CC BY
6
Технические науки
Литература
1. Аббасов И.Б. Компьютерное моделирование в промышленном дизайне: ДМК Пресс, 2013. - 92 с.
2. Волошина М. Трехмерная графика в современном мире [Электронный ресурс]: https://klona.ua/blog/3d-modeИшvame/trehmernaya-grafika-v-sovremenmm-mire (Дата обращения: 02.02.2018).
3. Сиддикви Д. 20 бесплатных программ для 3D - моделирования [Электронный ресурс]: https://freelance.today/ poleznoe/20-besplatnyh-programm-dlya-3d-modelirovaniya.html (Дата обращения: 21.12.2017).
УДК 69
DOI 10.21661/r-555240 Павлов А.В.
Поле сдвигов аналитических функций
Аннотация
Доказано совпадение поля сдвигов с исходной аналитической функцией, если данная функция четна, и совпадение с исходной отраженной функцией в общем случае. Аналогичный результат верен для действительной и мнимой части таких функций. Как следствие получена периодичность аналитических функций в достаточно общих условиях. Поле сдвигов совпадает с результатом отражения значений исходной функции относительно произвольной точки на действительной прямой. Исследован случай действительной на мнимой оси аналитической функции.
I
Ключевые слова: отражение функций, периодичность аналитических функций, сдвиги функций, совпадение с константой.
Введение.
В данной статье рассматриваются как действительные функции двух переменных (теорема 2), так и комплексные аналитические функции (теорема 1), которые после сдвигов на произвольную постоянную величину образуют, вообще говоря, неаналитическую функцию точек плоскости (некоторое поле). В качестве иллюстрации результата теоремы 1 приведем пример, из которого следует возможность периодичности функции как результат совпадения ее значений с некоторым полем значений.
Если значения произвольной действительной функции сдвинуть на величину 2А вправо, то мы получаем поле сдвигов F(x, у), значения которого в каждой точке (А, у) совпадает с одновременно со значениями и(х-2А, у) и и(-х, у), то есть и(х-2А,у) = и(-х, у), х=А>0. Если и(-х, у)=и(х, у), то поле сдвигов функции и(х, у) в правой полуплоскости совпадает с исходной функцией и(х, у): и(х, у)= и(х-2А, у) при всех (х, у) из правой полуплоскости (при всех х=А). Отметим, что обе функции и(-х, у), и(х, у), гармоничны, если гармонична хотя бы одна из них, то есть поле сдвигов F(x, у) действительной части аналитической в левой полуплоскости функции совпадает с действительной частью некоторой аналитической в правой полуплоскости функции Д(р)=и(х, у)+^(х, у) в случае действительности функции Д(р) на мнимой прямой ( по теореме Римана и(-х, у)=и(х, у) в данной ситуации [6]).
В теореме 1 данный факт обобщен на случай произвольных аналитических функций. Следствием теоремы 1 является периодичность такого рода функций с периодом 2В<2А.
В теореме 2 рассмотрены функции с четной по х действительной частью (этим свойством обладают по
теореме Римана все аналитические в окрестности мнимой оси функции, действительные на всей мнимой оси [6]). Следствием теоремы 2 является действительность значений такого рода функций в некоторой области правой полуплоскости.
Второй очевидный факт получается, если значения произвольной комплексной аналитической функции Д(р) сначала сдвинуть на величину 2А вправо, а затем отразить относительно точки (0, А); в результате таких действий имеем функцию Д(-р) (достаточно проследить перемещение оси Re р = -А). Данный факт используется в теореме 1.
Теореме 1 продолжает результаты статей [1; 2] относительно возникновения периодичности функций на плоскости. Если рассмотреть значения аналитических функций Д(р-2А) в точках с действительной частью, равной А при всех действительных А, то мы получим некоторое поле сдвигов F(p): F(p)=f(p-2A) при всех p=A+iy. Доказано, что данное поле тоже можно считать аналитической функцией, которая периодична с некотором периодом 2А. Ввиду определения поля сдвигов теоремы 1 константа 2А может быть выбрана произвольной, и получившееся поле сдвигов совпадает с константой. С точки зрения аналитических продолжений данное поле сдвигов в некоторых условиях совпадает с исходной функцией. Из данного результата формально следуют основные результаты статей [1-4], относящихся к преобразованию Лапласа.
Доказана теорема 1, которая продолжает результаты статей [1; 2] относительно возникновения периодичности функций на плоскости. В данной статье рассматриваются комплексные аналитические функции, которые после сдвигов на произвольную постоянную величи-
60 Интерактивная наука | 9 (64) • 2021
Технические науки
ну образуют, вообще говоря, неаналитическую функцию (некоторое поле). Доказано, что данное поле тоже можно считать аналитической функцией, которая периодична с некотором периодом 2А. Ввиду определения поля сдвигов теоремы 1 константа 2А может быть выбрана произвольной, и получившееся поле сдвигов совпадает с константой. С точки зрения аналитических продолжений данное поле сдвигов в некоторых условиях совпадает с исходной функцией. Из данного результата формально следуют основные результаты статей [1; 3], относящихся к преобразованию Лапласа.
1. Операторы сдвига
В теореме 1 рассмотрено поле значений F(p) из введения при всех Так как уравнение z = g(p) = Д(2А - р) определяет симметричное отражение значений функции z=f(p) относительно точки В = (0,А) (ввиду g(p) = ДА - (р - А), если ДА + (р - А)) = Д(р) ), то данное поле можно так же получить отражением функции Д-р) относительно точки (А,0) при всех А>0 (очевидно, Д(р-2А)=Д-(2А-р)) ), такое отражение мы назовем G симметрией функции Д-р). Результат теоремы 1 обобщает результаты статей [1,2], в которых доказана периодичность исходной аналитической функции как следствие аналитичности поля F(p) при некоторых достаточно общих условиях.
Теорема 1.
Если функция z=f(p) аналитична при всех -4А < Re р < 4А, А € (0, ж) то функция Ар) совпадает при всех А> 0 с полем сдвигов F(p) функции Ар).
Доказательство.
Значения поля сдвигов F(p) по определению совпадает с выражением
F(p)=u(-x, у)+^(-х, у) = Щх,у)+Щх,у), Vp=x+iy,
при всех Re р=А>0.
Отметим, что на прямой Re р=А значения в верхней и нижней полуплоскости как результат сдвига функции Др) на величину 2А и как результат отражения относительно центра координат совпадают со значениями одной и той же аналитической функции, у которой значения в верхней полуплоскости (значения Др-2А)) отражены относительно точки (А,0) (достаточно проследить образ прямой Re р=-А при сдвиге на 2А и при отражении относительно центра координат). Данный факт означает, что в общей ситуации теоремы 1 Д(р-2А)=Д-р) при всех х=А>0. С точки зрения действительной и мнимой частей Др) эквивалентно тождествам
Др-2А)=и(х-2А, у)+^(х-2А, у)=и(-х,-у)+^(-х,-у), х=А€ [0, ж), у € (-ж, ж)
(данный факт обобщает результат совпадения G симметрии функции Д-р) с полем сдвигов. F(p))
Следовательно, при любом х =А>0
F(p)=u(-x, у)+^(-х, у)=и(х-2А,-у)+^(х-2А,у) = = и(-х,-у)+^(-х,-у) =Д-р), р=х+1у, Яв р = А
Теорема 1 доказана.
Поле сдвигов действительной части совпадает с действительной частью функции Др), как это было отмечено во введении в случае действительности Др) на мнимой прямой. Рассмотрим аналогичный факт для мнимой части Д(р).
Обозначим через G(x, у) поле сдвигов мнимой части V(x, у), аналитической функции Д(р) (по определению G(x, y)=V(x-2A,y), если (х, у)=(А, у) при всех действительных А>0).
В теореме 2 доказана действительность аналитической функции Д(р) в достаточно общих условиях в случае действительности функции на комплексной оси.
Теорема 2.
Если функция z=f(p) аналитична при всех -4А < Re
р < 4А, А € (0, ж), и Re р = р, р € (чж, iж)
то функция Др) =Re р при всех p=x+iy : у>0, 0<х<4А.
Доказательство.
Поле сдвигов F(p) в правой полуплоскости совпадает с сопряженной к Д(р) функцией . Следовательно, в правой полуплоскости одновременно выполнены два равенства
№ = F(p) = и(х-2А, у)+Мх-2А, у) = = и(х-2А, у)+^(х-2А, у), р = х+1у, Яв р = А.
Теорема 2 доказана.
2. Заключение
Из теоремы 1 следует, например, аналитичность двойного преобразования Лапласа из статей [1-4] в некоторой открытой окрестности нуля. Данный факт является основой доказательства всех результатов данных статей.
Применение теорем 1,2 к математической физике требует дальнейшего отдельного рассмотрения. В статьях [5; 7] отмечены аналогичные интересные факты в геометрии.
В теореме 1 рассмотрены функции видаДр-2А) при положительных произвольных константах А>0. Значения данных функций на прямой с действительной частью, равной А образуют некоторое поле, которое, как доказано в теореме 1, является аналитической функцией в правой полуплоскости.
Литература
1. Pavlov A.V. The regularity of the Laplace transform. Math. Phys.and Comp. Model. Volgograd State University,
2019, 22, 1, 5-11.
2. Pavlov, A. V. About the equality of the transform of Laplace to the transform of Fourier. Issues of Analysis, 2016, 23, 1, 21-30.
3. Pavlov A.V. Permutability of Cosine and Sine Fourier Transforms. Journal Moscow University,Mathematics Bulletin, Springer, 2019, 74, 2, 75-78.
4. Павлов А.В. Регулярность преобразования Лапласа и преобразование Фурье. - Тула: Чебышевский сборник,
2020. - №4. - С. 162-170.
5. Павлов А.В. Геометрия на плоскости и линейный прогноз. Новое слово в науке: стратегии развития: материалы XIV Междунар. науч.-практ. конф. (Чебоксары, 30 дек. 2020 г.). - Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2020.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
7. Andrey V. Pavlov. Optimal linear prognosis II. Geometry in space. Intern. Jour. of Open Information Technologies, 9, 2, 9-13, 2021.
8. Pavlov A.V The regularity of the Laplace transform Math. Phys.and Comp. Model. Volgograd State University, 2019, 22, 1, 5-11. Интерактивная наука | 9 (64) • 2021 61
