CC BY
13
УДК.383.8:621.396.96:621.396.6
ПОХИБКА ТРИВИМ1РНО1 РЕКОНСТРУКЦП ПОВЕРХН1 ТР1ЩИНИ ЗА ТР1АДОЮ ЗОБРАЖЕНЬ
ГРАБОВСЬКА Н.Р., РУСИН Б.П., 1ВАНЮК В.Г., КАПШ1Й О.В._
Розглядаеться метод тривишрно! реконструкци поверхнi за трiадою двомiрних зображень, якi отриманi пiд рiзними напрямками освiтлення. Оцiнка похибки реконструкцп похщних поверхнi проводиться для двох бокових на-прямкiв освiтлення. Результати розрахунку демонстру-ються на приклада тестового зображення трiщини.
1. Вступ
В неруйшвному контролi конструкцш, уражених ко-розiею, для прогнозування ресурсу !х безаварiйно! роботи важливе значення мае встановлення форми та глибини штинпв або трiщин, як утворилися на по-верхнi конструкцiй в процеи експлуатацл[1,2].
Останнiм часом для опису та вiдновлення форми дефекту використовують методи тривишрно! реконструкцп [3-10]. Одним з методiв отримання тривишрно! форми предмета на основi аналiзу його зображень е класична стереореконструкцiя [11]. Проте даний метод тривишрно! реконструкцп мае ряд обмежень, як виникають пiд час застосування i впливають на точнють отримання концевого результату. Обмеження методу викликае присутнiсть на одному з зображень стереопари значно! за розмiрами зони загороджених пiкселiв, що звужуе iнформацiю в цш зонi до одного зображення, а отже блокуе ефективну тривимiрну реконструкцiю. Все це призводить до зниження якостi реконструкцп.
В робот використовуеться запропонований в [12, 13] метод 3D реконструкцп за трiадою зображень, отри-маних зi змiнним положениям джерела свггла. Метод оснований на ламбертгвський моделi вiдбиття свiтла вiд поверхнi конструкций Для вiдеозйомки зображень використовуються три напрямки освiтлення- верти-кальний та два боковг
Сама реконструкция вщбуваеться шляхом iитеграль-ного накопичення реконструйованих горизонтально! та вертикально! похiдних вектора нормаль Як правило, визначення глибини дефекту вiдбуваеться з пев-ною похибкою. Похибка складаеться з двох складо-вих: перша, яка виникае лише в розрахунковш час-тинi алгоритму реконструкцп, i друга, обумовлена неточнютю вiдеозйомки зображень. Спотворення зображень викликане неточнiстю встановлення напрямив освплення поверхиi дефекту. За результатами роботи [13] похибка обрахунку поверхнi дефекту, яка зосе-реджена лише в розрахунковш частит алгоритму реконструкций за трiадою зображень для випадку ощнки глибини трiщини становить + 0,04%. Але при практичнш реалiзацi! ще! реконструкцп необхвдно вра-
хувати похибки, як iндукованi вiдхилениям кожного з трьох напрямшв освiтления вiд технолопчно запла-нованого значення. Це складне завдання. Тому щоб досягти його устшного виконання, слiд розбити виршення цiе! проблеми на простiшi етапи i аналiзува-ти зазначенi похибки по частинах. На першому еташ такого аналiзу точност дощльно розглянути похибку, яка iндукована вiдхилениям кожного з двох бокових напрямюв освплення вiд технологiчно запланованого значення.
Оск1льки аналiз точност реконструкцi! розпочато для трщини, то доцiльно його продовжити, використову-ючи як об'ект реконструкцi! трщину.
Тому метою роботи е ощнка похибки визначення похiдних поверхнi трщини при !! реконструкцi! за трiадою зображень залежно вiд бокових напрямшв освiтлення.
В рамках поставлено! мети будуть вирiшенi двi задач/ ощнки похибок 3D реконструкцп похвдних поверхнi трiщини залежно вiд бокових напрямшв освплення, а також буде з'ясовано, в яшй мiрi цей тип похибок можна контролювати сучасними кутомiрними засо-бами, що дозволить конструктивно зменшити !х до необхiдного рiвня i покращити точнiсть 3D реконструкцп.
2. Глюмшацшна модель зображення
Для дифузно! моделi вiдбиття (розглядаеться моно-хроматичне зображення) iитенсивнiсть вiдбиття точки поверхш, освiтлено! одним джерелом свпла, визначае рiвняння [14, 15]
Ь = 1а + • (1)
де 1а - iитенсивнiсть розсiяного свiтла; 1рХ - iнтен-сивнiсть джерела освiтлення; кё - дифузний ко-ефiцiеит, який визначае рiвень дифузного вiдбиття дослiджувано! точки поверхш; L = (Ьх,Ьу,Ь2) - на-прям на джерело свпла; N = , ^, К) - одинич-ний вектор нормалi до поверхш F(x, у, 7) = 0 у досл-iджуванiй точцi М = (х,у,ъ).
Вважаемо, що наступну реконструкцто виконують, коли поверхня задана в явнш формi ъ = f (х, у), тому F(x, у, ъ) = f (х, у) - ъ = 0 . Направлен косинуси нор-
малi (К) до тако! поверхнi в точщ М = (х,у,ъ) опи-суються формулами [16]
-Р -q 1 ,
N = {
1^pI + q2 + l\/pI + qI + l\^pI + qI + l
, (2)
дх дх . де р = —, q =--нахил поверхиi в околi точки.
дх ду
Осшльки iитенсивнiсть джерела освiтления 1рх е стала величина, то рiвняння (1) е функщею чотирьох невiдомих р, q, к^ та 1а.
3. 3D реконструкщя за трiадою зображень
Розглянемо шюмшацшну модель зображення з конт-рольованим кутом освiтлення та визначимо И парамет-
ри р, q, кй та 1а з -^ади зображень. Щоб усунути залежнiсть ввд параметра 1а, експериментально визначимо його тимчасово, штучно, запнюючи зразок з дефектом . Затшення формуеться за допомогою прямокутника, просторове положення якого над зраз-ком, а отже i положення т1ш, визначае система оброб-ки. Використовуючи базове зображення зi штуч-ним затшенням, можна визначити iнтенсивнiсть фону 1а i звести модель (1) до трьох невiдомих.
Забезпечивши у системi джерело свiтла з такими параметрами, що Lo = (^о^уо^о) ,
L1 = , L2 = (Ьх2,Ьу2,^2), отримаемо
iнтенсивнiсть вiдбиття поверхн у виглядi системи трьох рГвнянь:
+ 1рХМЬхО^х + Ly0Ny + Lz0Nz) , + У МЬхЛ + Ly1Ny + Lz1Nz), (3)
1x2 = 1а + kd (Lx2Nx + Ьу2^ + Lz2Nz),
в якш невiдомi компоненти вектора нормалi N. Кожна компонента вектора нормалi N залежать вiд похiдних р, q, а отже система (3) залежать ввд них. Щоб спростити вираз (3), застосуемо у системi джерела свiтла з такими параметрами, що
Ц = (0,0,1),
Ц = ,Ь2 = (4)
Представимо джерела свiтла (4) iз застосуванням кутiв (рис. 1):
Ь0 = (0,0,1) = (cos9,0,sln9) ,Ь2 =(0,cosф,smф). (5) 1"
Ь
80Н
Ь
Ь
0 i
32
Ь
—ф
М
х
у
Рис. 1. Геометрична штерпретащя локатзацп джерела свiтла (Ь80,Ь81,Ь82) в тривишрному просторi
вiдносно точки I] поверхш дефекту
Крiм того, приймаемо, що джерела свiтла е однаковi
Ь30 = Ь31 = Ь32 .
Отриману систему трьох рГвнянь з невiдомими параметрами та р, q, шляхом алгебра!чних перетворень, трансформуемо у таку форму:
р =
^1е П1
■^х1е ^х1е
(6)
де П1 =
1x1 - 1а
1^0 - 1а
q =
Lz2e п2
■^2е Ly2e '
(7)
де п2
!Х2 - !а !х0 -!а '
Оскшьки напрямки освгтлення Ь0, Ь Ь2 (4) е технолопчно запланованi, то на основi 1х компонент виконуеться реконструкция (6) i (7).
4. Похибка визначення похщних поверхнi
На практищ тд час зйомки виникають вадхилення вiд напрямшв освiтлення (4). Тому на першому етат аналiзу точности реконструкцл на основi трiади 2D зображень доцiльно розглянути похибку, яка шдуко-вана вiдхиленням першого бокового напрямку освiт-лення
Ь1 = (Ь х1,Ь у1,Ь zl)
(8)
ввд технологiчно запланованого Ь для ввдеозйомки
зображення 1x1. На другому етат аналiзу точности доцшьно розглянути похибку, яка iндукована вГдхи-ленням другого бокового напрямку освгтлення
Ь 2 = (Ь х2,ь у2,Ь^2)
(9)
вiд технологiчно запланованого Ь2 для вiдеозйомки зображення 1x2.
Зауважимо, що через змiну напрямку освiтлення Ь1 зображення 1х1(Ь1 ) спотворюеться i стае 1х1 (Ь 1), а через змiну напрямку освiтлення Ь 2 зображення
1x2(Ь2) спотворюеться i стае 1x2(ЬЬ2). Тому рекон-струкцiя поздно! р (6) змiнюеться лише через змшу параметра гц (1x1 (Ь1)), а реконструкщя поздно! q (7) змiнюеться лише через змiну параметра П2 (1x2 (Ь 2))
Розглянемо похибку реконструкцл поздно! р, яка iндукована вiдхиленням першого бокового напрямку
освгтлення £1 (8).
Ь
1
Для векторiв ] 1 скористаемось описом, який слiдуе при використанш поверхнi сфери х2 + у2 + ъ2 = 1, з центром у дослщжуванш точц О. До^джувана точка розмiщена у цен^ координат.
Для поверхиi ъ =^ 1 - х2 - у2 можна визначити по-
дх
хiдиу р = — = -^6, де 9 - кут напрямку свiтла в
дх
площиш XOZ, а також можна визначити похщну
_ дх
О = — = -ctgф , де ф - кут напрямку свила в
ду
площиш YOZ . На основi цього опис вектора Ь1 набувае форми
Ь ! = (
-Р
-о
^/р2 + О2 +1 ^р2 + О2 +1 л/р2 + О2 +1
. (10)
-р 1 Л/Ре2 +1 Л/Ре2 +1 .
Р(Р,О) =
■^х1е ^х1е
Застосуемо для ощнки точност реконструкцi! р роз-клад функцi! (13) в ряд Тейлора:
р(Р,О) = р(Ре,Ое) + (Р - Ре) ^^ +
дР р=ре
+(О - Ое)
др(Ре-О)
дО <2=<2е
+ (Р - Ре)
2 1 д2р(Р,Ое)
2! дР2
Р=Ре
+ (О - Ое)
2 1 д2р(Ре,О)
2! дО2
+ ^(Р-Ре)(О-Ре)^^ +...
2! дРдО Р=Ре,О=Ое
Наступний аналiз точностi виконуеться з параметром Ое = 0 . Для ощнки р = р(Р,О) (14) шляхом диферен-щювання (13) та пiдставления компонент вектора N (2) отримуемо
[др(Р,0)] =
[ дР ]Р=Ре =
Ре - р
Ьх1е(Ре2 +1)3/2. (15)
Для оцiнки р = р(Р,О) (14) шляхом диференщювання (13) аналогiчно знаходимо
З використанням (10) для технологiчно заплановано-го ], який визначено в точщ з Р = Ре, О = Ое = 0, маемо наступний вираз
(11)
(13)
(14)
[ др(Ре.О)
[ дО
]О=0 ="
Ьх1^1 + Ре
2.
(16)
Нехтуючи у вир^ (14) малими членами, отримуемо наближення розвинення в ряд Тейлора, з якого, з використанням тдставлення (15), (16), визначимо загальну ощнку точности реконструкцп горизонтально! похвдно!
АрРд = р(Ре, 0) - р(Р, О) = ДрР +Дрд , (17) де похибки
Тому зображення , а також величина П1 е функ-цiею параметрiв Ре , внаслщок чого реконструкция похвдно!
р = р(Ре,Ое) = -И^ . (12)
Ьх1е Ьх1е
За рахунок використання напрямку освплення
Ь 1 = Ь 1 (Р,О) (10) зображення стае функцiею
параметрiв Р,О. Внаслiдок цього реконструкщя похадно!
Ьъ1е П1 (Р,О)
ДрР = (Ре -Р)[^]р=Р
дР Р=Ре
1п-|
Дрд = -О[
др(Ре,О)1
(18)
(19)
дО ^=0 •
Наступний аналiз точностi виконуеться з параметром Ре = -1. При таких параметрах вектор напрямку на джерело св^ла (10) приймае значення
Ь1 = (^12.0.. Пiдставимо компоненту т _ 1
Ьх1е = ^2 та Ре =-1 в (15), (16) i отримаемо
[ зрСР10)] Р 1 =- 1 + р]
дР =-1 2
[ =0 .
од ^=0
(20)
(21)
На основi (17) з врахуванням (20) i (21) визначимо вiдносну похибку обрахунку горизонтально! похвдно!
5р = 5рР +5ро,
де
5рР =
(1 + Р)(1 + р) 2р ,
5рд = ^ р
(22)
(23)
(24)
1з залежиостi (22) видно, що для тдвищення точности реконструкцi! доцшьно працювати з мшмальним
+
вгдхиленням напряму освгтлення вiд запланованого P = -1 та Q=0. KpiM того, коли похвдна p прямуе до 0, то вщносна похибка 8p зростае. Щоб з'ясувати технологiчно досяжн вiдхилення напряму освiтлення вiд технолопчно запланованого, розрахуемо кшьшсну ощнку вщносно1 похибки 8p . Але спочатку доцшьно розглянути точнiсть реконструкцiï, проаналГзувавши похибку, викликану змiнами напрямку L2. Викори-стаемо для цього подГбнють спiввiдношень (6) та (7). На основi наведеноï подiбностi, скориставшись в (22) тдставленнями p = q, q = p, P = Q, Q = P, визначе-но вiдносну похибку обрахунку вертикальноï по-хаджл
5q = SqQ +5qp,
де
SqQ =
(1 + Q)(1 + q) 2q :
Sqp = PP q
(25)
(26)
(27)
З (25) видно, що коли похщна q прямуе до 0, то вщносна похибка 8q зростае. Повертаючись до вщносно! похибки 8р, продовжимо 11 аналiз для трщини. Нехай маемо вертикальну трщину. Для тако!
трщини q « 0. Як видно з (22), |8рр | >> |§рд | Г тому ^ррд ~8рр . Таким чином, необхщно ощнити похибку 8рр , яка е функщею параметра Р та горизонтально! похвдно! р. Щоб дослГдити величину похибки 8рр у
дГапазон горизонтальних похГдних [-р1 ,р1 ], розглянемо перерГз вертикально! трщини, який описуеться рГвнянням
2
z = n(iAx - a)
(28)
прямку свiтла в площинi XOZ. У виглядi двовишрно-го масиву цей розподщ вiдносноï похибки визначення горизонтальноï похiдноï Sp представлено на рис. 3. На рис. 3 точки, в яких можна реконструювати по-хiдну p, представлено свiтло арим кольором, а де не
виконуеться умова |Spp (0,p)| < 0,1 - чорним. З рис. 3 видно, що для розширення даапазошв реконструкцiï доцiльно працювати з мшмальним вiдхиленням напряму освгтлення ввд технологiчно запланованого
0 = 45o. Зауважимо, що практична реалiзацiя тако!' операцл мiнiмiзацiï вадхилення напряму освiтлення потребуе додаткових технолопчних зусиль, необхвд-них для корекцл точности розташування напрямк1в освiтлення. Надалi приймаемо, що оцiнка похибки визначення вертикальноï похiдноï трщини, обумов-лена вiдхиленням напряму освiтлення 0 ввд технолопчно запланованого 45o , скоригована конструктивно так, що |SpP (0,p)| < 0,1, де 0е [44o ,46o ]. Завдяки
сучасним вГтчизняним кутомiрам виробництва М1КРО-ТЕХ [17] можна створити джерело свiтла з таким вiдхиленням напряму освiтлення для використання при 3D реконструкций В цьому випадку для реконструкцл з точнютю |Spp < 0,1 маемо два даапазони реконструкцп горизонтальноï похiдноï D- = [ - 0,97; -0,14], та D+ = [0,23;0,97]. Видно, що по абсолютнш довжиш дiапазон D- бшьший за дГапа-зон D+.
де Дх - крок дискретизацл по горизонтальнш координат х.
5. Приклад кшькгснот оцiнки вщноснот похибки реконструкцп горизонтально! похвднот трiщини
На рис. 2 подано комп'ютерне моделювання сегмента вертикально! трщини (а) та розподщ його горизонтальних похГдних (б).
Оскшьки для реконструкцп глибини трщини необх-вдно забезпечити значний даапазон реконструкцп горизонтально! похщно! Б = [-0,97; 0,97], то треба дос-лвдити умови реконструкцп в дГапазош Б докладшше Г з'ясувати, чи достатня точшсть у точках даапазону Б для проведення реконструкцп глибини трщини. Ощн-
ку (23), як функцл 8р = 8рр (9, р), отримано для випадку, коли 1 + р = ctg45o - ctg9 , тут 9 - кут на-
б
Рис. 2. Сегмент вертикальноï трщини (а) та його розподш горизонтальних похщних (б)
а
8, град
-0,75 -0,5 -0,25 0 0.25 0,5 0,75 р
Рис. 3. Розподш вщносно1 похибки визначення горизонтально! похщно1 5p(8,p) та дiапазони реконструкцiï у випадку 8е [44o, 46o ]
При 3D реконструкцп ощнку глибини трщини знахо-димо iнтегральним накопиченням похiдноï p, почина-ючи ввд одного з краïв трiщини (див. рис. 2,а). Зважа-
ючи на те, що по абсолютнш довжиш дiапазон D-
бтьший за дiапазон D+ (див. рис. 3, |pM |< pm ) глибину симетричного об'екта реконструкцiï, яким е дана трщина, краще реконструювати у дiапазонi D-
Таким чином, розрахованi похибки визначення по-хвдних дослiджуваноï поверхш обумовлеш вiдхилен-
ням бокового напряму освiтлення Lj.
Розглянемо точнють реконструкцiï, розрахувавши похибку, викликану змшами напрямку L2. Викори-стаемо для цього подiбшсть спiввiдношень похибок реконструкцп (23) та (26). На основi наведено1' под-iбностi в прикладi к1льк1сно1' оцiнки вiдносноï похибки доцшьно застосувати горизонтальну трщину. Для горизонтально!' трiщини p « 0 . Тому, як видно з подiбностi (23) та (25), для опису розподщу вiдносноï похибки визначення вертикальноï похiдноï Sq(9, q) можна скористатись розподiлом вiдносноï похибки 5p(8,p), представленим на рис. 3, з використанням пiдставлень q = p , ф = 8 . Отже, отримуемо дiапазо-ни реконструкцiï горизонтальноï похiдноï у випадку
8е [44o, 46o ] . Висновки
Розглянуто задачу тривимiрноï реконструкцiï поверхнi за трiадою двомiрних зображень. Запропоновано алгоритм реконструкцп внутрiшньоï поверхнi трiщини та розраховано точнють його роботи для випадку некон-трольованих змiн двох бокових напрямшв освплення ввдеозйомки .
Аналпично знайденi похибки визначення похiдних дослiджуваноï поверхнi обумовленi вiдхиленням бокового напряму освплення ввд технологiчно заплано-ваного значення в площинi XOZ та YOZ. На "х основi розрахованi похибки визначення горизонтальноï та вертикальноï похвдних поверхнi вертикальноï трщи-
ни з квадратичним профiлем, два дiапазони 3D реконструкцп значень горизонтально! та вертикально! по-хвдних, а також запропонованi рекомендацл по вста-новленню експлуатащйних меж кутових вiдхилень бокового напряму освiтлення ввд технологiчно запла-нованого значення в перспективi майбутньо! реаль заци.
Для симетричних поверхонь рекомендовано проводили реконструкщю з використанням дiапазону 3D реконструкцп з ввд'емними значеннями горизонтально! похвдно!, осшльки вiн е довший за дiапазон 3D реконструкцп з додатшми значеннями пох1дно!.
Лттература: 1. Sharland S. M. A review of the theoretical modeling of crevice and pitting corrosion Corrosion Science 1987. V. 27. N 3.P. 289-323.2. Marcus P. Corrosion mechanisms in theory and practice 2nd Edition - 2002. New York, Technology & Engineering - 742P. 3. Y. Liu, X. Su, and Q. Zhang, "A novel encoded-phase technique for phase measuring profilometry," Opt. Express 19(15), 2011. P.14137-14144 . 4. Q. Zhang, X. Su, L. Xiang, andX. Sun, 3-D shape measurement based on complementary gray-code light, Opt. Lasers Eng., vol. 50, 2012. Р .574-579. 5. S. Zhang, D. VanDer Weide, and J. Oliver, Superfast phase-shifting method for 3D shape measurement, Opt. Express vol. 18, No. 9, 2010. P. 9684-9689. 6. Woodham R.J. Photometric method for determining surface orientation from multiple images Optical Engineering. 1980. 19(1). Р.139-144. 7. Maria E. Angelopoulou, Maria Petrou Evaluating the effect of diffuse light on photometric stereo reconstruction Machine Vision and Applications. 2014. Vol. 25, Issue 1. Р.199-210 8. Yoshizawa, T. Handbook of Optical Metrology -principle and applications- CRC Press, New York 2009. 744 P. 9. S. Zhang, High-resolution 3-D profilometry with binary phase-shifting methods, Appl. Opt.50(12). 2011. P.1753-1757. 10. Sudipta N. Sinha, D. Scharstein, R. Szeliski. Efficient high-resolution stereo matching using local plane sweeps. /. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR 2014). 2014. P. 1219-1222. 11. Richard Szeliski. Computer Vision: Algorithms and Applications. Springer, New York. 2010. 655 P. 12. Неруйшвний контроль стану поверхонь, уражених корозшними ттингами /Б.П. Русин, Н.П. Ануф^ева, Н.Р. Грабовська, В.Г. 1ванюк // Фiз.-хiм. мехатка матерiалiв. 2013. J№4. С. 90-96. 13. Ощнка глибини трщини за трiадою зображень / Б.П. Русин, В.Г. 1ванюк, О.В. Капшш, Н.П. Ануфрiева // Радюелектрошка i шформатика. 2010. J№2. С. 70-78. 14. Lambert. Photometria, sive de Mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae / sumptibus viduae E. Klett, 1760. 15. Shintaro Watanabe, Koji Miyajima Detecting Building Changes Using Epipolar Constraint From Aerial Images Taken At Different Positions // ICIP2001. 2001. P.201-204. 16. СмирновВ.И. Курс высшей математики. т. 1. М.: Наука. 1967. 480с. 17. tool@microtech-ua.com
Надшшла до редколегп 17.06.2015
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Луюн В.В.
Грабовська Натал1я Роман1вна, астрантка Фiзико-меха-шчного шституту ш. Г.В.Карпенка НАНУ. Науковi ште-реси: обробка та розтзнавання зображень. Адреса: Ук-ра!на, 79601, Львiв, вул. Наукова, 5а. dep32@ipm.lviv.ua
Русин Богдан Павлович, д-р техн. наук, проф., зав. ввддшом "Методав i систем дистанцшного зондування " Фiзико-мехашчного шституту ш. Г.В.Карпенка НАНУ. Науковi
штереси: обробка та розтзнавання зображень. Адреса: Украша, 79601, Львiв, вул. Наукова, 5а, e-mail: dep32@ipm.lviv.ua
1ванюк Впалш Григорович, iнженер вiддiлу "Методiв i систем дистанцiйного зондування " Фiзико-механiчного iнституту iM. Г.В.Карпенка НАНУ. Науковi iнтереси: обробка та розтзнавання зображень. Адреса: Украша, 79601,
Львiв, вул. Наукова, 5а, тел:2296-530, e-mail: vivan@imp.lviv.ua
Капшш Олег Вiрославович, канд. техн. наук, н.с вщдшу "Методiв i систем дистанцшного зондування " Фiзико-механiчного iнституту iM. Г.В.Карпенка НАНУ. Адреса: Украша, 79601, Львiв, вул. Наукова, 5а. тел: 22-96-530, email: dep32@ipm.lviv.ua
