Подъемная сила и продольный момент крыла малого удлинения с расположенным вблизи него телом вращения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VIII

1977

№ 3

УДК 629.735.33.0і5.3 : 593.695

ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И ПРОДОЛЬНЫЙ МОМЕНТ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ С РАСПОЛОЖЕННЫМ ВБЛИЗИ НЕГО ТЕЛОМ ВРАЩЕНИЯ

По теории тонкого тела определяется подъемная сила и продольный момент крыла малого удлинения с расположенным на нем или вблизи него телом вращения. Анализируется влияние геометрических параметров комбинации на ее аэродинамические характеристики.

1. Потенциал скорости. Для тел малого удлинения теория тонкого тела [1] сравнительно просто позволяет решить вопросы интерференции для ряда практически интересных комбинаций [2—5] и дает вполне удовлетворительные результаты для коэффициентов подъемной силы и продольного момента в области околозвуковых и небольших сверхзвуковых скоростей полета. При сверхзвуковых скоростях полета пределы применимости этой теории ограничены режимами, когда рассматриваемое тело или комбинация тел находятся внутри конуса Маха, отходящего от их передней точки (носка крыла или корпуса). Поэтому чем меньше удлинение рассматриваемых комбинаций и их угол атаки, тем шире область значений чисел М, где применима теория тонкого тела [6].

В соответствии с этой теорией в поперечных сечениях тела х = const (или в сечениях, перпендикулярных вектору скорости невозмущенного потока), которые не пересекаются вихрями, сбегающими с задних кромок рассматриваемой комбинации, потенциал скорости 9 в декартовой системе осей координат удовлетворяет уравнению Лапласа

граничному условию непротекания через поверхность тела

В. В. Келдыш

О)

(F(x, у, z) = 0)

(2)

и требованию равенства величины скорости в бесконечно удаленной точке плоскости х = const и проекции скорости невозмущенного потока на эту плоскость

d<S>

dt

= —iVa.

(3)

где Ф=<р + *<]>— комплексный потенциал скорости, в плоскости 1 = г + V и а—величина и угол атаки скорости невозмущенного-потока.

s)

'о С Г- р) VChr4(

1-к2тгу)

Н г

(О) Л (В) (о) с W3-

N

-1 О

6)

w=

Л/~ щ

Е C-ia) (t=0) Я

(t-0)

к 1

7 + к Л/ /+Л/ fi/

■1

В

1

N-1 N-ц н!/-1 Фиг. 1

В настоящей работе рассматривается интерференция плоского крыла малого удлинения с телом вращения, которое расположено вне крыла (крыло и тело вращения не имеют общих точек). Принято, что продольная ось тела параллельна плоскости крыла и расположена в его плоскости симметрии, а кормовая часть тела — цилиндрическая. Последние ограничения не имеют принципиального значения, и предложенное решение может быть легко распространено на случай, когда они отсутствуют. Интерференция крыла с телом вращения, когда они пересекаются или касаются друг друга, рассмотрена в [3] и [5].

Контур поперечного сечения рассматриваемой комбинации определяется тремя параметрами (фиг. I): местным полуразмахом крыла/, радиусом тела вращения г, расстоянием оси вращения от плоскости крыла А.

Для определения комплексного потенциала скорости отобразим конформно этот контур, расположенный в плоскости комплексного переменного t = z-sriyf на разрез действительной оси плоскости т так, чтобы бесконечно удаленная точка плоскости t переходила в бесконечно удаленную точку плоскости т. Это отображение осуществляется функцией:

На фиг. 1 показан последовательно образ рассматриваемого контура на промежуточных плоскостях преобразования (4). Бесконечно удаленная точка плоскости і переходит на них в точки

Коэффициенты преобразования (4) соответствуют точкам действительной оси плоскости т4, которые расположены в следующем порядке: О, к, 1, 1/к, р, /V, —\)к. В зависимости от формы

контура р и N могут быть как положительными, так и отрицательными. Эти коэффициенты связаны с геометрическими параметрами контура следующей системой трансцендентных уравнений:

1п (а + У& — Г*) {у и? - /-2 — (К Л3 — Г= — а) (У^ — г^ + и)

о

®!=0, 41) 2 =

а + У № — г2

а —У № — ’

= і¥, 10 — 00.

(і -р~ъу і - (Рк)-2кт

(5)

г — ^(| ~р~2) [' ~(р^~21 .

1 “ о*)-* тг1 - сркгч ’

(рЛ)-1

(6)

п/2

Чьдаг‘]-с-1гг

(1 + дк віп т) йх

+ рк віп т) УI — № віл2 т

0' = — агсвіп (Л%)-1, когда N<0,

(10 а)

_______________________ те/2

(I + дк віп т) йъ

+ рк йіп т) У 1 — к2 віп2 '

О

. Г___________(1 — дк біпт) й%_________1

Л (1 — рк віп х) У \ — # БІП3 т -1 ’

6' = агсзіп (Л/£)-1, когда N > 0.

+

(10 6)

Здесь К(к) [или К{к')\ и 0) — полный и неполный эллиптиче-

ские интегралы 1-го рода соответственно,

П

(В, к, 0) = |-

(1 +В8Іпа*с)У 1—Ла8іп*х

(її)

есть эллиптический интеграл 3-го рода (полный, если б = я/2); а — — некоторый произвольный параметр, соответствующий точке на мнимой оси плоскости і = — іа, переходящей в бесконечно удаленную точку плоскости Его можно определить, например, из условия:

С2 = 0, 0 <а<^.

Тогда

„= ууГі + ут=Ш-()ГПГр* + уж=гТ)У7;іі А.і/ПГ7гій8 (12)

к' У\ + У\ - (г/Л)2 + (/1 —р-2 + У&—р-*) Vг/Л I

В бесконечно удаленной точке плоскости ни комплексная скорость равна:

X

№ї

п.

ЛФ __ ¿ф

¿И) оо сИ оо екю 00

(М)-і] №У -і -{рк)

№Г

:21/а У №

"і/— V (1-

г*Х

— ІУ-2) [1-(ДГ£)-а] р-2) [1 _ (ркГ2}

(13)

Направление ее совпадает с действительной осью. Поэтому в области цилиндрических участков тела, где /V—0 и граничное условие (2) на контуре совпадает с граничным условием соответствующей плоской задачи, комплексный потенциал скорости в переменных t и w будет равен

Ф(*) = —

<1%ю

да (¿).

(14)

Зависимость да(£) определяется из соотношения (4). Переменная х входит в (14) через геометрические характеристики контура.

Система уравнений (5) — (10) для определения коэффициентов преобразования (4) зависит от двух параметров, например г/Л и г//,

являющихся комбинацией трех геометрических характеристик, определяющих контур поперечного сечения рассматриваемой комбинации.

На фиг. 2 приведены результаты численного решения этих уравнений для А и р в области изменения параметров 0<г/Л<1, О<г//<<6. Когда А и р известны, д и С1 определяются непосредственно по (5) и (6), а //-из уравнения (10).

Практически наиболее интересные случаи, когда г/А>0,05, соответствуют малым значениям &2-<0,5-Ю'"3 — 0,5* 10~2, и при вычислении полных эллиптических интегралов можно с высокой степенью точности ограничиться первым членом разложения их в ряд по к2 [7]:

К т = + О (к% К(Ю = 1п -1 + О (&), (15)

п(-р-\ к, ^ = -^- + 0(А*), р-*<к\ (16)

п

*'2 k, JL - р~2 ’ ’2

___ arcsin (/>£)"

(kp)-iVl-(pk)-*

k~2.

(17)*

При вычислении входящих в (8) неполных эллиптических интегралов разложение их в ряд по £2 требует каждый раз дополнительного анализа, так как сходимость этих рядов зависит еще от величины 6, которая заранее неизвестна. Поэтому для вычисления этих интегралов в окрестности точки их расходимости —1 <^£} = £'2

=--------— ^— к'2, где находится решение данной задачи при ма-

1 — р 2

лых значениях когда к! близко к 1, целесообразно применить преобразование Ландена [9] один или несколько раз в зависимости от величины

В (10а) и (Юб) при малых значениях & можно положить

У 1 — № ЭЩ2 х яг; 1,

тогда интеграл в правой части равенства выражается в квадратурах.

После этих упрощений система уравнений (5) —(10) примет вид

(qk)~1 = (pk) 1 +

—- + arcsin (pk) 1 ¿i

lnT;

_ Yi-jpk)-» (<?*)-! ’

(P^r. + (gfe) i ]/l _ {pkr,F{k 0 ) _

{pk) 1 ]

2 (pk)~ 1 l(qk)~t П (Въ ku 0j) ,

2(pk)-iVl-(pk)-2 — arctg

arctg

(ff*)-11 V

(qk)~*—\ 1 + ft

W~2~l - {pkT*

(.Pk)~a 1 - (pft)-2

tgöi

0 V{qk)~*-\

' k(qk)-* — 1 ‘

(18)

(19)

(20)

m-

{pkr\n l+V

(pk)-*-(pk)-Mg92/2

_ fl _

/1 - (pk)~* (pA)-i _ (1 + /1 _ (p*)-* ) tg03/2 Л ~ 2 ‘ 2

------02 = arcsin (kN)~x < ~ .

(21)

При выводе уравнения (20) преобразование Ландена применено один раз. В (20) эллиптический интеграл 3-го рода П(£ъ 0^ при

* Соотношение (17) получено из формулы Лагранжа [8]:

X [п (в, к, ^ - К {к)

sin И cos о А (в, к')

*'2Х

= — + в) — Е(к', 6)]К(к) —Е{к)Р(к', в), 8Ш20 =

= * . А (0, £') = УI —к'2зт2в, — 1 < В ■< — к'2, путем разложения в ряд по к2;

к. *

здесь Е (к) — эллиптический интеграл 2-го рода.

ки близком к 1, и 01 близком к л/2, имеет логарифмическую особенность 1п "|/*1 — , так как 5Х>0; в то время как в (8) эллиптический интеграл 3-го рода П(£, б) при £' -> 1, 0 ■— имеет особенность более высокого порядка вида кГ2, так как — 1 ¿'2.

Численное решение системы приближенных уравнений (18) — (21) может быть получено на ЭЦВМ с небольшой затратой времени. Полученное решение обладает достаточной точностью [по сравнению с решением исходной системы (5) —(10)] при к? •< 10~3.

2. Подъемная сила и продольный момент. В [1] показано, что для тел малого удлинения с заостренной передней частью и непрерывным изменением площади поперечного сечения по длине коэффициент подъемной силы определяется только потенциалом скорости кормового сечения, зависящего от его геометрических характеристик, и не зависит от формы передней кромки крыла и образующей тела. Величина его вычисляется по формуле

сУ1 =2^аГ^—А-7 5 \_iVLta

(22)

где /. — полуразмах крыла в кормовом сечении, 51 — площадь кормового сечения, 5-—некоторая условная площадь, Л_, — коэффициент при в разложении комплексного потенциала скорости в ряд в окрестности бесконечно удаленной точки t=oo.

Для крыла с цилиндром (без заостренной головной части)

Су 1 (X = 1) — [Су {х0) - 1] (/„/£)*, (23)

где координата х отсчитывается от вершины крыла в долях длины комбинации, х0 соответствует началу цилиндра, х=1 — кормовому сечению, /0 — полуразмах крыла при х = х0. Если х0 < 0 (цилиндр начинается перед крылом), в (23) следует положить лг0 = 0, так как часть цилиндра перед крылом по теории тонкого тела не создает подъемной силы. В этом случае (23) приводится к виду:

сУ2 = су1(х=1)-^^, х0 = 0. (23а)

Для комбинаций с цилиндрической кормовой частью

(24)

л аФ

Л_г = а_1 — ац)

где а_! — коэффициент при ¿-1 ряда Лорана, соответствующего зависимости (4):

и, = а17+а0+^* + -^ + . • -+^ + - • •, (25)

где 1 = ¿//.

Для определения а, разложим левую и правую части равенства (4) в ряд по Г"1 и т~1 соответственно:

'Ук2 — г2_____1 (Ую — /-2у* ^ 1 і'У к2 —г-2 |5_|_ . .

= + . . . I—9л—, . . <( (26)

2т2 п\ *®)п

Di

[(qk) i-(Nk) !](№)-'N-i /(i _p-2) [ 1 _ (рк)-Ц

W)~' - {pk)~'\ [(pA)-i - (АГЛ)—і] у (1 - N-*) [1 - (№)~Ц

Bl -Oi "

£l

Di

\{pkn - №)->] im-1 - №)-')

_ {pk)-*N~* (qfy-zN-i

+

N і

1 — (Nk)~* 1 — N~ 2

i (l+^~2)Af-a ,

[(pk)~i-(Nk)

-112

[(?Ä)-1 _ (jv*)-i]i

■Do

(1 — N~*)2

[1 + (М)Ч]ІУ~» . /^2 П [1 — (ЛГЛ)-я]2 '1"\Z)1

Подставляя (25) в (26), п'олучим

2га V (Л2 - /*2) D?

Рз

3Dj

5г.

£>1

Df

и для комбинаций с заостренной передней частью

су ! = 2тг ■

Z.2 (4 (А2— г2)

Z1SD\

D3

Dt

Di

_2_

3

3

(28)

(29)

Заметим, что коэффициент подъемной силы того же изолированного крыла су о = 2тох/,2/5, если 5 — площадь крыла, 4/.2/6' — его удлинение.

На фиг. 3 показано отношение подъемной силы комбинации плоского крыла с телом вращения, имеющим заостренную переднюю часть, к подъемной силе того же изолированного крыла в зависимости от относительного радиуса тела в кормовом сечении г/£ и расстояния его оси от плоскости крыла /г/г: су1 = су1/су0. Когда г//г> 1 (крыло пересекает тело вращения или касается его) значения Су г взяты из [5].

В результате интерференции крыла с телом подъемная сила их комбинации меньше суммы подъемных сил изолированных крыла и тела, равной 1 -4- (г/1)2, но больше, чем у изолированного тела вращения (гЩ2. С удалением тела от крыла подъемная сила их комбинации растет и при Щг ф 0, начиная с некоторого значения г)Ь, становится больше, чем у изолированного крыла. Чем больше /г/г, тем меньше это значение г/Ь. При А/г> 1 подъемная сила рассматриваемой комбинации с ростом г//. асимптотически приближается к подъемной силе изолированного тела вращения.

На фиг. 4 показана относительная подъемная сила су 2 =

Ly 2 Су о

комбинации плоского крыла малого удлинения с круговым цилиндром, ось которого параллельна плоскости крыла. Помимо параметров rjL и А/r, су 2 зависит еще от относительного полуразмаха крыла в начальном сечении цилиндра (/0/£). Для треугольного крыла IJL = х0.

Интерференция крыла с цилиндрическим корпусом заметно снижает подъемную силу их комбинации по сравнению с изолированным крылом. С ростом относительного радиуса цилиндра г/I и его длины (уменьшением IJL) влияние этого эффекта усиливается, а с ростом расстояния оси тела от плоскости крыла Л/г — уменьшается.

Распределение подъной силы между крылом и корпусом зависит от формы образующей корпуса и передней кромки крыла. Для

комбинаций с цилиндрическим участком корпуса в области крыла (г = const при х>0) форма передней кромки последнего не влияет на их подъемную силу, которая определяется по формулам [5]:

1

4 L

сукр — зу

___ 4 г

СУ цил SV

йФ

dW

йФ

dw

N—k~

1

t dw

*=1

x= 1

ЛЧ-1

J cosbdw

(30)

(31)

x=0

л?-)-*-1

где 8 — угол в полярной системе осей координат плоскости Ь с центром на оси цилиндра.

Когда контур поперечного сечения в плоскости х — потенциал скорости на контуре равен

ср (х = 0) = 2 V ar sin 8, и (31) преобразуется к виду:

/ -1 4 г I йФ

5К 1 dw

■'у ЦИЛ ■

N + 1

| cosS dw | — TzVra

N+k-

x= 1

0 — круг,

(31a)

Зависимости t(w) на крыле и S (да) на цилиндре определяются из (4) и соответственно равны:

t=V{hlir-{rjiy tgЕ/2,

/fe',0

- (/>£)

X(^)-1 k2 П

arctg j/.l1 — \(Nw- 1)2

F(k', Q)-i4k)-T—,■1-X

(1 —p~2)[w-k 2 — (Nw— 1)2] ’ 6 = arcsin -^r j/~ 1

cosS

W2 (Nw —

Yh2 — r2 sin ¡j.

I)2

(32)

h 4- r cos ¡j. ’

■. (w) — S (да) -j- 2 arctg ]/\y£; (pk^

1)2— W2]

(33)

(1 — р 2) [да2 кг~2 — (Мг> — 1)-] ’

О <: ¡X тт.

На фиг. 5 показано распределение подъемной силы между крылом, цилиндрическим участком корпуса в окрестности крыла и его заостренной головной частью, расположенной перед крылом и рассматриваемой поэтому как изолированное тело вращения. В присутствии корпуса подъемная сила крыла меньше, чем у изолированного крыла. С удалением корпуса от крыла подъемная сила крыла растет, асимптотически приближаясь к подъемной силе изолированного крыла. Когда к/г^- 1, а также начиная с некоторого значения г/£ при А/г< I, подъемная сила, индуцируемая крылом на цилиндрическом корпусе, противоположна по знаку подъемной силе,

создаваемой на крыле. С ростом относительного радиуса цилиндра г//, и расстояния его оси от плоскости крыла /г/г подъемная сила его асимптотически стремится к нулю. При больших значениях г/Ь основная часть подъемной силы комбинации создается головной частью корпуса.

Коэффициент продольного момента комбинации крыло + корпус определяется по формуле

1

тг = су — | су {х') йх', (34)

о

где тг и координата х' отсчитываются относительно передней точки головной части корпуса и отнесены к полной длине комбинации.

<5! и г

Л 0,59 •Со,в 1 _

0,56 \° ЛОх Х-0^5

Х=0,25

О 1 г/Ь

Фиг. 6

Величина тг и положение центра давления хе = тг/су зависят от формы передней кромки крыла и образующей тела вращения. На фиг. 6 показано положение центра давления для треугольного крыла с круглым цилиндрическим корпусом, переходящим в коническую головную часть непосредственно перед крылом, Хо — длина головной части в долях общей длины комбинации (или относительное расстояние ее вершины до начала крыла).

Проведенные исследования показали, что подъемная сила комбинации крыла с корпусом меньше суммы подъемных сил изолированных крыла и корпуса, но больше, чем у изолированного корпуса. Если корпус имеет заостренную головную часть и ось его смещена относительно плоскости крыла, подъемная сила комбинации, начиная с некоторого значения относительного радиуса кормовой части корпуса г//., становится больше, чем у изолированного крыла того же удлинения.

С удалением оси корпуса от плоскости крыла подъемная сила их комбинации увеличивается, а подъемная сила, индуцируемая крылом на цилиндрическом участке корпуса, становится противоположной по знаку подъемной силе, создаваемой на крыле.

У комбинаций с цилиндрическим участком корпуса в области крыла с ростом относительного радиуса цилиндра г)Ь центр дав-

ления смещается вперед. Минимальное расстояние его от конического носка корпуса равно

_ 2 Xg min — Х0,

О

где Хо ■—относительная длина головной части. Это значение xg т\п достигается при /г/г<Л, когда крыло „уходит“ внутрь корпуса (L = r cos-f); при А/г> 1 величина ^асимптотически приближается к Xgrain с ростом Г/Х.

С увеличением относительной длины головной части корпуса и расстояния его оси от плоскости крыла центр давления смещается к задней кромке крыла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ward Q. N. Supersonic flow past slender pointed bodies. The Quart. J. of Mech. and Appl.Math., vol. 2, 1949.

2. S p r e i t e r J. R. The aerodynamic forces on slender plane and cruiciform wing and body combination. NACA Report, 962, 1950.

3. В a r 11 e 11 M. A. Slender-body theory calculations of the effect on lift and moment of mounting the wing off the fuselage centre-line. ARC CR N 830, 1965.

4. Portnoy H. The slender wing a half body of revolution mounting beneath. The Aeronautical J., September, 1968.

5. К e л д ы ш В. В. Подъемная сила крыла малого удлинения с корпусом. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 5, 1975.

6. Келдыш В. В., Штейн берг Р. И. Влияние закругления передней кромки треугольного крыла на его аэродинамические характеристики при сверхзвуковых скоростях полета. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, js|b 5, 1976.

7. Я н к е Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кри-

выми. М.—Л., Гостехиздат, 1949.

8. R a d о n Br. Svlluppi in serie degli integrall ellittici. Atti Accad.

Naz. Lincei Mem. of Sci Fis. Mat. Nat. (8), vol. 2, 69—109, 1950.

9. Л e п и л к и н А. М. Вихревая теория несущего винта и взаимного влияния винтов. „Изв. АН СССР, Механика и машиностроение“, 1963, № 5.

Рукопись поступила 6jX 1976 г.