Гидродинамика тонкого гибкого тела (оценка гидродинамики рыб) Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

—_ .

№ 2

УДК 532.5

ГИДРОДИНАМИКА ТОНКОГО ГИБКОГО ТЕЛА (Оценка гидродинамики рыб)

Г. В. Логвинович

С целью разъяснения механизма плавания рыб методом плоских сечений изучается гидродинамика тонкого деформируемого тела. Получены простые формулы, позволяющие оценить тягу и затрачиваемую мощность при синусоидальных волновых деформациях оси тела.

Оценены гидродинамические характеристики рыб. Дано сравнение результатов теории с экспериментальными материалами.

Гидродинамика тонкого деформируемого тела, совершающего при поступательном равномерном движении малые волнообразные колебания, может быть довольно просто изучена путем применения метода плоских сечений с использованием концепции «пронизываемого слоя» [1]. Плоские задачи такого рода теоретически рассматривались Сикманом [2], который также поставил некоторые эксперименты, и В. А. Ерошиным [3], развившим теорию деформируемого профиля в постановке Л. И. Седова [4]. Однако изучение пространственной задачи, по-видимому, в большей мере приближает нас к пониманию механизма плавания рыб и морских животных, чем решение плоских задач. Использование при этом метода плоских сечений оправдывается тем, что тела многих морских животных весьма вытянуты в продольном направлении.

1. Рассмотрим движение тонкого тела в инерциальной системе координат хуг, которая двигается в неограниченном объеме жидкости вдоль оси Ох с постоянной скоростью V (фиг. 1). Продольная криволинейная ось деформируемого тела « слабо отклоняется от оси Ох, и ее деформацию в плоскости хОу обозначим г\(х, ; абсциссы концов тела

обозначим х1 и х2; длина тела х2 — х^ = 1р . Предположим, что поперечные сечения тела образованы эллипсами с большой полуосью Я = Я(х), параллельной оси Ог. В связи с предположением о тонкости тела пола-

. dR п

гаем, что на всей длине ^ есть величина малая. Примем, что, проходя через некоторый «пронизываемый слой», неподвижный относительно покоящейся жидкости, тело в этом слое порождает поперечное почти плоское течение, близкое к течению идеальной жидкости. На задней кромке (на хвосте рыбы) при X — Xi выполняется условие Жуковского о конечности скорости, и за телом остается след, эквивалентный пелене вихрей с эллиптическим распределением циркуляции по размаху z = -^rRi(xi). Такая модель течения в сущности представляет развитие известной схемы Джонса применительно к деформируемому крылу малого удлинения.

2. На элемент длины тела ds действует нормальная сила dFn и подсасывающая сила dP, которая вызвана так называемым круговым давлением dQ. Как известно, присоединенная масса, приходящаяся на единицу длины эллипса, есть т* (х) = рк R2 (х), нормаль-

<?Yi di\

ная к оси s скорость слоя —vn = — V, следовательно,

dP„ — —гг (m*vn) ds. (2.1)

dt

Круговое давление находим в результате интегрирования по контуру поперечного сечения тела s* избыточного давления pv2

р — /?о— 2 /(s*)’ определяемого только скоростным напором.

Удельная подсасывающая сила равна

HP

— = — j(p — р0) cos (п, x)ds*. (2.2)

Так, например, для цилиндра с круговым поперечным сечением избыточное давление на его поверхности в точках R, 0 опреде-

pvl Р cos б d

ляется выражением р — р0 — —(1 — 4 sin2 0) + —^-----(Я2 v„).

Нормальную к продольной оси силу (2.1) дает интеграл

| (р - Ро) cos Ы (#6) = - А. (рт R* vjt о

круговое давление —

dQ Г. К

%£=j(p-po)d т=- 2 - Y-

Это круговое давление отрицательно, т. е. стремится растянуть поперечное сечение. Если тело заострено спереди, то наклон к оси ^ „ dR dR

Ох образующей также отрицателен и на каждую единицу

длины действует направленная вперед (вдоль оси 0«) сила ЛР ~nVo2ndR К dm*(s)

Обычно считается, что подсасывающая сила возникает в результате действия бесконечных отрицательных давлений на бесконечно малую

переднюю кромку крыла; здесь она формируется на всей длине тела в результате действия конечных давлений. Заметим, что в формуляре для избыточного давления р—ро, применяемой к расширяющемуся отверстию в слое, отброшено слагаемое (формально бесконечное), обусловленное симметричным расширением цилиндра. Можно показать, что это допустимо при использовании гипотезы плоских сечений для вычисления сил, действующих на тонкие тела [1].

Для определения силы в случае эллиптического сечения воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода применительно

V2

к кинетической энергии в слое а в качестве обоб-

щенных координат и скоростей примем для определения подсасывающей силы большую полуось поперечного сечения /?, а для нахождения боковой силы — скорость ч)п. В результате для эллиптического сечения получатся те же выражения удельных сил, что и для кругового:

. дТ _ дт* К _ 9рР'°2п_(1С1

дР?~ <?/? 2 ' К 2 ~ йв ’

ЖЖ.= Ж'[т®">= ж '’•> = —Л ■■

Присоединенная масса т* в нашем случае есть функция только дг(или«). Формула (2.3) справедлива для любого эллиптического сечения, и в частности для случая, когда малая ось стремится к нулю и эллипс вырождается в отрезок прямой + /? (на хвосте).

Проекции на оси координат элементарных сил, приложейных к телу, будут

игх = -арп^ + йр-,

(2.4)

Интегралы Рх = / с!Рх и Ру — $с1Ру, взятые по длине тела,, дадут результирющие силы. При интегрировании надлежит учитывать условия Я(х2) = 0 и И(х4) = /?1. Условие К(х1) = 111 реализует срыв вихревой пелены с хвоста тела (условие Жуковского). Поскольку силы определяются для элементарного пронизываемого слоя, который покоится

„ и д д

относительно неподвижной ЖИДКОСТИ, заметим, ЧТО

3. При периодическом движении среднюю за период результирующую тянущую силу, обусловленную «стекающими» с хвоста импульсами, можно вычислить без интегрирования (2.4). Действительно, жидкость на единицу длины следа содержит импульс т*(х1)ипи направленный вдоль нормальной скорости хвоста. Проекция на ось Ох импульса, «сте-

- кающего» с хвоста за секунду, взятая с обратным знаком, дает мгновенную силу, действующую на тело. Поэтому тянущая сила, обязанная , своим происхождением импульсам, оставленным в следе, будет

/= + т* (.*!) V (— V при х = хх. (3.1)

• 1; {дt дх I дх

Для пояснения сказанного приведем следующие рассуждения. Пусть тело охвачено достаточно удаленной контрольной поверхностью 21, которая движется вместе с телом. Другая контрольная поверхность 22 той же конфигурации, что и 2ь связана с неподвижной жидкостью. В некоторый момент времени £ обе контрольные поверхности совпадают. За период х контрольная поверхность £1 переместится вдоль оси Ох на отрезок Ух.

Поскольку течения жидкости внутри 21 в моменты / и £ + т одинаковы, все приращение кинетической энергии и импульса жидкости будет обусловлено только отрезком следа, оставшегося между задними стенками контрольных поверхностей 21 и 2г. Согласно принятым предпосылкам, после «стекания» с хвоста рыбы каждый элемент длины следа, деформируясь, сохраняет импульс и энергию, поэтому для'вычисления суммарных сил можно для этих величин принимать значения удельного импульса т*ип1, относящиеся к моменту схода с хвоста.

Таким образом, среднее значение тянущей силы, обусловленной

X

оставляемыми в следе импульсами, будет {1} = — ^ 1сН. Значение/

о

под интегралом вычисляется для точки хи т. е. для хвоста.

Другая доля тянущей силы, реализуется в форме подсасывающей силы, возникающей вследствие бокового обтекания тела,

1

“т'<х11-(*!—ур. У ах. (3.2)

4х 2 \ дt дх)

Заметим, что появление подсасывающей силы Р приводит к тому, что вектор импульса в следе поворачивается на некоторый угол так, что средняя суммарная тянущая сила равна {/}+{Р},

где {Р} = — (“ РМ. х о

Средняя активная мощность тянущих сил равна ({/} + (Р}) У= = {Л}.

С хвоста в след на единицу пути „стекает“ кинетическая энергия *

т<3-3>

Мощность, затрачиваемая на возбуждение тянущей силы, будет {/V} = ({/} + {Р} + {Я}) V, а коэффициент полезного действия

ы = -Щ- ■

Приведенные выше формулы, примененные, например, к треугольному крылу малого удлинения с размахом 2/?!, дают известные результаты линейной теории. Действительно, при постоянном угле атаки а скорость = — 1/а и из (2.1) получается /%, = т* У2а= = р7гЯ?1/2а, а из (2.3) после интегрирования от х1 до хг имеем 14

Р — -i- т\ V2 а2. Интегралы выражений (2.4) от до х2 дают индуктивное сопротивление

Fx = - т\ V2 а2 + -1. т* V2 а* =-----i- рк/tf К2 а2

и подъемную силу

/7, = /7я + Ях = рК/??^«(1 + 4в,+ • •

Аналогично в тех же предположениях может быть рассмотрен общий случай нестационарного колебания крыла малого удлинения.

4. Волнообразные колебания тела получатся, если закон

t Ct х ____х \

деформации задать в виде = т^0 sin I —-----—I, полагая, что

длина тела х2 — хг = Lp = 2i:Ln(n — число волн, укладывающихся на длине-тела); С—фазовая скорость волны, бегущей назад.

Амплитуда деформации оси тела в общем случае может быть представлена рядом

■Ц0 = ай + аЛх2 — х) + а2(х2 — х)2 + ....

Ниже рассмотрим простейший случай, приняв ij0 = const. Нормальная скорость будет

7)о |(Ct Хч х \

o. = -f-(C-V)со.^-----------

период колебаний х = 2и-^-.

Вообще говоря, закон распределения присоединенных масс т*(х) существен при вычислении силы Р. Среднее значение подсасывающей силы вычисляется по формуле

Х% 2

0

т

В нашем случае средняя величина {г»2} = — j V2 ^ =

о

— УУ постоянна в интервале ot хх до х2, поэтому {Р} = {Я} =

— ~2'{'и'п)т\ и закон распределения присоединенных масс по длине Хр оказывается несущественным.

IX

Подставляя эти выражения в предыдущие формулы, найдем средние значения

м) -1 ^ (т)’1/1 [(4"У “1 • м-т^Ст-У1" [-£(-£-')

1ч,1 =тг(’ + “с )‘

(4.1)

На фиг. 2 ^аны относительные средние значения {/} и {Я} составляющих импульсивной и подсасывающей силы, получаемые

из (4.1) делением на ^2- ^ режиме плавания с высо-

ким к. п. д., когда {'Чр} >0,9, доля подсасывающей силы не превышает 20% импульсивной силы.

На фиг. 3 приведена кинограмма

’О О,в ¥ О,* 42 О.

/

7

/ ✓

И-

_ * У *

!,0 7,2 /,* 1,6 1,8 С/У

Фиг. 2

плавания скумбрии, заимствованная из работы Ю. Г. Алеева [5].

С

По этим фотографиям можно заключить, что -^-^2 и к. п. д. близок к 0,75; ' длина волны немного меньше длины тела и -^-;=0,4. Если считать, что активная тяга{Л} преодолевает

Р V2

сопротивление трения С; Б , то коэффициент сопротивле-16

1 с

ния трения найдется из равенства Ш = -у-{А). Для -у- —2 и — получается следующая оценка коэффициента сопротив-

7Г

ления: С/^0,24—, где 5 — смоченная поверхность тела.

По опытам В. Е. Пятецкого [6] для луфаря длиной 42 см с размахом хвоста около 8 см при скорости V = 0,55 м/сек получились значения-р-= 1,47 и -^ = 0,19-^0,25. Средний к. п. д.

^^0,84. В этом случае тг/?1 = 50 см2 и 5 ^ 640 см2, поэтому коэффициент сопротивления трения получился близким к 1,7-=-3,0-10-3,. Расчеты по формулам (4.1) показывают, что при значениях

С 71

-^- = 1,5, -^- = 0,2 „волновой движитель“ с размахом 1 м при

скорости V = 10 м!сек развивает тягу около 90 кгс, затрачивая мощность около 11,8 кет.

Изложенные методы оценок эффективности „волновых движителей можно развить для конфигураций тела и законов деформаций, более близких к наблюдаемым у быстроходных рыб. Можно тем же путем учесть эффект спинных и брюшных плавников, переменной по длине амплитуды и ряда других наблюдаемых в природе факторов, Интегральные оценки по следу, оставленному телом, интересны своей общностью. Важно отметить, что примененный метод проверялся в случаях глиссирования и движения внутри жидкости твердых тел, где результаты теории и опыта оказывались весьма близкими. Можно ожидать, что и данная оценка пропульсивных свойств рыб близка к действительности. Это в известной мере подтверждается удовлетворительной сходимостью вычисленных значений тянущей силы и сопротивления трения для рыб, обследованных В. Е. Пятецким.

* * .

ЛИТЕРАТУРА

1. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Труды ЦАГИ, вып. 935, 1965.

2. Біекшапп і. 2иг ТЬеогіе сіег Bewegung schwirпmeпder Тіеге. РогБсИиг^ іт Іпйепіеитевеп, 1965, N1-. 6.

3. Е р о ш и н В. А. Возникновение тянущей силы при движении деформируемого профиля. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1969, № 6.

4. С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Гостехтеориздат, 1950:

5. Алеев Ю. Г. Функциональные основы внешнего строения рыбы. Изд-во АН СССР, 1963.

6. П я т е ц к и й В. Е. Гидродинамические характеристики плавания некоторых быстроходных морских рыб. Киев, «Наукова думка», 1969.

Рукопись поступила 20/УП 1969 г.

2— Ученые записки № 2.