Определение экстремумов интенсивности трещиноватости Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ГОРНОЕ ДЕЛО И ГЕОЛОГИЯ

УДК 621.32

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ ИНТЕНСИВНОСТИ ТРЕЩИНОВАТОСТИ

© 2006 г. Г.М. Редькин

В массивах горных пород, независимо от их происхождения (магматические, метаморфические, осадочные), развиваются не менее трех систем трещин [1], которые характеризуются частотой трещин -средним количеством трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в направлении, перпендикулярном изучаемой системе и интенсивностью тре-щиноватости - средним количеством трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в любом направлении.

Плоскостью системы трещин назовем свободную (переносимую в пространстве параллельным переносом), проходящую через начало координат, плоскость, ориентировка которой в пространстве определяется средним положением плоскостей, составляющих систему.

Вектором системы трещин назовем вектор, перпендикулярный плоскости системы, модуль которого равен частоте трещин системы.

Пусть массив горных пород характеризуется п системами трещин. Тогда, используя результаты работы [2], можно показать, что вектор i-й системы определяется выражением

юi = -

[ю г ]([х, ];[у, ];[z, ])

.v [x ]2+[у, ]2+[z,

i = 1,2,..., n,

где [ю, ] = Е ю

j=i

(j).

ni

[x,] = -Е sinA(j) sin8(j);

j=i

где

(e) = (cos a;cos ß;cos y), e = 1

(2)

Найдем экстремумы интенсивности трещиновато-сти (1), (2).

Обозначим через

a. = -

b,. =-

[ю, ][x

¡V [x, ]2+[y, ]2+[z, ]2

[ю, ][У,]

ij [xi ]2 +[y, ]2 +[zi ]2

[ю, ][z,

^[x, ]2 +[y, ]2 + [z, ]2

i = 1,2,

, n;

x = cos a, y = cos P, z = cos y.

Тогда получим выражения векторов систем трещин

® i = (ai;bi;сгX i = n и интенсивности трещиноватости

n

J (x, y, z) =E\ax+by+CiZ, (3)

i=1

причем из условия (2) следует, что переменные величины x, y, z удовлетворяют уравнению единичной сферы с центром в начале координат

[yi]=scosA(j)cos8(j); [zi]=Ecos8(j);A(j),8(j),m(lj) -j=1 j=i

соответственно азимут простирания, угол падения и частота i-й системы трещин в j-м замере; ni - число замеров в i-й системе трещин.

Кроме того, системы трещин индуцируют в массиве горных пород интенсивность трещиноватости -анизотропную величину, определяемую равенством

гГч n [юi]|xi]cosa+[yi]cose+[zi]cosY| ...

J (e) = E--1 2 2 2-, (1)

n^[Xi ]2 +[yi ]2 + [zi ]2

x 2 + y 2 + z 2 = 1.

(4)

- задающий направление в пространстве орт, координатами которого являются направляющие косинусы.

Следовательно, интенсивность трещиноватости (3) является функцией, определенной на единичной сфере (4).

Для снятия модулей в равенстве (3) приравняем к нулю выражения, стоящие под знаками этих модулей, и получим уравнения а¡х + biy + с = 0 или в векторной форме ю ¡е = 0, / = 1,2,...,п единичных окружностей, лежащих в пересечениях сферы (4) с плоскостями систем трещин. Каждая окружность разбивает сферу (4) на две полусферы, для которых справедливы утверждения. Если векторы ю i и е принадлежат полусфере, то ю ¡е > 0 для этой полусферы. Тогда для другой полусферы ю ¡е < 0 .

с. =

С учетом приведенных утверждений интенсивность трещиноватости (3) можно представить без символов модулей

п I aix+Ь:У + ciz, если ю ie>0,

J(х,у,z) = 2] г ^ ^ _г _ (5)

i=l 1-(агх+biy + ciz), если ю ie<0.

Рассмотрим интенсивность трещиноватости (5) для различных областей сферы (4), определяемых

знаками скалярных произведений ю ■ е < > 0, ■ = 1,2,...,п, которых 2П вариантов.

1. Пусть ю 1 е >0, ю 2е >0, ..., ю пе >0. Совокупности этих п неравенств отвечает область на единичной сфере, равная пересечению полусфер соответствующих каждому неравенству.

Тогда интенсивность трещиноватости (5) в данной области представляет линейную функцию

где

J (X, У, z) = [a] x + [b ] y + [c];

[a] = 2 a,, [b] = E b,, [c] = E ct

i=1 i=1 i=1

(6)

(7)

x _ У _ z

R = !b] = [С].

(9)

x = [a ]t, y = [b]t, z = [c]t,

(10)

решим систему уравнений (4), (10) и получим координаты двух точек касания:

X1,2 = ±

[a]

Ы +[b]2 +[c]2

У 1,2 =±

Z 1,2 =±

[b]

Ы +[b]2 + [c]2 ' [c]

V[a]2 +[b]2 +[c]2 '

Вторая точка, координаты которой со знаком минус, не может быть экстремальной в рассматриваемой области единичной сферы потому, что в ней интенсивность трещиноватости (6), (8) принимает отрицательное значение. Поэтому имеем одну точку касания, радиус-вектор которой есть орт нормального вектора плоскости (8)

W1 = N1/ N1 .

(11)

которая принимает положительные значения.

Если (6), (7) приравняем к константе ё > 0, то получим уравнение плоскости

3(х,у, 2) = ё или [а]х + [Ь]у + [с]2 = ё, (8)

которой отвечает нормальный вектор N 1 = ([а]; [Ь];[с]).

В соответствии с теорией математического программирования [3] ё надо подобрать так, чтобы плоскость и сфера касались, причем точка касания должна принадлежать рассматриваемой области. Если с ростом ё точка касания будет точкой отрыва плоскости от сферы, то имеем максимум, в противном случае - минимум.

Составим канонические уравнения прямой перпендикулярной плоскости (6) и проходящей через начало координат

Если теперь удовлетворяет условиям

ю > 0, ■ = 1,2,...,п, то он принадлежит исследуемой области на единичной сфере и является экстремальным направлением интенсивности трещиноватости (3). Само экстремальное значение по этому направлению, как следует из равенств (8), (11), будет равно

J (W1) = d = |N J = \j[a]2 +[b]2 + [c]2.

(12)

Точки пересечения прямой (9) и сферы (4) и будут точками касания сферы (4) и плоскости (8). Найдем их.

Для этого перейдем от канонических уравнений прямой (9) к параметрическим

Если с ростом ё плоскость (8) отрывается от точки касания, то радиус-вектор (11) точки отрыва и значение (12) будут соответственно максимальными направлением и значением интенсивности трещинова-тости (1), (3). В противном случае будем иметь минимум выражений (1), (3).

Аналогично для варианта ю 1 е < 0, ю 2 е > 0, ..., ю пе > 0 будем иметь интенсивность трещиноватости

3 (х, у, 2) = ([а ]- 2а 1) х + +([Ь]- 2^) у + ([с ]- 2с 1) 2,

экстремальное направление интенсивности трещино-ватости

W 2 = N 2/ N 2

где N2 = ([а]-2а1,[Ь]-2Ь1,[с]-2с1), экстремальное значение

з (¥;) = N71.

Таким образом, можно получить все экстремальные направления интенсивности трещиноватости и экстремальные значения по этим направлениям. Разработанный математический аппарат можно использовать для решения задача структурной и инженерной геологии, механики горных пород и т. д.

Литература

1. Методические рекомендации по изучению трещиноватости массива скальных пород для решения задач механики горных пород / Составители Д.Н. Казикаев, Г.И. Чухлов. Белгород, 1976.

2. Редькин Г.М. Статистическое моделирование трещиноватости массива горных пород // Системы обработки информации. Сб. науч. тр. Вып. 6 (16). Харьков, 2001. С. 234-238.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.,

1986.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова 28 апреля 2005 г.

УДК 624.131:519.2

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ ОБЩЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОМПРЕССИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ

И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ

© 2006 г. Э.И. Ткачук

Модуль общей деформации (далее - модуль деформации) Ео - одна из важнейших характеристик глинистых (в том числе лессовых) пород [1]. Для определения Ео используются лабораторные эксперименты, опытные нагрузки (полевые штампоопыты), а также косвенные и экспресс-методы [1-5].

Лабораторные эксперименты обычно выполняются в компрессионных приборах [1]. Результаты экспериментов позволяют определить компрессионный Ек и лабораторный Ел модули деформации. При этом

Ел ß^R,

(1)

где в - функция коэффициента Пуассона, учитывающая отсутствие поперечного расширения глинистых пород в компрессионном приборе.

Штампоопыты выполняются в шурфах и скважинах, наиболее часто - с помощью штампов площадью 5000 и 600 см2. Значения «штампового» модуля деформации Еш (Е5000 и Е600) принято считать эталонными.

Высокая стоимость и техническая сложность штампоопытов приводят к многочисленным исследованиям зависимостей Еш от косвенных характеристик с целью оперативного прогноза Еш [2-5]. На базе подобных исследований созданы таблицы нормативных значений Ео [6]. Однако эти значения пригодны лишь для нелессовых глинистых пород, имеющих степень влажности 8г > 0,8. Для огромных пространств Северо-Кавказского региона и многих других районов юга России, сложенных лессовыми породами (обычно 8г < 0,8), такие значения, как правило, отсутствуют.

Исключением из упомянутого правила является «Новый подход к определению модуля общей деформации грунтов» [7], положенный в основу методики РостовДонТИСИЗа [8], широко внедренной в практику инженерно-геологических изысканий.

В упомянутой методике предлагается оценивать не Еш, а коэффициент перехода от результатов компрессионных испытаний к полевым («корректирующий коэффициент») с последующим определением Еш.

Возможность такого рода оценки изучается с середины прошлого века, что позволило получить таблицу нормативных значений тк = Еш/Ел для супесей, суглинков и глин [6]. Однако эта таблица пригодна лишь для грунтов мягко- и текучепластичной консистенции (показатель текучести 1Ь - от 0,5 до 1,0), тогда как для лессовых отложений характерна твердая и полутвердая, реже тугопластичная консистенция (-0,5 < 1Ь < 0,5). Кроме того, соответствующие зависимости слабые, реже тесные: абсолютные значения коэффициентов корреляции г изменяются от 0,35 до 0,74, коэффициенты множественной корреляции Я -от 0,59 до 0,84 [2-5].

Поэтому упомянутый подход к оценке Еш крайне интересен, поскольку характеризует лессовые отложения, а выявленные закономерности тесные и квазифункциональные (значения |г| достигают 0,97). Это потребовало анализа сущности такого подхода и разработанной на его основе методики, а также оценки возможности их использования с позиций требований принципов цели, обратной связи и оптимальности инженерно-геологического опробования [4].

Разработчик методики Ю.Б. Текучев предлагает, прежде всего, использовать для косвенной оценки Еш не коэффициент тк, а «новый» коэффициент тк («без в»), известный, благодаря В.П. Маричеву, с 1973 г.:

тк = Еш/Ек. (2)

Такой шаг теоретически должен привести к увеличению тесноты зависимостей тк от других характеристик. Однако в рассматриваемом случае замена тк величиной тк не только не является новым подходом, но и не могла сказаться на тесноте этих зависимостей, так как «в качестве объекта исследования взяты... лессовые просадочные суглинки с числом пластичности 7-17» [8], для которых в - постоянное число (0,5 по действовавшему на период разработки методики ГОСТ 9908-79).

Важнейшая причина упомянутых тесных и квазифункциональных взаимосвязей - в том, что изучены зависимости тк (т.е. Еш/Ек) от Ек.