CC BY
215
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
DOI: http://dx.doi.org/10.21686/2413-2829-2018-5-174-181
ПОДХОДЫ К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ОПЦИОНОВ
А. В. Азацкий
Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова,
Москва, Россия
В статье рассмотрен новаторский подход к представлению волатильности. Вопреки общепринятому предположению, что волатильность опционов в будущие моменты времени будет точно такой же, как в текущий, автор статьи предлагает метод, который привязывает изменение волатильности к изменению лишь одного параметра - цены базового актива. Утверждение, что именно цена базового актива является «поводырем» для волатильности опционов, не нуждается в доказательстве, ведь, как и срочные контракты, опционы оцениваются исходя из своего базового актива. Представленный метод помогает с достаточной точностью оценить будущую волатильность на один (либо более) шаг вперед. Как и любой другой прогнозный метод, он накапливает ошибку с возрастанием шагов в будущее, однако простота применения и малая ресурсозатрат-ность делают его достойной альтернативой принятому ныне способу представления волатильности во время отображения грядущих перспектив текущей опционной позиции. Для прогноза волатильности на один шаг вперед нами были применены следующие базовые статистические методы и эконометрические модели: метод линейной регрессии, метод Ньютона - Рафсона для нахождения опционных страйков для заданных дельт, метод сплайн-интерполяции, модель расчета «улыбки опционов» Vanna-Volga.
Ключевые слова: «улыбка волатильности», метод Vanna-Volga, прогноз IV, ценообразование опционов, vanilla options.
APPROACHES TO FORECASING OPTION VOLATILITY
Andrey V. Azatskiy
Plekhanov Russian University of Economics,
Moscow, Russia
The article investigates a new approach to the idea of volatility. In spite of the well-known assumption that option volatility in future will be exactly the same as today, the author puts forward a method, which links the change in volatility to change of only one parameter, i.e. the price of basic asset. The idea that the price of basic asset is a 'guide' for option volatility does not need any proof, as like terminal contracts options are estimated proceeding from their basic asset. This method can help estimate future volatility for one (or even more steps) ahead. Like any other forecast method it builds up the error as the number of steps in the future increases, however the simplicity of its use and low resource-intensiveness make it a worthy alternative to the method accepted now, which shows volatility while presenting prospects of the current option position. To forecast volatility for one step ahead we used the following basic statistic methods and economic models: the method of linear regression, Newton-Rafson method for finding option strikes for the set deltas, the method of spline-interpolation, the model of calculating 'option smile' Vanna-Volga.
Keywords: 'volatility smile', Vanna-Volga method, IV forecast, opting pricing, vanilla options.
Модель Блэка - Шоулза наиболее удобная для вычисления цен опционов. Она наименее ресурсозатраты с точки зрения вычислений (по сравнению с биноминальными деревьями) и дает наиболее верное значение цены оп-
циона, что делает ее идеальной для использования в различных программах анализа цен опционов. Именно эти два фактора являются причиной ее популярности, неугасающей даже в наши дни. Исходной моделью для создания дифференциально-
го уравнения Блэка - Шоулза является лемма Ито. Производя дополнительные преобразования и подстановки, уравнение Ито приводится к следующему виду:
^ + тБ^ +1 о 252 Ц = / (1) йЬ йБ 2 йБ
й/
где - греческии индикатор тетта, опи-йЬ
сывающий влияние времени на опционную позицию (чем ближе экспирация, тем быстрее дешевеет опцион); й/
— - греческиИ коэффициент дельта, йБ
описывающий влияние цены спот на позицию (чем ближе к страйку цена спот, тем дороже опцион);
d2 f dS2
- гамма-грек, описывающий влия-
ние изменения цены спот на дельту (по аналогии с дельтой);
т/ - стоимость опционного контракта. Также существует еще один важный
грек
d2 f
dv
где
ln
d1 =-
f So ) f 0 2 ^ 2 o
1 + r + —
l K. J l 2 J
T
o
VT
d 2 = d 1 -oVT.
итерационных процессов. Самый простой и наиболее популярный - это метод Ньютона - Рафсона. Данный метод довольно прост. Основная его идея исходит из того, что рынок адекватно оценивает каждую опционную серию. Волатильность получают исходя из моделей ценообразования опционов, принимая за X значение вола-тильности при прочих заданных переменных.
Наиболее простым методом расчета подразумеваемой волатильности (или IV) является расчет с использованием модели Блэка - Шоулза. Метод Ньютона - Рафсона выступает частным случаем разложения ряда Тейлора (6), раскладывающего функцию на бесконечную сумму многочленов:
/х = //-(х-Х,)/--(х-ъГ + А-Х-хТ (6)
1! П (п+1)!
Исходя из представленного уравнения Тейлора, отбросив все многочлены до производной первого порядка, можно сделать следующие простые вычисления:
- Vega. Он описывает влияние
волатильности на цену опциона (чем вола-тильность выше, тем выше цена).
Подставляя в данную модель базовые уравнения ценообразования опциона, получим удобную для вычислений формулу Блэка - Шоулза:
с = Б 0 N (й 1)-Ке - тТЫ (й 2), (2)
р = Ке - тTN (- й 2)- Б 0 N (- й 1), (3)
fx
fx = fx0 + '(х - х0 )'
Гх
fx - fx0 = ' (х - х0 ).
(7)
(8)
(4)
(5)
Вместе с тем даже эта модель (формулы (2) и (3)) имеет недостатки, а именно предположение о статичности волатильности для всех страйков опциона. В реальных рыночных ситуациях данное предположение становится совершенно неверным. Чтобы определить текущую волатильность опциона для конкретного страйка, требуется знать его цену и применить один из
Значение функции /х приблизительно равно /х0 , а левая часть уравнения
-(х - х0) является дополнением функции / х0 до своего исходного состояния /х и,
соответственно, стремится к нулю по мере приближения хо к значению х. Получившееся уравнение называют уравнением Ньютона - Рафсона. Оно используется следующим образом: делается первоначальное предположение для х0, которое подставляется в левую часть уравнения, и все уравнение приравнивается к 0. После нахождения х проверяется, соблюдается ли условие /х - / = 0 или нет. Если условие не
соблюдается, то вычисления повторяются, но при этом первоначальным приближением уже является найденный ранее х. С каждой новой интеграцией значение х
все больше стремится к искомому значению. Этот способ позволяет найти x за наименьшее число шагов. Подсчитав подразумеваемую волатильность для каждого из интересующих нас страйков, мы получаем так называемую «улыбку волатильности». Для каждой экспирации данная кривая уникальна. Подставив значения новообразованной волатильности для соответствующего страйка, мы получим правильно оцененную стоимость опциона. Можно также построить «поверхность» волатиль-ности. Для этого для каждой экспирации требуется получить три (или более) кривые «улыбки волатильности» и наложить их друг на друга. Для расчета подразумеваемой волатильности в будущем по данному графику можно воспользоваться одним из множества методов интерполирования/экстраполирования. Лучше всего для описанных целей подходит сплайн-интерполяция, так как она является гладкой функцией, которая будет давать более приемлемые ответы. Причем модели для построения изначальных кривых вола-тильности могут быть различными.
Целью исследования было создание метода прогноза «улыбки волатильности» на один шаг в будущее. При этом использовались стандартные математические методы: линейной регрессии, метод Ньютона -Рафсона для нахождения опционных страйков для заданных дельт, метод сплайн-интерполяции и наиболее подходящая, по нашему мнению, модель расчета «улыбки опционов» Vanna-Volga (VV). Кроме того, были применены базовые принципы «улыбки опциона» для прогноза АТМ-волатильности на один шаг в будущее. Результатом стала привязка всей «улыбки» к изменению цены базового актива.
Перед описанием расчетов и презентации полученного результата вкратце рассмотрим используемую математическую модель для построения «улыбки опционов» VV.
Для построения «улыбки волатильности» по методу Vanna-Volga используются
три опциона (call 25А, ATM 50А, put 25А) ((12), (13), (14)), либо три вышеозвученных параметра (ATM, RR, BF) ((9), (10), (11)). Их также можно получить, используя указанные три опциона:
ATM =
BF =
cal1 А 50 + PUt А 2
RR = call А 50 - put ca11 а 25 + Put а 2
-- ATM.
(9) (10)
(11)
Данные параметры рассчитываются в волатильности, а не в пунктах, и, соответственно, характеризуют ATM - волатильность на деньгах; RR - угол наклона «улыбки»; BF - выпуклость или вогнутость «улыбки».
Зная (задав) эти три параметра, можно определить три искомые волатильности, которые помогут построить саму «улыбку»: IVatm = ATM, (12)
IVput_Aut =(IVatm + BF )-RR, (13)
VcalL Aal =(IVput_ Aut + RR ) (14)
Помимо значений найденных трех во-латильностей требуется первоначальное (грубое) предположение «улыбки волатильности». Так как модель Vanna-Volga исходит из того, что «поправляет» теоретическую цену опционов, полученную из модели Блэка - Шоулза, то в качестве первоначального приближения традиционно в ней используется статическое предположение о значении волатильности для всех страйков. Им может послужить историческая волатильность либо АТМ-волатиль-ность.
Для построения «улыбки волатильности» используются три греческих индикатора, рассматриваемых далее как Vega, Vanna, Volga. Все три индикатора описывают влияние волатильности на цену опциона и, соответственно, могут быть использованы для ее прогнозирования. Формула построения является формулой регрессии [4]:
ivk = (y 1Vega + y 2Vanna + y 3Volga) + IV^, (15)
50
А
50
Vega А - 25
А = Vanna А - 25
Volga А - 25
Vega А50 Vanna а50 Volga А50
calc А - 25
Vega А25 Vanna а25 . Volga A25
IVCalC IVgeSS
1 V A - 25 1 V A - 25
b = IV calc IV gess
U 1 A50 1 A50 '
IV,
y 1 y 2
y 3
calc А25
IV gess А25
(AT )-1 b.
(16)
(17)
(18)
Подставляя в формулу (15) предположения по волатильности, на выходе мы получаем справедливую волатильность для заданных параметров. Меняя три вы-шеозвученных параметра, мы можем управлять «улыбкой» и подстраивать ее под рынок.
Сам метод прогноза волатильности разбит на ряд этапов, все описанные процедуры выполнялись с использованием программного языка и одноименной программы matlab. Предметом расчетов послужили опционы на фьючерс на индекс РТС с экспирацией на 15.03.16. Базовый ак-
тив для данных опционов - RiH6 с той же датой экспирации.
1. Получение изначальных «<улыбок» волатильности.
Для того чтобы выполнить этот пункт, требуются либо исторические котировки опционов (что может быть применимо в реальной торговле), либо, как в нашем примере, вышеописанные данные опционов (предоставляемые Московской биржей). Для расчета биржевой волатильно-сти использовалась модель, применяемая Московской биржей ((19)-(21)), по которой мы уже строили используемую нами в дальнейших расчетах модель VV ((15)-(18)):
О :
■f(x s, « ,b ,с d, е )= a + b l1 - 6
(1 - е-cy 2 )+
darrtg^y )
, (19)
(20) (21)
Проанализировав коэффициенты за всю выгруженную историю котировок, получим картину, представленную на рис. 1.
y = 1 In (Strike/)
x = VT 1 /f >
y = y - s.
-5
-4
-3
2
1
Рис. 1. Изменение «улыбок» со временем
Каждая линяя на рисунке - это «улыбка опционов» с размахом в 5 страйков от центрального. Наложенные друг на друга, они создают некие пределы, в которых изменялась волатильность опционов. «Улыбки» имеют разный наклон, однако всегда сохраняют одинаковую форму. Для наших целей эти данные необходимы для того, чтобы сделать прогноз IV ATM на будущее
и IV call 25, put 25. Чтобы спрогнозировать IV ATM на один шаг в будущее, нам потребуется знать только лишь предшествующую «улыбку». На рис. 2 отображен прогноз ATM с помощью интерполяции данных прошлой «улыбки», а также реальные значения волатильности. Как можно видеть, прогнозные данные довольно хорошо описывают график. Прогноз для
построения графика осуществлялся по- нако в рамках данной статьи мы не прове-этапно на один шаг вперед. С увеличением ряли это предположение. шагов погрешность должна возрасти, од-
0,5
Рис. 2. Прогноз IV ATM
2. Выделение в динамике для каждого ti описанных точек волатильности (put 25, ATM, call 25).
Для того чтобы спрогнозировать вола-тильность двух других опционов, мы воспользовались линейной регрессией от двух параметров:
1. Нормализованный ряд цен Close.
2. История изменения ATM. Результаты прогноза отражены на графиках (рис. 3, 4).
Рис. 3. Прогноз call IV для 25Д
Рис. 4. Прогноз put IV для 25А
Регрессионный метод прогноза также довольно хорошо описывает получившиеся графики волатильности. Стоит заметить, что с ростом погрешности в прогнозе цен растет погрешность прогноза волатильности. Даже используя реальную цену БА, взятую из будущего, не получается полностью повторить искомый график, однако регрессионный метод, по нашему мнению, подходит для нашей задачи лучше всех других рассмотренных альтернатив. Каким образом прогнозировать цену в будущем - мы не будем описывать в данной статье, так как это достаточно обширная тема. Скажем лишь, что для наших целей была использована классическая модель ЛИТМЛ (1,0,1) с моделью СЛИСН (1,1),
описывающей волатильность c добавлением сезонности. Получившаяся модель не была достаточно успешной, чтобы описать график цен в полной мере, однако дала возможность продемонстрировать зависимость прогноза от данных цены базового актива.
3. Прогноз улыбки подразумеваемой волатильности ATM.
Описанный выше метод построения «улыбки волатильности» теперь может быть использован для построения прогнозной кривой волатильности на один шаг в будущее. Получившиеся данные представлены в двух вариантах.
1. Прогноз по ошибочному предположению уровня будущей цены БА (рис. 5).
-0,06 -0,10 -0,17 -0,25 -0,35 -0,45 0,45 0,35 0,27 0,20 0,14
Реальная "улыбка" УУ Прогнозная "улыбка" УУ
Реальная "улыбка" БЕ (биржевая) Предыдущая "улыбка"
Рис. 5. Прогнозная «улыбка» (по прогнозным данным) в сопоставлении с биржевыми
Как видно из рис. 5, прогнозные данные ные в виде биржевой «улыбки» и «улыбки» (пунктирная линия) довольно далеко на- по методу УУ.
ходятся от реальных. Для более полного 2. Прогноз, где мы заглянули на один сравнения мы отобразили будущие дан- шаг вперед и взяли правильное значение
будущей цены БА (рис. 6).
Рис. 6. Прогнозная «улыбка» (по реальным данным) в сопоставлении с биржевыми
В качестве финального теста представленного метода может послужить наглядное представление прогноза цен опцио-
нов, что в конечном счете является стоимостной мерой и целью прогноза «улыбки» (рис. 7, 8).
16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0
50000 55000 60000 65000 70000 75000 80000 85000
•
л
•
- " _\_»_
• _ ê •
• ! .
* .
Рис. 7. График цен call-опционов
14000
12000 • 10000 • 8000 • 6000 • 4000 2000 0
50000 55000 60000 65000 70000 75000 80000 85000 Рис. 8. График цен put-опционов
Разработанный нами метод прогноза волатильности может послужить довольно хорошей альтернативой статичному представлению волатильности, используемому сегодня в торговых системах. Мы не утверждаем, что на практике трейдеры применяют предположение о статичности во-латильности. Дело обстоит как раз иначе, однако терминалы, которые используют трейдеры для анализа своих опционных позиций, строят представление о созданных портфелях опционов во времени, предполагая, что волатильность грядущего дня будет неизменна относительно текущей волатильности.
Предложенный нами метод прогноза волатильности опирается лишь на рыноч-
ные закономерности и требует мало программных ресурсов. Весь прогноз завязан лишь на будущем положении цены базового актива и исторических данных опционов за определенный период. Это придает уникальность предложенному методу.
Метод построения кривой волатильно-сти может быть изменен, однако использованный нами метод Vanna-Volga был выбран специально, ведь в его сути также заложен рыночный механизм формирования цены опциона. Ценообразование опционов по методу VV использует поправку теоретической цены опциона на рыночную волатильность.
Получившийся прогноз, по нашему мнению, наиболее ценен именно с точки
зрения сценарного анализа опционных позиций, так как дает возможность более полно и верно представить будущую экспозицию имеющейся опционной позиции относительно положения цены базового актива. Представленный метод учитывает
не только изменение дельты опционов, но и влияние волатильности, которая непременно изменится вопреки используемому в настоящее время методу отображения позиций в популярных торговых системах.
Список литературы
1. Азацкий А. В. Модели расчета опционного ценообразования и улыбки волатильности // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. Вступление. Путь в науку. - 2017. - № 4 (20). - 2017. - С. 116-124.
2. Галанов В. А. Равновесная модель цены биржевого опциона // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. - 2016. - № 4 (88). - С. 46-55.
3. Новосельцева Д. А., Крицкий О. Л. Использование соотношения call-put для расчета стохастической процентной ставки и нахождения улыбки волатильности // Экономика и предпринимательство. - 2014. - № 5-2 (46). - С. 87-89.
4. Castagna A., Mercurio F. The Vanna-Volga Method for Implied Volatilities // Risk South Africa. - 2014. - Autumn. - Р. 39-44.
References
1. Azatskiy A. V. Modeli rascheta optsionnogo tsenoobrazovaniya i ulybki volatil'nosti [Models of Calculating Option Pricing and Volatility Smiles]. Vestnik Rossiyskogo ekonomicheskogo universiteta imeni G. V. Plekhanova. Vstuplenie. Put' v nauku [Vestnik of the Plekhanov Russian University of Economics. Introduction. The Road to Science], 2017, No. 4 (20), 2017, pp. 116-124. (In Russ.).
2. Galanov V. A. Ravnovesnaya model' tseny birzhevogo optsiona [Balanced Model of Exchange Option Price]. Vestnik Rossiyskogo ekonomicheskogo universiteta imeni G. V. Plekhanova [Vestnik of the Plekhanov Russian University of Economics], 2016, No. 4 (88), pp. 46-55. (In Russ.).
3. Novosel'tseva D. A., Kritskiy O. L. Ispol'zovanie sootnosheniya call-put dlya rascheta stokhasticheskoy protsentnoy stavki i nakhozhdeniya ulybki volatil'nosti [Using the Correlation Call-Put to Calculate Stochastic Interest Rate and to Find Volatility Smile]. Ekonomika i predprinimatel'stvo [Economics and Entrepreneurship], 2014, No. 5-2 (46), pp. 87-89. (In Russ.).
4. Castagna A., Mercurio F. The Vanna-Volga Method for Implied Volatilities. Risk South Africa, 2014, Autumn, pp. 39-44.
Сведения об авторе
Андрей Владимирович Азацкий
аспирант кафедры «Финансовые рынки» РЭУ им. Г. В. Плеханова.
Адрес: ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова», 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36. E-mail: [email protected]
Information about the author
Andrey V. Azatskiy
Post-Graduate Student of the Department for Financial Markets of the PRUE. Address: Plekhanov Russian University of Economics, 36 Stremyanny Lane, Moscow, 117997, Russian Federation. E-mail: [email protected]
