CC BY
265. Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen // Math. Ann. 1926. №97.
6. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.
УДК 681.3.06
А.В. Месянжин
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА ЛИНЕЙНОГО БАЗИСА ФАКТОРА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО КОЛЬЦА
ПО НУЛЬМЕРНОМУ ИДЕАЛУ С ПОМОЩЬЮ
_ _ _ _ _ _ ••_ _
НЕСТАНДАРТНЫХ БАЗИСОВ ГРЕБНЕРА1
С-делимость мономов
Обозначим X = {хг,..., хп} -множество независимых переменных, Ж^о - множество неотрицательных целых чисел.
Мономом от переменных хг,... ,хп называется формальное произведение неотрицательных степеней переменных: х?1 • • • х?", а € Для
п
монома и = х?1 • • • х?" определим его полную степень deg(u) = ^ а и
¿=1
степень по ¿-той переменной degi(u) =
Для упрощения записи введем мультистепенное обозначение монома:
ха = х?1 • • • х?", а = (аг,..., ап) € Щ0.
Пусть М = {ха : а € - мультипликативный моноид мономов
от переменных X, изоморфный аддитивному моноиду где ассоциативная операция для - стандартное векторное сложение, и соответ-
1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и образования РФ (проект НШ-6649.2006.2)
ствующая ей операция для М : X * X — X а+в. Нейтральным элементом соответственно будет 1м — X0.
Введем отношение частичного порядка ^ на множестве
(Уа, в е ^0) а < в ^ (Уг, 1 ^ г ^ п) а» < в»,
а изоморфно соответствующее ему отношение | на мономах будем называть отношением делимости:
^ а < в.
Рассмотрим строго убывающие линейные цепи частично упорядоченного по отношению делимости множества М.
Для монома т е М определим множества С»(т) С М, обладающие следующими свойствами:
(У Сг(т)) 1м е Сг(т), (1) (У С»(т)) (Уи е С»(т)) и|т, (2) (У С»(т)) (Уи, V е Сг(т))(и^ V (3) (У С»(т)) (Уи е С»(т), deg(u) > 0)(3^ е С»(т)) deg(v) — deg(u) - 1. (4)
Очевидно, что множества С»(т) являются убывающими от т до 1м линейными цепями относительно отношения делимости. Также очевидно, что для произвольного монома т, удовлетворяющего условию (Зй — £, degs(m) > 0, degt(m) > 0), существует несколько различных цепей С»(т).
Введем правило выбора, ставящее в соответствие моному т е М единственную цепь С(т) из множества цепей {С»(т)}», обладающее следующими свойствами:
(Ут е М)(Зи е М, и — т) т е С (и), (5)
(Ут е М, т — 1м)(Уу е С(т), V — т) С(V) С С(т). (6)
Это правило выбора определяет сужение бинарного отношения делимости на мономах | до некоторого бинарного отношения |с, также являющегося частичным порядком, будем называть его C-делимостью:
(Vu, v е M) v|Cu ^ v е C(u).
Ориентированный граф, задаваемый на множестве M отношением |с, будет деревом с корнем в 1M, а цепи C(m) представляют на графе ветвь от корня до узла m. Обозначим это дерево через T(M, |C).
Если v|cu, то моном v будем называть C-делителем для монома u. Отношение |с для каждого монома m е M задает разбиение переменных X на два класса:
X = {xi,...,xn} = {x¿ : m|C x¿m} U {x¿ : m m}.
Обозначим Xc(m) = {x¿ : m|cx¿m} - множество C-мультипликативных переменных для монома m, Xnc(m) = X — Xc(m) - множество C-немультипликативных переменных для монома m.
Отсюда имеем иной способ задания отношения C-делимости, а именно для всех мономов m е M задав разбиения переменных X = Xc (m)U UXNC(m), XC(m) П XNC(m) = 0, удовлетворяющие условиям:
Xc (1m) = X, (7)
(Vu е M) card(Xc(u)) ^ 1, (8)
(Vm е M,m = 1M)(3u е M,u|m)(3x, е XC(u)) m = x,u, (9)
(Vu,v е M)(Vx, е XC(u), xj е XC(v)) x,u = Xjv ^ u = v. (10)
Здесь (7)—(9) задают существование цепи от 1M до произвольного монома m е M, (10) - гарантирует единственность такой цепи.
Для m е M рассмотрим множество T(m) = {u е M : m|Cu}. Это множество задает поддерево с корнем в узле m дерева T(M, |C). При изоморфизме моноидов M и образ T(m), очевидно, представляет дискретный конус.
Пусть для некоторых и, V е М выполняется Т(и) П Т(V) — 0. Тогда: (Зад е Т (и) П Т (V)) ^ и|сад Л v|сад ^ и е С (ад) Л V е С (ад), тогда по (3) и (6) имеем:
и|сV V V|си ^ Т(V) С Т(и) V Т(и) С Т(V). Таким образом, мы получили:
1. Бинарное отношение частичного порядка |с, являющееся сужением отношения делимости на мономах;
2. Для каждого т е М построенное в соответствии с |с множество Т(т) — {и е М : т|си} является дискретным конусом;
3. Т(и) П Т(V) — 0 —^ Т(V) С Т(и) V Т(и) С Т(V).
А бинарное отношение, удовлетворяющее этим трем пунктам, согласно [4, 5], является отношением глобальной инволютивной делимости. (Множество Т(т) в обозначениях, введенных Гердтом и Блинковым, представляется как тХ(т)) Таким образом, мы получили альтернативное определение глобального инволютивного деления, введенное через понятие цепей делителей. Так как |с - отношение инволютивной делимости, то мы можем для него привлекать результаты теории инволютивных делений, в частности, при построении инволютивного базиса полиномиального идеала.
Пример 1. В качестве примера рассмотрим отношение С-делимости, удовлетворяющее условию
(Уи, V е М) ХсМ — Хс(и) П Хс(V). (11)
В этом случае возможно конструктивное построение отношения |с. Из (5), (6) и (11) следует, что:
(Уи, V е М, V | с и) Хс (и) С Хс (V).
Очевидно, что для построения отношения |с, удовлетворяющего условию (11), достаточно будет задать Хс(ж») для всех переменных ж» е Х, рассмотренных как мономы из М с учетом условия (8) и следующего:
(Уж», ж, е Х, ж» — ж,) ж» е Хс(ж,) ^ ж, е Хс(ж»). (12)
Пользуясь (12), можем ввести полное упорядочение " на переменных:
ж» " ж, ^^ ж» е Хс(ж,).
Не уменьшая общности рассуждений, будем полагать, что
ж1 > ж2 > ... > жп,
тогда из (11) и (12) следует, что
(Уг, 1 < г < п) Хс(жа жа • • • жа) — {ж,- е Х : г < з < п},
где а» > 0. Полученное соотношение задает инволютивное деление Поммаре [2, 6] для выбранного порядка на переменных.
Введем следующее определение.
Определение 1. Конечное подмножество и С М будем называть С -авторедуцированным, если выполняется:
(Уи, V е и, и — V) ие С (V) Л V е С (и). (13)
(7-базис полиномиального идеала
Пусть И — К[ж1,..., жп] - полиномиальное кольцо над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики. Полином / е И представляет собой конечный ряд вида
/ ^ ^ с7,
7 е Г
где Г С Ж^, card(Г) < то, с7 е К, ж7 е М.
Для введенной записи полинома / будем использовать обозначения:
-7,
с£(/, ж7) — с7, яирр(/) — {ж7 : 7 е Г}.
Для однозначного представления полиномов введем на множестве мономов полное упорядочение.
Определение 2. Отношение линейного порядка заданное на множестве М, называется допустимым мономиальным упорядочением, если оно удовлетворяет соотношениям:
(Ут € М) 1м ^ т, (Уи, V, т € М) и ^ V ^ иш ^ «ш.
Стандартным образом полагаем и -< V, если и ^ V и и = V. Лидирующим мономом полинома / относительно некоторого фиксированного допустимого порядка -< будем называть моном 1ш(/) = = тах^ яирр(/).
Лидирующий коэффициент: 1е(/) = е£(/, 1ш(/)). Лидирующий терм: Н;(/) = 1е(/)1ш(/). Для множества полиномов ^ С И будем обозначать 1ш(^) = {1ш(/) : / € ^}.
Через < ^ > будем обозначать идеал, порождаемый множеством образующих ^ С И.
Определение 3. Конечное множество образующих С = = {$!,...,#т} С И для идеала I =< С > называется базисом Грёбнера данного идеала в некотором фиксированном допустимом мономиальном упорядочении, если:
(У Н € 1)(3£ € С) 1ш(д)| 1ш(Н).
Альтернативное определение базиса Грёбнера С для идеала I =< С >:
< 1ш(1) >=< 1ш(С) > .
Определение 4. Базис Грёбнера С называется редуцированным базисом Грёбнера, если выполнено:
(Удь02 € С)(Ут € виррЫ) 1ш(р1) | т.
Согласно теореме Гильберта о конечнопорожденности идеалов в нё-теровых кольцах, имеем, что для любого идеала полиномиального кольца существует конечный набор образующих идеала (конечный базис), а конструктивное доказательство теоремы Гильберта, проведенное Бух-бергером [3], дает алгоритм построения базиса Грёбнера для идеала -алгоритм Бухбергера.
Стандартный алгоритм Бухбергера строит редуцированный базис Грёбнера, однако на многих задачах более эффективным является алгоритм построения инволютивного базиса идеала, введенный Гердтом и Блинковым [1, 4]. Инволютивный базис представляет частный случай базиса Грёбнера. Перепишем этот алгоритм для случая глобального ин-волютивного деления во введенной нами терминологии С-делимости.
Алгоритм 1 CNorma/Form
Input : f Е R; F С R, card(F) < то Output : h = CNorma/Form(f, F), h Е R 1: h := f
2: while (3g Е F) lm(g)|C lm(h) do
3: h := h- Ш. a 3: h := h lt(g) g
4: end while
Рассмотрим алгоритм СЖогта/^огт. Если К — СЖогта/^огт(/, ^), то выполняется:
(У те 1ш(^)) т е С (1ш(К)),
то есть у 1ш(К) нет С -делителей среди 1ш(^). Также по построению алгоритма выполняется, что / и К принадлежат одному классу вычетов по идеалу I, и
lm(h) ^ lm(f), при чем lm(h) = lm(f) ^ h = f.
Алгоритм 2 CAutoReduce Input : F С R, card F < ж
Output : H = CAutoReduce(F), H С R
1: H := F
2: while (3/,h e H)lm(/ )|c lm(h) do
3: H := H -{h}
4: h := CNorma/Form(h, H)
5: if h = 0 then
6: H := H U{h}
7: end if
8: end while
Если H = CAutoReduce(F), то выполняется:
(Vu, v e lm(H),u = v) v e C(u) Л u e C(v),
то есть никакие два монома u, v e lm(H) не сравнимы между собой по отношению C-делимости. Таким образом, согласно (13), множество lm(H) является C-авторедуцированным мономиальным множеством. Также по построению алгоритма выполняется, что F и H являются базисами одного и того же полиномиального идеала.
Алгоритм 3 CBasis Input : F С R, card F < ж
Output : H = CBasis(F), H С R
1: H := CAutoReduce (F)
2: while (3h e H)(3xi e Xnc(lm(h)))(Vm e lm(H)) m e C(lm(xh)) do 3: H := CAutoReduce(H U {x,h}) 4: end while
Алгоритм CBasis строит в общем случае нередуцированный базис Грёбнера идеала. Если H = CBasis(F), то выполняется:
< F >=< H >= I, (14)
(Vu, v e lm(H),u = v) v e C(u) Л u e C(v), (15)
(V/e I)(3h e H) lm(h)|clm(/). (16)
Определение 5. Базис Н идеала 1 — < Н >, удовлетворяющий соотношениям (14)—(16), будем называть С -базисом идеала.
Возникает вопрос о целесообразности введения новой терминологии для уже существующих определений глобального инволютивного деления и соответствующего ему инволютивного базиса. Заметим, что с алгоритмической точки зрения эффективность построения инволютивного базиса в сравнении со стандартным редуцированным базисом Грёбне-ра заключается, в частности, в расположении мономов по узлам дерева в соответствии с отношением инволютивной делимости, что дает возможность быстрого поиска (по сравнению с поиском в линейном списке) инволютивного делителя монома из некоторого множества других мономов.
Здесь же следует заметить, что для отношения С-делимости базовым понятием является цепь С-делителей, которая в свою очередь является ветвью дерева Т(М, |с). Таким образом, уже на уровне базовой терминологии имеем структуры, необходимые для реализации алгоритмов построения С -базиса.
Также эти структуры используются автором данной работы для выведения специфических свойств нульмерных полиномиальных идеалов.
Линейный базис фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу
Пусть дан нульмерный идеал 1.
Известно, что в случае нульмерности идеала 1, фактор-кольцо И/1 является конечномерным линейным пространством над полем К, размерность которого равна числу корней идеала 1 с учетом кратностей.
Если отождествить элементы-классы из И/1 с их представителями - нередуцируемыми по 1 полиномами, то в качестве базиса линейного
гч
пространства можно взять множество нередуцируемых по 1 мономов: М - 1ш(1).
Пусть С - базис Грёбнера нульмерного идеала 1 для некоторого фиксированного мономиального упорядочения. Тогда множество
О = {и € М : (^д € С) 1ш(д)|и } (17)
является базисом линейного пространства И/1.
Возникает задача эффективноого построения множества О для некоторого базиса Грёбнера С. Рассмотрим, какие затруднения возникают на этом пути.
• Верно, что (У и € О) и| 1еш(1ш(С)), однако перебор всех делителей монома 1еш(1ш(С)) с проверкой для них условия (17) - трудоемок.
• Верно, что если С - редуцированный стандартный базис Грёбнера, то выполняется (Уд € С)(Ут € М)(т| 1ш(д) ^ т € О), однако в этом случае во включении {т € М : (Зд € С) т| 1ш(д)} С О равенства может не быть.
• Если С - нередуцированный базис Грёбнера, то возможна ситуация т| 1ш(д), т € О.
Рассмотрим, какие преимущества нам дает использование С -базиса в качестве базиса Грёбнера.
Пусть на множестве мономов М фиксировано некоторое отношение С-делимости и фиксирован некоторый допустимый мономиальный порядок.
Пусть Н - С -базис идеала 1. Так как Н является базисом Грёбнера, а 1 - нульмерный идеал, то построенное по (17) множество О - конечно. Тогда:
(Уи € О)(Зи € М,и|си) и € О,
а так как О - множество всех нередуцируемых мономов и е О ^ и е 1ш(1) ^ (ЗК е Н) 1ш(К)|си.
Имеем:
ш е С (и) Л 1ш(К) е С (и) ^ ше С (1ш(К)) V 1ш(К) е С (ш),
второй вариант отбрасывается по построению О, и мы получили:
(Уш е О)(ЗК е Н) ше С (1ш(К)), (18)
то есть все ше О являются С -делителями некоторых 1ш(К), К е Н.
В обратную сторону, пусть ш|с 1ш(К),ш — 1ш(К) для некоторого К еН. Тогда:
(^ е Н) 1ш(д)|сш ^ ш е 1ш(1) ^ ш е О.
Мы получили:
(УК е Н )(Уш е С (1ш(К)),ш — 1ш(К)) ше О, (19)
то есть все С-делители любого 1ш(К) 1ш(Н), не совпадающие с самим 1ш(К), принадлежат О.
Из (18) и (19) делаем вывод о совпадении множеств:
О — {те М : (ЗК е Н) те С (1ш(К)),т — 1ш(К)}. (20)
Если рассмотреть дерево Т(М, |с), то формула (20) и конечность множества О позволяют нам заключить, что при "усечении" ветвей дерева по мономам 1ш(Н) получим дерево, не имеющее бесконечных ветвей, во всех листах которого находятся все мономы из 1ш(Н), а во всех нелистовых узлах - все мономы из О, то есть для построения линейного базиса О фактора полиномиального кольца И по нульмерному идеалу 1 с алгоритмической точки зрения достаточно произвести обход дерева. Построение самого дерева в данном случае уже произведено в ходе работы алгоритма СВавгй.
Пример 2. В качестве отношения С-делимости на мономах возьмем деление Поммаре из предыдущего примера.
В ходе работы алгоритма СВайгй для деления Поммаре строится бинарный аналог дерева делимости - бинарное дерево Поммаре. Его построение в общем случае производится следующим образом. Пусть некоторый узел дерева помечен мономом т = х^1 • • • х^ € М, а > 0. Тогда по определению деления Поммаре Хс(т) = {х^ : г ^ ] ^ п}, и в дереве Т(м,|с) все мономы х^-т являются непосредственными потомками монома т. Для бинарного дерева Поммаре левым потомком для т будет хт, а в качестве правого потомка, если г < п, конструируем новый узел, который будем помечать парой (т,г + 1). Если же дан некоторый узел дерева, помеченный парой (т, ]), где т € М, 1 < ] ^ п, то его левым потомком будет узел, помеченный мономом х^-т, а если ] < п, то правый потомок - пара (т, ^ + 1). Очевидно, что введенная структура бинарного дерева не нарушает отношения следования в цепях С-делителей, а лишь вводит промежуточные узлы на ветвях дерева, упрощающие структуру дерева для алгоритмов обхода и поиска. Обратный переход от бинарного дерева к дереву Т(м,|с) можно осуществить, произведя совмещение каждого узла, помеченного некоторым мономом т, со всеми узлами, соответственно помеченными парами (т, ^) (если таковые для данного т имелись).
Пусть X = {х,у,г}. В качестве допустимого мономиального упорядочения возьмем порядок DegRevLex (по полной степени, обратно лексикографический) с порядком переменных х > у > г.
Нульмерный идеал 1 построим как произведение простых нульмерных идеалов:
=< х - 1,у + 2, г > • <х + 1,у + 1, г - 2 > • <х - 2, у - 1, г - 2 > •
• <х,у + 1,г + 1 > • <х2 - 1,у2 + 1,г3 - 3 >,
его С -базис Н:
Кх — 2А + 31у2г - 20г3 - 4х2 - 12у2 + 29г + 52,
К2 — 9у3 + 197у2г - 130г3 - 12х2 - 60у2 + 9у + 197г + 342,
Кз — 3ху2 - 28у2г + 20г3 - 6х2 + 9у2 + 3х - 28г - 45,
К4 — 3х2у + 31у2г - 20г3 - 3х2 - 12у2 - 3у + 31г + 51,
К5 — 3х3 + 31у2г - 20г3 - 6х2 - 12у2 - 3х + 31г + 54,
Ко — г4 + 44у2г - 30г3 - 18у2 + 41г + 72,
К7 — 9уг3 + 74у2г - 37г3 - 30х2 - 33у2 - 27у + 74г + 108,
К8 — 6хг3 + 139у2г - 86г3 - 30х2 - 48у2 - 18х + 139г + 240,
К9 — у2 г2 + 29у2г - 20г3 - 12у2 + г2 + 29г + 48,
Кхо — 18хуг3 + 41у2г - 34г3 - 30х2 - 54ху - 42у2 + 41г + 90,
1ш(Н) — {хуг3, у2г2, хг3, уг3, г4, х3, х2у, ху2, у3, }.
При построении Н получили "усеченное" по мономам из 1ш(Н) бинарное дерево Поммаре (метки-пары для промежуточных узлов ввиду несущественности не выписываем):
Из помеченных мономами нелистовых узлов дерева собираем базис фактор-кольца R/I:
ог2 22232 2 2 -ii
И = {xyz , xyz, y z, xz , yz , z , x , xy, y , xz, yz, z , x, y, z, 1m}.
Библиографический список
1. Gerdt V. P, Blinkov Yu. A. Involutive Bases of Polynomial Ideals. Leipzig, Germany, 1996. (Preprint-Nr.1/1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, University of Leipzig)
2. Gerdt V. P., Yanovich D. A, Blinkov Yu. A. Construction of janet bases i. monomial bases // Computer Algebra in Scientific Computing / CASC, 2001. Springer-Verlag Berlin, 2001. P. 233-247.
3. Бухбергер Б., Коллинз Дж, Лоос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986. С. 392.
4. Гердт В. П., Блинков Ю. А. Инволютивные деления мономов // Программирование. 1998. № 6. С. 22-24.
5. Жарков А. Ю., Блинков Ю. А. Инволютивные системы алгебраических уравнений // Программирование. 1994. № 1. P. 53-56.
6. Поммаре Ж. Система уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983. С. 1232.
УДК 513.6
С.И. Небалуев, И.А. Кляева
ТЕОРИЯ ТОЛЕРАНТНЫХ КУБИЧЕСКИХ СИНГУЛЯРНЫХ ГОМОЛОГИЙ
Статья содержит доказательство естественной изоморфности групп толерантных кубических сингулярных гомологий толерантного пространства, определенных различными способами. В статье также дока-
