Подсчет гауссовых интегралов методом изометрий Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О'ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической и коммутативной алгебры: Пер. с англ.-М.: Мир, 2000. 687 е.,ил.

8. Гердт В.П., Блинков Ю.А. Инволютивное деление мономов // Программирование. 1998, 6. С.22-24.

9. Gerdt, V.P. Involutive Division Technique: Some Generalizations and Optimizations 11 Записки научных семинаров СПОМИ (С.Петербург) 1999, 258. С.185-206.

10. ГЬрдгп В.П., Янович Д.А., Блинков Ю.А. Быстрый поиск делителя Жане // Прог раммирование. 2001, 1. С.32-36.

11. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Yanovich D.A. Construction of Janet Bases

I.Monomial Bases. In: Computer Algebra in Scientific Computing / CASC'01, V.G.Ganzha, E.W.Mayr and E.V.Vorozhtsov (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 2001, pp. 233-248.

12. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Yanovich D.A. Construction of Janet Bases

II.Polynomial Bases. In: Computer Algebra in Scientific Computing / CASC'01, V.G.Ganzha, E.W.Mayr and E.V.Vorozhtsov (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 2001, pp. 248-264.

УДК 512.3

А.И. БОБЫЛЕВ

Подсчет гауссовых интегралов методом изомстрий

Пусть 0>р — поле р-адических чисел, | • |р норма этого поля, Ор кольцо целых р-адических чисел, С/р — группа р-адических единиц; ёх — аддитивная мера Хаара в подчиненная условию

о,

Хр{х) — аддитивный характер поля <Ц>р; В1(а) и 57(о) — соответственно р-адический круг и р-адическая окружность с центром в точке а € и

радиуса р7, 7 е Z:

В» = {а | \а - а\р < р7}, S7(a) = {а | |а - а|р = p7}l

В7 = В7(0), S7 = 57(0).

Замечание, у е S7 <=!• ordpy — —у. В монографии [1] укачаны значения интегралов

J Xp(&)dx, J xP(^x)dx,

а также вычислены гауссовы интегралы 2-го порядка, например,

J Хр(Ф - y)2)dy.

Метод изомегрий сильно упрощает схему вычислений гауссовых интегралов, причем этот метод позволяет находить значения интегралов Гаусса произвольного порядка I. Вычислим интеграл

J Xp{e{x-y)')dy,

где (1,р) = 1, р — нечетное, |г|р =1, 7 £ 2.

Теорема 1. Если от<1рх < огс1ру, то (х — у)1 ~ ж' — 1х1~ху иа 57. Следствие. Если ог(1рх < ог<1ру то

Поэтому

j Хр(Ф - у)')<1у = Хр(ех1) У Мй/=

ХР(ех1)р-> (1 - , I*1"1!, -Хг{ех1)р1~\ =р-т4-»;

О,

Теорема 2. Если ог&рХ > ог<1ру, 7^1, то на существует изо-метрия, такая что:

1. (х-у)' ~ (-1)У;

5. (х-г/У ^ (-1)'у'+р-\ 7^1-

Следствие. Если огс1рх > огдру, то

1. хР(ф - у)1) = хР((-1)'£2/') на

2. при 7^1

Хр(ф - г/)') э Хг(е((-1)У +Р"1)) = хр(ер-1)хр((-1)ггг/')-Поэтому f Хр(е(х - у)1)<1у — 0 при 7^1.

Укажем полный результат. Пример.

р ¿2, |г|,, = 1, 7 €2, (1,р) = 1.

I

Хр(ф-у)')<1у -

'хР(£Х1)ру (1 - , '1р < Р 7> °гЛрХ < огдуу; (1)

-Хр(ех')р7~\ \х1~х\р = р~7+1, огв.рх < отд.ру- (2)

О, ¡х'-Чр > р-т+2, огдрХ < ог^у; (3)

0, огд.рХ > огдру, 7^1; (4) Р7 _ р) ■ аг<1рх ? 07Л?/> 7 < 0; (5)

1, огд.рх = огдуУ, 7 > 1. (б)

Доказательство

(1), (2), (3) справедливы по следствию теоремы 1, (4) справедливо по следствию теоремы 2.

(5). Если 7 < 0, огдрх > <*г11Ту, то у е Ор и х е Ор =*• (х - у)1 € Ор => ХР(Ф - г/)') = 1 и / Хр(е(х - уУ)Лу = / ¿у = р-г (1 - 1).

(6). Рассмотрим / — у)1)ду — Я. |х|р = р7. Обозначим х — у —

в-,

г, Тогда

г'р"1 = [г = р-1£г, ег е £/р] = + р"1 = е!2р"'( 1 + р'"1^"') =

= = 1 +Р1'1 ■ Ф(е~') - ряд Ныотона| =

= р"'4( 1 +р'-1Ф(е2-'))' ~ р-'4 = г'. Следовательно ~ е(г' + р-1) на 7 > 1. Тогда

Л = /Хр("')<Ь = ¿уХр(ф' +Р"1))^ + Е /Хр(£2')йг =

Во

так как ег' .б Ор. Но

7-1

= 0 + I = I,

^ = ¿У Хр(г(я - !/)')(% = ^ /Хр(£(х ~ и)')«*» + /ХрИ1 - = = ° + / Хр{ф-У)')с1у

в силу (3) и (4), так как отс1рХ ф от(1ту.

Пусть теперь К — конечное объединение р-адических кругов в поле /(х) — аналитическая функция, определенная на компакте К, со значениями из 0>р, J Хр(/(х))дх - интеграл по мере Хаара на компакте к

К.

В этом случае К можно представить в виде разбиения на компакты Ка, а = 1,1, на каждом из которых /(х) имеет изометрический вид

/(с,) + а,(х - с,)1', где а, - ^

а! '

с, — "центр" круга К3 и компакта Ь, не содержащего нулей /'(х): I

5=1

т

Известно, что компакт Ь можно разбить на конечное число компактов £(, £ — 1,771, на каждом из которых /(х) изометрически эквивалентна функции вида /(ае) + /'(«()(х - а{), где а4 е ¿(. Тогда

= ¿Хр(/(с,))ьк JХрМх - ся)1')ёх+ к "=1 к,

т -

+ £>р(/ы) / хр(/'ы(х -<=1 /

Вывод. Для нахождения точного значения интегралов вида JХр(f{x))dx

к

достаточно знать точное значение интегралов

a) J ХрНх - cY)dx, Ь) Jxp(f'(a)(x~a))dx, f'(a)ji 0.

К• L'

Б случае Ь) явная формула приведена в |1].

В случае а) массовый вариант связан с ограничением (/,р) = 1. Значение интеграла в этом случае найдено выше.

Библиографический список

1. Владимиров B.C., Волович И.В. Зеленов Е.И. Р-адический анализ и математическая физика.-М, 1994.

УДК 511.3

В.Н. КУЗНЕЦОВ, Е.В. СОРОКИНА

К вопросу о целостности композита Ь - функций числовых полей

Введение

В данной работе исследуется и частично решается задача о целостности композита Ь — функций Дирихле двух числовых полей с неглавными характерами Дирихле при условии взаимной простоты их модулей. Здесь под композитом двух Ь — функций

/ \ 00

г / ъ. \ V* ХН0' V"1 а" , ••»

а ^ ' п—1 Ш ' п=]