Пограничный слой в излучающем газе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м I 19 70

№ &

УДК 532.526.011.55.011.6: 629.7.076.8

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ИЗЛУЧАЮЩЕМ ГАЗЕ

Ю. Н. Ермак, В. Я- Нейланд

Развита асимптотическая теория пограничного слоя при обтекании тела гиперзвуковым потоком излучающего газа. Рассмотрен режим обтекания, при котором в первом приближении течение в невязком ударном слое не зависит от течения в пограничном слое, а также режим с существенным их взаимодействием через краевые условия, которое приводит к необходимости совместного решения систем уравнений для обеих областей.

1. При обтекании летательного аппарата, входящего в атмосферу Земли со скоростями, большими второй космической, в ударном слое становится существенным взаимодействие поля излучения с газодинамическим полем. В связи с этим высказывались опасения, что поле течения в ударном слое даже при больших значениях числа Рейнольдса нельзя разделить на вязкий пограничный слой вблизи поверхности тела и невязкое течение между ударной волной и пограничным слоем. Нет необходимости говорить

о том, насколько в этом случае затрудняется исследование течений излучающего газа вне окрестности критической точки тела.

Ниже сделана попытка разделения поля течения излучающего газа в ударном слое на невязкую и вязкую области при достаточно больших значениях числа Рейнольдса на основании анализа асимптотической структуры уравнений Навье—Стокса и уравнений переноса излучения. Использованы реальные термодинамические, переносные [1] и оптические [2] свойства воздуха, т. е. учтена селективность излучения.

2. Будем рассматривать обтекание тела, характерный радиус затупления которого равен а, гиперзвуковым потоком воздуха при больших значениях числа Не = '&0^Ро/111. гДе — скорость набегающего потока, р — плотность иц- динамическая вязкость, индекс „0“ соответствует параметрам невозмущенного течения, а индекс „Iй — параметрам течения за ударной волной. Перед лобовой поверхностью тела образуется высокотемпературный ударный слой с толщиной —аро/рн а вблизи поверхности располагается область, в которой существенны эффекты вязкости и теплопроводности. Покажем, что толщина этой области остается —а/у^Яе.

4—Ученые записки № 6

49

Перенос излучения с длиной волны >ч определяется значением функции Планка Вх{Т) и длиной пробега излучения /л. = 1 /*х, где у.\ — коэффициент поглощения. Важным параметром, которым характеризуется режим переноса излучения с длиной волны яв-

ляется оптическая толщина тх-

8 (8 — толщина слоя га-

за). Оптическая толщина ударного слоя тм— хх.яр0/р1, пограничного слоя —хха/У Яе. Течение газа в ударном слое описывается уравнениями Навье—Стокса, в уравнение энергии добавляется дивергенция от потока излучения (Ну 5. Для описания излучения в газе нужно добавить уравнения переноса излучения.

Введем систему координат, связанную с поверхностью тела; координата 5 отсчитывается вдоль поверхности тела, координата п — по нормали к ней. Компонент скорости и соответствует направлению 5, а компонент скорости V — направлению п. В уравнениях Навье — Стокса все длины отнесем к а, скорости — к г»0, давление— к р0*г?|, плотность — к р0, температуру — к vl|cp, энтальпию— к а вязкость — к значению при Т = у\!ср. Выпишем теперь уравнения Навье—Стокса и уравнения переноса излучения для осесимметричного течения:

[О + п соэ 6) р«]5 + [(1 + кп) (г + п сое 6) рг/]„ = 0;

«и* , I £ \ , Р*

. . + УЧп + : Г~и<и + Г Г .,—

1 -{-кп " 1 4- Ы 1 + Ап

1 4~ кп

2 к

+

соэ 0

2^(г-\-п соэ 0), (1-Ь/гга) (г+ п сое 6)

1 + кп г -\-п сое б и (г + п соэ 0)^

У3—

1 кп

. V, — Ы 1 + кп

V сое 0

+

\-\-kn (1—|—Лл) /г соэ 0) г 4-л сое 0

1 д ~ \и. + , .

+ ТТТп д.¥1 \Т+ кп + +

1

г 4- п. соэ 6 иус

1 4- кп

(г 4- псо^Ь)5

у со?, 0^ ;

2(*

+

2 (№)„+ 1 кп СОЭ 0

1 -\-кп

1 4- кп

+

2^соэ 0

X

1 -)-кп г 4- п соэ 0 (

и

’°п ^ 1 4- кп 1 4- кп (> + п соэ 0)

(г 4- ПСОЪЬ^ + УСОЪ^

1

д ~ \и$ 4- !гу

дп | 1 4- кп х>п г 4~ п соэ 0

и (г + п соэ 0)^ 1 ~\~кп

4- 'УсозО

;Х

р.(г 4- п соэ 0), I , у8-ки\ -1-(1+Лл)(г4-лсо5 0)1 п ' \ы)

(1)

икс

+ ъкп

к

1 “I- п I \

, и.Л5 (г-|- п С08 0)л

ЪРп

1 -)- к.п

А

'А,

з (1 -Н Ы) сое 0

+

+

{\-\-kn)'2 (г+« сое б) 1 \\-\-kn г + гесоэ!

е-а

7~ч—77Т , I. ч/------!--------с? {[(г + п с08 9) 5Ь +

(®0 Ро) (1 + &п) (г 4~ Я СОЭ 0) ' 1лг 1

4- [(г 4 п сое 0) (1 + £«)£]„};

.ф.

соэ 9

йк вШ» (Их „т гч

-}------ —т— = *х а {В\ — А);

ап 1 + кп ав

= хха ^

о

2

(г + п сое 0)2 Ы \2| . ~ (иа 4- к.у

и (г+ п сое 0). д

, , ,----^4-г> совО

14-Ы

+

X

> + х

и(г-\- п сое 0)

1 4- Ьп / (П " \ 1 4- кп ' г 4- п соз О

X

1

Ы

4- V сое 0

(1)

Здесь & — угол между п и направлением движения квантов; 2— вектор направления движения квантов; 5—поток излучения; Д — интенсивность излучения с длиной волны X; А — удельная энтальпия; и и V—-тангенциальный и нормальный компоненты скорости; р, р

у., о — давление, плотность, первый и второй динамические коэффициенты вязкости и число Прандт-ля газа; 6 (в) — кривизна меридиональной кривой поверхности; г (я) — расстояние меридиональной кривой от оси; 0 ($) — угол наклона меридиональной кривой к оси; е = Ие-1'2.

Схема течения и система координат представлены на фиг. 1.

Краевые условия для системы уравнений Навье — Стокса можно записать в следующем виде:

и (б, 0) =-- V («, 0) — 0; А (я, 0; = /гда; л = 0;

р -*А>/ро®о; р-»1; я = (и,у)-*г, п -*• оо,

где г —единичный вектор в направлении течения. Граничные условия для уравнений переноса выглядят следующим образом. Спект-

51

ральная интенсивность излучения, входящего в ударный слой /г (5, ос) = 0. Условия на поверхности тела:

Знак „+“ соответствует излучению, направленному от поверхности тела, знак „—“—излучению, направленному к поверхности тела.

Вне пограничного слоя и вне ударной волны внешнее разложение для параметров течения и излучения имеет вид

Подставляя (3) в (1) и (2), получим в первом приближении: [(г + га cos 0) Rl Ui]s + [(1 -г kn) (r + n cos 6) Rx VJ,, = 0;

Внешнее разложение (4) непригодно на поверхности тела, так как без высших производных в уравнениях Навье —Стокса нельзя удовлетворить условию прилипания на поверхности тела. Введем внутреннюю переменную: N = п/е и внутреннее асимптотическое разложение:

Яш (2) = SX B\w ~Ь ( 1 — £х) Д •

(2)

и (s, п\ е) ~ C/j (s, п) + е.и2 (s, п) + • • • ;

v (s, я; е) ~ V] (s, п) + eV"3 (s, га) -Г ...;

р (s, п; е) ~ Рг (s, п) + еР2 (s, га) 4- ...;

р (s, п; е) ~ /?! (s, п) + е/?2 (s, п) + ...;

Т (s, га; s) Tj (s, п) -j- sT^ (s, я) 1- ...; h (s, га; e)~ Aj (is, ra) -f e/t2(s, «)+...; h (s, ra; s)~/xi(s, ra)-j-еД 2 (s, ra)-f-....

(3)

(4)

GO

GO

00

00

0

tf, :=/*, + [№ + (КДО-

u(s, ra; £) — «!(«, A)-fera2(s, TV) + ...; v (s, ra; e) ■— гг»! (s, N) + e2 v2 (s, AT) + .. . ;

p(s, ra; e)~/»1(s, TV) + e/?2(s, Л/) 4 ...;

p (s, ra; s) ~ pj (s, /V) 4- sp2 (s, AT) -f . . .;

T (s, ra; e) ~ (s, TV) -f г^2 (s, Л/) -f- ...;

A(s, ra; e)~#i(s, AO + e//2(s, A)4-...;

/x(s, ra; e)~y\i(s, A)4-e/'X2(s, ^ +

Подставляя внутреннее разложение в полные уравнения движения, получим в первом приближении:

Pi (Mj и, s -f- v1 U\ n) + Pi s — {\4i\ = 0;

Р\м — 0;

Pi

(wi s ~f~ vi M n) = H\ ,v

'l‘4y

(р0г»о) ’divS;

cos & 1ГКГ= **sa (*i) — Ail;

dN

00

•S—J cftjAi&dQ; — xk2;

0

00

div 5 = Г d\ f Qy.\ (fix — j\ i). в -

Применение принципа сращивания при m —я = 1 дает: «,(5, N)^U,(S, 0);

/>i(s, AO — PJs, 0);

Pi(s, A)~^t(s, 0);

Ms, A0~7\(s, 0);

Aj(s, TV) — /^, 0);

/, (s, Л/, »)-/,(*, 0, ft).

(6)

(при TV -» oo)

(7)

Существенным для построения теории пограничного слоя является то обстоятельство, что решение системы (4) всегда дает конечное значение температуры на теле, соответствующее равенству

/?1^^ = (Ро^Г1(11у5‘-

Следовательно, градиенты температуры в ударном слое хоть и больше, чем для течения неизлучающего газа, но малы по сравнению с их значениями в пограничном слое. Особым является случай течения с очень малыми, но конечными во всем спектре значениями Его рассмотрение для воздуха и многих других сред не представляет практического интереса. Однако и в этом случае удается построить асимптотическую теорию для пограничного слоя [4].

Последнее условие (7) показывает, что разделение течения излучающего газа на вязкую и невязкую области в общем случае невозможно, так как нельзя рассчитать независимо друг от друга поля излучения в невязкой и вязкой областях, а следовательно, нельзя рассчитать, как это обычно делается, сначала невязкое течение, а затем пограничный слой, не прибегая к итерациям. Течение в пограничном слое через поле излучения уже в первом приближении оказывает влияние на течение в невязкой области. В дальнейшем постараемся выяснить те достаточные условия, при которых возможен обычный подход к расчету течения излучаю-

щего газа в ударном слое при больших числах Ие. При этом сначала производится расчет невязкого течения при наличии излучения, затем пограничного слоя при наличии излучения без итераций.

Сделаем предположение о том, что коэффициент поглощения хх для заданной длины волны X во всем ударном слое, включая пограничный слой, меняется не сильно, во всяком случае меньше чем в 1/Ие раз.

Заметим, что при расчете поля излучения краевые условия для интенсивности излучения требуются лишь в тех диапазонах длин волн, где оптические толщины ударного или пограничного слоя тх1 или 2 — 0(1). Если тх>Т, то достаточно знать температуру; тх < 1—объемное высвечивание. Во всем диапазоне длин волн X при Ие -» оо могут представиться следующие случаи.

I. тх1^0 (1), тогда тх2^0(е). В этом случае для данного диапазона длин волн /х 1 = Л1 (оо) + 0 (е), где Л1 (оо) — лучистый поток,, входящий в пограничный слой из ударного слоя, и в пограничном слое (11у5 = 4и | хх [Вх — Л 1(00)] ЙХ. Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка малости поток излучения, падающий из ударного слоя на пограничный слой, внутри пограничного слоя не меняется и граничные условия для поля излучения в ударном слое при этих длинах волн можно ставить непосредственно на поверхности тела, пренебрегая влиянием пограничного слоя.

II. хх20(1), тогда 1x1 — 0(а_1)>1 и перенос лучистой энергии в данном диапазоне длин волн в ударном слое происходит в режиме лучистой теплопроводности: 5х =—уВх = 0(г). Расчет излучения в данном диапазоне длин волн проводить не надо (внутри ударного слоя), а граничные условия для интенсивности излучения в пограничном слое можно записать в виде

ух! = 5x17^, 0)]. (8>

Таким образом, приходим к выводу, что в случаях I и II течение излучающего газа за ударной волной при Ие -* оо можно разделить на невязкое течение и пограничный слой, и вести расчет этого течения, как обычно, т. е. сначала рассчитать невязкий ударный слой при граничных условиях для излучения в форме (2), а затем проводить расчет пограничного слоя при граничных условиях для излучения в форме (8) при ./V —> оо и (2) при N=0.

С другой стороны, если существует спектральный диапазон, в котором вследствие изменения коэффициента *х поперек ударного слоя хх1 — хх 2—1, разделить течение в ударном слое на вязкую и невязкую области также возможно, хотя расчет течения в ударном и пограничном слое должен производиться одновременно, например, методом последовательных приближений. В этом случае задача подобна, например, течению неизлучающего газа при сильном взаимодействии невязкого потока и пограничного слоя.

Но если поток лучистой энергии, переносимый в этом спектральном диапазоне, составляет по сравнению с потоком энергии газа ро^о/2 величину 0(г), то раздельное решение задач для течения за ударной волной для вязкой и невязкой областей возможно. Точность уравнений, описывающих течение газа в невязком удар-

ном слое и в пограничном слое, в этом случае, так же как в случаях I и II, будет —0(е).

3. При рассмотрении коэффициентов поглощения *х воздуха [2] в диапазоне температур и давлений, соответствующих наиболее интересным с точки зрения практических приложений режимам полета летательного аппарата на высотах 50—60 км со скоростью 15 км/сек, выясняется, что почти во всем диапазоне длин волн (Х> 1000А) выполняется случай I. Отметим, что число Ие для аппарата радиусом затупления ббльшим или равным метру имеет при этих режимах порядок ~ 10в. При длинах волн меньших ЮООХ, если при этом Т ^2000°, можно ожидать, что оптическая толщина пограничного слоя окажется по порядку величины равной 1. Но оптическая толщина ударного слоя в этом случае вследствие значительного уменьшения коэффициента поглощения (до 50 раз) оказывается не столь большой, как это требуется в случае II. Тем не менее она велика (*сл 1 1), т. е. в ударном слое можно

перейти в этом диапазоне длин волн к приближению лучистой теплопроводности: '

5х = — уВх + 0(тГ,2)-

XX

Можно также вообще исключить из сИу5 поток, соответствующий Х<^Ю00А. Возникает впечатление, что точность уравнений при этом снижается, так как мы пренебрегаем членом ~0(т_1)> >0(з). Однако при рассмотрении излучения всегда надо иметь в виду еще одно обстоятельство —температуру газа. Этот параметр определяет перенос лучистой энергии в том или ином спектральном диапазоне. Максимальная температура в ударном слое при указанных выше режимах полета —15 000°К, и доля энергии, переносимой при X < 1000А, составляет не более 10% от энергии газа Ро^/2. Поэтому можно ожидать, что поглощение излучения пограничным слоем будет оказывать слабое влияние на параметры течения во всем ударном слое.

Для подтверждения этих рассуждений и выяснения влияния поглощения излучения пограничным слоем необходим конкретный расчет. С этой целью проводились расчеты уравнений пограничного слоя при наличии излучения в окрестности критической точки тела с радиусом затупления 3 м, движущегося со скоростью 12 и 14 км/сек на высоте 57 км. Краевые условия для уравнений пограничного слоя и уравнений переноса излучения при N-^00 были любезно предоставлены авторам Ю. Г. Елькиным, который провел расчеты невязкого течения в ударном слое при этих режимах полета.

Краевая задача решалась методом последовательных приближений. Первоначально искали решение уравнений пограничного слоя в отсутствие излучения. Затем по полученному профилю температуры вычислялось поле излучения (методика расчета такая же, как и в работе [3]) и (^5/^Л^)г, после этого вновь рассчитывался пограничный слой при полученном (dS|dN)l, и так процесс повторялся до получения удовлетворительной сходимости. Во всех расчетах температура поверхности 7’о, = 2000°К, агх® = 0,5.

g -лиф

Z ’лиф

Далее будут представлены результаты расчетов при г>0 = = 14 км/сек, как наиболее характерные. На фиг. 2 приведены результаты расчетов Ю. Г. Елькина, спектрального распределения, входящего в пограничный слой, лучистого потока тепла — верхняя кривая и результаты настоящей работы — спектральное распределение лучистого потока тепла, падающего на поверхность летательного аппарата,—нижняя кривая. Для длин волн Х>]150А обе кривые практически совпадают. В области Х<1150А лучистый поток тепла, входящий в пограничный слой из ударного слоя, несколько ослабляется за счет поглощения. Это приводит к увеличению конвективного потока тепла к поверхности тела на 5 —10% в расчетных случаях.

На фиг. 3 представлены последовательные итерации для профиля температуры в пограничном слое. Нулевая итерация обозначена сплошной линией. Последующие итерации практически слились между собой. Заметно некоторое увеличение —(ёТ/йу)т. В расчетных случаях экранируется 7—8% входящего в пограничный слой лучистого потока тепла, эта величина —0(а) (в расчетных случаях е—10_3) от Ро^о'2- Таким образом, влиянием течения в пограничном слое на течение в ударном слое при наличии излучения в указанных режимах можно пренебречь.

Из изложенного ясно, что при уменьшении числа Ие и при увеличении уровня температуры в ударном слое влияние течения в пограничном слое на течение в ударном слое при наличии излучения начнет сказываться уже в первом приближении и их раздельное рассмотрение станет проблематичным.

Для пограничного слоя на разрушающейся поверхности типичным может оказаться случай, в котором уравнения невязкого течения и пограничного слоя надо будет решать совместно. Однако и в этом случае использование уравнений более общего вида не требуется.

ЛИТЕРАТУРА

1. Здункевич М. Д., Севастьянов Р. М. Термодинамические функции смеси газов при высоких температурах. „Инженерный журнал", 1964, вып. 4.

2. Коньков А. А., Нейланд В. Я., Николаев В. М., Пластинин Ю. А. Проблемы лучистого теплообмена в гиперзву-ковой аэродинамике. „Теплофизика высоких температур", 1969, № 1.

3. Б о г о л е п о в В. В., Е л ь к и н Ю. Г., Н е й л а н д В. Я. Расчет течения невязкого излучающего газа около тупоносого тела.

МЖГ, № 4, 1968.

4. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Конвективный и радиационный теплообмен в излучающем газе. Труды XVII конгресса МАФ, Мадрид, 1966.

Рукопись поступила 2/111 1970 г.