CC BY
33
УДК 519.711
О. А. Антонова (асп.)1, С. А. Мустафина (д.ф.-м.н., проф., зав. каф.)1, C. И. Спивак (д.ф. -м.н., проф., зав. каф.)2
Поиск оптимального температурного режима многостадийной последовательной реакции в условиях неопределенности
кинетических данных
1 Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. З. Биишевой, кафедра математического моделирования 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49; тел. (347) 3431039, e-mail: [email protected], e-mail: [email protected] 2Башкирский государственный университет, кафедра математического моделирования 450074, г. Уфа, ул. З. Валиди, 32; тел. (347) 2299635, e-mail: [email protected]
O. A. Antonova1, S. A. Mustafina1, S. I. Spivak2
Searching of optimal temperature of consecutive reversible reaction in the conditions of kinetic parameters uncertainty
1 Sterlitamak State Pedagogical Academy named by Z.Biisheva 49, Lenin Pr, 453103, Sterlitamak, Russia; ph. (347) 3431039, e-mail: [email protected], e-mail: [email protected] 2Bashkir State University 32, Zaki Validi Str, 450074, Ufa, Russia; ph. (347) 2299635, e-mail: [email protected]
Для многостадийной последовательной обратимой реакции в условиях неточности начальных данных рассмотрена задача нахождения оптимальной температуры, при которой достигается максимум выхода целевого продукта. Изучено влияние неопределенности в кинетических параметрах на расчет оптимального температурного режима. Основными методами исследования в данной задаче являются методы интервального анализа.
For multiphase consecutive reversible reaction in the conditions of discrepancy of the initial data the problem of a finding of optimum temperature, at which the maximum of an exit of a target product is reached is considered. Influence of uncertainty in kinetic parameters on calculation of an optimum temperature mode is studied. The basic methods of research in the given problem are methods of the interval analysis.
Key words: optimal control; qualitative invariance; uncertainty of kinetic parameters.
Ключевые слова: качественная неизменность; неопределенность в кинетических параметрах; оптимальное управление.
Определение оптимального температурного режима (ОТР) является одной из основных задач, решаемых при оптимизации химических процессов. Обзор литературы показывает 1'2, что существуют различные методы исследования вида оптимальных температурных профилей ряда модельных схем. Так как решение задачи оптимизации проводится на основе кинетической модели, то решающее значение для ее результата имеют вид системы кинетических уравнений и численные значения входящих в нее кинетических констант. В то же время неоднократно отмечалось 3'4, что кинетические константы могут определяться со
Дата поступления 31.05.10
значительной степенью неопределенности, особенно в случаях, когда основой для их получения были измерения, проведенные в стационарных условиях. Поэтому актуальным остается вопрос о чувствительности ОТР к вариациям кинетических констант внутри некоторых интервалов, вызванных, например, погрешностью кинетических измерений. В настоящее время в вычислительной математике имеется аппарат интервального анализа, который может быть применен при решении задач математического моделирования химических процессов.
В конкретных задачах константы скорости к® и энергии активации Ег заданы с некоторой неопределенностью, вызванной погрешностью при их определении на основании кинетического эксперимента, т.е. являются интервальными числами. Примем, что константы арре-ниусовской зависимости находятся в условиях неопределенности 5:
В матричном виде модель (2)-(3) примет
вид:
-кр 1 0 -кр
о V х1 ^ (о ^
V хп у
V 1 у
(4)
(к»Г -А к* < кг < (к»Г + А к*, В? - А В1 < В1 < ВТ + А В1.
Рассмотрим влияние неопределенности в кинетических параметрах на расчет оптимальной температуры. При решении задачи может возникнуть ситуация, когда оптимальная температура находится внутри заданного ограничения (качество 1), либо только на его границах (качество 2). Если при этом в условиях неопределенности кинетических данных качество не меняется, то температура называется качественно неизменной. Местоположение оптимальной температуры определяет разные аппаратные условия ведения процесса: изотермические или неизотермические 6.
Рассмотрим многостадийную мономолекулярную реакцию вида:
^ Х2 ^ Х3 ^ •• ^ Хп•
кр — х2 кр — хз кр — хп+1
к1 — > к2 ~ > ••• > кп
х
Для энергий активации В+, Вг примем во внимание дополнительное ограничение & — В+- В- > 0.
Решая систему (2), получим
-у — 'У 'У — м -у 'У — У у
л2~ 11л1> "^3 _ 12л'2' •••' лп+1~ 1пл'п'
п
Р _ 1"Т кр
где ^ Ц^- Запишем выражение для равновес-
5—1
ной концентрации, зависящее только от температуры в виде:
Р
х5 _
5 п
1—1
Тогда производная для X^ (5 = 1,..., п) примет вид:
(
(1)
РР/
Разделение друг от друга последовательных стадий этой реакции определяется путем подбора такой температуры, при которой выполняется требование максимального выхода продукта г-ой стадии. По технологическим условиям на температуру накладывается ограничение Тшгп < Т < Тшах-
Построим математическую модель для равновесного процесса (1). Из курса термодинамики известно, что:
х/ =■
п 1Р »—1 п 1Р »—1
Р Р./
/
Л
(5)
IР
»—1
Знак производной Х/ будет зависеть от знака выражения
(
(2)
п 1Р »—1 п 1Р »—1
Ps р/
\
/
(6)
где к^ — константа равновесия,
Хг — равновесная концентрация г-го продукта (г = 1,..., п).
Согласно закону материального баланса х1 + х2 +... + хп — 1 (3)
Для Р5 — П к ехР
V У
( 5 ^
чения,
—1
—1
ЯТ
V У
~ 5 ~ 5
Е5 , ко — Пк
введя обозна-
»—1
»—1
получим:
(
Ps = k°s eXP
Es
RT
v J
Отметим важное свойство коэффи циентов Е5 - монотонность: I < ] ^ < Е . Тогда выражение (6) примет вид:
n k
Е—exp
i=1
k
E — E
i_s_
RT
n k° =Е _L
i=1 k0
(
1 —
s v
£Eik°
i J 1 Ek
~ л f
Et
exp —
Es J v
exp
( ~ E — E
RT
E — E
_i_s_
RT
Введем обозначения
a = -
k0
(
k00 ks v
1—El
л
z = exp
1
RT
"s J
i=1
i=s+1
Проанализируем выражение (7).
1. Для i^s следует ai > 0 , иначе as = 0. В силу монотонности одинакового типа функций z4 (n > 0) , Ps (z) — есть монотонно убывающая функция.
2. Исследуем поведение функции в граничных точках: z = 0, z = +о, s е {2,..., n — 1}, т.е. существуют коэффициенты разных знаков.
а) limP(z) = +оо, т.к. ai, соответствую-
z^+0 s
щие мономам с отрицательными степенями, положительны.
б) lim P (z) = —оо, т.к. ai, соответствующие мономам с положительными степенями, отрицательны.
s = 1 Ps(z) = Еaizr < 0 (z > 0),
s=2 n—1
s = n Ps (z) = Еatz—' > 0 (z > 0).
тг = Ез - Ег, I = 1, I, г{ = Ег - Ез, {= I +1, п.
Тогда выражение (6) преобразуется к функционалу, являющемуся суммой полинома (если ЕI - целые числа, то с целочисленными степенями) и некоторой функцией обратных степеней:
5-1 П
Р (^ = £агХ-" + Е ^ . (7)
s =1
Выкладки пунктов 1 и 2 позволяют сделать выводы.
Утверждение. Для 5 е {2,..., п -1}
в силу непрерывности Р$ (г) на
Л(Р5) = [-да; +да] существует г*: Р5(г) = 0.
При 5 = 1, Р$(г) < 0, для любого г > 0.
При 5 = п, Р5 (г) > 0, для любого г > 0.
Так как Р$ (г) — монотонно убывающая функция, тогда
а) для 5 е {2,..., п-1} из того, что
Р5 (г) > 0, для любого г < г* и Р$ (г) < 0, для любого г > г , получим точку максимума г*.
б) для 5 = 1, Р$(г) < 0, для любого
г > 0, имеем Х5 (Т) - убывающая функция, т.е.
максимальный выход продукта получим при минимальной температуре.
в) для 5 = п, Р5 (г) > 0, для любого г > 0,
имеем Х5 (Т) — возрастающая функция, т.е. максимальный выход продукта получим при максимальной температуре.
Таким образом показано, что существует как промежуточная точка оптимума, так и граничная точка как точка максимума.
Литература
1. Бояринов А. И., Кафаров В. В. Методы оптимизации в химической технологии. — М: Химия, 1975.- 575 с.
2. Царева З. М., Орлова Е. И. Теоретические основы химической технологии.- Киев: Высш. школа, 1986.- 272 с.
3. Спивак С. И. Информативность эксперимента и проблема неединственности решения обратных задач химической кинетики. Дис. ... докт. физ.-мат. наук.- Черноголовка, 1984.- 343 с.
4. Круглов А. В., Спивак С. И. // В сб. «Математические методы в химической кинетике».- Новосибирск, 1990.- С. 152.
5. Антонова О. А., Мустафина С. А. // Вестн. БГУ.-2008.- Т.13, №3(1).- С. 847.
6. Мустафина С. А. // Труды Средневолжского матем. общества.- 2006.- Т.8, №1.- С. 282.
