Полное доказательство Великой теоремы Ферма методом деления Текст научной статьи по специальности «Математика»

уменьшают суммарную интенсивность отраженного пленкой луча, если приходят к границе раздела с "правильной" скоростью вращения. В этом случае они лучше поглощаются электронами на поверхности пленки и не попадают в выходящий из нее луч.

Литература:

1. Алексеев Н.В. Эффект Доплера в оптике. Наука сегодня. Сборник научных трудов, частьЗ, -окт. 2015, Вологда, ООО «Маркер», 2015, - 136 с.

УДК 512.1_

2. Алексеев Н.В. Измерение фазовой скорости света в тонких пленках, Эвенсис. Сборник научных трудов, выпуск 2, - дек. 2017, Тюмень, -26 с.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики, М. Наука. -1973. -719 с.

4. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики, Киев. Наукова думка. -1989. -862 с.

5. Савельев И.В. Курс общей физики, т.3, М. Наука. -1987. -320 с.

ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ

Ведерников Сергей Иванович

пенсионер. г. Москва

АННОТАЦИЯ: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения на целочисленные множители в уравнении при п > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.

THE PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD OF DIVISION

Vedernikov Sergey Ivanovich

Retired.

ABSTRACT: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of and for integer multipliers in the equation when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat's Great Theorem. Division method.

Теорема: для целого натурального числа п > 2 уравнение Хп+Уп = 2п не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.

Доказательство.

Имеется Хп + Уп = 1п, где X, Y, Ъ, п - натуральные положительные числа. Ъ > X >Y - взаимно простые числа, п > 2.

Исходя из того, что уравнение X2 + V2 = 22 является частным случаем уравнения Хп + Уп = 2п и в нём выделяются целочисленные значения X, Ъ и Y, можно утверждать, что если уравнение Xй + уп = ^п при п > 2 не имеет целочисленных множителей для Хп или 2п, то оно не имеет решений в целых положительных числах.

Рассмотрим порядок выделения множителей числа Уп и целочисленных Ъ, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2] Имеем: X2 +У2 = I2 52 + 122 = 132. Преобразуем выражение: г2 -X2 = У2 ~ 132 - 52 = 122. (1) Разложим ф. (1) на множители: Z + X = У1 ~13 + 5 = 18; (2) Z - X = У2^13 - 5 = 8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф.

(3): 2-Z = Y1 + У2^18 + 8 = 26; откуда Z =

Y1+Y2,

2(9+4) 2

= У -

= 13. (4) Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): 2^

1 У2 ~18 - 8 = 10; откуда: X = ^^ = = 5. (5) 2 2

Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае п = 2 уравнения Хп + Уп =

2п возможно выделение целочисленных множителей Уп и целочисленных значений X и Z.

Произведём разложение на множители в уравнении Хп + Уп = 1п при п>2. Есть общий случай и три частных, как дополнение к общему. Посыл общий для всех случаев: чётное число, имеющее множителем 2п, при п>3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Известно, что Ъ в исходном уравнении при чётном п не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Ъ , X -нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет. Доказательство невозможности чётного Z при нечётном п см. ниже Случай 3.

2

Рассмотрим «Общий случай» доказательства.

Имеем: Хп + Уп = . (1)

Возведём левую и правую части формулы в квадрат.

%2п + 2- • Уп + у2п = %2п

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

12п - Х2п = У2п + 2-Хп -Уп = Уп ■ (Уп + 2- Хп). (2)

Разложим ф. (2) на множители.

+ Хп = уп + 2-Х"; (3)

гп - Хп = уп. (4)

(Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2- Хп к левой и правой частям формулы (4)).

В соответствии с ф. ф. (4) и (5) (См. ниже Случай 1) множители Уп и (Уп + 2- Хп) формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа 2, исходя из условия о взаимно простых X, У, Ъ . Рассмотрим всё же этот момент отдельно.

Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом:

гп+Хп = 2 • (2(п-1) • У? + Хп);

гп -хп = 2п • у?.

Примем условно 2(п-1) • У? + Хп = У™, где У? целое нечётное число в степени п. Итак: гп +Хп = 2- У?; (5) гп - Хп = 2п - У?. (6)

Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем:

2-2п = 2- У? + 2п

или

гп = 2

гп = уп + 2(п-1) • уп. (7)

Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5)

имеем:

у2£-2(п-1)-У?

; Хп = У?

(п-1) .

У?.(8)

Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условия о взаимной простоте Ъ и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах У" и 2(п-1) • У™. Поэтому множители этих чисел должны быть в степени п. (Или целое У" должно быть п - ой степенью дробного числа.) Рассмот-

рим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Ъ = 13, X = 5, У = 12.

Как показано в Случае 1 (См. ниже после ф. ф. (2) и (3)) сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а другое - минимум 22, в общем же случае 2п-1 при п > 2.

Разложение формулы 1п -Xй = Уп при чётном п выглядит так:

п п п п

г^-х^ = ут и г2 + х2 = уп-т.

Для разности квадратов пифагоровой тройки (5; 12; 13) разложение такое.

Имеется: Х2 + У2 = г2 ^52 + 122 = 132.

(1а)

Преобразуем ф. (1а).

22 -X2 = У2 ^ 132 - 52 = 122. (2а)

Разложим на множители ф. (2а).

Ъ + X = 2 • У? ~ 13 + 5 = 18; (3а)

Ъ - X = 2(2-1) •У? =2 •У? ^13-5 = 8. (4а)

Число 18 ф. (3 а) содержит только одно число 2, а число 8 ф. (4а) имеет вид 23. Следовательно,

весь чётный сомножитель числа 122 = 144 составляет 24 = 22 -22 = 42 = 16. Т. е. одно число 4 разделено пополам между числом 18 и числом 8.

Поделив 18 и 8 на 2, имеем 9 = 32 и 4 = 22.

Это значит, что вторыми множителями чисел 18 и 8, кроме числа 2, являются квадраты чисел. Причём это свойство всех пифагоровых троек.

Рассмотрим ф. (5) как аналог ф. (3). гп +Хп = Уп + 2 • Хп; (3) 1п +Хп = 2- У(5)

Нами условно принято, что У? является п - ой степенью целого нечётного числа, в противном случае уравнение (1) не имеет решения в целых числах. На анализе ф. (3а) и ф. (4а) разложения пифагоровой тройки (5, 12, 13) можно заключить, что сомножитель правой части ф. (2) 2 • У? имеет в некоторых случаях, как и в уравнении X2 + У2 = 22, целочисленные значения У2. Следовательно, можно предположить, что уравнение Хп + Уп = 2п может иметь целочисленные решения.

Однако перемножим левые и правые части ф.

ф. (5) и (6).

12п - Х2п = 2- У2 • Уп = 2-(У2и • Уп). (9)

Примем чётное, имеющее множителем 2п, где п> 3, число У" • Уп как У". А любое чётное число, имеющее множитель 2п при п > 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Запишем ф. (9) следующим образом: 12п - Х2п = 2- У31. (10)

Поскольку числа У2п и Х2п являются квадратами чисел 2п и Хп, то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой - результат, который должен раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью.

Выразим число У" разностью квадратов чисел А и В.

УР = А2 - В2.

Формула (10) примет вид:

г2п - Х2п = 2-(А2 - В2) = (2- А2 - 2- В2).

Разложим на множители её левую и правую части.

(!п - Хп)(2п + Хп) Ф (^Т-А - -В)(^ • А + V2-В). (11)

Как видно из ф. (11) целочисленные значения её левой части не соответствуют результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (10) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение Хп + Уп = 2п не имеет решения в целых числах при целочисленном У3. (См. формулу (10).)

Снова рассмотрим формулу (9).

!2п - Х2п = 2- У? -Уп = 2- (У? -Уп), где У2п - Уп = У?.

Предположим, что У2, а тем самым и У3 не являются целыми числами.

По аналогии со случаем X2 + У2 = 22 можно бы заключить, что уравнение Хп + Уп = 1п и тогда не имеет решений, но рассмотрим этот момент отдельно.

Запишем ф. (9) по- другому, приняв У2 = к, где к - целое, нечётное число.

г2п -Х2п = 2-к- Уп. (9а)

У/1

п 2

2

2 - Хп = 2- У?

П

Уп или Хп = 2-

2

2

(гп — хп)(гп + хп) = 2^к^(А1- в2) = (2

Поскольку Уп можно выразить разностью квадратов, то запишем его как Уп = (АI — ВЦ). Тогда ф. (9а) примет вид:

(гп — хп)(гп + X

к • А2 — 2 • к • В1). (9Ь)

Разложим правую часть ф.(9Ь) на множители.

(гп — хп)(гп + —

(9с)

Из ф. (9с) следует, что правую часть ф. (9а) невозможно разложить на целочисленные множители и при целом и при иррациональном, поскольку к - нечётное число. Следовательно, уравнение Хп + уп = и в этом случае не имеет целочисленных решений.

Рассмотрим ф. (9а) в следующей позиции. Имеем: г2п — Х2п = 2 • к • Уп. Выразим Уп = 2п • У01 при п >3.

В данном случае 2п •У™ можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. Тогда разложение ф. (9а) будет соответствовать ф. (9Ь) и ф. (9с). Т. е. с отсутствием целочисленных решений. При п = 2 ф. (9а) будет выглядеть так: г4 —X4 = 2^к^22 •УЗ = 23 •к^ У02. Выразим 23 • к •У0} разностью квадратов нечётных чисел.

23 •к = (А22 — В2).

Тогда ф. (9а) будет такой: I4 — X4 = А\ — В^. Следовательно, уравнение X2 + У2 = I2 может иметь решения в целых числах.

Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх частных случаев «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления».

Рассмотрим первый случай, когда п > 2 чётное число.

Случай 1. Z, X - нечётные, Y - чётное, п - чётное.

Имеется: Хп + Уп = .

Преобразуем исходное уравнение: Iй — Xй =

п

Уп. (1) Разложим на множители ф. (1). 22 +

п п п

Х2 =у(п-т). (2) г2 — Х2 = ут. (3)

Хотя абзац после ф.(5) разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем 22, а в общем случае 2(п-1\ Разложение на множители 1п — Хп = Уп при чётном п = 2к соответствует ф.(2) и ф.(3), но имеются два случая: когда у(п-т) имеет множитель 2, а Ут множитель 2(п-1), и когда

у(п-п)

имеет множитель

2(п-1), а Уп

множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф. (6) и ф. (13)).

Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:

п п у(п-т),ут

ЪП =у(п-т) + ут; = --—; (4) а из почлен-

п

ного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем: 2^X2 =

п у(п-т)_ут

у(п-т) — ут; = -_—. (5)

Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Ъ и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел у(п-т^> или Ут имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2(п-1), поскольку Уп -число чётное и имеет множителем минимум одно число 2п. При этом У(п-т) и Уп не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также 2п и Xй, что противоречит условию о взаимной простоте Ъ, X и Y.

Поэтому у(п-т) и Ут должны состоять из различных множителей числа Уп в той же степени, в степени п, если исходить из предположения, что исходное уравнение имеет целочисленные решения.

Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел у(п-т) или Ут должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени п, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:

п п п

Место для формулы. 12 + Х2 = 2- У"; (6) 12 —

п

Х2 = 2(п-1)^У21; (7) имея в виду, что У" - число нечётное.

п п

Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение 12 и X2, подставив вместо у(п-т') значение 2-У", а вместо Ут значение 2(п-1)^У^1.

г- = 2У1+2—^ = уп + 2 (п-2) •уп; (8)

Х2 = —= У™ — 2(п-2) • У™. (9)

п

Поскольку Х2 является степенью числа X при чётном п > 4, то его можно разложить на множители. Разложим выражение (9) на множители по

п

формуле для разности п-х степеней. Х2 = (У1 -

^^•У2У(У(п-1) + - +2'

(п-2)(п-1)

только один

•У2(п 1)). (10)

Очевидно, что Х2 невозможно разложить на целочисленные множители по формуле разности п - х степеней.

Рассмотрим ф. (6) и ф. (7), которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при чётном п > 3. 1п - Хп = Уп. Уп -

п п п

чётное. 12 + Х2 = 2 • У™; (6) У" - нечётное. 12 —

Х2 = 2(п-1) • У?; (7)

Нужно заметить, что разложение на множители формулы I2 — X2 = У2, соответствующее «пифагоровым тройкам», где У2 - чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8, при этом чётное число этих троек кратно именно числу 4.

Рассмотрим разложение на множители ф. (7) при показателе п кратном 4 для иллюстрации «Общего случая доказательства».

Формула (7), на первый взгляд, тоже может удовлетворять условию кратности числу 8, однако преобразуем её правую часть. Преобразуем 2(п-1) • У2 следующим образом:

2(п-1) • уп = 2 '2 =

2 2 2 .

Выразим У3 разностью квадратов двух нечётных чисел, поскольку чётное число, имеющее множителем 22 при п > 2 , можно хотя бы один раз представить такой разностью, где первый множитель разложения разности квадратов, имеет только один множитель 2, а второй - множитель 2(п-1\

(11)

(12)

гп + хп = Уп + 2-хп

2п

^п = уп

(2) (3)

уп - чётное число, поэтому выразим его как У?.

Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом: гп+Хп = 2- (2(п-1) - У? + Хп); гп -Xй = 2п - У?.

Примем 1п +Хп = 2- (2(п-1) - У" + Хп) в виде 2п + Xй = 2- У2, при нечётном У", поскольку целое положительное число можно выразить п - ой степенью другого положительного числа. Итак, имеем:

(4)

Пусть: У3п = А2 - В2.

у? А2-В2 А2 В2 Тогда: — =-=---.

2 2 2 2

Разложим ф. (11) на множители:

£-?1=(±- ±)(± + ±)

2 2 VI '

п п п п п п лили

^ - = (2Т - XI)(27 + XI) Ф (_ - _)(_ +

(12а)

Из ф .ф. (12) и (12а) можно сделать вывод, что ф. (7), а также уравнение Хп + Уп = 1п при чётном п, кратном 4, не имеет решения в целых числах.

п п п

Допустим: г2 + Х2 = 2(п-1) - У?; (13) -

п

XI = 2- У51. (14)

Очевидно, что ф. (14) не имеет целочисленных решений при п кратных 4, поскольку левая часть уравнения имеет множителем минимум 23, а правая только 2 при нечётном У£.

Доказано, что корень к из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является к - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень иррациональное число. [3] Поэтому '2) - число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2п, может быть только 1.

Следовательно, опираясь на ф. (10), ф. (16) и результаты разложения правых частей ф. (7) и

п

ф.(13), можно заключить, что Х2 невозможно разложить на целочисленные множители, и уравнение Хп + Уп = 1п при чётном п > 2 не имеет решения в целых положительных числах.

При этом особо нужно отметить, что для

V2(п-2) = 2 2 при нечётном ^ = 2к+1, характе-

(п-2) 0 4

рен следующий ряд показателей:--; -

п 2 6

8 12 16 20 0 ; —; —; —; —... , где первый показатель - - соответ-

10 14 18 22 2

ствует уравнению X2 + У2 = 22 при 22 = V20 = = 1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.

Случай 2. Ъ; X - нечётные, Y - чётное, п - нечётное. Имеем: Хп + Уп = 1п.

Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат. Х2п+ 2 - Хп -Уп + У2п = 12п.

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

12п - Х2п = У2п + 2 - Хп - Уп = уп(уп + 2 - Хп). (1) Разложим ф. (1) на множители.

2п + Хп = 2 - у™;

г"

Хп = 2Г'

(5)

( См. Общий случай для ф.ф. (4) и (5).) Сложим почленно ф. ф. (4) и (5). Откуда:

У? + 2п - У1,

или

2п =2

гп+2(п-1).г?

^п = уп + 2(п-1) ^ Уп

Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5). 2-Хп = 2 -У2п-2п-

Хп = 2 ■' -2 1 ■

(6)

У?.

хп = У" - 2(п-1) - У?. (7)

Из ф. ф. (6) и (7) видно, что У2 и У" не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Ъ,ХД; а ф. (6) и ф. (7), т. е. 1п и Хп, можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности п-х и суммы п-х степеней при нечётном п=2к+1.

Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).

= (У2 + V2(п-1) - У1)(У(п-1) -■■■+ ТТ^Т - У1(п-1); (8)

( П—1)2

Xй = (У2 -ЧтР-1 - У1)(У^п-1) + ■■■+ 2 п -

У1(п-1)). (9)

Итак, Хп нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение Хп + Уп = 2п не имеет решений в целых положительных числах при нечётном п>3.

Случай 3.

X>Y - нечётные, Ъ - чётное, п - нечётное.

Кроме известного доказательства, что Ъ в уравнении Хп + Уп = 1п не может быть чётным числом при чётном п, заключающемся в неравенстве

суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая.

Имеется:

Хп + уп = 2п. (1)

Вычтем из левой и правой частей уравнения

(1) 2-У".

Хп -уп =2п -2- уп. где

2п

2П - уП);

2- Уп =2 -(2

с нечётным (2(п-1) - - Уп) = а

Тогда:

Хп

Уп = 2-а.

(п-1) .

(2)

Поскольку п чётное по условию, то Хп - Уп можно разложить, как разность квадратов. Пусть

п п п п

Х~2 + У2 = 2 - Ъ, аХ~2 - У2 = 2 - с, поскольку ХиУ нечётные числа. Тогда:

Хп - Уп= 2-Ъ-2-с = 4-Ъ-с. (3)

Сравним ф. (2) и ф. (3).

2-а=4-Ъ-с; или а^2-Ъ-с, т. к. а - нечётное число.

У".

2

1

Итак: доказано, что Ъ в уравнении Хп + Уп = 2п не может быть чётным числом при чётном п>4 и целочисленных решениях уравнения.

Рассмотрим доказательство невозможности чётного Ъ при нечётном п.

X > У - нечётные, Ъ - чётное, п - нечётное. Преобразуем уравнение Хп + Уп = вычтя из левой и правой его частей 2-У". Имеем:

Хп -уп = 2П -2 •У11 = 2^ (2(п-1) • II - Уп). (4) Отметим, что (2(п-1 • 11 - Уп) - нечётное число.

Примем 2(п-1) ^г? -Уп =г%. Тогда ф.(4) примет вид:

Хп-уп = 2^ (5)

Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разности квадратов Хп и

уп.

(хп + уп)(хп - уп) = х2п - у2п = 2 • •

гп = 2^(г2^ !)п. (6) ( См. Общий случай.)

Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:

Выразим Zn = 2п • Z™. Тогда:

Хп

уп

■ = 2

2(n-l). zn-zn

= 2(n-1)^Z%+Z%; (7)

.2-fL-l2 = 2(п-1)2 • - . (8)

Разложим ф. (7) по формуле разложения на множители суммы п - х степеней при нечётном п.

Хп = 2(п-1) • г™ + = (У2(п-1) • г3 +

)(2

Z7)(2

(п-1)2

• Z.

(п-1)

- + Z.

(п-1)

(9)

Разложим ф. (8) на множители по формуле размножения на множители разности п-х степеней, имея в виду, что Уп нечётное число.

уп = 2(п-1)г% = (п^2(п-1) • г3 -

(п—1)2

г2)(2~-~г(п-1) + • + г(п-1)). (10)

Из ф.ф. (9) и (10) следует, что разложение Хп и Уп на целочисленные множители невозможно, а значит Ъ не может быть чётным числом в уравнении (1), поскольку уравнение не имеет целочисленных решений.

Общий вывод: для рационального числа п>3 уравнение Хп + Уп = 1п не имеет решений в целых положительных числах Х,У,Ъ.

Список литературы:

1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦИМО, 2000 г.

2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959 г.

3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1984 г.

© С. И. Ведерников, 2018

ЪХп = Zn + 2 • Z2}.

П Г,П

Z^ + 2-Z

2

2

Zn-2Z!}

2

2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ В СЛУЧАЕ МНОГОМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Каменева Светлана Владимировна

старший преподаватель кафедры высшей математики, ПГНИУ, г. Пермь

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлены методы групповой и поточечной классификации, позволяющие исследовать вероятностные модели многомерных дискретных распределений. Построены оптимальные решающие правила для многомерного распределения Пойа, полиномиального распределения, многомерного гипергеометрического распределения. В качестве частных случаев приведены решающие правила поточечной классификации данных совокупностей. Рассмотрены статистические решающие правила групповой классификации, построенные на основе оценок максимального правдоподобия и несмещенных оценках, определена их эффективность.

ABSTRACT

The methods of group and pointwise classification allowing investigate probability models of multivariate discrete distributions are presented in this article. Optimum decisive rules for a multivariate distribution of Polya, a polynomial distribution, a multivariate hypergeometric distribution are constructed. Decisive rules of pointwise classification of these distributions are given as special cases. The statistical decisive rules of group classification constructed on the basis of maximum likelihood estimates and unbiassed estimators are considered. Their effectiveness is defined.

Ключевые слова: дискретные распределения, многомерное распределение Пойа, полиномиальное распределение, статистическая групповая классификация, статистическое моделирование.

Keywords: discrete distributions, multidimensional distribution of Polya, polynomial distribution, statistical group classification, statistical modeling.

Дискретные распределения служат математиче- широко используются такие многомерные распреде-скими моделями для описания многих реальных задач ления, как полиномиальное распределение и распре-и процессов. В медико-биологических исследованиях деление Пойа. На основе полиномиального распреде-