CC BY
46
УДК 621.32 Г.М. Редькин
ПОКАЗАТЕЛИ СТРУКТУРНОЙ РАЗДРОБЛЕННОСТИ МАССИВОВ ГОРНЫХ ПОРОД
Предложены новые методы математического моделирования трещиноватости массивов горных пород.
Ключевые слова: трещиноватость, блочность, раздробленность массива горных пород.
Семинар № 1
G.M. Redkin
THE KEY FIGURES OF STRUCTURAL BREAKS IN ROCK MASS
The new methods of mathematical modeling of rock fracturing are proposed.
Key words: fracturing, blockiness, break in rock mass.
Wb массивах горных пород во всех без исключения случаях развиваются несколько (не менее трех) систем трещин [1], совокупность которых называют трещиноватостью. Трещины, пересекаясь, разделяют горный массив на структурные блоки различных форм и размеров, которые называют отдельностями, а объем элементарного (среднего) блока - блочностью [2].
Трещиноватость является одним из основных факторов, влияющих на прочностные, напряженно деформационные параметры состояний массивов горных пород, конструкций систем разработок; на разрушаемость горных пород; на механикотехнологические свойства строительных и природных облицовочных материалов; и, поэтому, требует всестороннего и глубоко изучения.
Математическое моделирование служит фундаментальным аспектом изучения трещиноватости, поэтому актуальны разработанные [3, 4] и приведенные ниже новые методы математического моделирования трещиноватости массивов горных пород.
Характеристикой трещиноватости горного массива является интенсивность трещиноватости [2] - среднее количество трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в любом направлении. Интенсивность трещиноватости зависит от направления изменения количества трещин и, поэтому, является анизотропной величиной. В частности, интенсивность трещиноватости в направлении перпендикулярном системе трещин называют частотой трещин.
В работах [3, 4] установлено, что математическим эквивалентом системы трещин является вектор системы, который перпендикулярен плоскости системы, его модуль равен частоте трещин и выражается он через элементы залегания системы трещин следующим образом
ю=-^ N = 7^(-[sin Asin^J [cos A sin^J [cos^]) (1)
N N
где ю - частота трещин системы; A, 8, N,
N
- соответственно азимут ли-
нии простирания, угол линии падения, нормальный вектор и его модуль плоскости системы трещин. Причем в записи вектора (1) использовано обозначение Гаусса
N N
[sinAsin¿] = Zsin sin , [cos AsinV] = Яcos sinV(j,
j=1 j=1
N
[cosV] = £ cosV(j,
j=1
где N - количество трещин системы.
Исходя из векторного представления (1) системы трещин, интенсивность трещиноватости массива горных пород, обусловленная n системами трещин адекватно выражается суммой модулей проекций векторов (1) систем трещин на направление [3, 4]
е = (cos а; cos Р; cos у), |е| = 1, (2)
т.е.
0п ,_ п
= я К • а = ЯК cos а + ®yi cos р + к cos у, (3)
i=1 i=1
где К = -К[sin4 sinViУ1 N\ , К =К[cos4 sin Viy|N<|, К = К [cos V], |n,| = ^[sin 4 sin Vi ] + [cos Ai sin Vi ] + [cos V ] ,
в которых ú)i - среднее значение частоты i -ой системы трещин, Aj, - ази-
мут линии простирания и углы падения плоскости i -ой системы трещин, а компоненты орта е (2) представляют направляющие косинусы углов между ортом е и соответственно осями координат 0х, 0у, 0z.
Однако, осложненное модулями от нелинейных функций выражение z(e) (3) является не гладкой, сложнодифференцируемой многомерной функцией и имеет большое количество экстремумов, т.к. каждая система трещин вносит в нее два экстремума, что затрудняет построение в пространстве естественной отдельности при количестве систем трещин п > 3.
Для решения проблемы определения средней естественной и блочности массива горных пород перейдем к квадратичным значениям его интенсивности трещиноватости [5], которые аналитически описываются дифференцируемыми в всей области существования функциями, количество экстремумов равно размерности пространства - соответственно двум в плоском случае (двумерное пространство Е2), либо трем в объемном случае (трехмерное пространство Е3) при любом количестве систем трещин.
Возведем в квадраты скалярные произведения векторов (1) на орт (2) и найдем в обозначениях (3) обусловленные i -ми системами трещин, квадраты интенсивностей трещиноватости
Х2(е) = (®,- • е} = (а* сое а + «у сое р + сое /},
і = 1,2,....п.
(4)
Раскроем круглые скобки в правых частях равенств (4), просуммируем по всем системам трещин и выразим в тензорной форме квадратичное значение интенсивности, индуцированной П системами трещин
¿^0=е •ь •е =
= (соза; соз Р; со8^)^
¿®1. і=1 Е і=1 а*і • «уі Еа*і -«„і і=1
е =№ * 55 п Е < і=1 п Е«уі «уі і=1
п Е а і=1 * 55 п Е а • і=1 =№ еГ
^со8 а^ соз Р
V
(5)
где
Ь =
Е®2Е®*і -ауі Е
і=1 і=1 і=1
к п п
Ео,-•«* Ео/ Е«у,-
і=1 і=1 і=1
ппп
¿аі а*і ¿®* -«уі Е
я уі і=1 і=1
(6)
- тензор второго ранга квадратичных значении интенсивности трещиноватости, выраженный в выбранной системе координат квадратной симметричной неособенной матрицей.
Тензор (6) является полной характеристикой анизотропии квадратичных значений интенсивности трещиноватости, порожденной развитыми в массиве горных пород п системами трещин. Умножая его скалярно слева и справа на направляющие
орты е и е по формуле (5), получим квадратичные значения интенсивности трещиноватости по любому направлению е .
Извлечем квадратный корень из равенства (5) и определим среднее квадратичное значение интенсивности трещиноватости массива горных пород в зависимости от направление е
#(3 = 7е • Ь • е .
(7)
Положим тензорную характеристику (6) и показатель интенсивности трещиноватости (7) в основу определения средней естественной отдельности и блочности массива горных пород. Проблема определения экстремумов среднеквадратичного значения (7) интенсивности трещиноватости массива горных пород сводится к отысканию главных направлений (главных осей) тензора Ь (6) и его главных (собственных) значений, представляющих собой компоненты тензора в координатной системе главных осей.
т
і=1
п
п
п
п
п
п
і=1
Главные оси тензора Ь определяют экстремальные направления анизотропии среднеквадратических значений интенсивности трещиноватости #3 (7), а главные значения - экстремальные величины интенсивностей трещиноватости по главным направлениям.
По разработанной методике [5] главные значения тензора Ь (6) являются решениями (корнями) его характеристического уравнения
д(л)=Л3 - $ л2+$ л- аа ь = о , (8)
где
п п п
$=Т +Т +Т2 ,
$2 =
Т п ь 1 ? 3 з п Т®Х1 Ь м3 п ТаУ‘
1=1 п ТаУ‘ 'тх1 1=1 1=1 п Т < 1=1 + ? 1 «н д 1=1 п Т 2 1=1 + 1=1 п ТЮ* 'аУ‘ 1=1 1=1 п м ь2 1=1
1 =1
1=1
1=1
- суммы главных миноров соответственно первого и второго порядков тензора Ь ; аа Ь - определитель матрицы Ь .
В силу симметричности матрицы Ь (6) корни Хг, г = 1,2,3 характеристического уравнения (8) вещественные и , г = 1,2,3 равны экстремумам среднеквадратичных значений интенсивности трещиноватости #0 (7). Главным (собственным)
значениям тензора Ь Хг, в соответствие с [5], отвечают определяющие направления главных осей тензора Ь орты
где
1 = 1,2,3,
(9)
'А =
д,=
Т® -Юу1 Т® ®
1=1 1=1
п п
м-У2 -л м-У.®
1=1 1=1
п п
ТтХа-Л Т® -®у1
1 = 1 1=1
пп
Т®У 'тх< Т®2 -Л
д У.=
М®Х1 Ь 1=1 м 1=1
п ТаУ‘ 1=1 п мм 1=1
(10)
_ /
Орты (9) суть три взаимно ортогональных единичных вектора в пространстве. Они удовлетворяют условию 222
п
п
2
®У1 -®Х1
1=1
1=1
■в, =
11, если І = І,
І 0, если І Ф І, І, І = 1,2,3
и определяют ориентировку, положение в пространстве средней естественной отдельности. В направлениях этих ортов интенсивности трещиноватости вычисляются
по формуле (3) и принимают значения ь(ё\ ), ь(е2 ), ь(е3 ).
Тогда средняя естественная отдельность представляет прямоугольный параллелепипед в пространстве (см. рис.), построенный на векторах
а = в\ І\ві I, в = в2 ІІ в2 I, с = вз ІІ вз
(11)
которые наряду с ортами (9) также определяют ориентировку отдельности в пространстве, а модули векторов (11) и ее линейные размеры
(12)
Модуль смешанного произведения векторов (11) равен объему построенного на этих векторах параллелепипеда и, следовательно, блочность массива горных пород, характеризующегося развитием любого количества систем трещин, равна
3 =
р-в-с)
а = а ■ \в\-у
1 = 1і( ві'
■І|в2 І-1 вз
(13)
Наряду с разработанными показателями раздробленности массива горных пород (9), (11) - (13), могут быть полезны теории и практике физике горных пород и строительного материаловедения следующие показатели:
[і] = ( І(ві') +1\ вЛ + І(вз'
13
средняя интенсивность трещиноватости массива горных пород;
(14)
- средняя площадь сечения средней естественной отдельности.
Таким образом, тензоро-вероят-ностное моделирование анизотропии интенсивности трещиноватости (3) и ее среднеквадратичных значений (7), (6) позволило определить следующие показатели раздробленности массива горных пород при развитии в нем любого количества систем трещин: форму, ориентировку в пространстве (9), (11) и
Форма, ориентировка в пространстве и размеры средней естественной отдельности (1) массива горных пород
в
размеры (12) средней естественной отдельности (см. рис.); блочность массива горных пород
(13); среднюю интенсивность трещиноватости массива горных пород (14); среднюю площадь сечения средней естественной отдельности (15).
Разработанные показатели раздробленности массива горных пород (9), (11) - (15) представляют полученную за счет математического моделирования дополнительную информацию, которая и обеспечивает эффективность проведенного математического моделирования.
1. Казикаев Д.М. Методические рекомендации по изучению трещиноватости массива скальных пород для решения задач механики горных пород/ Д.М. Казикаев, Г.И. Чухлов. -Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1976. - 59 с.
2. Рац М.В. Трещиноватость и свойства трещиноватости гонных пород/ М.В. Рац, С.Н. Чернышев. - М.: Недра, 1970. - 160 с.
3. Редькин Г.М. Стохастическое моделирование трещиноватости массива горных пород/ Г.М. Редькин// Системы обработки информа-
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ции: Сб. научн. тр. - Харьков: НАНУ, ПАНМ, ХВУ, 2001. - Вып. 6(16) - С. 234 - 238.
4. Редькин Г.М. Математическое моделирование трещиноватости массива горных пород/ Г.М. Редькин// Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. 2005. -№4. - С. 79-82.
5. Редькин Г.М. Нестационарное анизотропное математическое моделирование неоднородностей систем минерального сырья/ Г.М. Редькин. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. - 500 с. ЕШ
г Коротко об авторе
Редькин Г.М. - кандидат технических наук, доцент, зам. заведующего кафедрой прикладной математики, Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова, E-mail: [email protected]
А
---------------------------------------------------- РУКОПИСИ,
ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА
Пономарев В.П., Скачкова Е.С. Концепция формирования эффективного спроса тепловых электростанций на угольное топливо (724/12-09 от 23.09.09) 5 с.
Обоснована новая экономическая категория, названная эффективным спросом тепловых электростанций на угольное топливо. Концепция его формирования состоит в обеспечении конкурентоспособного предложения электроэнергии угольной генерации при достижении общего баланса интересов между государством и субъектами экономических отношений, участвующими в развитии тепловой электроэнергетики.
Ключевые слова: эффективный спрос, предложение, угольное топливо, электроэнергия, угольная генерация.
Среднегодо-
вая
The article contains the description of a new economic category called the effective demand of thermoelectric power stations for coal fuel. The conception of its formation lies in providing competitive coal-generated electricity supply when achieving the balance between the interests of the state and the subjects of economic relations, which take part in development of thermal power industry.
Key words: effective demand, supply, coal fuel, elecricity, coal generation.
