Математическое моделирование трещиноватости массива горных пород Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ГОРНОЕ ДЕЛО И ГЕОЛОГИЯ

УДК 621. 32

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИНОВАТОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД

© 2005 г. Г.М. Редькин

Горные породы, как изверженные, так и метаморфические, повсеместно характеризуются ориентированными закономерно разрывами сплошности, которые называются трещинами. Совокупность всех трещин, развитых в массиве горных пород, называют трещиноватостью [1, 2].

Трещины, имеющие одинаковую (параллельную) или близкую ориентировку, объединяют в системы трещин, которые характеризуются частотой [3] -средним количеством трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в направлении, перпендикулярном изучаемой системе, и интенсивностью тре-щиноватости [4] - средним количеством трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в любом направлении.

В массивах горных пород во всех без исключения случаях развиваются несколько (не менее трех) систем трещин [2], которые, пересекаясь, разделяют массив на структурные блоки различных форм и размеров. Эти монолитные блоки, оконтуренные естественным трещинами, называют отдельностями, или естественными отдельностями, а объем элементарного (среднего) блока - блочностью [5].

Трещиноватость является одним из основных факторов, влияющих на прочностные, напряженно деформационные параметры состояний массивов горных пород, конструкций систем разработок; на разрушаемость горных пород; на механико-технологические свойства строительных и природных облицовочных материалов; и поэтому требует всестороннего и глубокого изучения.

Математическое моделирование служит фундаментальным аспектом изучения трещиноватости, поэтому актуальны разработанные ниже новые методы математического моделирования трещиноватости массивов горных пород.

Из определения трещины следует, что ее геометрическим аспектом является плоскость разрыва сплошности горных пород. Для математического моделирования трещиноватости достаточно рассмотреть свободные плоскости, которые можно перемещать параллельным переносом в любую часть пространства недр из области развития трещины. При этом ориентировка плоскости в пространстве не меняется и однозначно определяется элементами ее залегания: азимутом линии простирания (А); углом линии падения (5), которые изменяются в промежутках 0 < А < 2 п, 0 < 5 < п /2.

Параллельным переносом переместим в пространстве плоскость трещины так, чтобы она проходила через начало координат, и обозначим через г = (х; у; 2) - радиусы-векторы ее точек. Уравнением плоскости трещины назовем нормальное уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости трещины.

Ортом оси (либо вектора) называют единичный по модулю вектор, направленный в положительную сторону оси (вектора). Можно показать, что орты р -линии простирания и ^ - линии падения выражаются через элементы залегания трещины следующим образом: р = (собА; бшА; 0), q =(-бшАсоб5; собАсоб5; -бш5). Тогда получим нормальный (перпендикулярный к плоскости) орт плоскости трещины

п = р х q = (-б1пАбш5; собАбш5; соб5) (1)

и уравнение плоскости трещины соответственно в векторной и координатной формах

п х г =0; -х бшАбш5 + у собАбш5 + 2 соб5 = 0. (2)

Нормальный орт п (1) однозначно выражается через элементы залегания плоскости трещины и полностью определяет ее ориентировку в пространстве. Поэтому вместо плоскости трещины будем рассматривать ее математический эквивалент - нормальный орт п (1).

Любая система трещин характеризуется ориентировкой совокупности плоскостей, ее образующих, и частотой трещин (ю). Построим вектор, отражающий эти факторы, и отождествим его с системой трещин.

Плоскостью системы трещин назовем плоскость, ориентировка которой в пространстве определяется средним положением плоскостей, составляющих систему.

Вектором системы трещин назовем вектор, перпендикулярный плоскости системы, модуль которого равен частоте трещин системы.

Сложим нормальные уравнения (2) всех плоскостей системы и получим отвечающее определению общее уравнение плоскости системы

- [б1пабш5]х + [собабш5]у + [соб5]2 = 0, (3)

в записи которого использовано введенное в теорию погрешностей обозначение Гаусса

[sinAsinS]= ¿ sinA^inS01; j=1

N

[cosAsinS]= £ cos A^sinS^1;

j=i

N ()

[cos5]= £ cos Sj,

j=i

где j - номер трещины, а N - количество трещин системы.

Общему уравнению плоскости (3) системы отвечает ее нормальный вектор

N = (- [sinAsinS]; [cosAsinS]; [cosS]). Разделим общее уравнение (3) на модуль

| N | = -y/[sin A sin S]2 + [cos A sin 8]2 + [cos S]2 и получим нормальное уравнение плоскости системы

[sinA sin 81 [cos A sin 81 [cos 81 -F=i- x +-F=i- У +1—1 z =

N N N

(4)

n = — =

(-[sin A sin 8]; [cos A sin 8]; [cos 8])

(5)

Отождествим /-ю систему трещин со случайным вектором системы трещин ю = т/п , (6), (5), характеристики которого математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию будем определять по замерам показателей системы в точках исследуемого массива горных пород.

Каждому множеству замеров элементов залегания

i-й системы трещин в j-й точке: A¿, 5;

W Я W ffliw

по фор-

ю j = fflj (xj ; yj ; zj),

мулам (6), (1) отвечают значения случайного вектора

(7)

где xj = -sin Aj sin Sj yj = cos Aj sin Sj zj = cosSj Математическим ожиданием или средним значением случайного вектора ю , i-й системы трещин на основе формул (6), (5) будет выражение

м ю n;=-

[ю i ]([ X; ];[ У; ];[ zt ])

ifl

Xi I2 + [ yt ]2 + [ zt ]2

(8)

где [ю i ] = £ю i(1);

j =1

[ xi] = É x

i=i

(i).

[y i ] = É y i(j); i=i

коэффициенты которого являются координатами нормального орта плоскости системы

N| 7[sin A sin 8]2 + [cos A sin 8]2 + [cos 8]:

Тогда, в соответствии с определением, вектор

ю = ю n (6)

является вектором системы трещин.

Действительно, вектор ю: 1) перпендикулярен плоскости системы трещин, следовательно, он определяет ориентировку системы в пространстве; 2) его

модуль |ю| = ю n| = ю равен частоте трещин ю системы.

Заметим, что противоположные нормальный орт (- n ) и вектор системы трещин (- ю ) также определяют ориентировки в пространстве соответственно плоскости системы (2) и плоскости системы трещин

(4).

В основе изучения трещиноватости лежат замеры элементов залегания и частоты трещин систем. Применительно к данной задаче под точкой замера будем понимать некоторую область в массиве горных пород, достаточно большую для возможности определения азимутов линий простирания, углов линий падения, частот систем трещин и достаточно малую по сравнению с оцениваемым массивом горных пород.

Пусть в массиве горных пород развито n систем трещин, где i = 1, 2, ..., n - номер i-й системы трещин, и сделано по ni замеров элементов залегания трещин в i-й системе трещин, где j = 1, 2, ..., nj - номер j-го замера в i-й системе.

Обозначим через Ai(j), Si(j) соответственно азимут линии простирания и угол линии падения j-го измерения плоскости трещины в i-й системе трещин; ю,-' -частоту j-го измерения i-й системы трещин.

[ г, ] = Е г,

j=l

Так как природные системы трещин не идеальны и для их моделирования использован выборочный метод статистики, то математическое ожидание (8) описывает /-ю систему трещин с погрешностью, которую определим следующим образом.

Обозначим через А ю ^ - вектор-отклонение между значением вектора /-й системы трещин в j-й точке замера (7) и математическим ожиданием (8), который будет равен

А ю j = ю j - М ю, = (Ax/1-1; A yj ; A zj),

(9)

где Axj = j» - Í^-JW; Ayj = ш,1 yj - [ю][y

пАЩ

Azj = ю' zj - ; i = 1, 2, n, j = 1,2, j .

n\N\

Направление в пространстве задают с помощью

орта

е =(cosa; cosß; cosy), е =1,

(10)

координатами которого являются направляющие косинусы углов между ортом е и соответственно осями координат Ох, Оу, Ог.

Найдем проекцию вектор-отклонения (9) на направление е (10):

пре А ю ,()=А ю ;л е = Ar^cosa + Aji'xosP +AziU) cosy.

(11)

Возведем обе части равенства (11) в квадрат, просуммируем средние квадраты по всем точкам замеров i-й системы трещин и получим зависящую от направления е дисперсию математического ожидания (8) i-й системы трещин, которую выразим в матричной форме

n

D. (e) = eD. e , i = 1,2,..., n, ( cos a^

(12)

-Т

где e =

соб в соб у

Di =-

1

- транспонированный орт e ;

[(Ах,- )2] [Ахг Ау, ] [Ахг Аг, [Ау, Ах, ] [(Ау, )2] [Ау, Az [Az, Ах, ] [Аг, Ау, ] [(Аг,)

i^^ i 2-

- тензор погрешности определения математического ожидания (8), представленный в выбранных осях координат квадратной неособенной симметричной матрицей, элементы которой выражены в обозначениях Гаусса.

Совокупность систем трещин развитых в массиве горных пород индуцирует (порождает) интенсивность трещиноватости - анизотропную величину, принимающую в разных направлениях различные значения.

Исследованиями установлено [4], что интенсивность трещиноватости, индуцированная одной 1-й системой трещин в направлении орта е (10) представляет собой модуль проекции математического ожидания (8) на направление е (10)

3, (е) = |пр -М ю ,■ | = |м ю 1 е| = = [ю, ]|[ х, ]соб а + [ у, ]соб в + [ ]соб у|

i ]2 + [ yt ]2 + [ zt ]2

, = 1,2, ..., п, а сумма выражений (10) определяет интенсивность трещиноватости в направлении орта е , индуцированную п системами трещин

- " [ю,]|[xi]соба + [yi]собв+ [г,]собу|

3 (е) = ^ I--. (13)

,=1 п^ [х, ]2 + [у, ]2 + [ г, ]2

Дисперсию интенсивности трещиноватости (13) в направлении орта е получим, суммируя левые и правые части равенств (12) по всем системам трещин

D(e) = eDeT ,

(14)

где

D =

Е[(AXi)2]/ni Е [AXiAy,]/nt £ [AXiAz, ]/n i=1 i =1 i =1

Е [Ay AXi ]/ nt £ [(Ay, )2]/ nt £ [Ay, AZi ]/ n,

Е [AZiAXi ]/пг Е [Az. Ay i ]/n £ [(Az, )2]/>

i=1

i=1

i=1

- тензор погрешности интенсивности трещиноватости совокупности п систем трещин, который также является квадратной симметричной неособенной матрицей.

По разработанным формулам (13) и (14) можно вычислять интенсивность трещиноватости массива горных пород и их погрешности по любому направлению е .

Множество точек-концов ортов направлений е образуют сферу с центром в начале координат и единичным радиусом. Следовательно, единичная сфера является областью определения интенсивности тре-щиноватости 3( е) (13). Исследование на экстремум 3( е) позволит найти минимальные и максимальные значения интенсивностей трещиноватости и направления, по которым эти значения достигаются, что может быть использовано для определения размеров, формы, ориентировки в пространстве среднего блока и блочности.

Таким образом, разработанная тензорно-вероятностная модель трещиноватости массива горных пород (формулы (8), (12), (13), (14)) позволит эффективно решать задачи структурной геологии, механики горных пород, строительного материаловедения.

Приведем пример моделирования интенсивности трещиноватости (13) массива горных пород. Для наглядности рассмотрим простой плоский случай.

Пусть массив горных пород имеет две системы трещин, которые характеризуются параметрами: 1) азимут простирания А1= п /2, угол падения 51= п /2, частота трещин Ю1=5; 2) азимут простирания А2=0, угол падения 52= п /2, частота трещин ю2=5; при этом единицу длины примем равной 5.

Будем исследовать проекцию массива горных пород на плоскость Оху. Тогда системы трещин будут представлены системами параллельных прямых в плоскости Оху, причем первая система параллельна оси Оу, а вторая оси Ох и расстояния между прямыми равны единице.

Векторы систем трещин (6), (1), направляющий орт (10), интенсивность трещиноватости (13) при заданных выше значениях элементов залегания трещин примут соответственно выражения: ю 1=5(-1; 0), ю 2=5(0;1);

е =(соБа; Бша);

3( е )=5(|соБа| + | Бша|). (15)

Равенство (15) описывает интенсивность трещиноватости в полярной системе координат. Значение 3( е) определяет среднее количество трещин в направлении е . Интенсивность трещиноватости в декартовых координатах Оху будет выражаться формулами:

' х + у; х > 0, у > 0;

-х + у; х < 0, у > 0;

-х - у; х < 0, у < 0;

х - у; х > 0, у < 0.

X 2 + y 2 = 5

(16)

Равенства (16) представляют собой окружности с центрами в точках С1(2,5; 2,5), С2(-2,5; 2,5), С3(-2,5; -2,5), С4(2,5; -2,5) и радиусами ^=^=^=^=5/72 в пределах соответствующей четверти.

Геометрическая интерпретация интенсивности трещиноватости (15), (16) представлена на рис. 1

Рис. 1. График интенсивности трещиноватости, индуцированной приведенными в примере системами трещин: 1 - системы трещин; 2 - отрезок, длина которого равна интенсивности трещиноватости J(ë) в направлении е

Литература

1. Нейштадт Л.И., Пирогов И.А. Методы инженерно-геологического изучения трещиноватости горных пород. М., 1969.

2. Методические рекомендации по изучению трещиноватости массива скальных пород для решения задач механики горных пород / Составители Д.М. Казикаев, Г.И. Чухлов. Белгород, 1976.

3.Белоусов В.В. Тектонические разрывы, их типы и механизм образования // Тр. Геофизического ин-та АН СССР. 1952. №17.

4. Такранов Р.А. Об определении интенсивности трещино-ватости сложнодислоцированных пород // Тр. по изучению вопросов трещиноватости пород в горном массиве. Л., 1964.

5. Беликов Б.П. О методике изучения трещиной тектоники месторождений строительного и облицовочного камня. М., 1953.

6. Редькин Г.М. Аналитическое выражение интенсивности трещиноватости горных пород // Математическое моделирование технологических процессов в производстве строительных материалов и конструкций / Под редакцией Н.Д.Воробьева: Сб. науч. тр. Белгород, 1998. С. 139 - 141.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова 28 февраля 2005 г.

УДК 550.832.74

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРИСТОСТИ ДЕВОНСКИХ ОТЛОЖЕНИЙ ВОЛГОГРАДСКОГО ПОВОЛЖЬЯ ПО НЕЙТРОННОМУ КАРОТАЖУ

© 2005 г. Г.А. Шнурман, А.А. Науменко-Брайловская

Основные перспективы нефтегазоносности на территории Волгоградского Поволжья связаны с эй-фельско-нижнефранским и среднефранско-турнейскими нефтегазоносными комплексами (НГК). В первом НГК перспективными являются погребенные структуры в отложениях терригенного девона, во втором -залежи нефти приурочены к органогенным известнякам.

Разрез девонских отложений характеризуется ли-тологическим разнообразием и представлен карбонат-но-терригенным комплексом осадочных пород со значительной вариацией глинистого материала. Залежи нефти и газа приурочены к коллекторам различных типов: в терригенных отложениях в основном к поровым, в карбонатных - к порово-каверновым. Терригенные коллекторы, представленные песчаниками с дисперсной глинистостью, ограниченной толщины и крайне неоднородны. Карбонатные коллекторы - чистые известняки с пористостью выше 4-5 % и содержанием нерастворимого остатка ниже 30 %. Продуктивные породы-коллекторы - нефте- или газо-

насыщенные, характеризуются, как правило, большим диапазоном фильтрационно-емкостных свойств и сложным распределением по разрезу и площади. Все это, а также сложные геолого-технические условия геофизических исследований (неустойчивость ствола скважин в мощных интервалах глинисто -мергилистых толщ, образование значительных желобов и каверн, применение хлор-калиевых промывочных жидкостей низкого сопротивления), создает значительные проблемы при выделении и оценке продуктивных коллекторов по комплексу ГИС.

Одним из важнейших параметров пород-коллекторов является пористость, характеризующая их емкостные свойства. Пористость пород определяется по материалам нейтронного ННК, гамма-гамма-ГГК и акустического АК каротажей, результаты интерпретации которых во многом определяются состоянием метрологического обеспечения измерений, качеством получаемой информации, надежностью учета искажающих геолого-технических факторов и достоверностью используемых петрофизических и