CC BY
16
Ю. А. Блинков
УДК 681.3.06
ИНВОЛЮТИВНЫЕ БАЗИСЫ ТОРИЧЕСКИХ ИДЕАЛОВ*
Рассмотрим задачу вычисления множества образующих торического идеала I [1 - 4], которые задаются соотношениями между мономами {mv...,mt} состоящими из переменных {je,,.. Решение можно получить, определив ядро гомоморфизма тг:Arfv!,...,v^] —»Är[xj]. Гомоморфизм л задается следующими соотношениями: vt i—> m,,...,vt ь->тк. Рассмотрим идеал J над ¿[я,,...,.*„,v,,...,vt], генерируемый образующими {vl-mv...,vk-mk). Определим допустимое упорядочение, разделяющее переменные х......х„ и v,,...,vt, тогда базис Грёбнера G идеала J даст соотношения между мономами {щ,...,тк}, заданными Gui[v„...vt].
В работах [5 - 8] были рассмотрены алгоритмы построения базисов Грёбнера специального вида, основанные на понятии инволютивного деления [6, 7, 9].
Определение 1. Мы будем говорить, что на множестве мономов М определено инволютивное деление L, если для любого конечного подмножества U а М и для любого ueU задан подмоноид L(u,U) моноида М , удовлетворяющий следующим условиям:
a) mweL(u,U) и v| w следует veL(u,U)\
b) из u,veU и uL(u,U)nvL(v,U)*0 следует uevL(v,U) или v euL(u,U)\
c) из vet/ и veuL(u,U) следует L(v,U)qL(u,U);
d) из ГсС/ следует L(u,U)сL(u,V) для всех и е V. Элементы L(u,U) называются мультипликативными для и.
Для каждого и е U данное определение приводит к разделению
{xl,...,x„}=ML(u,U)vNML(u,U), Ml(и,и)глNML(u,U) = 0
множества переменных на два непересекающихся подмножества мультипликативных М t(u,U)czL(u,U) и немультипликативных NML(u,U)nL(u,U) = 0 переменных.
В инволютивном делении, определённом на множестве мономов, не делящих друг друга в обычном смысле, может быть только один инволю-тивный делитель для произвольного монома. Это следствие свойства Ь) инволютивного деления позволяет организовать его эффективный поиск,
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты № 00-15-96691, № 01-01-00708, и [ЫТАЙ, грат №99-1222.
используя, например, метод сепарирующих мономов [10] или дерево Жане [11].
Определение 2. Деление Жане [12]. Для каждого индекса переменной 1 < г < п распределим элементы (/ по подгруппам, определяемым набором неотрицательных целых чисел £/,,...,£/,:
Тогда переменная является мультипликативной по Жане для и еО, если ( = 1 и с1е§,(м) = 013x10^,^)1 уеК}, или если ¡>1, и и
с1ея,.(и) = шах {ёев.О) | у е [с/,,..., </,..,]}.
Построим бинарное дерево, которое будем называть деревом Жане, структура которого отражает требуемое разбиение на подгруппы множества и, упорядоченное внутри каждой подгруппы по степеням переменных. Рассмотрим множество мономов и = {х2у,хг,у2 ,уг,г2}, (хУуУг) и отобразим его в виде дерева Жане как показано на рисунке.
Листья дерева соответствуют мономам рассматриваемого множества. Левому потомку соответствует узел с большей степенью текущей переменной. Правый потомок указывает на узел с более старшей переменной согласно выбранному упорядочению. Структура дерева учитывает, в отличие от [11], разреженность мономов представленных в базисах торических идеалов из-за большого количества переменных. Данная информация представлена в паре, где первый элемент пары представляет собой номер текущий переменной, а второй - её степень.
Дерево Жане имеет временную сложность [11] нахождения делителя 0(п + с/), для п -переменных и мономов, ограниченных общей степенью й.
При данных условиях, число мономов, не делящих друг друга в обычном
номов степени (1.
Ввиду большого числа переменных и отсутствия арифметики основная сложность алгоритма построения базиса Грёбнера лежит в огромном числе двучленов [3-4], возникающих при построении базиса торического идеала. Быстрое определение делителя для проведения редукций при вычислении 51-полинома (или немультипликативного продолжения для инволютивного алгоритма) значительно ускоряет алгоритм, поскольку число элементов в базисе Грёбнера экспоненциально зависит от степени исходных полиномов и количества переменных.
1. Conti P., Traver so С. Buchberger algorithm and integer programming. Proceedings AAECC-9 (newOrleans), Springer LNCS. 1991. Vol. 539. P. 130- 139.
2. Di Biase F., Urbanke R. An algorithm to calculate the kernel of certain polynomial ring homomorphisms. Experimental Mathematics. 1995. Vol. 4. P. 227 - 234.
3. Pettier L. Groebner bases of toric ideals. Rapport de recherche 2224 (1997), INRJA Sophia Antipolis,
4. Bigatti A. M, La Scala R.,Robbiano L. Computing toric ideals // J. Symbolic Computation. 1999. Vol. 27. P. 351- 365.
5. Жарков А. Ю., Блинков Ю. А. Инволютивные системы алгебраических уравнений // Программирование. 1994. № 1. С. 53 - 56.
6. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involutive Bases of Polynomial Ideals // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. Vol. 45. P. 519 - 542.
7. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Minimal Involutive Bases // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. Vol. 45. P. 543 - 560.
8. Ape! J. Grôbner Approach to Involutive Bases // J. Symbolic Computation. 1995. № 19. P. 441 -458.
9. Гердт В. П., Блинков Ю. А. Инволютивное деление мономов // Программирование. 1998. №6. С. 22-24.
10. Блинков Ю. А. Метод сепарирующих мономов для инволютивных делений // Программирование. 2001. № 3. С. 43 - 45.
11. Гердт В. П., Янович Д. А., Блинков Ю. А. Быстрый поиск делителя Жане // Программирование. 2001. № 1. С. 32 - 36.
12. Janet M. Leçcons sur les Systèmes d'Equations aux Dérivées Partielles // Cahiers Scientifiques, IV, Gauthier-Villars. Paris, 1929.
, равную в точности числу мо-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
