Возбуждение поверхностных волн элементарным диполем Текст научной статьи по специальности «Физика»

,, v lei3 sin2 в Jl + Uaf

F = ——A—^x

Xi

(|s|-l)i2 (1 + cosG)

pe|sin2 0 + th2 для несимметричных —

pl (e) =

|Е|зш20

x

+ (ека)2 Ka(|e|-l)i2 (1 + cosG)

cth2 (ка)^ё|

x

|e|sin29 + cth2

2. Случай ка^Щ »1, |е| = 1. При lei = 1, ка »1

F2 (6) = sin2--

2 |e|^/l + |e|sin20 при |е| »1, ка > 1

0,5 cos 0. (у9)

F2(0) = tg2^

2 |е|д/1 + |е| sin2 в

(77)

(78)

Результаты расчетов величины Р2 (0) при различных |е| и ка приведены на рис. 6.

Диаграмма направленности не имеет резко выраженных максимумов, лепесток широкий и направлен перпендикулярно к плазменному слою.

Таким образом, методом Винера — Хопфа решена задача рассеяния электромагнитных волн на неоднородности плазменного волновода. Полученное решение позволяет построить диаграммы направленности рассеянного поля для основной гармоники и высших типов волн, а также оценить коэффициент отражения в широком диапазоне изменения параметров плазменного волновода. Данная методика может быть использована при разработке диагностических устройств для измерения электродинамических характеристик плазмы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ватшгтейн, Л.А. Электромагнитные волны [Текст] / Л.А. Вайнштейн. — М.: Советское радио, 1989. — 440 с.

2. Рапопорт, И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений [Текст] / И.М. Рапопорт // ДАН СССР. - 1948. - Т. 59. - № 8. - С. 1403-1406.

3. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматлит, 1962. — 600 с.

4. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1965. - 749 с.

5. Шубарин, Ю.В. Антенны СВЧ [Текст] / Ю.В. Шубарин. — Харьков: Изд-во Харьковского гос. унта, 1960. - 284 с.

6. Нобл, Б.В. Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных [Текст] / Б.В. Нобл. —М.: Изд-во ИЛ, 1962.-280 с.

7. Федорюк, М.В. Метод перевала [Текст] / М.В. Федорюк. - М.: Физматлит, 1977. - 386 с.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи [Текст] / Ф.Д. Га-хов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

УДК 537.86

А.С. Черепанов

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ДИПОЛЕМ

В работе [1] описана новая антенна — интегральная фазированная решетка (ИФАР). В этой антенной системе излучающим элементом явля-

ется полуволновои диполь, лежащии на поверхности диэлектрика. Вопросы исследования излучения такого диполя в связи с этим

оказываются весьма важными для понимания работы ИФАР.

Рассчитать излучение полуволнового диполя, лежащего на поверхности диэлектрика, несложно, если известно излучение элементарного диполя (диполя бесконечно малой длины) на поверхности диэлектрика. Тогда излучения полуволнового диполя, а также линии любого размера с любым заданным распределением тока на ней могут быть найдены путем интегрирования. Имеющиеся скудные литературные данные (см. работы [2—5] и др.) весьма противоречивы и, следовательно, в большинстве своем сомнительны. Заметным вкладом в решение этой задачи является работа [6], где детально рассмотрено излучение пространственных волн из несимметричной полосковой линии.

Кроме пространственных волн, полуволновой диполь на поверхности диэлектрика излучает поверхностные волны. С точки зрения ИФАР этот эффект вреден, так как снижает кпд антенны; для полосковой линии он приводит к дополнительным потерям, а также к взаимной связи близко расположенных линий, что может привести к обострению проблемы электромагнитной совместимости. Для решения задачи излучения поверхностных волн током с произвольным распределением вопрос об излучении поверхностных волн элементарным диполем является ключевым.

В данной работе приведено решение задачи об излучении поверхностных волн элементарным диполем. Оно открывает путь для решения задачи об излучении поверхностных волн диполем ИФАР (этот вопрос до настоящего времени не изучен), а также об излучении из несимметричной полосковой линии, о взаимной связи полосковых линий через поверхностные волны.

Поверхностные цилиндрические волны

Рассмотрим диэлектрическую пластину толщиной <1 с диэлектрической проницаемостью е, возбуждаемую нитью тока, перпендикулярной пластине. Будем исследовать распространение цилиндрических поверхностных волн, возбуждаемых нитью электрического тока(рис. 1).

Воспользуемся методом векторного потенциала:

« 4 л

АА2+к*А2=—¿дляг£</ (1) с

№

И

е

чААААЯ

Рис. 1. Постановка задачи

и

+ к2&Аг=—]2 для г<с1; (2) с

11 о

Н = пйА, Е = — пй го1А = — (§га<1 <йуА+кА)

]к }к

ДЛЯ 2>й

и

Н = кЛА; Е = — кЛпЛА = Де

1

}кг

(§га<!(11уА+£ БА) для г<й,

00

где к=--волновое число пустого простран-

с

ства (с—скорость света, ш —круговая частота).

При наличии только компоненты А^ у векторного потенциала и отсутствии азимутальной зависимости у полей (аксиальная симметрия) у решения будут только компоненты поля Ег, Е2:

И — р _ 1

дг9 г~ ]кдг д29

Е=-

}к

( ъ 2

д'Ч ,1л &2

Де дг ■ дг

( ъ 2

Е=-

]кг

д А ,2 ,

дг2

= 4)

Решаем уравнения (1) и (2) в цилиндрической системе координат. При г > 0 это будут однородные дифференциальные уравнения,

которые можно решить методом разделения переменных. Это решение известно:

A'z(r,z) = CHV)®r)e-v°z, z>d,

V„=VP2-*2; (5)

v = yjk2e-p2, (6)

где С, В- произвольные постоянные, #g2) — функция Ханкеля второго рода.

Член с функциями Ханкеля первого рода отброшен как нефизический (экспоненц иально возрастающая цилиндрическая волна). Граничные условия на металлическом экране (z = 0) и при z = оо в выражениях (5) и (6) уже учтены.

Постоянные С ж В могут быть найдены из условий на границе диэлектрик — воздух.

Условие непрерывности для Н^:

CH[2\$r)e~y*d = ВН^ (pr) cos(v^); (7) условие непрерывности для Ег:

-CvQH[2\$r)e-y«d = --ВНР^ (pr)v sm(W); (8) е

выражения (5) и (6) совместны, если

Vsin(W) =0

V COS(vfif) SV°

Уравнение аналогично дисперсионному уравнению для плоских неоднородных поверхностных is-волн [7].

Пусть для удобства С = 1. Тогда

A'z(r,z) = H^(Me~VoZ, z>d,

V0=VP2-^2; (9)

-V0<i

AZ(r,z) = tf<2)(pr)eos(vz), z<d, (10)

cos \d

где V = у!к2е-р2.

Вычислим компоненты поля, поперечные направлению распространения Ех> Яф при больших г:

Ея =-J-p2tf<2>(pr)£Tv«z *

JK

jk infir \7СРГ

(И)

(12)

v0z

тфг

Формулы справедливы при z>d. При z<d получим:

£ M_J_P2

2 jke \лР г

1 J

cos(vz); (13)

cos(vz). (14)

При б —> 1 Уд = V = 0, р = к , и мы получаем обычную цилиндрическую волну, где равны по модулю.

Возьмем уравнение Максвелла:

гоШ = ДбЕ+—¡, с

умножим обе части на вектор йв и проинтегрируем его по площади окружности малого радиуса а на расстоянии г от металлического экрана (рис. 2). Получим следующее равенство:

Ф)

ds

Рис. 2. Нить тока 12 (г), возбуждающая

поверхностную волну: <Ь — вектор, а—радиус круга (площади интегрирования), г — расстояние от металлического экрана

jrotHds = jke \Ezds+— jjds.

При а -> 0 последний из полученных интегралов можно рассматривать как некий ток ^(г), который возбуждает цилиндрическую поверхностную волну. Первый интеграл в правой части уравнения равен нулю, поскольку по теореме о среднем он равен

где г е (0,я), а эта величина стремится к нулю при а -» 0, так как функция Ханкеля нулевого порядка имеет всего лишь логарифмическую особенность в нуле.

По теореме Стокса имеем равенство

= о,

или

с

Поскольку = 0, можно за-

писать:

-2пфН®фа)е~уо2 = — /г(г). (15) с

Рассмотрим произведение 0 при / -> 0. Оно стремится к конечному пределу, поскольку

2

H¡2)(t) = Jí(t)-jNí(t)^j

7lt

при малых t

Поэтому из формулы (15) при а 0 полу чим равенство

/с

12{г) = ----С08(уг).

% сов(у</)

Таким образом, ток (если изменить его условное положительное направление на противоположное) выражается как

ш=\

je е

~v0<*

я eos(vd)

z>d\

cos(vz) z<d;

(17)

этот ток возбуждает поверхностную цилиндрическую волну (9), (10).

Возбуждение поверхностных волн элементарным диполем

Поместим элементарный диполь длиной / с током /на диэлектрик в точку с координатами (0,0,ориентировав его по оси у (рис. 3)

Применим к данной системе теорему взаимности:

/¿Е 2dV= JfcVF, Vi Ъ

где Vv V2 —объемы, занимаемые токами jl5 j2 соответственно; E1} E2 — поля, создаваемые токами jl9 j2.

Для токов и полей на рис. 3 имеем равенство

"¡E?(z)Iz(z)dz = ПЕу, cosa. (18) о

В интеграле слева выполнено интегрирование по бесконечно малому поперечному сечению тока jls получен ток Iz(z) ; в интеграле справа выполнено интегрирование по бесконечно малому цилиндру, занимаемому током j2.

т/х X

v«z=—/z(z),

с

а/\ Z I У

или

= (16) 71

Формула (16) справедлива при z>d. Проведя аналогичные выкладки для области z<d, получим:

/

Рис. 3. Нить тока 12 (г) и элементарный диполь длиной /, к которым применяется теорема взаимности; У, а — подвижная система координат

Еу — радиальная компонента электрического поля поверхностной волны в месте расположения элементарного диполя:

]к

где г—расстояние между элементарным диполем и током 12(г).

Поле Е®(г) есть поле поверхностной цилиндрической волны, возбуждаемой диполем в области, где отличен от нуля ток 12(г). Это поле выражается формулами (11) и (13), ив нашем случае может быть записано в следующем виде:

E¡(z) =

jk

-—Р2 е

z>d;

(19)

-\nd

#^(pr)cos(vz), z<d,

jke. cos (vd)

где А — неизвестная амплитуда, которую, собственно, и нужно найти.

Проведем вычисления по формуле (12):

»-V

d л

0 jks' cos(vd)

n eos (vd)

00 A

xcos (vz)dz+ Í-—р2Я®(Р/")е"Уо2 —e~v<>zdz = a jk n

= П

--^Pvo^íPr^jcosa,

или

-pe

H¡>\M

JC e

-Vn d d

8 cos(vrf) 71 COS (vd)^

+ApH^(M—]e-2v°zdz = 71 d

= П (v0^(1) ) cos a.

Выполним интегрирование An e~v°d J с e~v«d

jcos 2(yz)dz

+

£ ^ COS(vfif)

Я^(Рг)

я cos(vú?)

xd

1. sin(2vfif) 2 + 4 vd

+

+^РЯ<1)(РГ)

-2 vnd

l jc e 0 71 2v0

^(vo^ipr^^Jcosa.

Учитывая, что пробный ток и элементарный диполь расположены достаточно далеко друг от друга, заменим функции Ханкеля их асимптотиками:

2 г-

4 J.

Это даст возможность упростить равенство (20):

-Р—-3-~-d

8 COS (yd) 71 cos (yd)

1 sm(2W) 2+ 4 vd

+

jce

-2 v„d

71 2v,

П

о

j 2 ad

v0e ¿e

cosa,

или

,-Vnd

с e

„-Vnd

1 sin(2ví/)

d\ - +

-р-

е cos(vd) к cos(vd) \2 4vd

= II (ч^Лсоъа. к 2v0 \ '

После некоторых упрощений имеем равенство

лр^1 е

-2 vnd

1 sin(2ví/)

d\ - +

= П^^Лсоьа. п 2v0 \ /

Отсюда находим Л:

ti Ilv0ev°d cosa

Pe

1

"2-<

seos (vd)

1 sin(2 vd) 2+ 4 vd

л 1

+ -

(21)

2vn

Интересно отметить, что диполь имеет максимум излучения поверхностной волны вдоль своей оси и не излучает в перпендикулярном направлении (рис. 4), в отличие от диполя в

О .V F(a >

vJ О 5

Рис. 4. Диаграмма направленности Да) излучения поверхностных волн диполем

свободном пространстве. Здесь, кроме того, диаграмма направленности рассматривается -только в плоскости ху.

Вычислим мощность, излучаемую диполем. Вектор Пойнтинга выражается как

2 _

с-JLeh =— —Ü2 _

4п z * 47i"/T Víipr

VqZ

хЖ

_ -v0z = A2 P_ _2_ e-2V0z лрг к nr

2

-e

Формула справедлива при г > й; при 2 <й будет справедливым выражение

5 А2^—со82(У*). 4тс к е пг

Чтобы вычислить мощность, нужно проинтегрировать вектор Пойнтинга по поверхности цилиццра большого радиуса с осью, совпадающей с осью 2\

Р = | }Ш = J у ¿(j«*^*

2яда о2 л . .

xrdadz+ f í—A2?-—(e-2v°z)rdadz = i .4я к nr\ '

о d

2 Tt

= J

0

С

4я

7t

i/v0eVo<í cosa

pe

1

1 | sin(2vd)^ | 1

2+ Avd Г 2v

ecos (ve?) v

o2 2 1 00

X °--rda í- eos2 iyz)dz + fe~2v°zdz =

к nr ¿e ¡

С n2 p2 2 / \2 1 _2vftrf

4tc p2c2 A: ti ; M

í / \ 1 X Jcos2 acia J(e~2v°z)dz+ ^-cos2 (vz)dz

o U 0s

_(^)2(v„)2 1 w

2c к M2

2 4v¿ J

где ilf =

1 /1 | sin(2vflT)^ | 1 2+ 4vfif J+ 2v0'

ecos (vé?)

Поскольку сопротивление излучения диполя в свободном пространстве выражается как

в _2

3 с

то можно записать:

2КзК)2 1

'"3 с 2 к3 М2

2vr

4/

е

1 sin(2vd) Y

U 4v¿ J

T2 2

то есть

-^цил —-Дг™ - x

2v0 e

,3H2

i(2> 2 4v¿ J

1 + 1 /1 + 8т(2у</Л

j2(v¿?) U

sin(2v^)>\ 1

8COS2(v¿?)'\2+ 4vd )

2vr

или

■^цил -Даз

хя

1 | 1Г1 | si 2v0fi? е^2

*М2 c2Vnd 2 (fc/)3

sinCvrf)'!

4vd

1 | 1 Г1 | 8Ш(2УД?) ^ 2у0й? + е сое2 (у^) 1.2 + 4у</

Окончательно имеем формулу

Яцил

(22)

где

0 2 4 6 8 kd

Рис. 5. Зависимость коэффициента Z{kd, е) от электрической толщины диэлектрика при двух значениях диэлектрической проницаемости е: 1,1 (i) и 1,5 (2)

2

2 '» *ч3

(ы)

Х7С

1 \(\ +

2v0 d Е

sin(2v d)}

1,2 + 4vd J

(23)

1

+-

1

2v0d & cos2 (vfif) l2 4vrf

/1 | sin(2vfiQ j

Безразмерный коэффициент Z(kdie) характеризует сравнительную эффективность возбуждения пространственных и поверхностных волн диполем. При Z(/Ыr, е) > 1 при одинаковом

токе в диполе мощность, уносимая поверхностными волнами, больше, чем мощность, излучаемая диполем в свободном пространстве. На рис. 5 приведена зависимость Z(Ы, е) от kdддя е = 1,1 и е = 1,5, Видно, что с ростом нормированной толщины диэлектрического слоя kd коэффициент Z(fa/,Б) резко возрастает. Это показывает, что диполь на толстой пластине с большой диэлектрической проницаемостью в основном излучает поверхностные волны, а не пространственные.

Таким образом, в настоящей работе решена задача о возбуждении поверхностных волн элементарным диполем, расположенным на слое металлизированного диэлектрика. Показано, что диполь наиболее эффективно излучает в направлении вдоль своей оси (в отличие от пространственных волн). Если электрическая толщина пластины велика, то диполь большую часть мощности излучает именно в виде поверхностных волн. Хотя в работе исследовалось возбуждение поверхностных волн лишь низшего типа, по аналогичной методике можно решить задачу в возбуждении волн любого типа. Решение данной задачи открывает путь к исследованию возможных потерь произвольной микрополосковой линии за счет возбуждения поверхностных волн.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zaitsev, E.F. MM-wave integrated phased arrays with ferrite control [Текст] / E.F. Zaitsev, Yu.P. Yavon, Yu.A. Komarov [et al.] // IEEE Trans, on Antennas and Propagation. - 1994. - Vol. 42. - No 3. - P. 304-310.

2. Жук, M. С. Проектирование линзовых, сканирующих, широкодиапазонных антенн и фидерных устройств [Текст! / М.С. Жук, Ю.Б. Молочков. — М.: Энергия, 1973. - 440 с.

3. Панченко, Б.А. Микрополосковые антенны [Текст] / Б.А. Панченко, Е.И. Нефедов. — М.: Радио и связь, 1986. — 144 с.

4. Levine, Е. Study of microstrip array antennas with the feed networks [Текст] / G. Malamud, S. Strikman,

D.A. Treves // IEEE Trans, on Antennas and Propagation. - 1989. - Vol. 37. - No. 4. - P. 426-434.

5. Нефедов, Е.И. Полосковые линии передачи [Текст] / Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский. — М.: Наука, 1980. - 312 с.

6. Зайцев, Э.Ф. Излучение из несимметричной полосковой линии [Текст] / Э.Ф. Зайцев // Научные исследования и инновационная деятельность. Матер. научн.-практ. конф. — Санкт-Петербург, 18—20 июня 2007. - СПб.: Изд-во. Политехи, ун-та, 2007. -С. 375-381.

7. Вайнштейн, JIА Электромагнитные волны [Текст]/ Л.А. Вайнштейн. — М.: Радио и связь, 1988. — 442 с.