CC BY
35УДК 681.3.06
А.В.МЕСЯНЖИН, Ю.А.БЛИНКОВ Поиск корней идеала на основе триангуляции матриц 1
Введение
Многие задачи механики, дифференциальных уравнений, геометрии требуют исследования корней полиномиальной системы уравнений от нескольких неизвестных и, в случае конечного числа корней, их поиска. От полиномиальных систем можно перейти к полиномиальным идеалам и построить редуцированный базис Гребнера идеала в некотором удобном мономиальном упорядочении. Вопрос о существовании корней здесь сводится к проверке несовпадения идеала со всем полиномиальным кольцом (базис Гребнера отличен от единичного). Вопрос о нульмерности идеала (конечное число корней) сводится к проверке для каждой переменной кольца существования полинома из базиса Гребнера, чей старший (лидирующий) моном равен некоторой степени данной переменной. В случае нульмерности идеала можно перейти к рассмотрению фактора кольца по идеалу и к коммутативному кольцу матриц, представляющих элементы данного фактора [1];[6]. Тогда вопрос о числе различных корней и числе различных действительных корней решается с помощью аппарата Тгасе-матриц [6]. В настоящее, время существует множество алгоритмов для нахождения корней нульмерного идеала [6];[7];[8];[9]. В данной работе строится алгоритм поиска корней на основе теоретических положений об одновременной триангуляции семейства попарно коммутирующих матриц.
Матричное представление
Ниже мы будем использовать следующие обозначения:
Я = К[х1,...,г„] — кольцо полиномов над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики;
3,3 — идеалы в Я;
С К" — аффинное многообразие корней идеала 3;
гес!(/, й) — редукция полинома / по множеству б С Я;
Ж>0 — множество неотрицательных чисел;
М = {хI1 ■ ■ ■ х= х° | а = ..., с1„) £ 0} — множество мономов из II;
1т(/) — лидирующий моном в полиноме / относительно выбранного мономиаль-ного упорядочения;
и | V означает, что моном и делит моном V.
Пусть 3 — нульмерный идеал, С — его редуцированный базис Гребнера в некотором фиксированном мономиальном упорядочении. Построим множество [6]
П = {ы€М| (3 р 6(7) 1Ш(А) !«} = {(*.....ит}. (1)
'Работа финансировалась за счет гранта РФФИ 01-01-00708 и гранта 2339.2003.2 Министерства промышленности, науки и технологий РФ.
В работе [1] было показано, что fí является базисом фактор-кольца R/3, рассмотренного как линейное пространство над полем К. (Мы отождествляем элементы фактор-кольца R/3 с их представителями из R - редуцированными относительно G полиномами). Операция умножения в R/3 определяется по правилу представителей:
(V/, he К) red (/, G) ■ red (h, G) = red(/ • h,G).
Зафиксируем полином h € R и запишем осуществляющий умножение на h линейный оператор [7]:
£*/3 : R/3 R/J
red(f,G) i—» red{h f,G). { >
Пусть £Л = (hij)™j=lí hi¡ e К - матрица этого оператора относительно базиса Q. Пусть также дан осуществляющий умножение на полином д оператор Ид''3 с матрицей Ид = j.
Согласно |1] произведение операторов коммутирует:
W ■ = ЛГ = = ■ (3)
Таким образом множество линейных операторов ¿j'3, д 6 R/3 (а также множество соответствующих матриц Сд) образует коммутативное кольцо, изоморфное кольцу R/Э, и все арифметические операции над редуцированными полиномами можно заменить на аналогичные действия над матрицами линейных операторов в базисе Q, соответствующих данным полиномам.
В работе [1] рассматривался эффективный путь построения данных матричных представлений редуцированных полиномов, основанный на инволютивных делениях и базисе Гребнера специального вида — базисе Жане [2]; [3]; [4]. Исследуем далее безотносительно к полиномиальным идеалам свойства семейств коммутативных матриц.
Унитарная триангуляция и следствия
Далее будем использовать обозначения:
Мт — множество квадратных матриц порядка т над полем К\ Um — множество унитарных матриц в Мт;
Тт — множество верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц из Мт; А' — сопряженная матрица для матрицы А € Jvlm; а (Л) — множество собственных значений матрицы А.
Теорема 1. (Теорема Шура об унитарной триангуляции)[10].
(УЛ 6 Мт)(Э£/ б IU) U'AU = Т еТт.
Доказательство теоремы конструктивное и сводится к тому, что для матрицы берется ненулевой нормированный собственный вектор, дополняется до ортонорми-рованного базиса, из векторов которого получаем унитарную матрицу преобразования. Данное преобразование действует таким образом, что получаем в матрице нули
в первом столбце ниже элемента главной диагонали. По итерации продолжаем для подматрицы на единицу меньшего порядка.
Из [10] известно, что если дано семейство попарно коммутирующих матриц (коммутативное семейство), то для всех матриц данного семейства существует хотя бы один общий ненулевой собственный вектор. Используя факт, что преобразование подобия сохраняет свойство перестановочности матриц, и повторив построения в доказательстве теоремы Шура, получаем следующую теорему:
Теорема 2. Пусть имеется коммутативное семейство матриц 3" С Мт.' (УД, В 6 У) АВ = В А. Тогда
(ВС/ е ИшКУД € У) и-ли = Т 6 Тт, (4)
или
(3и 6 Ит) и>эи С Тт, (5)
причем и"Л! также является коммутативным, семейством матриц.
Обобщим теорему Шура
Теорема 3. Пусть А € !Мт имеет различные собственные значения А;,..., Ац и кратность А, равна т, (г = 1,..., к). Тогда А подобна блочнодиагональной матрице вида
/г, 0 \
Га .. , (6) V о Тк)
где матрицы 7, € Тт1 (то есть треугольные) с диагональными элементами, равными (г = 1,..., к).
Не вдаваясь в подробности доказательства, отметим его основные моменты (это понадобится в следующих разделах данной работы). Сначала, применяя теорему Шура, переходим от матрицы А к унитарно ей подобной Т = (Ьта) - верхнетреуголь-ной (нижнетреугольной). Полагаем, что собственные значения на главной диагонали упорядоченны, то есть сначала идут А], потом А2 и т.д. Затем последовательностью простых (не унитарных) преобразований обнуляем элементы внедиагональных блоков. Для ненулевого элемента ¿Г5 данное преобразование будет иметь матрицу I + аЕт,, где I единичная матрица, в матрице Ег, всюду нули, кроме позиции (г,«), где стоит единица,
Из [11] известна теорема.
Теорема 4.[11] Вели одна из двух коммутирующих матриц имеет блочно - диагональный вид, причем различные блоки не имеют одинаковых собственных значе-
ний, то и другая матрица имеет такой же блочно-диагональный вид, и соответствующие блоки этих матриц коммутируют. То есть
О
(у А, В е Жт)(АВ = В А, А =
(ст(А) П ст(Л^) = 0 при г Ф ])
Этот результат нам понадобится в дальнейшем при построении алгоритма поиска корней идеала. Приведем еще одно положение, дающее необходимое и достаточное условие одновременной триангуляции матриц и использующееся в дальнейшем.
Теорема 5. (Теорема Маккоя)[10]. Пусть А, В £ Мт, с(А) = {оц,..., ат}, о(В) = {/Зь ..., /Зт} с учетом кратностей. Тогда эквивалентны условия:
1. (35 е Мт, Ое(;(5) ф 0)(5"М5 6 Тт, 5^55 6 Тт).
2. Существует перестановка ц,...,гт индексов 1,..., т такая, что для любого полинома от двух некоммутативных переменных выполняется:
а(р(А, В)) = {р{а}, Д,) | з = 1,... ,т},
причем данная перестановка соответствует положению собственных значений на главной диагонали при одновременной триангуляции матриц:
)
Вернемся к рассмотрению матричных представлений редуцированных полиномов.
Корни идеала
Как было показано в [1], для построения Сл, Л 6 II достаточно знать матрицы £Х| (г = 1,..., п), и тогда .С/, = ,..., ¿х»)! т° есть в наборе коммутирующих матриц (г = 1,..., п) заложены все свойства фактора 11/3:
Я/ЭЙ! {&(£,„...,£,.) I Лев.}.
Следует отметить, что число элементов базиса П фактора Я/Э (а также размерность ¿л) равно числу корней идеала 3. Более подробно показывает этот факт и дает повод к дальнейшим рассуждениям следующая теорема:
Теорема 6. (Теорема Стикельбергера)[7|. Пусть 3 - нульмерный идеал. Тогда для любого полинома И € И, все собственные значения линейного оператора «С^'3 есть Н(а), где а 6 У(3), и кратность собственного значения Ь.(а) равна кратности корня идеала а.
Таким образом, если рассмотреть собственные значения матриц (г = 1.....п),
то они нам дают все координатные компоненты корней идеала. Другими словами, если
<х(£1() = {х«х<0,...,х£'},
-Mi
то существуют такие п — 1 перестановки j['\ ... ,jm (t — 2,..., п) индексов 1,..., m,
VP) = {(■
= UrW r<2>
»
| s = 1,... m}
(8)
с учетом кратности. Возникает вопрос: как найти данные перестановки?
Возьмем полином / 6 3 и рассмотрим a(Hf) = a(f(Hx>,... ,£*„)). Если обобщить теорему 5 на случай п матриц, то, имея коммутирующие, а, значит, по теореме 2, одновременно триангулируемые матрицы Cx¡¡ получаем п — 1 перестановки d'1',... ,dm (t — 2,..., п) индексов 1,..., m таких, что
*(/(£»„. • •,Л,.)) = {/(x'l),xg,, • ■ | в = 1,...m>.
С другой же стороны имеем / € 3, откуда red(/, 3) = 0, следовательно, £/ — нулевая матрица, и, значит, <?(&/) = {0,..., 0}. Получили
(V/ € 3) /(*W,x®,.. ., ) = О (. = 1,.. .т.),
(9)
то есть {¿1''} и есть искомые перестановки в (8), дающие корни идеала. Остается заметить, что данные перестановки собственных значений матриц согласно теореме 5 появляются естественным путем при одновременной триангуляции (не обязательно унитарной) матриц то есть
(35 е Мт, Бе1(5) ф 0)
S ^-C-r, S —
.(1) •1 *
0
s 1&xíS —
\ °
x(i)
,i = 2,
Алгоритм нахождения корней
Эффективное построение матриц üXi было рассмотрено в [1]. Таким образом, осталась задача одновременной триангуляции полученного коммутативного семейства матриц. В численных методах линейной алгебры имеется множество алгоритмов для приведения матрицы (одной) к верхнетреугольному (нижнетреуголному) виду с упорядоченными согласно теореме 6 собственными значениями. Воспользовавшись указанной теоремой, преобразуем полученную треугольную матрицу к блочнодиа-гональному виду. Применив к остальным матрицам коммутативного семейства эти же преобразования подобия, по теореме 4 получим семейство блочнодиагональных матриц с одинаковым разбиением на блоки, а так как соответствующие блоки коммутируют, то задача триангуляции коммутативного семейства свелась к задаче триангуляции соответствующих семейств блоков меньшей размерности. По итерации продолжаем дальше. Если же на каком-то шаге имеем семейство блоков В\,...,Вп размерности рхр, каждый из которых неразложим в блочнодиагональный вид (каждый из блоков Bi имеет единственное собственное значение /?, кратности р), то здесь уже нет задачи поиска нужной перестановки собственных значений. Для каждого блока Bi по отдельности можно найти его собственное значение ft, и соответственно имеем корень идеала (ßlt..., ßn) кратности р. В случае, если идеал не содержал кратных корней, в конечном итоге получим семейство диагональных матриц.
Пусть есть алгоритм TriangulareBlock, приводящий блоки матрицы (если уже было разбиение) к верхнетреугольному виду с упорядоченными собственными значениями (в случае, если еще не было разбиений, единственным блоком считаем саму матрицу). И пусть есть алгоритм разбиения матрицы, блоки которой приведены к треугольному виду, на более мелкие подблоки: DiagonalizeBlock.
Алгоритм 1 TriangulareBlock (Л) Input: Л € Жт
Output: U 6 Um такая, что U'AU € 7т, причем собственные значения на главной
диагонали преобразованной матрицы А упорядочены.
Алгоритм 2 DiagonalizeBlock (Л, S)_
Input: Л е Tm
Output: true, если попытка разбиения блоков верхнетреугольной матрицы Л на более мелкие подблоки прошла успешно хотя бы для одного блока, в этом случае в S - матрица преобразования; false - иначе.
Используя эти два алгоритма и приведенные выше рассуждения, алгоритм построения корней нульмерного идеала Roots запишем следующим образом:
Алгоритм 3 Roots (£It,..., Input: . .
Output: (A1!1»,..., A!1'),..., (A<m),..., Aim)) - корни идеала 3 1: for i = 1,... ,n do 2: Li := Lx.
3: od
4: for i = 1, ... ,П dO 5; U := TriangulareBlock(Li) 6: for к = 1,..., m do 7: Aj"° := Li\k, k] 8: Od
9: if DiagonalizeBlock(Li, S) then 10: for j = i + 1,..., n do 11: Li := S-W'LiUS
12: Od
13: fi 14: od
15: return (A'",..., Ai,1'),..., (A<m),..., Ai,m))
Пример нахождения корней
Пусть в кольце от трех переменных х, у и 2 над полем вещественных чисел задан нульмерный идеал с вещественными корнями, и его редуцированный базис Гребнера в упорядочении <1ед _геу _1ех с порядком переменных х >~ у У г:
' д0 = ху - у2 - хг + у г, дх = у г2 - г3 - у + 2, </2 = хг2 — г3 — х + г, 5з = у2г -23 + у2- 2 у г + г2-2 у + 2г, g^ = х2г - г3 + х2 - 2x2 + г2 -2х + 2г, 9ь=У3 - г3 + У2 - 2уг + г2 - Зу + Зг, д6 = х3 - г3 + х2 - 2хг + 22 - Зх + Зг, 37 = г4'- 2гг + 1.
При построении Базиса Жане [2); [3]; [4] того же идеала
90 = ху - у2 - хг + уг,
91 = уг2 - г3 -у+ 2,
92 = -хг2 + г3 + х - г,
93 = -г/2г + 23 - г/2 + 2у2 -22 + 2у- 2г, < 94 = X22 - 23 + X2 - 2X2 + 22 - 2х + 22,
95 = у3-г3 + у2- 2г/2 + г2 - Зг/ + Зг,
96 = х2у - г3 + х2 - 2x2 + г2 - 2х - у + Зг,
9? = х3 - г3 + х2 - 2хг + г2 - Зх + Зг,
. 98 = г4 - 2г2 + 1
сгенерировано дерево Жане (рисунок):
Как было доказано в [1], базис фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу представляет собой множество нелистовых мономов дерева Жане:
П = {г3,х2,у2,х2,уг, гг,х,у,г, 1}.
Матрицы линейных операторов относительно П, осуществляющих умножение на переменные кольца:
/ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 -1 \
1 -1 0 2 0 -1 3 0 -3 0
1 0 -1 0 2 -1 1 2 -3 0
1 -1 0 2 0 -1 2 0 -2 0
1 0 -1 0 2 -1 1 1 -2 0
1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
\о 0 0 0 0 0 1 0 0 0/
/ 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 \
1 -1 0 2 0 -1 2 1 -3 0
1 0 -1 0 2 -1 0 3 -3 0
1 0 -1 0 2 -1 1 1 -2 0
1 0 -1 0 2 -1 0 2 -2 0
1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
\0 0 0 0 0 0 0 1 0 о/
( 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -1 \
1 -1 0 2 0 -1 2 0 -2 0
1 0 -1 0 2 -1 0 2 -2 0
1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0
1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
^ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 )
Будем работать с алгоритмом, приводящим матрицу в нижнетреугольную Жорда-нову форму:
= ]0Г(1а,пЬа818(Их)
/ 0 -1 3 0 0 1 1 0 1 0 \
-2 1 0 0 2 1 0 0 0 0
0 1 0 -2 0 1 -1 1 0 1
-1 1 -1 0 1 1 1 0 0 0
0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1
0 1 -2 0 0 1 0 0 1 0
1 -1 0 0 1 1 0 0 0 0
0 -1 0 1 0 1 0 1 0 0
0 -1 1 0 0 1 1 0 0 0
\ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 о/
1 0 0 0 0 0 0 0 0 о\
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1)
Отсюда имеем все я-компоненты корней идеала, а также блочно-диагональный вид с блоками размерности 4 х 4 и 6 х 6:
( -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \
0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1)
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \
0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 -1 1 1 ч
Разбиение на блоки:
(4" о \ / 4Ч о \
иг1^^ = , иг'Л.Ч, = ;
V О 42) / V о № )
■с!,1' =
, =
/ -1 0 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 0
\ 0 0 0 -1
Эти матрицы верхнетреугольны, приводить их к нижнетреугольному виду нет смысла, так как это никак не повлияет на соответствующие перестановки собственных значений. Отсюда имеем у и 2 координаты первых четырех корней идеала. Следующее семейство блоков:
/1 0 0 0 0 0 \ (1 0 0 0 0 0 \
0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 , £<2) = 0 0 -1 0 1 0
0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
\о 0 0 0 0 1) \о 0 -1 1 1 0 /
К.2 = ¿огс1апЬа81а(11^) =
/ 0 0 0 0 0 1 \
-1 0 1 0 0 0
2 -1 0 1 0 0
2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
V о 0 0 1 0 0/
/-1 00000\
0 1 0 0 0 0
0 110 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
V о о
0 0 0 1 /
Отсюда у-координаты последних шести корней идеала и разбиение на блоки:
и, 142>и2 =
( -1 00 000\
О 10 ООО 0-11 10 0
О 2 0-110
О 0 0 0 1 0
\0 00 001/
-1 — л-координата пятого корня, и осталось найти г-координаты для последних пяти корней:
=
( 1 о
-1 1
2 0
0 О
\ О О
0 о о \
1 о о -1 1 о о 1 о
0 0 1/
Из = ¿огс1апЬа818(&^) ■
/ О -1 2 О
\ о
— 1 0 0 1 \
0 10 0
0 0 0 1
2 0 0 0
0 0 10/
-1 о о о о \
0 10 0 0
0 110 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 /
Таким образом, получили все корни идеала:
А<4 = А(2) = А'3' = А<4> = AW = A<6> = А(7) = А® = aW = А<10> =
Библиографический список
1. Месянжин А.В. Матричное представление элементов фактора полиномиального кольца по нульмерному идеалу // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.1.
2. Гердт В.П., Янович Д.А., Блинков Ю.А. Быстрый поиск делителя Жане // Программирование. 2001. N1.
3. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Yanovich D.A. Construction of Janet Bases I.Monomial Bases. In: Computer Algebra in Scientific Computing / CASC'01, V.G.Ganzha, E.W.Mayr and E.V.Vorozhtsov (Eds.), Springer-Verlag. Berlin, 2001.
4. Gerdt V.P., Bhnkov Yu.A., Yanovich D.A. Construction of Janet Bases II.Polynomial Bases. In: Computer Algebra in Scientific Computing / CASC'01, V.G.Ganzha, E.W.Mayr and E.V.Vorozhtsov (Eds.), Springer-Verlag. Berlin, 2001.
5. Krister Foreman. Elementary Aspects of Constructive Commutative Algebra // Department of Electrical Engineering Linkoping University, 1992.
6. Laureano Gonzales - Vega and Guadalupe Trujillo Dpto. Symbolic Recipes for Polynomial System Solving: Real Solutions // Spain. Matemáticas, Estadística у Computación Universidad de Cantabria.
7. Fabrice Rouillier Solving zero-dimensional polynomial systems through the Rational Univariate Representation // Polka. Institut National de Recherche Informatique et en Automatique, 1998.
8. Didier Bondyfalat, Bernard Mourrain, Victor Y. Pan Solution system of equations via the eigenvector computation // Lin. Alg. and its Appl. 319. 2000.
9. Борисевич В.Д., Потемкин В.Г., Струнков СП. Численное моделирование и решение систем нелинейных алгебраических уравнений Препринт МИФИ 001-
98. М., 1998.
10. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. М.: Мир, 1989.
11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966,
УДК 511.3
Н.И. КЛИМОВ
Распределение значений функции Мебиуса
Введение. Рассмотрено распределение значений дробной части рациональной функции j(x) = когда аргумент х пробегает последовательность чисел wv, состоящих из заданного числа и различных простых сомножителей р. Указаны границы изменения параметра 7. В частности, доказано, что
J2 I = ßir(N) + 0{№'Е) при 0^ß^.l,E>0 достаточно мало,
ДГ1+28Е ^ 7 ^ ДГ2-26В (1)
В связи с дробно-линейной функцией }{х) исследуется распределение значений функции Мебиуса. Доказана основная теорема 5: при условии (1)
M[ß) =' £ ß(n) = ßM{ 1) + OiN1-*). В добавление приведены некоторые специальные случаи.
Данная постановка вопроса возникла в связи с исследованием остаточного члена в элементарном методе решета А.Сельберга. В работах И.М. Виноградова [1, гл. 8, 11; 2, гл. 4; 3, с. 332]; [4], рассматривались целые рациональные функции.
Доказательство основной теоремы проводится по методу, разработанному И.М. Виноградовым [1, гл. 9, 11; 2, гл. 4; 3, с. 332]. Применяется разложение функции в ряд Фурье, разбиение тригонометрической суммы на "слагаемые первого и второго вида". Но для случая дробно-линейной функции f(x) не удается применить традиционное сведение к оценке суммы, содержащей (г) - расстояние до ближайшего целого числа: 1 /{an). Поэтому в данной работе применена оценка тригонометрической суммы
п^по
с функцией, имеющей "хорошую"вторую производную (теорема Ван-дер-Корпута |2, гл. 1, с. 14, лемма 1]). В связи с этим изменены параметры, определяющие слагаемые первого и второго вида; соответственно внесены изменения в лемму 1, теорему 1 работы [3] (см. также леммы 4,5,6 гл. 4 кн. [2]), Главная часть доказательства основной теоремы 5 данной работы содержится в лемме 3, теоремах 1, 2 и в случае 2 б q теоремы 3 (данной работы).
