CC BY
6
The article presents the relevance of simplifying the process of selecting a hydraulic drive pump. We consider a program written in Microsoft Visual Basic that allows you to automatically select the brand of pump and working fluid. The initial data for entering into the program is provided. You must first enter the designations of the calculated parameters into the program for ease of display. An explanation of the output parameters of the program is also provided.
Key words: pump, hydraulic drive, program, working fluid, pressure.
Buriy Grigoriy Gennadjevich, candidate of technical sciences, docent, buryy1989@bk.ru, Russia, Omsk, Siberian State Automobile and Road University
УДК 629.78
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-333-338
ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ОБСЛУЖИВАНИЯ ОБЪЕКТОВ В УПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
М.И. Калинина, Ю.В. Соловьев, Н.А. Водогреев
Как правило, в учебном процессе рассматриваются системы массового обслуживания (СМО), имеющие равноправное отношение при взаимодействии между собой при обслуживании общего потока заявок. Однако на практике часто возникают специальные случаи, при рассмотрении которых должна учитываться определенная разнородность СМО как элементов в пределах системы обслуживания более высокого порядка (БВП).
Ключевые слова: система массового обслуживания, поток заявок, разнородность, упорядоченность, эшелонированность, ограниченность времени.
Для оценки влияния разнородности следует задавать в системе БВП определенную упорядоченность составляющих ее элементов. Под понятием упорядоченности элементов будем понимать способ установления порядка следования элементов в системе БВП, чем рассматриваемые разнородные СМО.
Такими типичными случаями внесения упорядоченности в систему БВП могут быть:
- эшелонированность включаемых в нее разнородных (однородных) СМО;
- учет ограниченности времени пребывания в ходе обслуживания объектов в системе.
Проведем последовательно анализ особенностей моделирования процессов обслуживания объектов в упорядоченных СМО в указанных специальных случаях.
1) Системы обслуживания с последовательно расположенными в двух эшелонах средствами различной производительности
В практике моделирования довольно часто возникают задачи, при решении которых необходимо определить вероятность обслуживания объекта (заявки, требования на обслуживание) при его прохождении ряда последовательно расположенных средств или группы средств различной производительности. Например, могут встретиться случаи, когда нужно оценить эффективность многоэшелонирован-ной системы. В каждом эшелоне имеются средства собственные средства обслуживания, которые по своим тактико-техническим характеристикам отличаются от средств, расположенных в других эшелонах. Наиболее характерной системой массового обслуживания с последовательно расположенными средствами разной производительности является система, состоящая из двух последовательно расположенных средств.
Допустим, эти средства расположены на двух рубежах. Время обслуживания каждого средства является величиной случайной, которая подчиняется показательному закону распределения. Производительность одного средства характеризуется параметром ¡ui, а второго Ц2. Значение д определяется по формуле:
__ß= 1//бс (1)
где tобс -математическое ожидание от 1обс.
На первое средство поступает простейший поток заявок (объектов) с интенсивностью X. Объекты, которые не были обслужены первым средством ввиду его занятости, поступают для обслуживания на второе средство. Если оно свободно, то объект обслуживается им, в противном случае объекты считаются необслуженными.
Обозначим с помощью подстрочных индексов вероятность нахождения средств обслуживания в различных состояниях: Р00 — первое и второе средства свободны от обслуживания; Р10— первое средство занято обслуживанием, второе свободно; Р01 — первое средство свободно, второе занято обслуживанием; Р и — первое и второе средства заняты обслуживанием.
Основными формулами для расчетов являются [6, с. 102]:
1. Вероятность того, что оба средства свободны от обслуживания
М>0 - + '^11 (2)
^отк —^11 — ,2 , 1 ......^ ЕИЁ2. .......ч (3)
рое
Я2(Я+М,)
2. Вероятность отказа в обслуживании объекта, которая равна вероятности того, что оба средства заняты обслуживанием
3. Вероятность того, что занято обслуживанием только первое средство, а второе свободно
р _ М2(Я+М1+М2) р (4)
^10 - Я'СЯ+д,) (4)
4. Вероятность того, что занято обслуживанием только второе средство, а первое свободно
?01 = '?11 (5)
5. Коэффициент загрузки первого средства
К _ М1[Я.(Я+Д2)+М2'(Я+М1+М2)] (6)
1 (Я+М2).[Я-(М1 + М2)+^1^.(2А+М1+М2)] ( )
6. Коэффициент загрузки второго средства К __д2я.(я+д!+д2)__(7)
2 (Я+М2).[Я-(М1+М2)+^|±^.(2А+М1+М2)] ( )
7. Коэффициент, показывающий, во сколько раз первое средство загружено сильнее, чем вто-
К = К! = М1(я+м2) ^ (8)
К, Д,(Я+Д1+Д,) Я ^ '
Анализ функционирования системы (вышеприведенной модели), состоящей из двух средств обслуживания разной производительности, показывает, что для того, чтобы эффективность обслуживания системы была максимально возможной, первое средство должно иметь наиболее высокую производительность.
То есть при организации системы обслуживания, состоящей из двух эшелонов, в первый эшелон целесообразно включать средства обслуживания, у которых возможности по обслуживанию выше, чем у средств второго эшелона, поскольку на средства этого эшелона будет поступать поток объектов обслуживания большей интенсивности, а на средства второго эшелона пойдет уже более разряженный поток заявок, не обслуженных первым эшелоном. Поэтому для обслуживания этого потока целесообразнее применять средства обслуживания меньшей производительности по сравнению с производительностью средств первого эшелона.
2) Системы обслуживания с последовательно расположенными в нескольких эшелонах средствами различной производительности
В практике моделирования могут встретиться задачи, в которых необходимо определить показатели эффективности СМО, когда известны пропускные способности многоэшелонированной системы массового обслуживания с отказами при наличии в каждом эшелоне однородных (одинаковой производительности) средств обслуживания.
Простейшим таким случаем может считаться случай, когда система обслуживания имеет три эшелона. Для проведения расчетов в этом случае могут быть использованы следующие формулы [6, с. 186]:
1. Вероятность того, что средства всех трех эшелонов свободны от обслуживания
р = _МгМз__(9)
000 (Я+М1).(Я+М2).(Я+Мз) ^ ' где 1, ¡¡2, ¡3 - значения производительностей (интенсивностей обслуживания) средств соответственно в первом, во втором и в третьем эшелонах.
2. Вероятность того, что заняты обслуживанием только средства третьего эшелона
Р = ямгм2 (10)
001 (Я+М1). (Я+М2). (Я+Мз) '
3. Вероятность того, что средства первого эшелона свободны от обслуживания, а средства второго и третьего заняты
р __Мг М2Я2(М1 + М2+МЗ)__(11)
011 (Я+Д!). (Я+д2). (Я+Дз). (д1+д2).(д1+д3). (М2+Мз)
4. Вероятность того, что свободны средства второго эшелона, а средства первого и третьего заняты обслуживанием
р _ _Мгм2Я2(Я+Д1+Д2+Д3)__(12)
5. Вероятность того, что средства второго эшелона заняты обслуживанием, а средства первого и третьего свободны
010 (я+д1)(я+д2)(я+дз)(д1+д2)(д1+дз)(д2+дз) ^ '
6. Вероятность того, что средства первого эшелона заняты обслуживанием, а средства второго и третьего свободны
7. Вероятность того, что заняты обслуживанием средства первого и второго эшелонов, а средства третьего эшелона свободны
8. Вероятность того, что средства всех трех эшелонов заняты обслуживанием
Р -__ (16)
отк111 (Я+М1)(Я+М2)(Я+Мз)(М1 + М2)(М1+Мз)(М2+Мз) >
На основе анализа приведенных модельных зависимостей следует сделать несколько практических выводов.
Вероятность нахождения общей СМО в различных состояниях не зависит от расположения средств обслуживания различной производительности по эшелонам и прямо пропорциональна производительности этих средств.
Вероятность состояния Р001 линейно зависит от производительности средств обслуживания первых двух эшелонов, а для вероятности состояния Р011 эта зависимость проявляется еще в большей степени.
Если проанализировать выражения для вероятностей нахождения СМО в различных состояниях в зависимости от числа эшелонов, можно заметить определенную закономерность. Например, уравнения для вероятностей состояния, когда все средства обслуживания свободны, имеют вид
Р°° = (Я+^ХЯ+Мг) (17)
Р _ М1М2М3 (18)
Р°00 - (я+м1)(я+м2)(я+мз) (18)
р __М1М2М3М4__(19)
0000 (Я+М1)(Я+М2)(Я+Мз)(Я+М4) ^ '
Анализируя эти формулы, можно прийти к выводу, что для СМО, состоящей из средств г эшелонов, вероятность Р0 г целесообразно представить в виде [6, с. 188]:
^ = (20)
Вероятность Р] г в общем виде для состояния системы, когда все средства обслуживания заняты, для системы, состоящей из средств г эшелонов, представима в виде
-ТГ^--(21)
Кроме того, при анализе многоэшелонированных систем обслуживания важно знать значения вероятностей состояний СМО, когда объекты обслуживаются средствами последнего эшелона, а средства остальных эшелонов свободны, т.е.:
Ли =-ПГ-1-^ (22)
01Г Мг (Я+М;) 4 '
Вероятность обслуживания каждого объекта средствами всех эшелонов может быть определена как произведение вероятности того, что объект обслуживается средствами последнего эшелона, на плотность обслуживания средствами последнего эшелона, деленное на плотность поступления объектов обслуживания:
Пг=1&*1й = 1 (23)
г
Из формулы (23) видно, что вероятность обслуживания объектов системой в целом не зависит от числа эшелонов и последовательности их расположения. Пропускная способность системы определяется ее узкими местами. Если производительность средств одного из эшелонов очень мала по сравнению с производительностью средств других эшелонов, то она и будет определять пропускную способность системы массового обслуживания в целом.
Следует помнить, что использовать зависимости, определяющие вероятности состояний системы, возможно только в том случае, если время, обслуживания каждого средства случайное и распределено по показательному закону, а поступающий в системы обслуживания поток объектов обладает свойствами простейшего потока.
Пример 1.
Система обслуживания состоит из трех последовательно расположенных эшелонов. Средства обслуживания эшелонов имеют разную производительность, а в каждом эшелоне однородны по составу.
Пусть производительность таких средств в отношении первого эшелона ц]=1, второго ^2=0,5 и третьего /лз=0,2 объекта/мин.
Допустим, время обслуживания одним средством одного объекта противника подчинено показательному закону распределения, поток бронированных объектов противника простейший с плотностью Л=5 объектов/мин.
Требуется оценить эффективность функционирования системы обслуживания.
Решение.
1. По формуле (16) определяем вероятность того, что все средства обслуживания заняты обслуживанием соответствующих объектов
53-12-0,5
Р0ткт —-=0,29.
0тк111 (5 + 1)(5 + 0,5)(5 + 0,2)(5 + 0,2)(1+0,5)(0,5 + 0,2)
2. Оцениваем вероятность обслуживания этих объектов
^обс = 1 _ ^отк111 = 0,71.
Следовательно, 71% объектов обслуживания могут быть обслужены средствами рассмотренной системы.
Около 29% объектов обслуживания могут преодолеть процесс обслуживания со стороны рассмотренной системы в отношении них, если они не будут обслужены средствами иной системы обслуживания.
3. По формуле (19) определяем вероятность того, что средства обслуживания, расположенные в трех эшелонах, не будут заняты обслуживанием требуемых объектов.
3) Процесс обслуживания при ограниченном времени пребывания объектов в системе
Рассмотрим систему массового обслуживания, когда время пребывания объектов на одном месте весьма ограниченно и соизмеримо с интервалом времени, который необходим для их обслуживания.
Пусть одно средство имеет пропускную способность (интенсивность обслуживания) ¡1, а другое - ¡¡2 объектов в единицу времени. Причем второе средство имеет более высокую пропускную способность.
Естественно предположить, что интервалы времени между моментами появления объектов являются случайными величинами, распределенными по показательному закону. Допустим, что объекты обслуживания образуют поток, который по своим свойствам весьма близок к простейшему с интенсивностью X.
Обозначим по аналогии с разделом 1 вероятности нахождения СМО в различных состояниях с помощью подстрочных индексов: Р00, Рю, Р01 и Р11.
Основными расчетными формулами для определения этих вероятностей являются [7, с. 214]:
п _ М1М2 00 (Я+М1)(Я+М2) (24)
п _ ЯД2(М1+М2+Я) 10 (Я+М1)(Я+М2)(М1+М2) (25)
п _ ЯМ1 01 (Я+М1)(Я+М2) (26)
р -111 — 11 (Я+д1)(Я+д2)(д1+д2) (27)
п _1 М1М1(Я+М1+М2) отк (Я+м1)(Я+м,)(д1+м,) (28)
где Ротк - вероятность отказа в обслуживании объекта.
Рассмотрим пример моделирования системы обслуживания на основе приведенных модельных соотношений, используя конкретные числовые величины параметров модели системы с последующей оптимизацией исследуемой системы.
Пример 2.
Пусть система массового обслуживания состоит из системы обнаружения объектов обслуживания и системы управления обслуживанием обнаруженных объектов.
В СМО поступает в среднем поток объектов с параметром А=4 объекта в 1 ч.
Система обнаружения в среднем затрачивает на выявление одного объекта /обс1=0,5 ч.
Система управления обслуживанием обнаруженных объектов в среднем затрачивает на проведение процесса обслуживания 4бс2=0,25 ч.
Требуется определить вероятность обслуживания СМО.
Решение. По формулам (2) и (28) определяем
Робс = 2'4;(4+2;4) ^ = 0,2778.
обс (4+2)(4+4)(2+4)
Из расчета следует, что эффективность СМО недостаточна высока. Поэтому значения параметров моделирования целесообразно внести изменения с целью оптимизации системы массового обслуживания.
Пусть для проведения процесса обслуживания подключена более совершенная система управления обслуживанием обнаруженных объектов, которая в среднем затрачивает на проведение процесса обслуживания 4бс2=0,05 ч. Тогда
Робс = 2 ■ 20 ■ (4+2+20) ^ = 0,3282.
обс (4+2)(4+20> (2+20)
Следовательно, вероятность обслуживания по сравнению с предыдущей СМО, увеличилась на
5 %.
Таким образом, в статье рассмотрены основные подходы к реализации особенностей моделирования процессов обслуживания объектов, в упорядоченных системах массового обслуживания.
Проведен анализ наиболее типичных случаев внесения упорядоченности в систему массового обслуживания.
Приведены основные модельные соотношения, позволяющие как построить соответствующие упорядоченные СМО, так и внести в уже построенные модели в случае необходимости элементы оптимизации.
Рассмотрены конкретные числовые примеры оптимизации указанных моделей.
Список литературы
1. Лепёшкин С.А., Гончаренко В.А., Шульгин А.А. Моделирование и проектирование систем. Часть 1. Моделирование систем: учебное пособие. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2016. 244 с.
2. Лепешкин С.А., Гончаренко В.А., Шульгин А.А., Шарабаева Л.Ю. Моделирование и проектирование систем. Часть 2. Проектирование систем: учебное пособие. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2017. 126 с.
3. Калинин В.Н. Теоретические основы системных исследований: краткий авторский курс лекций для адъюнктов академии. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2011. 278 с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Изд-во «Наука», 1969. 576 с.
5. Шелухин О.И. Моделирование информационных систем. Учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Горячая линия - Телеком, 2011. 536 с.
6. Новиков О.А., Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. М.: «Советское радио», 1969. 400 с.
7. Чуев Ю.В., Мельников П.М., Петухов С.И., Степанов Г.Ф., Шор Я.Б. Основы исследования операций в военной технике. М.: «Советское радио», 1965. 592 с.
8. Лукин А.И. Системы массового обслуживания. М., Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1980. 189 с.
9. Петухов Г.Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. Часть 1. Методология, методы, модели. Учебник. МО СССР, 1989. 660 с.
Калинина Марина Ивановна, канд. пед. наук, старший преподаватель, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Соловьев Юрий Валерьевич, преподаватель, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Водогреев Никита Алексеевич, сержант, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского
APPROACHES TO MODELING THE MAINTENANCE OF OBJECTS IN ORDERED QUEUING SYSTEMS
M.I. Kalinina, Yu.V. Solovyov, N.A. Vodogreev
As a rule, queuing systems (QMS) are considered in the educational process, which have an equal relationship when interacting with each other when servicing the general flow of applications. However, in practice, special cases often arise, when considering which a certain heterogeneity of CFR as elements within a higher-order service system (BVP) should be taken into account.
Key words: queuing system, the flow of applications, heterogeneity, orderliness, separation, limited
time.
Kalinina Marina Ivanovna, candidate of pedagogical sciences, senior lecturer, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A. F. Mozhaisky,
Solovyov Yuri Valeryevich, lecturer, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Vodogreev Nikita Alekseevich, cadet, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky
