CC BY
69
2008
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность, поддержание летной годности ВС
№ 130
УДК 625.717
ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ПОВЕДЕНИЯ ГРУНТА
А.Е. ШЕРЫШЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шапкиным В.С.
В статье рассматривается подход к построению математической модели на основе анализа экспериментальных данных для трехфакторного эксперимента
В традиционных способах расчета конструкций - прочность увязывает в основном параметры напряжения, деформации и времени. При этом все остальные параметры, влияющие на поведения материалов, игнорируются и вводятся в коэффициент запаса. Однако, данный способ описания поведения материала приводит либо к завышенным параметрам коэффициента запаса, что влечет к завышенным затратам, либо к уменьшению надежности проектируемой конструкции.
Одним из возможных вариантов создания математической модели описания материалов конструкций является статистический подход к описанию свойств материала конструкции. Рассмотрим один из возможных вариантов создания математической модели поведения грунтов, введя помимо традиционных параметров - напряжения, время и деформации, параметр консистенции.
При этом, введение двух и более параметров в математическом описании приводит к более сложным и порой не однозначным математическим моделям, на основе монограмм, что ограничивает инженерную применимость данных методик. Но это приводит к более точному поведению материалов и позволяет отслеживать зоны перехода количества в качества (узловые точки в терминах теории катастроф).
Таким образом, задачей при создании математической модели стало: анализ различных зон поведения материала на основе большого количества экспериментальных данных (выборка -503 точек), разработка подхода к получению возможного математического описания свойств материала на основе проведения многофакторного статистического анализа, позволяющего получить адекватное математическое описание.
При проведении анализа зон в начале все исследуемые параметры были отранжированы по параметру деформации , так как этот параметр должен был стать выходным параметром и однозначным. Для этого были построены графики логарифм параметра как функция точек от-ранжированных по деформации. Данные графики позволили выделить три зоны поведения деформации (рис. 1), начальный, средний и конечный.
На этих зонах скорость деформации растет с увеличением, потом она почти постоянна, а на конечном - катастрофически возрастает. А также в первом приближении оценить зависимости влияния параметров - напряжения, время и консистенцию на деформацию. Это позволило в дальнейшем при статистическом анализе при выборе первого приближения функций пользоваться более точными значениями и ввести одно изменяемых значений - как диапазон исследуемой области.
При статистическом анализе было введено предположение о независимости параметров (вре-
Рис.1. Ранжированная деформация как функция ЬК(деформации) от точки
мени, напряжения и консистенции) друг от друга. При этом для всех параметров были построены гистограммы, позволяющие оценить степень приближения параметров генеральной совокупности к случайным величинам. Так, например, было определено, что гистограммы распределения деформации и напряжения совпадают по характеру и приближаются к экспоненциальному закону распределения (рис. 2).
1 пп
80
60
40 20 0 |
llllllllll.Bialal.ll . __ .... ■
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Рис. 2. Г истограмма распределения деформации
Для нахождения регрессионной функции деформации от параметров использовались приближенные методы с вариантами переборов функциональных значений при параметрах. Это объясняется тем, что хотя функциональные значения при параметрах (функции от параметров) были ограничены и соответствовали всем простым функциональным описаниям (около 10 функций), применяемым в одномерных статистических регрессионных моделях. Но даже в этом случае при простом переборе это соответствовало приблизительно по самым скромным оценкам 30! или что соответствует около 265252859812191058636308480000000 значениям перебора.
Поэтому для нахождения приемлемой регрессионной зависимости был использован приближенный метод нахождения оптимального значения регрессионной функции, написан искомый функционал и выбран критерий, по которому оценивались подбираемые функциональные значения регрессионной модели. При нахождении зависимости также учитывался диапазон применимости регрессионной функции, о чем сообщалось выше.
Искомый функционал в общем виде для наших принятых предположениях имел вид:
Ф(г1,г2,г3,г4, АЬ, т, о”, Б,а)=Я2 , где г1,г2,г3,г4 -функциональные зависимости;
АЬ - значения деформации;
т - значения времени;
о’’-значения напряжения;
Б - значения консистенции;
а - параметр
Я2- критерий ( позволяющий оценить качество регрессионной функции).
В качестве критерия для приближенного метода был выбран квадрат коэффициента корреляции регрессионной функции и выборки (Я2). При проверке адекватности выбранной модели использовался критерий Фишера.
В результате нахождения регрессионной функции авторы работы остановились на следующей регрессионной зависимости:
Ьп(1000000*АЬ)=0,225*Ьп(т) +0,232*Ьп(о’’) +0,453*(1+Б)+ 5,09
В интервале деформирования от 5 до 300* 10-6 метров.
С критерием Я2 =0,469714613 и значение критерия Фишера равно 132,5712947 при табличной 5,91 с вероятностью ошибки 0,0005.
Также была определена дисперсия, которую можно определить по следующей формуле для данной регрессионной зависимости:
о2дь=(1708,8075хт-2+2,5270хе-4ха”-2+0,205791)хехр(2х[0,225хЬп(т)+0,232хЬп(о”)+
+0,453х(1+Б)+5,09]).
После подстановки в формульное значение дисперсии математических ожиданий напряжения, времени и консистенции значение дисперсии для найденной регрессионной зависимости составило 0,044956.
Для более убедительной оценки доверительного интервала на всем поле генеральной выборки были построены изометрическая проекция гистограммы (рис. 3) , в которой по осям абсцисс откладывалась деформация, по оси аппликат - время , а оси ординат количество точек.
Рис. 3. Пространственная гистограмма деформации от времени
Из рис. 3 видно, что в начальной зоне временной координаты функция деформации ведет себя достаточно сложно и требует дальнейшего изучения. Кроме этого существуют различные зоны, о чем свидетельствует сгущение сетки. При этом эти зоны имеют островной характер, для подтверждения этих рассуждений приведем несколько сечений созданной поверхности (рис. 4, 5). Эти рисунки подтверждают, что помимо превалирующего экспоненциального закона распределения возможно присутствуют более сложные закономерности.
■Ряді
Рис. 4. Сечение при фиксированной временной переменной равной 100 с
деформация
—Ф—Ряді
Рис. 5. Сечение при фиксированной временной переменной равной 4000 с
В заключение можно отметить, что авторы попытались изложить один из возможных подходов к построению математической модели поведения материала, который плохо подается описанию традиционными методами. Данный подход стал возможен с внедрением вычислительной техники, которая требует разработки новых подходов для решения задач считавшихся неразрешимых ранее.
ЛИТЕРАТУРА
1. Справочник по надежности / Под ред. Б.Р. Левина / Пер. с англ. Ю.Г. Епшина и Б. А. Смиренина. Т.1 - М.: Мир, 1969.
2. Абезгауз Г.Г., Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина И.А. Справочник по вероятностным расчетам. -М.: Воениздат. МО СССР, 1970.
3. Кузин Л. Т. Основы кибернетики. Т.1. - М.: Энергия. 1973.
VARIANT TO CONSTRUCT MATHEMATICS MODELS OF GROUND
Shereshev A.E.
The above is about the possibility variant to construct mathematics models of valid analysis data from three-factor experiment.
Сведения об авторе
Шерышев Алексей Евгеньевич, 1964 г.р., окончил МАТИ им. К.Э.Циолковского (1986), кандидат технических наук, профессор МАТИ, автор более 50 научных работ, область научных интересов - системотехника, моделирование технических и технологических процессов.
