Математическое моделирование динамического взаимодействия твердых тел. Часть 1. Теоретические основы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.42+519.688

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. Часть 1. Теоретические основы

1ЛИПАНОВ А.М., 2,3ВАХРУШЕВ А.В., 3ТЕНЕНЕВ В.А., 2ФЕДОТОВ А.Ю.

1Удмуртский научный центр УрО РАН, 426069, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Институт механики УрО РАН, 426069, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

АННОТАЦИЯ. В работе описывается методология процессов динамического взаимодействия твердых тел. Математическая модель взаимодействия включает в себя законы сохранения массы, импульса и энергии, уравнения состояния вещества, модели напряженно-деформируемых состояний материалов. Численная модель основывается на аппроксимации основных законов сохранения явными уравнениями Эйлера. Взаимодействующие тела рассматриваются как совокупность частиц, обладающих определенными физико-механическими свойствами. Данная модель получила название метода сглаженных частиц SPH. Построены зависимости типа взаимодействия тел и от угла проникновения, энергии и скорости. Проведены регрессионные и классификационные исследования показателей при моделировании процессов взаимодействия твердых тел.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: теория деформируемого твердого тела, моделирование, метод сглаженных частиц, SPH, динамическое нагружение, регрессионный анализ.

ВВЕДЕНИЕ

Высокоскоростное ударное нагружение твердых тел находит широкое применение в технике, промышленности, военном деле. При рассмотрении данного процесса главной задачей является изучение степени разрушения и фрагментации взаимодействующих твердых тел на основе расчета и анализа напряженно-деформированного состояния [1 - 4]. Основными прикладными задачами исследований являются: разрушение и фрагментация преграды, вид разрушения, процессы откольного разрушения, величины перегрузок, интегральные силы сопротивления внедрению, конечные глубины проникновения, скорости при сквозном разрушении твердых тел, исследования влияния армирования на процессы разрушения, конфигурации зоны ударного взаимодействия, движения твердого тела в преграде и запреградном пространстве [5 - 8]. Поэтому моделирование данных процессов является весьма актуальной задачей. Моделирование процессов проникновения и разрушения, как правило, выполняется, вследствие их сложности и взаимосвязанности, численными методами, методом конечных элементов [9 - 11] и методом гладких (сглаженных) частиц SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) [12 - 15].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ

Для описания процесса соударения твердых тел, как правило, используются модели сжимаемого упругопластического тела. Основные соотношения, описывающие движение сжимаемой упругопластической среды, базируются на законах сохранения массы, импульса и энергии и замыкаются соотношениями Прандтля - Рейсса при условии текучести Мизеса. Условия разрушения зависят от температуры, скорости нагружения, прочностных свойств материалов.

Постановка задачи динамического взаимодействия твердых тел приведена на рисунке. Геометрия тел соударения может варьироваться. В качестве объектов взаимодействия могут выступать цилиндрические сферические и другие тела сложной геометрии.

Рис. Схема динамического взаимодействия твердых тел

Законы сохранения массы, импульса и энергии, определяющие процесс взаимодействия твердых тел, записываются в виде [16, 17]:

—иа 1 Эа„р

d р Эи«

—+ р—5

dt Эх«

0.

^ dE 1 0, —= —а„р£

ар ар '

(1)

—к р Эхр м р где р - плотность; иа - вектор скорости; аар - тензор напряжений; Е - внутренняя энергия; ^ - время; ха и хр - составляющие вектора координат; а, Ь, у - индексы координатного вектора, указание индексов а, (3, у у вектора означает, что берется его

Í

соответствующая координата а, b, g = 1,2,3; £а(Ь = —

Эиа Эир

V Эхр

- + -

Эха

тензор скоростей

деформации; — - производная по времени. &

Здесь и в дальнейшем для сокращения записи будет использоваться форма с немыми индексами, которая означает, что если в произведении встречаются величины с одинаковыми индексами, то по ним ведется суммирование. Например, из уравнения (1) имеем: Эиа Эи„ Эиу Эи,

- + -

- + -

Эха Эхх Эху Эхz

Реологические соотношения записываются в гипоупругой форме в следующем виде [18]:

dS„„

+ Sag R^ Sgb Rag, (2)

Т / 1 N

— = 2G0 I Бар - 3 dap£ap I + S«gR3g + SgbRag

— 0 ^ 3

где £ар - девиатор тензора напряжений для координатных составляющих а и Ь, определяющий напряжения в точке, не связанные с гидростатическим напряжением (всесторонним давлением); 8ар - символ Кронекера; Бау - девиатор тензора напряжений

для координатных составляющих а и у; - девиатор тензора напряжений для координатных составляющих у и (3; G0 - модуль сдвига;

R = I Rag 2

f

V Эxg

Л

Эх,

; Rbg

а у

Эи

р

Эug ^

V Эxg

Эх

р У

• R = 1

; -^ар = 2

(

Эи« Эир чэхр

Л

Эх

а у

В качестве уравнения состояния моделируемой среды использовалось уравнение состояния EOS Shock (Equation Of State Shock) [19]

P _ PH +Гр(E-EH), (3)

P _ Pocom(1+m) (4)

Ph _(1 - (c-i)m)2, (4)

EH _ PH- f-^-1, (5)

2po 11+m J' ()

рГ _ р0Г0 _ const, (6)

m_—-1, (7)

Po

где P - полное давление системы; Ph - давление в начальном состоянии; Го - коэффициент Грюнайзена при нормальных условиях, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов; Г - коэффициент Грюнайзена в текущий момент времени;

Eh - внутренняя энергия в начальном состоянии; Po - плотность материала при нормальных условиях; Co - скорость звука в материале; m - изменение плотности в процессе исследования; %- параметр, отражающий свойства материала. Константы ro, co, %, определяются экспериментальным путем. Данные константы характеризуют тип и свойства взаимодействующих материалов.

Достаточно интенсивное ударное нагружение преград часто приводит к возникновению нарушений сплошности материала в результате разрушения. Например, при ударе тонкой пластиной происходит откол, под которым понимают образование макроскопической полости внутри материала преграды, которая может быть замкнутой либо выходить на поверхность преграды, а в некоторых случаях возможно отделение тыльной части преграды.

Нагружение тонкой преграды (толщина преграды меньше диаметра ударника) компактным или удлиненным бойком с плоской головной частью обычно приводит к сдвиговому разрушению преграды с образованием отхода (пробки). Под сдвиговым разрушением понимают образование на периферии ударника разрыва сплошности материала преграды, который прорастает вглубь преграды.

Численное моделирование процессов разрушения можно осуществлять несколькими путями. В континуальном подходе определяется область поврежденной среды и корректируется напряженно-деформированное состояние материала в этой области. В качестве критерия разрушения могут быть выбраны различные модели. В настоящей работе использовались разные модели разрушения и пластичности, в которых предел текучести варьируется в зависимости от деформации, скорости деформации и температуры.

На практике для этого часто используется модель Джонсона-Кука [22], согласно которой предел текучести определяется формулой

Y _(A + Benp)

С f e ^ 1 + C ln

f f \тЛ

V e o J J

1

V

I T_T i

1 Tr

T - T

V m r J

(8)

где У - предел текучести; А, В, С - параметры материала (А - начальный предел текучести, В - постоянная твердости, С - константа скорости деформации); е - эквивалентная пластическая деформация, зависящая от истории нагружения; ее0 - нормализованная скорость эквивалентной пластической деформации; е - скорость эквивалентной пластической деформации; е0 - относительная скорость деформации; задается свойствами материала; Т - текущая температура; Тт - температура плавления; Тг - нормальная температура; п, т - показатели твердости (п - коэффициент твердости и т - показатель теплового размягчения).

Еще одной моделью пластичности, используемой при динамическом нагружении, является модель Стейнберга-Гунана (Steinberg Guinan model), в которой уравнения для модуля сдвига G и предела текучести Y при высоких скоростях деформации выглядят следующим образом:

(

G = Gn

1 +

fGi) p

V G0

Y = Yn

1 +

f G Л p

V G0 J

h

P

13

+

( r' ^

V G0 J

(T - Tr)

Л

h

13

+

f r' \

GT

V G0 J

(T - Tr) (1 + ßep)",

(9) (10)

при условии Y0 (1 + ßep) < Ymax, где G0 - модуль сдвига при нормальных условиях; G'p -частная производная модуля сдвига по давлению; G'T - частная производная модуля сдвига по температуре; h - коэффициент сжимаемости; T - температура; Y0 - предельное напряжение при нормальных условиях; ß - константа твердости материала; Ymax -максимальное предельное напряжение.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

При решении задачи взаимодействия твердых тел получены четыре типа взаимодействия: застревание, отскок, пробитие и откол. Для проведения регрессионного анализа данная задача решалась многократно с различными начальными параметрами (скоростью, углом подлета, размерными величинами). Полученные расчетные данные легли в основу задачи классификации, в которой регрессионными методами строится прогноз типа взаимодействия твердых тел.

Задача классификации формулируется следующим образом. Имеется множество

объектов X = {xh},h = 1,H . Каждый объект характеризуется набором свойств (д^,...,xn) и

меткой принадлежности к классу q из множества классов q е Q . При известном наборе характеристик x некоторый объект необходимо отнести к какому-либо классу q е Q .

Вероятностная постановка задачи классификации и построение классификаторов

основывается на имеющихся прецедентах (xh, qh), h = 1, H (обучающей выборке). Выборка

представляет набор случайных величин из генеральной совокупности с плотностью распределения p(x,q) . Пусть вероятности появления объекта каждого класса будут обозначены через p(q). Это априорные вероятности. Плотность распределения классов называется функцией правдоподобия классов Pq (x) = p(x | q) . Плотность распределения вероятностного пространства объектов p(x, q) = p(q)p(x | q) . Функция плотности p(x, q) неизвестна и основной проблемой является ее оценка на имеющейся обучающей выборке. При известных априорных вероятностях и функциях правдоподобия байесовский классификатор представляется в виде [23]

qB (x) = arg max p(q)p(x | q) . (11)

В соответствии с определением условной вероятности

P(q)P(x | q) = p(q | x)p(x) = p(q | x)£ pt (x)p(r) . (12)

reQ

Из формулы (12) определяется величина апостериорной вероятности

p(q) p(x | q)

p(q| x) =

S Pi (x)P(r)

(13)

reQ

Апостериорная вероятность показывает вероятность принадлежности объекта х к каждому классу q е Q. Принцип максимума апостериорной вероятности определяет номер класса, к которому относится рассматриваемый объект при равнозначности всех классов. Формулу (11) можно записать с применением формулы (13)

qB (x) = arg max p(q | x) . (14)

При известной плотности распределения p (x, q) классификатор (11) или (14) является

оптимальным. Для определения априорных вероятностей трудности не возникает. Эти вероятности оцениваются по частоте появления объектов каждого класса. При увеличении

H

мощности выборки |х| = H частота —- сходится к p(q). Способы восстановления

H

неизвестной плотности pq (x) = p(x | q) определяют различные разновидности байесовских классификаторов.

Параметрическое восстановление плотности (радиальный классификатор RC). В

этом случае принимается, что известен закон распределения с точностью до параметров.

Например, для многомерного нормального распределения с функцией

1 Г т 1

N(x,0) =--—гexp -0,5(x-m)т S-1 (x-m) , (15)

(2я)П |S| 2

где m е Rn - вектор математического ожидания; Se Rnxn - ковариационная матрица; 0 = (m, S) - вектор параметров.

Параметры функции плотности могут быть определены из условия нахождения экстремума какого-либо функционала, например максимума правдоподобия. В случае если невозможно подобрать модель параметрического распределения, то применяют смесь нескольких распределений. Распространенным вариантом является использование линейной комбинации гауссовских функций:

pq (x) = ZwN(x, 0,), £w = 1, (16)

k=1 k=1

где wk - априорная вероятность k-й компоненты смеси; K - количество компонент.

Определение параметров 0 = (m, S) с применением максимума правдоподобия приводит к оптимизационной задаче:

£ln(pq(xh)) = £ln[fJwkN(x,0k))! ® max. (17)

h=1 h=1 V k=1 У "

Для решения данной задачи используется EM (expectation - maximization) алгоритм [23]. Исходные данные (xh, qh), h = 1, H разделяются на множества Sq в соответствии с

принадлежностью к классам q = 1,Q с количеством точек (мощностью) в множествах

H

~H

параметров 0 = ( m, S) (обычно случайным образом). Вводится обозначение ghk

апостериорной вероятности того, что точка из обучающей выборки xh получена из k-й компоненты смеси. На Е-шаге ее величина вычисляется по формуле Байеса:

ghk = KWtN(x'• 0k' ,he S,,k = iTK. (18)

\S\ = Hq. Априорные вероятности равны p(q) = —;q. Задается начальное приближение

£ wlkN (xh, 0г)

l =1

Уточнение значений весов^1х коэффициентов осуществляется по формуле

^ =7Т Z gk, k = 1, K . (19)

Hq heSq

На М-шаге для нормальных функций распределения вычисление параметров 0 = (т, X) сводится к нахождению математического ожидания и дисперсии:

1 т _

mk Z gkX , Sk = — Z gk (xh -mh) (xh -mh),k = 1,K . (20)

WkHq heSq WkHq heSq

Для упрощения вычисления функции N (х, 0) принимается допущение о диагональности матриц ковариации. В этом случае обращение матриц является элементарным, а универсальность аппроксимации сохраняется. Функцию N(х, 0) можно записать в виде:

n 1

N(x m k Sk) = П тг^— exP j=1 (2p)

f с Л2Л ' xj - mkj'

V

V j

(21)

где mj = WTW Z ghkxh, skj = -H Z ghk (x" - mjk )2, k =1K;j =1, n.

WkHq heSq WkHq heSq

Итерационный процесс продолжается до достижения изменения |w| на последующих

итерациях меньше заданной величины. Для классификации новой точки опять используется принцип максимума:

qRC = argmax = p(q)^wkN(x, Qk). (22)

k=1

Дискриминант Фишера(ЕС). Классификатор Фишера предполагает выполнение гипотез: нормальное распределение объектов в классах и равенство матриц ковариации классов. Выражение для классификатора (11) записывается в виде

qFC(x) = argmaxp(q)p(x | q) = argmax (ln (p(q)p(x | q))) =

= arg max (ln (p(q) + ln (p(x | q)))). (23)

В случае принятия гипотез и использования нормального распределения (15): qFC (x) = arg max (ln (p(q) + ln (p(x | q)))) = arg max (ln (p(q)) - 0,5m JS-1mq + xTS-1mq). (24) Это выражение представляет собой линейный классификатор вида

qFC(x) = argmax (ß^ + xTßq) (25)

с коэффициентами

ßqo = ln(p(q))-0,5mTX-1mq; ß, = X-1mq. (26)

Математические ожидания mq, q = 1, Q вычисляются для каждого класса, а матрица

ковариации S определяется по всей обучающей выборке

1 H T

S = ^Z(x"-m,)(xh-m,) . (27)

Логистическая регрессия (LC). Логистическая регрессия удобна при использовании логической выходной переменной, т.е. qe{0;1] . Данный вид регрессии [24] предполагает параметрическое задание p(q | x) с оцениваем параметров из обучающих данных. Для логической переменной qe {0;1] параметрическое представление имеет вид:

p ( q = 0| x )=-, 1 n-N = "-, wT = W W1,..., Wn ) , x = (1, — Xn ) , (28)

1 + exp (w x)

1 + exp w0 + Z wixi

V i=1 j

p (q = 1| x ) = 1 - p (q = 0 | x ) =

exp (wT x)

1 + exp (wT x) 1 + exp (-wT x) Параметры w определяются из условия максимума условной вероятности

w = arg max £ ln p (qh | xh).

(29)

(30)

Учитывая, что логическая переменная принимает значения 0 или 1, можно ввести функцию

F(w) = £ qh ln p (qh = 1| xh) + (1 - qh )ln p (qh = 0| xh) = £ qh (wrxh) - ln (l + exp(wrxh)), (31) h h

w = arg max F(w) . (32)

Для решения оптимизационной задачи (32) применяется метод сопряженных градиентов (Флетчера - Ривса), который по скорости сходимости близок к ньютоновскому и квазиньютоновским методам, но не требует вычисления обратной матрицы Гессе. В методе Флетчера - Ривса направления поиска экстремума функции являются сопряженными. Градиент функции вычисляется аналитически:

( . Л

VF = £

x

q

1

(33)

1 + exp (-wT x)

Для большей устойчивости итерационного процесса можно применить регуляризацию добавлением слагаемого

w = arg max (F(w) - 0,5h||w||). (34)

Градиент в данном случае равен:

( , \

VF = £

x

qh -

1

- h w .

(35)

1 + ехр х)

Логистическую регрессию можно обобщить на случай дискретного представления выходной переменной q е Q [24, 25]. Максимизируемая функция принимает вид:

F(wq) = £ y(q) (wqxh) - ln (1 + exp(wTxh)), q = 1, \Q

(36)

где y(q)

1| ql = q

[0| ql Ф q

классификатор записывается в виде:

. Оптимизационная задача (36) решается Q раз. Логистический

qLC (x) = arg max

1 + exp

w„

+£

q0

V j=1

WVXJ

(37)

у J

Деревья решений в классификации данных (ТС). К группе методов, получивших в последнее время широкое применение в самых разных областях, относятся алгоритмы деревьев решений. Эти алгоритмы применяются для решения задач классификации. Метод деревьев решений может применяться для целевой переменной, имеющей булев или категориальный тип. Такие переменные содержат значения, принадлежащие некоторому конечному множеству без определенного отношения порядка на нем.

Пусть целевая переменная соответствует некоторым классам, на которые разбито множество данных. Требуется отыскать некоторое классифицирующее правило, позволяющее разбить множество данных на эти классы. В процессе поиска классифицирующего правила проводится перебор всех независимых переменных и

h

h

1

отыскивается наиболее представительное правило на данном этапе. В обычных деревьях решений применяются предикаты вида х < w, х > w . Данные разбиваются на две группы в соответствии со значением этого предиката. После этого процесс повторяется для каждой из этих групп до тех пор, пока получающиеся подгруппы содержат в себе представителей классов и включают в себя достаточно большое количество точек для того, чтобы статистически значимо быть разбитыми на меньшие подгруппы. В результате, окончательное классифицирующее правило, построенное этим процессом, может быть представлено в виде бинарного дерева. Каждый узел этого дерева соответствует некоторому подмножеству данных и содержит найденное классифицирующее правило для этого подмножества.

Удобным для анализа свойством деревьев решений является представление данных в виде иерархической структуры. Компактное дерево проявляет картину влияния различных факторов, независимых переменных.

Метод классификации, основанный на деревьях решений, имеет в качестве преимуществ следующие свойства:

- быстрый процесс обучения;

- генерация правил в областях, где эксперту трудно формализовать свои знания;

- извлечение правил на естественном языке;

- интуитивно понятная классификационная модель;

- достаточно высокая точность прогноза, сопоставимая с другими методами;

- построение непараметрических моделей.

Подобные положительные свойства приближают методологию деревьев решений к системам, основанным на нечеткой логике, выигрывая у них в быстроте процесса обучения. Деревья решений - это способ представления правил в иерархической, последовательной структуре, где каждому объекту соответствует единственный узел, дающий решение. Под правилом понимается логическая конструкция, представленная в виде if A then B (A ® B) .

Пусть задано некоторое обучающее множество X, содержащее объекты, каждый из которых характеризуется m атрибутами и один из них указывает на принадлежность объекта

к определенному классу. Это множество, обозначенное как D = {xh, Ch},h = 1,H; q = 1,K , содержит элементы, описывающиеся признаками х = (xj), j = 1, n и принадлежащими одному из классов Cq . Количество примеров в множестве равно H является мощностью этого множества |D|.

Каждое множество D на любом этапе разбиения характеризуется следующими показателями:

- множество D содержит несколько объектов, относящихся к одному классу Cq. В этом случае множество D является листом, определяющим класс Cq .

- множество D не содержит ни одного объекта (D =0). В данной ситуации необходимо возвратиться к предыдущему этапу разбиения.

- множество D содержит объекты, относящиеся к разным классам.

Подобное множество является пригодным для разбиения на некоторые подмножества. Для этого выбирается одна из переменных и в соответствии с правилами x < w, x > w множество D разбивается на два подмножества. Этот процесс рекурсивно продолжается до тех пор, пока конечное множество не будет состоять из примеров, относящихся к одному и тому же классу. Данная процедура лежит в основе многих алгоритмов построения деревьев решений (метод разделения и захвата). Построение дерева решений происходит сверху вниз. Сначала создается корень дерева, затем потомки корня и т.д.

Поскольку все объекты в виде типов динамического взаимодействия твердых тел были заранее отнесены к известным классам, такой процесс построения дерева решений называется обучением с учителем. При построении деревьев решений необходимо решить следующие задачи: выбор критерия, по которому пойдет разбиение; остановка обучения;

отсечение ветвей. Для построения дерева на каждом внутреннем узле необходимо найти такое условие, которое бы разбивало множество, ассоциированное с этим узлом на подмножества. Для такой проверки х £ н, х > н должен быть выбран один из признаков. Выбранный признак должен разбить множество так, чтобы получаемые в итоге подмножества состояли из объектов, принадлежащих к одному классу, или были максимально приближены к этому, т. е. количество объектов из других классов в каждом из этих множеств было как можно меньше. Одним из способов выбора наиболее подходящего атрибута является применение теоретико-информационного критерия.

Задача заключается в построении иерархической классификационной модели в виде дерева из множества объектов. На первом шаге имеется только корень и исходное множество, ассоциированное с корнем. После проверки, в результате разбиения получаются два (по числу условий х £ н, х > н ) подмножества и соответственно создаются два потомка корня, каждому из которых поставлено в соответствие свое подмножество, полученное при разбиении множества В = {хк,С1},к = 1,Н;ц = 1,К . Затем эта процедура рекурсивно

применяется ко всем подмножествам (потомкам корня) и т.д. Любой из атрибутов можно использовать неограниченное количество раз при построении дерева.

В качестве проверки задается переменная, принимающая значения

xj <(н}1), у = Щ;г = 1,т -1. (38)

Тогда разбиение В по проверке (38) дает соответствующие подмножества В1 и В2 = В

Критерий выбора определяется информацией о том, каким образом классы распределены в множестве В и его подмножествах, получаемых при разбиении по (38).

Пусть Nг - количество точек по разбивке (38), N^1 - количество точек по разбивке,

соответствующее классу ц = 1,2 . Тогда Р Ц = N^/N1^ - вероятность принадлежности классу

ц по признакуи г-му пороговому значению (н^), г = 1, т -1; у = 1, п и Ргг = N|В|.

Если РЦ - вероятность попадания в класс ц, то в качестве меры математического

ожидания информации, необходимого для определения класса объекта из множества В, рассматривается энтропия Шеннона

Иг =-ZPk log2 P*. (39)

k=1

Величина энтропии характеризует степень нечеткости системы данных. Разбиению множества В по проверке (38) соответствует выражение для энтропии

Иг =-Z P% log2 P* . (40)

г

Критерием выбора является выражение, соответствующее максимальному упорядочиванию данных по классам

Hß ®min. (41)

Минимальное значение энтропии И г ответствует максимуму вероятности появления одного из классов. Выбранный номер переменной x}- и пороговое значение wß, минимизирующие Иjt, ( j, wß ) = ArgMinИß, используются для формирования подмножеств по условию хг > (wiq). Дальнейшее движение по дереву производится в зависимости от

полученного результата.

Данный алгоритм применяется к полученным подмножествам и позволяет продолжить рекурсивно процесс построения дерева, до тех пор, пока в узле не окажутся примеры из одного класса. Если в процессе работы алгоритма получен узел, ассоциированный с пустым множеством (т. е. ни один пример не попал в данный узел), то он помечается как лист, и в

качестве решения листа выбирается наиболее часто встречающийся класс у непосредственного предка данного листа.

Пороговые величины для переменных определяются выражением

w]l = х;т + (х™х -х™х)-,] = 1^;г = 1^=1, (42)

т

где х™ах, х™п - максимальные и минимальные значения переменной.

Как уже отмечалось, все числовые тесты являются бинарными, т.е. делят узел дерева на две ветви. Правило остановки разбиения узла основано на том, что разбиение должно быть нетривиальным, т. е. получившиеся в результате узлы должны содержать не менее заданного количества примеров.

Особенностью классификаторов на основе деревьев решений является отсутствие требований к плотности распределения набора случайных величин из генеральной совокупности системы данных. Еще одним достоинством является наглядное представление процесса классификации.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлена постановка задачи динамического взаимодействия твердых тел, описывающая базовые переменные и принципы взаимодействия объектов. Основные законы взаимодействия включают в себя уравнения сохранения массы, импульса и энергии. Рассмотрены модели разрушения и пластичности, в которых предел текучести варьируется в зависимости от деформации, скорости деформации и температуры.

Получены четыре типа взаимодействия твердых тел: застревание, отскок, пробитие и откол. Приведены результаты классификации и регрессионного анализа процессов взаимодействия твердых тел. Результаты моделирования взаимодействия твердых тел разной формы и из различных материалов позволяют существенно уменьшить затраты и время на экспериментальное исследование процессов взаимодействия указанных систем.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИжГТУ имени М.Т. Калашникова № 1.1481.2014/К.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глазырин В.П., Орлов М.Ю., Орлов Ю.Н. Моделирование ударно-волнового нагружения функционально-градиентных материалов // Известия высших учебных заведений. Физика. 2007. Т. 50, № 9/2. С. 65-73.

2. Экспериментальные данные по ударно-волновому сжатию и адиабатическому расширению конденсированных веществ / под ред. Р.Ф. Трунина. Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2001. 446 с.

3. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

4. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений // Известия высших учебных заведений. Физика. 1992. № 8. С. 5-48.

5. Афанасьева С.А., Белов Н.Н., Коняев А.А. и др. Особенности деформирования и разрушения металло-керамических материалов при высокопрочном соударении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8, № 3. С. 323-324.

6. Белов Н.Н., Югов Н.Т., Табаченко А.Н. и др. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения металлокерамики в условиях динамического нагружения // Известия высших учебных заведений. Физика. 2002. Т. 44, № 8. С. 54-62.

7. Глушак Б.Л., Рузанов А.И., Садырин А.И. и др. Разрушение деформируемых сред при импульсных нагрузках. Н. Новгород : Изд-во ННГУ, 1992. 192 с.

8. Новиков С.А. Разрушение материалов при воздействии интенсивных ударных нагрузок // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 8. С. 16-121.

9. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986. 318 с.

10. Lipanov A.M. and Vakhrushev A.V. The Problem of Dispersion of Powder Materials by Explosion // International Applied Mechanics. 1991. V. 27. Is. 2. P. 47-53.

11. Vakhrouchev A.V., Lipanov A.M. A numerical analysis of the rupture of powder materials under the power impact influence // Computers & Structures. 1992. V. 44, № 1/2. P. 481-486.

12. Monaghan J.J. On the Problem of Penetration in Particle Methods // J. Comp. Phys. 1989. V. 82. P. 1.

13. Scheffler D.R., Zukas J.A. Practical aspects of numerical simulation of dynamics events: material interfaces // Int. J. Impact Engng. 2000. V. 24, № 8. P. 821-842.

14. Borvik T., Forrestal M.J. et al. Penetration of AA5083-H116 aluminum plates with conical-nose steel projectiles - Calculations // Int. J. Impact Engng. 2009. V. 36, № 3. P. 426-437.

15. Scheffler D.R. Modeling noneroding perforation of an oblique aluminum target us-ing the Eulerian CTH code // Int. J. Impact Engng. 2005. V. 32, №1-4. P. 461-472.

16. Паршиков А.Н. Численный метод SPH, использующий соотношения распада разрывов, и его применение в механике деформируемых гетерогенных сред : дис. докт. физ.-мат. наук. ОИВТ РАН. М., 2013. 202 с.

17. Parshikov A.N., Medin S.A. Smoothed Particle Hydrodynamics Using Interparticle Contact Algorithms // J. Comp. Phys. 2002. V. 180. P. 358.

18. Потапов А.П., Ройз С.И., Петров И.Б. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц (SPH) // Математическое моделирование. 2009. № 7. С. 20-28.

19. Новацкий В.К. Теория упругости. М. : Мир, 1975. 872 с.

20. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М. : Мир, 1978. 310 с.

21. Медин С.А., Паршиков А.Н., Развитие метода SPH и его применение в задачах гидродинамики конденсированных сред // Теплофизика высоких температур. 2010. Т.48. № 6. C. 973-980.

22. Johnson G.R., Cook W.H. A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures // Proc. of 7th Symposium on Ballistics, Hague, Netherlands. 1983. P. 541-547.

23. Воронцов К.В. Математические методы обучения по прецедентам (теория обучения машин).

URL: http://www.ccas.ru/voron (дата обращения 09.07.2014).

24. Tom M. Mitchell. Ggenerative and discriminative classifiers: naive bayes and logistic regression Machine Learning. 2010. URL: http://www.cs.cmu.edu/~tom/mlbook.html (дата обращения 09.07.2014).

25. Тененев В.А., Якимович Б.А. Генетические алгоритмы в моделировании систем. Ижевск : Изд-во ИжГТУ, 2010. 308 с.

MATHEMATICAL SIMULATION OF THE DYNAMIC INTERACTION OF SOLIDS. Part 1: Theoretical Foundations

:Lipanov A.M., 2'3Vakhrushev A.V., 3Tenenev V.A., 2Fedotov A.Y.

:Udmurt Scientific Center, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia 2Institute of Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia 3Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The paper describes the methodology of the processes of dynamic interaction of solids. A mathematical model of the interaction includes the laws of conservation of mass, momentum and energy equations of state, the model of the stress-strain state of the materials. The numerical model is based on an approximation of the fundamental laws of conservation of explicit Euler equations. Interacting bodies are considered as a collection of particles with certain physical and mechanical properties. This model is called smoothed particle hydrodynamics method (SPH). The dependences of the type of interaction between the bodies of the angle of penetration, energy and speed are built. The regression and classification study of indicators of interacting bodies in the simulation process of interaction of solids are carried out.

KEYWORDS: theory of deformable solids, simulation, smoothed particle hydrodynamics, SPH, dynamic effects, regression analysis.

Липанов Алексей Матвеевич, доктор технических наук, академик, председатель Президиума УдНЦ УрО РАН, тел. (3412) 20-76-58, e-mail: [email protected]

Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН, заведующий кафедрой «Нанотехнологии и микросистемная техника» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: [email protected]

Тененев Валентин Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, e-mail: [email protected]

Федотов Алексей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: [email protected]