CC BY
14
1
МАТЕМАТИКА
«ПОЧТИ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ» ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ РОСТА ЗЕРЕН И.В. Блинова, В.В. Гусаров, И.Ю. Попов
Предложено «почти квазистационарное» приближение для задачи об устойчивости фронта кристаллизации. Оно эффективно на начальной стадии роста зерен. Рассмотрена устойчивость цилиндрического и сферического фронтов. Учтены капиллярные силы. Проведен численный эксперимент.
1. Введение
Производство кристаллических материалов из расплавов интересно как единственный метод, позволяющий получить материалы с заданной морфологией зерен [1], которая предопределяется в основном формой зародышей, отношением скоростей за-родышеобразования и роста зерен и формой растущих частиц. Обычно для описания процесса используют феноменологические модели и численные эксперименты. Теоретические модели конструируют на основе макронеравновесной феноменологической термодинамики, метастабильных диаграмм фазовых состояний [2] и кинетических диаграмм затвердевания [3]. Эти модели основаны на концепции локально равновесного процесса затвердевания [4]. Но для моделирования высокой скорости движения фронта необходимо учитывать неравновесные кинетические эффекты [5]. Такие модели нужны для процессов быстрого охлаждения (например, более чем 105 K/с для металлов). Скорости охлаждения при производстве материалов с использованием техники расплавов значительно меньше, поэтому приемлемы локально равновесные модели. Анализ устойчивости фронта затвердевания и исследование дендритного роста основаны на квазистационарном приближении [2, 4, 6-9]. Но это приближение является грубым на начальной стадии процесса, когда размер частиц мал, а изменение кривизны поверхности значительно. В нашей статье предлагается более точная модель для этой стадии процесса. Рассмотрены сферические и цилиндрические зародыши [10]. Отметим наличие большого числа математических работ, посвященных задаче Стефана, близкой к рассматриваемой (см., например, [11-13]).
2. Сферическая граница
Стартуем со стандартного уравнения, когда граница движется со скоростью и : pcpT't-кМ + pcpQ ldiv(TU) = 0. (1)
Здесь p - плотность, cp - удельная теплоемкость жидкости, Q - удельная теплота
плавления на единицу объема твердой фазы, T - температура, и - скорость границы раздела. В качестве невозмущенной рассматриваем ситуацию, когда фронт сферичен и его радиус r0 растет обратно пропорционально радиусу [2]: и = ur0-2r .
Замечание. В некоторых работах предполагают другую зависимость от r0 :
u = (и-1 + U)r-1r, (2)
но для малых r0 вторым членом можно пренебречь.
Пусть т = Tcp /Q, l = к(pcpU) 1. Тогда (1) принимает безразмерный вид:
p
1Дт = r~1т'г + r"Ч + иЛ;. (3)
Заметим, что в [2] и [6] рассматривают квазистационарное приближение, т.е. решают уравнение Лапласа и предполагают, что решение зависит от времени. Мы же учитываем, что временная зависимость приводит к изменению исходного уравнения.
Пусть индекс 1 относится к твердой, а 2 - к жидкой фазе. На границе Г имеем следующие условия:
т|Г = т2 |Г = TmcpQ Л (4)
Nv( -т2 )г = (l - a'tr /|u|)Nr /r)|Г . (5)
Здесь N - единичная нормаль к границе. В невозмущенном случае со сферической симметрией имеем:
lrzl +(2l-l)T -т = 0 (6)
Решением (6) является следующая функция [15]:
т = r )/Z (i-l)/1 (2i(r /1 )1/2),
где Zb - цилиндрическая функция. Имеем
Ti = AI a-l)/i (2(r /1)1/2), т 2 = BI(i-0/l (2(r /1)1/2)+ CK (i-,)/i (2(r /1)1/2). (7)
Коэффициенты A, B, C определяются из условий (4), (5).
Рассмотрим возмущение ~(г,в,ф)ехр^ основного решения. Разделяя переменные, получаем
т(г,в,ф) = R(r )0(в,ф), (8)
Де,ф0-хе = о, (9)
г2R" + г(2-1 /l)R' + Г1 (х-уг2 /и-г)r = 0. (10)
Здесь Двф есть оператор Лапласа-Бельтрами (угловая часть оператора Лапласа). Учитывая периодичность по углу р, находим решение (9): X = -n(n +1),
0= ¿ (АптСо^тф + Bnm sinm^) \cos е), (11)
m=0
где n - натуральное, pfm)- присоединенный полином Лежандра. Радиальное уравнение (10) дает:
R(t) = exp- g /2г рц(£),
где
П = cf (- B, A,g) + cg1"AF(1 - B - А,2 - A,g,
g = -2г ((ul )-1 )Г, A = 2 в + 2 -1-1,
B = р(1 -1 / (2l ))-(/иу-1)) 2 / (2l), в есть корень уравнения
в2 +(1 -1 /l )- n(n +1)/I = 0, F - функция Похгаммера [14].
Чтобы оценить устойчивость возмущенной границы, используем следующие соображения. Температура на границе равна температуре затвердевания. Пусть г = а(в,ф)
- уравнение границы и г = a0 = ut - уравнение невозмущенной границы. Уравнение (5) дает |
Nv~ = ( - ~'r(a0))asinв - ~в sinва'е - тфаф = (1 - уа0 /|и|)asinв/l Следовательно,
-2 У = иао
1 _ I
т'г и
\\
Тг хг т0а0а
asin
(12)
Используем следующее приближение для возмущенного фронта: а(е,ф) = а0 - т(а0,е,ф)/тг'(а0,0,ф). (13)
Подстановка (13) в (12) дает условие устойчивости для различных 0,ф . А именно, если значение у, полученное из этого соотношения, положительно, возмущение в этом направлении будет нарастать (т.е. имеем нестабильность). Если же оно отрицательно, то возмущение убывает (т.е. невозмущенный фронт устойчив). Можно рассмотреть ситуацию для различных членов суммы (11), т.е. для различных т, п, получая информацию об устойчивости конкретного возмущения сферической границы.
Можно рассмотреть случай постоянной скорости фронта и = и0г ~1г , когда имеем 1Ат = х'г + 2т/1 + т' /и0 (14)
вместо (3). Следовательно, в случае сферической симметрии невозмущенное уравнение есть
т'г+ 2т/1 = 1т"г + 21т'г / г . Соответствующее решение (ср. с (7)):
г
Т = А ехр г /1, т2 = В ехр г /1 + С ехр г /11и_2 ехр- и / Ши . (15)
I
Что касается возмущенного решения, то его угловая часть ©(0, ф) та же, а уравнение для радиальной части Я(г) таково:
г2 Я' + (2 - г /1 )гЯ' +1- (л - 2г - уи-1г2 )я = 0 (16)
Заметим [15], что (16) можно свести к ги" + 2(к +1У -1- (1 + г( / и0 +1 /(41))) = 0,
где
Я(г) = гк ехр г /(21 )и(г), к = 1/2 + (1/ 4 -Л/1 )1/2.
Чтобы учесть поверхностное натяжение, используем первое приближение для соответствующего квазистационарного решения Лангера [2]
и0
(г ) =
-Д + 00 (а-И 1, г > а,
0
2ё,
а0
0 г < а0.
В этом случае общее решение есть и0 (г) + т , а т удовлетворяет неоднородному уравнению:
1А~ - г-т'- и|Т'- г= г- (и' - и0). (17)
Уравнение для «углового» множителя то же, что и ранее, а для «радиального» множителя получаем соответствующее неоднородное уравнение. Общее решение радиальной части (17) (т.е. неоднородного уравнения, соответствующего однородному уравнению (10)) есть
гг
Я = Я2 |(и0 - и0)- |(и0 - и0)+ С1Я1 + С2Я2, а0 а0 где Ж = ЯЯ - Я1'Я2 - вронскиан линейно независимых решений Я1, Я2 однородного уравнения. Коэффициенты С1, С2 определяются из граничных условий. Отметим, что в рассматриваемом случае выражение (13) заменяется на
г
г
гДа0Дф)
Здесь К - средняя кривизна. Подстановка т = Я& в (12) дает нам значение характеристического параметра у при учете поверхностного натяжения. А именно, получаем
следующее выражение:
-2
у = иа0
( а Ka 2 а ( т а ^
а0кап ш„ , ' ' -i 1ФиФ
Т' Т' ТМва
1 -.^т^ - -/
от' ти
a sin#
(19)
yy
3. Цилиндрическая граница
Рассмотрим случай, когда невозмущенная ситуация соответствует цилиндрической границе, движущейся со скоростью, пропорциональной r- : V = vp lep, где р,ф,z - цилиндрические координаты, ep - соответствующий единичный вектор. Основное уравнение, соответствующее (3), будет таким:
/Лт = т'/u + т/ p (20)
Для невозмущенного случая с цилиндрической симметрией и т' = 0 имеем
pr'Pp+r'p-T/p = 0 (21)
Решение (21) есть [15]
т(р) = Zo (2i(p/1Г ).
Значит, аналогично (7), получаем:
Т1 = AIo ((p/1 )1/2),
т 2 = Я! 0 ((p/1)1/2)+ CKo ((p//)1/2). (22)
Константы A, В, C определяются из граничных условий. Возмущенное решение ищем в виде
т = exp ytZ (z ^)ф(ф). (23)
Уравнение (20) дает
Z " + juZ = 0, (24)
ф" + n 2ф = 0, (25)
p2R' + pR' - /- ((/ + у / v)p2 +p + n2/)r = 0 . (26)
Здесь / > 0, n - целое Соответствующее решение есть Z = A cos jUV2z + В sin /и1'2z , ф = C cos пф + D sin пф,
R = p-1/2 F (-(4(/v + u)// )-1/2, n,2p((r/v + u) / / )1/2). Здесь F есть функция Похгаммера.
На поверхности Г, которая задается уравнением p = а^,ф), граничное условие (4) имеет вид
T'p - Т'р - az~; - (pa)-1 Тффг = (1 - Ya /|v|)// . (27)
Используем приближение для возмущенной границы
а = а0 -т/Т , (28)
аналогичное (13). Здесь а0 - радиус невозмущенной цилиндрической границы. Тогда (27), (28) дают
( 2 л
у = иа-2 1 --Т--1(тр-Тр- а'Т'- а~2Тф)
I итр J
Здесь сделана подстановка р = а = а0 - т/ т'р.
Условием устойчивости будет у > 0, а неустойчивости, соответственно, у < 0 .
Главный член ш-2 совпадает с тем, что получен в [2, 6] (при отсутствии капиллярных
эффектов). Можно видеть, что для некоторых размеров образца и для некоторых направлений наблюдается устойчивость. Экстремальный рост в некоторых направлениях может быть началом дендритного роста.
Если учитывать поверхностное натяжение, то надо произвести изменения, аналогичные сферическому случаю. В частности, выражение (28) заменяется на
а = а0 -(т + С0К)/т'р, (30)
где К - средняя кривизна. Окончательно получаем
- 2
у = ш0
( С0 Ка0 та0
р °т'р j
1 - СТ I (р-Тр- аТ'-а - Тф)
V °тр °тр
Поверхностное натяжение дает, естественно, стабилизирующий эффект.
(31)
4. Результаты моделирования и обсуждение
Проведено численное моделирование роста частиц с цилиндрической симметрией. Рассматривается двумерный случай. Начальный фронт - окружность. В начальный момент частицы хаотически движутся с заданной величиной скорости. Изучается два процесса осаждения молекул: 1) на окружность, 2) на возмущенную окружность.
1) При моделировании предполагается, что при достижении частицей фронта она далее может перемещаться лишь по направлению к центру, если там имеется свободное место. При этом скорость перемещения прилипших частиц другая, чем в свободном состоянии. В результате частицы образуют компактную структуру, показанную на рис. 1.
Рис.1. Осаждение молекул на гладкую поверхность.
2) В другой ситуации рассматривается изначально возмущенный фронт (рис. 2).
Рис. 2. Начальное состояние возмущенного фронта.
Далее, мы допускаем возможность для прилипших частиц перемещаться и в касательном к окружности направлении, что моделирует влияние поверхностного натяжения. На рис. 3-7 показаны результаты моделирования в случае различных отношений тангенциальной и нормальной скоростей прилипших частиц.
Рис. 3. Отношение скоростей - 1/50
Рис. 4. Отношение скоростей - 1/55
Рис. 5. Отношение скоростей - 1/60
Рис. 6. Отношение скоростей - 1/75
Рис. 7. Отношение скоростей - 1/250
При отношении скоростей менее 1/50 (в этой ситуации капиллярные силы играют решающую роль) фронт затвердевания устойчив. Это соответствует случаю, когда
4.Као близко к 1. Что касается нашей формулы (31) и соответствующих формул в [2,
6], то разница составляет около 15-20 % (на начальной стадии роста зерна). Когда кривизна фронта становится малой, разница уменьшается, и становится предпочтительно использовать формулы [2, 6] ввиду их простоты. При меньших значениях отношения скоростей наблюдается неустойчивость фронта (в частности, при отсутствии поверхностного натяжения)
Выводы
Рассмотрен процесс роста зародышей. Изучена устойчивость фронта затвердевания для зерен сферического и цилиндрического типов. Этот анализ важен для начальной стадии процесса, когда размер частиц мал. Здесь вероятность неустойчивости ве-
лика. Заметим, что начальная стадия процесса предопределяет характер эволюции системы, поэтому изучение его важно при разработке методов получения поликристаллических материалов с заданной структурой с использованием технологии расплавов [1618].
Подобная неустойчивость изучалась в [2, 6] для локально равновесного процесса в рамках квазистационарного приближения. Мы рассматриваем более общий случай, а именно, учитываем, что при изменении радиуса зерна изменяется и основное уравнение. Получено условие устойчивости в «почти квазистационарном» приближении. Учтены капиллярные силы. Заметим, что в [2, 6] поверхностное натяжение тоже учтено. Однако в квазистационарном случае капиллярные силы являются единственным стабилизирующим фактором. В нашем же, более точном, приближении получается, что геометрические факторы тоже могут играть стабилизирующую роль. Проведено численное моделирование роста зародыша цилиндрического типа Работа поддержана грантом РФФИ.
Литература
1. Bourdillon A.J., Tan N.X., Savvides N., Sharp J. Gravity aided texture growth in ceramic superconductors // Modern Phys. Lett. B 1989. V. 3. № 14. P. 1053-1060.
2. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth. // Rev. Modern Phys. 1980. V. 52. № 1. P. 1-28.
3. Борисов В.Т. Кинетические диаграммы для кристаллизации сплавов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142. С. 69-71.
4. Ivantsov G.P. Temperature field around spherical, cylindrical and spinelike crystal growing from supercooled melt // Dokl. Akad. NaukSSSR. 1947. V. 58. P. 567-569.
5. Galenko P. Local-nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux. // Phys. Lett. 1994. V. 190 A. P. 292-294.
6. Mullins W.W., Sekerka R.F. Morphological stability of a particle growing by diffusion or heat flow. // J. Appl. Phys. 1963. V. 34. № 1. P. 323-329.
7. Karma A., Langer J.S. Impurity effects in dendritic solidification. // Phys. Rev. 1984. V. 30A № 6. P. 3147-3155.
8. Галенко П.К., Журавлев В.А. Физика дендритов. М.: Металлургия, 1993.
9. Brener E.A., Saito Y., Muller-Krumbhaar H., Temkin D.E. Growth of spine-like crystal near wall // JETP Lett. 1995. V. 61. № 4. P. 285-289.
10. Kuzovlev Yu.E., Soboleva T.K., Filippov A.E. Appearing of «wire-like» structures in the process of nucleation // JETP Lett. 1995. V. 58. « 5. P. 353-357.
11. Visintin A. Pattern evolution // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa . 1990. V. 17. « 2. P. 197- 225.
12. Doole S.H. A Stefan-like problem with a kinetic condition and surface tension effects .// Mathl. Comput. Modelling 1996. V. 23. « 3. P. 55-67.
13. Радкевич Е.В. Условия существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон Гиббса-Томсона). // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. С. 13111315.
14. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. New York: McGraw-Hill,1953.
15. Kamke E. Di_erentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen. 1, Leipzig. 1959.
16. Jin S. Processing techniques for bulk high-Tc superconductors // J. Metals 1991. V. 38. № 2. P. 7-12.
17. Tretyakov Yu.D., Kazin P.E. New problems and solutions in material science for superconducting cuprates // Neorgan. Mater. 1993. V. 29. № 12. P. 1571-1581.
18. Oleynikov N.N., Lee S.R., Goodilin E.A., Kazin P.E. A modified QMG method of high Jc YBCO preparation. // J. Alloys Compounds. 1993. V. 195. P. 27-29.
