0. Тогда в соответствии с (13) Фт (р, а) = со8(тр), где т — нечетные числа,

т. е... т = 1, 3, 5, ...

Значения критических сечений первых четырех нечетных типов волн и соответствующие значения коэффициента £щ(х) приведены ниже:

m.................................. 13 5 7

(kp)«Em0» .................... 0,866 2,958 4,975 6,982

^m [(kp)Z ] .................. -2,3 -1,8 -1,7 -1,7

Разделяя действительную и мнимую части выражения (14), получаем

Яе^ф) = -0,5^(кЪ)(±1)оов(т^) + £ Зтт V

1 ^ ^т [(к()кр ]

m +1

m= n+1

ImF(( = 0,5£Jm(kb)(±1)cos(m( + £ ^(kb)

(±1)4РА>крn ] cos(m(p)

m+1

m=n+1

1+4Д(£л)!; ]

В скобках знак «+» для т = 1, 5, 9, ..., а знак «-» для т = 3, 7, 11, ... Тогда модуль диаграммы направленности будем вычислять по соотношению

\F (( = {[Re F ()]2 + [Im F ()]2

(15)

Трансформация модуля диаграммы направленности (15) в зависимости от положения источника возбуждения показана на рис. 2.

Когда источник расположен в запредельной области волны «Е10»: кЪ = 0,5 < (кр)«^10» = 0,866, то эффективность возбуждения мала

(график — штриховая кривая на рис. 2, а). Если источник размещен выше критического сечения «Е10», но не достигает критического сечения для волны «Е30» (кр)кЕ10» =

« E10»

Рис. 2. Диаграмма направленности радиальной линии передачи в зависимости от положения стороннего источника:

а — для значений кЪ < 1,5; б — для значений кЪ > 2

= 0,866 < кЪ = 1,0; 1,5; 2,0 < (кр) Кр = 2, 958, то эффективность возбуждения резко возрастает, причем вклад в излучаемое поле вносит волна «Е10». Если источник возбуждения приближается к критическому сечению волны «Е30», например, при кЪ = 2,9, то как видно из рис. 2, б (штриховая кривая) проявляется влияние возбуждения волны «Е30». При переходе через критическое сечение волны «Е30» основной вклад в излучаемое поле вносит волна «Е30» (штрих-пунктирная кривая на рис. 2, б). Наибольшая эффективность излучения наблюдается при положении источника кЪ = 2,0. Это подтвер-

ждает и рис. 3, на котором изображены максимальные значения модуля диаграммы направленности в зависимости от положения источника возбуждения. Эффективное возбуждение радиального волновода соответствует положению источника в окрестности точки кЬ = 2,0 (1,5 < кЬ < 2,5).

Рис. 3. Определение точки эффективного возбуждения

Излучение круглой микрополосковой антенны в режиме эффективного возбуждения. Используя модель объемного резонатора при анализе круглой микрополосковой антенны в работе [2] показано, что микрополосковую антенну можно смоделировать в виде диэлектрически нагруженного объемного радиального резонатора с двумя идеально проводящими электрическими стенками (верхней и нижней) и идеально проводящей магнитной цилиндрической поверхностью. Предполагается, что материал подложки усечен и не простирается дальше кромки полоска (рис. 4). Боковая поверхность представляет собой апертуру (щель) через которую происходит излучение.

Используя теорему эквивалентности, боковую щель можно охарактеризовать эквивалентным магнитным током плотностью 0

0

где п — единичный вектор внешней нормали к апертуре, Еа — вектор напряженности

электрического поля на щели. Плотности эквивалентных электрических токов, возникающих на верхней и нижней частях полоска, оказываются очень малы-

Рис. 4. Структура круглой микрополосковой антенны

ми и ими пренебрегают. Присутствие заземленной плоскости (см. рис. 4) учитывают с помощью теории зеркальных изображений. Тогда результирующий эквивалентный магнитный ток плотностью ^ будет удваиваться:

]м =-2[п°, Еа]. (16)

Апертурную напряженность электрического поля в щели можно определить из выражения (13) с учетом полученных выше результатов:

кЕ± {1

'^=аэФ 2 1 2

Ea = = (1 + Ш2)Н(2)(каэф)cos( +

+ 1 ^(2)^!2)(каэф)ео«<то[г0,

т=3 1 + Ьт [(кР)кр ] ]

где Е0 = 70/0э; аэф - эффективный радиус полоска, определяемый краевыми эффектами в окрестности кромки круглого полоска [3],

L 2h

аэф = а I1 +-

I nas

ln| ^j +1,7726

1/2

(17)

Здесь а — физический радиус полоска; к — высота подложки; е — относительная диэлектрическая проницаемость подложки.

Воспользовавшись соотношением (16) плотность эквивалентного магнитного тока можно представить в следующем виде:

jM = -2[n0, E0] = -2[р0, E± ] = кЕо ^(1 + ^J^H^ika^)cos( +

1

(2) /

Р=аэф I 2

эф

+ 1 ^РР:]-/] Jm(2)нт\каэф)cos(m() \ф0. (18)

т=3 1 + ^ [(кР)кр ]

Поскольку высота подложки очень мала и плотность тока (18) номерна вдоль н нитный ток 1м = И$м,

равномерна вдоль направления г0 можно ввести нитевидный маг-

Im = V h {2 (1 + /) J1 (2)H1(2) (каэф ) cos р'+

+ t ,^fPr Jm(2)нт2^(каэф)cos(mp')|ф0, (19)

т=3 1 + [(кР)кр ] I

где У° = ИЕ° — разность потенциалов в устройстве возбуждения. Рассматриваемая микрополосковая антенна может быть представлена [2] в виде круговой рамки с магнитным током 1м = ф0I™, излучающая в

свободное пространство (см. рис. 4). Она размещается симметрично на плоскости хОу при г = 0. Поле излучения определяется с помощью векторного потенциала

(X, y, z) = -Lf IM (x', y', z'). 4ж i

-ikR

R

-dl

(20)

Здесь координаты с индексом «'» относятся к точкам источника Q(x', у', г'), а координаты без «'» — к точке наблюдения Р(х, у, г); Я — расстояние от какой-либо точки на рамке до точки наблюдения; ёГ — бесконечно малый участок рамочной системы.

Пространственное распределение тока 1м (х', у', г') можно записать в виде

I м (х', у', г ') = х01х (х', у', г ') + у % (х', у', г') + г °/г (х', у ', г'). (21)

Компоненты тока вдоль кругового отрезка удобно представить в цилиндрических координатах (р, ф, г), используя преобразование

(I ^

V Iz J

Í

cos v sin V 0

- sin V cosV 0 0 1

0 Y p

V I. y

(22)

раскрывая которое получим

ix = ip c0s v'- i^sin^'

V

Iy = IpSinV- IvC0sV

I. = I.

(23)

Поскольку излучение поля обычно определяется в сферических координатах, то прямоугольные единичные векторы преобразуются в сферические единичные векторы, используя матрицу преобразования от декартовых координат к сферическим в форме

x0 = r0 sinUcos< + 0° cosUcos<-ф0 sin<;

0 0 • n ■ , n° n ■

y = r sin и sin <p + 0 cosUsin< + ф cos<; z0 = r0 cosU- 00 sinU.

(24)

Подставляя (23) и (24) в (21), получаем выражение

Iм = r0 [I sin^cos(^-^) + I< sin в sin(< - <) + Iz cos в] + + 00 [Ip cos в cos(< - <) + I< cos в sin(< - <) - Iz sin в] +

+ Ф0[-Ip sin(< - < +1< cos(< - <)]. (25)

Для круглой рамки магнитный ток, протекающий в направлении ф0 (I< ), по формуле (25) преобразуется к виду

Iм = r01< sin в sin(< - <) + 00I< cos в sin(< - <) + ф01< cos(< - <). (26) Расстояние

R = [(x - x')2 + (у - у ')2 + (z - z ')2 ]

можно преобразовать с учетом того, что х = rsin^cos^, у = rsin6sinp,

2 2 2 2 2 z = rcosd, х + у + z = r , х' = a^cos^', у' = a^sin^ ', z'= 0, х ' +

i t2 i /2 2 + у' + z' = аэф , тогда

R = ^r 2 + аэ2ф - 2аэфr sin в cos(< - <). (27)

На рис. 4 дифференциальный элемент длины рамки имеет вид

dl' = аэф d<. (28)

Используя выражения (26), (27) и (28) ф-ю компоненту векторного магнитного потенциала из (20) можно записать в виде

а 2ж e~ikR

АР = -f- í P cos(p - P)^dp\ (29)

где вместо R подставляется выражение (27). Соответственно компо-

rM и Ав

ненты Ам и Ав из (20) представляются в следующем виде:

аэф sin 0 --lkR AM = -í IpSin(p-p')—dp'; (30)

4ж o R

аэф cos0 2? --lkR

A0 =-í Ip sin(p - p^—dp'. (31)

4n o R

Выражения для векторов напряженностей электрического и магнитного полей круглой рамки можно получить из векторного магнитного потенциала по формулам:

E(r, в, ф) = -rotAм (r, в, ф);

(32)

H(r, в, ф) =--— [graddivA™ (r, в, ф) + к2 Ам (r, в, ф)].

т/ла

Методика вычисления интегралов (29)—(31), как и вычислений полей (32) при различных амплитудно-фазовых распределениях тока 1Ф различных антенн приведена в работе [10].

Таким образом, использование модели радиальной линии передачи круглой микрополосковой антенны позволяет определить область возможного положения зонда для ее эффективного возбуждения при малой высоте подложки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Устройства СВЧ и антенны. Проектирование фазированных антенных решеток / Под ред. Д.И. Воскресенского - М.: Радиотехника, 2012. - 744 с.

2. B a l a n i s A. Antenna Theory: Analysis Design, Third Edition: John Wiley & Sons, Inc., 2005. - 1117 p.

3. Лось В. Ф. Микрополосковые и диэлектрические резонаторные антенны. САПР-модели: методы математического моделирования / Под ред. Л. Д. Бахраха. - М.: ИПРЖР, 2002. - 96 с.

4. Электродинамический расчет характеристик излучения полосковых антенн / С.Т. Князев, Б. А. Панченко, Ю.Б. Нечаев и др. - М.: Радио и связь, 2002. -256 с.

5. Панченко Б. А., Нефедов Е. И. Микрополосковые антенны. - М.: Радио и связь, 1986. - 144 с.

6. Ванштейн А. А. Электромагнитные волны. - М.: Радио и связь, 1988. -440 с.

7. Голубева Н. С., Митрохин В. Н. Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 488 с.

8. Митрохин В. Н. Электродинамические характеристики цилиндрических направляемых волн в слоистых СВЧ-структурах // Радиотехника. - 2002. - № 8. -С. 64-72.

9. Митрохин В. Н. Исследование переходных полей в неоднородных СВЧ-структурах с критическими сечениями // Радиотехника. - 1999. - № 4. -С. 86-91.

10. Werner D. H. An Exact Integration Procedure for Vector Potentials of Thin Circular Loop Antennas // IEEE Trans. Antennas Propagat. - 1996. - Vol. 44. - Nfo. 2. -Р. 157-165.

Статья поступила в редакцию 07.09.2012