CC BY
34
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том VIII 19 7 7
№ I
УДК 532.525.2
ПОДОБИЕ ПРИ ИСТЕЧЕНИИ СИЛЬНО НЕДОРАСШИРЕННЫХ ГАЗОВЫХ СТРУЙ НАВСТРЕЧУ НАБЕГАЮЩЕМУ ПОТОКУ
Е. П. Столяров
Рассмотрено истечение сильно недорасширенных газовых струй навстречу набегающему потоку. На основании оценок продольного и поперечного размеров возмущенной области течения установлен вид основных параметров подобия, определяющих геометрию течения.
Вопросы подобия при истечении недорасширенных газовых струй рассматривались в ряде работ [1—3], где установлены, в частности, характерные размеры возмущенной области течения. Несмотря на большое число определяющих параметров задачи, число основных критериев подобия, являющихся комбинациями определяющих параметров, может быть в частных случаях сведено к минимуму. Так, в работах [4] и [5] применен двухпараметрический подход к описанию геометрической картины истечения сильно недорасширенных газовых струй в неподвижную среду [4] и в спутный поток [5]. В настоящей работе аналогичный подход распространяется на случай истечения газовых струй навстречу набегающему потоку.
Рассмотрим вначале истечение сильно недорасширенной струи навстречу сверхзвуковому потоку невязкого газа. Внешний поток характеризуется скоростью Уж, плотностью р^, и давлением торможения за прямым скачком уплотнения ро^- Течение в струе предполагается невязким, а газ — совершенным с показателем адиабаты г., температурой и давлением адиабатического торможения Т0] и Ра/ соответственно. Индексами а, /, гаах обозначаются соответственно параметры струи на выходе из сопла, в поле течения и максимальные значения рассматриваемых величин. Звездочкой обозначены параметры в критическом сечении сопла. Предполагается, что давление торможения в струе значительно превышает характерное давление в набегающем потоке:
А>;»/>0со- (О
При этом условии независимо от конфигурации сопла течение в основной части струи оказывается гиперзвуковым:
V] -*■ Vтах, р^-*0, (2)
а характерные масштабы возмущенной области Р(х и Р(у значительно превышают радиус критического сечения сопла г*. Струя замыкается сегментальным скачком уплотнения АВ (см. фигуру), диаметр которого пропорционален поперечному масштабу течения Цу, а расстояние от среза сопла — продольному масштабу Перед возмущенной областью в набегающем потоке возникает,
как при обтекании затупленного тела, головной скачок уплотнения, форма которого в центральной части близка к сферической. Между головным и струйным скачками уплотнения расположена контактная поверхность СИ, являющаяся частью поверхности раздела внутреннего и внешнего течений. Внутри струи вблизи ее боковой поверхности расположены скачки уплотнения, относительная интенсивность которых стремится к нулю, а сами они в масштабах возмущенной области приближаются к внешней границе струи, если р3/р0]- ->■ 0. В рассматриваемой задаче это условие выполнено вследствие предположения (1) и очевидного неравенства рд^.р0еа.
Отметим, что для установившегося течения давление торможения за прямым скачком уплотнения в набегающем потоке р0оо совпадает сдавлением торможения на оси струи за замыкающим скачком уплотнения р^р поэтому в-дальнейшем изложении не делается различий между р0оо и р^..
Применяя закон сохранения импульса в проекции на ось х для объема, ограниченного скачком уплотнения АВ и контактной поверхностью СО, и используя условия (2), получим оценку поперечного масштаба возмущенной области:
(3)
(4)
в плоском и
в осесимметричном случае. Здесь — расход газа в струе.
Соотношение (3), а следовательно, и оценки (4) и (5) будут тем точнее, чем меньше поперечный размер возмущенной области по сравнению с продольным. Выражая входящие в формулу (5) величины через основные параметры задачи, получим:
Ро^СВ ~ О^тах-
откуда
Ро
Отметим, что поперечный масштаб возмущенной области согласно (6) и (7) возрастает с уменьшением х. Так, при уменьшении % от 1,4 до 1,15 функция V(%) увеличивается на 24%.
Физический смысл полученного результата (6) состоит в том, что при условии (1) изменение деталей течения ка срезе сопла (числа Ма, угла наклона стенки сопла Ьа) практически не отражается на поперечном масштабе, который определяется лишь параметрами торможения и радиусом критического сечения сопла. Но в таком случае продольный масштаб возмущенной области при постоянном поперечном масштабе должен определяться лишь параметрами течения на выходе из сопла, так как именно эти параметры определяют степень расширения струи за срезом сопла. Поэтому в качестве определяющего параметра может быть принят некоторый характерный угол наклона границы струи, например, угол наклона границы струи у кромки сопла. Для этого предварительно оценим давление в струе вблизи среза сопла ря. Запишем уравнение сохранения импульса в проекции на ось х для объема, ограниченного выходным сечением сопла, боковой поверхностью струи о и поверхностью, проходящей через максимальное сечение струи:
и используя оценку (3), получим следующую оценку для среднего давления на боковой поверхности струи:
По величинам ра, <0,а5> и соотношениям Прандтля — Майера можно определить характерный угол поворота потока &уа. В качестве оценки продольного масштаба возмущенной области может быть принята величина
функцией числа Ма и %, причем Нх возрастает с увеличением числа М на срезе* и при Ма > 1 величина /?д- ~ /?у Ма.
Более простой и, по-видимому, не менее эффективной при больших числах Ма является оценка продольного масштаба возмущенной области, получающаяся применением к задаче истечения из сопла аналогии с нестационарным разлетом газового шнура [4]. Эта оценка может быть записана в виде
где іа — энтальпия газа на срезе сопла.
Выражение (10) допускает простую физическую интерпретацию. Так как за срезом сопла скорость газа Уа и возрастает до Утах, то максимально воз-
можное значение вертикального компонента скорости
и отношение Уг шах/^тах представляет собой оценку предельного угла наклона струек тока к оси симметрии вдали от сопла. Если угол наклона стенки сопла на выходе не равен нулю, то соотношение между продольным и поперечным масштабами течения может быть записано в виде:
тах
Вводя обозначения
О ^тах
тах
(8)
(9)
Если ва < Ача и ра^РРо> Т0 множитель ^ (ва+йча) в выражении (9) является
(10)
УУ шах —
і тах
Используя основные параметры задачи, окончательное выражение для продольного масштаба возмущенной области при 0Д = 0 можно привести к виду:
г~
1 Г X — 1 2 / ^0 }
/?*~ЯУ у 14—2— К=*У У ~тТ ■ (И)
Таким образом, согласно оценке (11), продольные размеры возмущенной области должны увеличиваться с возрастанием числа Ма на срезе сопла и при достаточно больших числах Ма
/% — 1 \1/2
/?у 2
Следует иметь в виду, что определенные выше характерные масштабы Ях и не являются точными размерами возмущенной области течения, а лишь пропорциональны соответственно продольному и поперечному размерам сверхзвуковой части струи. Геометрия же дозвуковой области течения между струйным скачком уплотнения и контактной поверхностью внутреннего и внешнего течений определяется не только масштабами сверхзвуковой части струи, но и в полной мере параметрами набегающего потока, как и при обтекании любого помещенного в поток затупленного тела. Кроме того, приведенные выше рассуждения справедливы, вообще говоря, при больших числах М на срезе сопла, когда поперечный масштаб возмущенной области достаточно мал по сравнению с продольными размерами. В частности, выражение (5) асимптотически переходит В точное соотношение ДЛЯ одномерного невязкого течения при Яу1Ях 0, ЧТО справедливо лишь при Ма со. Если число М на срезе сопла не очень велико, то могут потребоваться более тщательные оценки характерных масштабов возмущенной области.
Поскольку скорость внешней среды входит в выражения для характерных масштабов неявным образом лишь через’давление торможения р'0, то полученные результаты в рамках принятых ограничений справедливы и в случае дозвуковых скоростей набегающего потока. Дополнительным доказательством этого может служить то обстоятельство, что соотношение для поперечного масштаба возмущенной области (5) асимптотически переходит в соответствующее соотношение работы [4], полученное для истечения сильно недорасширенной струи в неподвижную среду. Действительно, при Мот -*■ 0 давление на боковой поверхности струи {Ра’>^'Рт и соотношение (8) приобретает вид
Рс. ~ М1 - 7)>
а поперечный масштаб возмущенной области определяется выражением
дУтахР -0 11/2
71 р
Как показано в работе [5], соотношения вида (5) и (10) могут быть успешно применены для описания возмущенной области и при истечении сильно недо-расширенных струй в спутный поток, если в формуле (5) вместо давления р0 использовать подходящее выражение для характерного давления внешней среды. В данном случае в качестве характерного давления естественно использовать давление за косым скачком уплотнения, возникающим в набегающем потоке при его взаимодействии с границей струи. Отметим, что соотношение (8) остается справедливым и в рассматриваемом случае.
Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о возможности единообразного представления некоторых характеристик истечения недорасши-ренных гиперзвуковых невязких струй в спокойную или движущуюся среду с помощью двух определяющих параметров. Хотя этот вывод еще не означает существования полного подобия, например, геометрических картин возмущенной области при различных условиях истечения (в неподвижную среду, в спутный или встречный поток), тем не менее данное обстоятельство может быть полезным в вопросах моделирования взаимодействия струй с внешней средой. В качестве независимых параметров подобия таких течений целесообразно использовать выражения
1
1 -И'
/?у
Кг
'Vі,
*-М/ 2 V—1 Роу
Н»+1/
где і = 0 — для плоского, /= 1—для осесимметричного случая.
ЛИТЕРАТУРА
1. Moran I. P. Similarity in high-altltude jets. A1AA J.,, vol. 5, N 7, 1967.
2. Гусев В. H., Климова Т. В. Течение в истекающих из недорасширенных сопел струях. ,Изв. АН СССР, МЖГ“, 1968, JJs 4.
3. Г у с е в В. Н., Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. .Ученые записки ЦАГИ’, т. 1, № 4, 1970.
4. Мурзинов И. Н. Параметры подобия при истечении сильно недорасширенных струй в затопленное пространство. „Изв. АН СССР. МЖГ*, 1971, № 4.
5. Васильков А. П., Мурзинов И. Н. Подобие при истечении сильно недорасширенных струй в спутный гиперзвуковой поток. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1974, № 5.
Рукопись поступила 14/1 1916
