CC BY
14
УДК 519.7
ПОБУДОВА МОДИФ1КОВАНО1 ДОСКОНАЛО1 ФОРМИ СИСТЕМИ ЗАЛИШКОВИХ КЛАС1В НА ОСНОВ1 РОЗВ'ЯЗКУ СИСТЕМ КОНГРУЕНЦ1Й М.М. Касянчук1
На 0CH0Bi розв'язку систем конгруенцiй розроблено метод побудови набору з трьох модулiв, що утворюють модифiковану досконалу форму системи залишкових класiв, за умови, коли вщома рiзниця мiж першими двома модулями. Отримано умову юнування вiдповiдного набору з трьох модулiв i описало графiчнi залежност третього модуля вiд рiзних заданих параметрiв. Представлено анал^ичш вирази для пошуку третього модуля та можливого дiшазону обчислень. Показало, що будь-яю три послiдовнi елементи у послщовносй Фiбоначчi утворюють модифшовану досконалу форму системи залишкових клаив.
Ключов1 слова: система залишкових клаив, модифжована досконала форма, модуль, конгруенцш, розпаралелення.
Вступ. На сьогоднi, у зв'язку i3 значним ростом o6'eMiB обчислень [1], де-далi бшьше уваги привертають до себе непозицшш системи числення, в яких можлива реалiзацiя розпаралелення процесу виконання арифметичних опера-цiй. Однieю з них е система залишкових класiв (СЗК) [2]. До ii недолiкiв вщно-сять труднощi пiд час виконання немодульних операцiй [3], зокрема, порiвнян-ня чисел, дшення [4], визначення знаку числа, оцшка виходу результату за до-пустимий дiапазон тощо. Однак безсумнiвними перевагами СЗК е вщсутшсть мiжрозрядних переносiв, оскiльки додавання, вiднiмання, множення, пiднесен-ня до степеня тощо виконуються окремо i незалежно по кожному модулю над малорозрядними операндами, ят меншi вiд вибраних модулiв, що дае змогу розпаралелити виконання вказаних операцiй шляхом розподiлу по ядрах бага-тоядерних процесорш [5]. Це особливо актуально з огляду на активний розви-ток високопродуктивних обчислювальних систем, якi необхiднi для таких су-часних галузей, як кодування iнформацiйних потокiв [6], оброблення зображень [7], бiометрична iдентифiкацiя [8], криптографiя [9], виконання високорозмiр-них матричних обчислень [10] тощо.
Анамз лiтературних джерел та постановка задачг У СЗК будь-яке цiле додатне число N десятково! системи числення видаеться у виглядi набору (bj, b2, ■■■, bn) p1, p2,,,,, pn найменших неввд'емних залишкiв вiд його дшення на фжсо-ванi цiлi додатнi попарно взаемно проста числа р1, ръ~, рп (bi=N mod p), яю на-зивають модулями (п - юльккть модулш) [11]. При цьому мае виконуватись
п
умова 0<N<P—1, де P = Д pi.
1=1
Зворотне перетворення в десяткову систему числення вiдбуваеться згiдно з китайською теоремою про остачi i е досить громiздким [11]:
N = [tb£, jmodP, (1)
1 доц. М.М. Касянчук, канд. фiз.-мат. наук - Тернопшьський нацюнальний eKOHOMi4Ha0: университет
P
де: Bi=Mimi, M, = —, mt = M-1 modpt. Pi
Ця процедура мае значну обчислювальну складшсть, що також е одним i3 iстотних недолiкiв СЗК. У сери робiт [12-16] розглянуто методи пiдбору моду-л1в, що утворюють модифiковану досконалу форму (МДФ) СЗК, у якiй вико-нуеться така рiвнiсть:
mt = M-1 mod p =±1. (2)
Це дае змогу уникнути виконання громiздкоí операцií пошуку оберненого елемента за модулем. Розробщ ще одного такого методу на основi розв'язку систем конгруенцш, коли вiдома рiзниця мiж першими двома модулями, i присвячена дана робота.
Виклад основного MaTepiany. Не порушуючи загальностi, згiдно з [12], обмежимо нашi мiркування трьома модулями. У випадку великорозрядних чисел, коли задана рiзниця мiж другим та першим модулями (p2-p1=q<p1, причому p1 i q повиннi бути взаемно простими), представимо ix у такому виглядi: p1=qn-r, p2=qn-r+q i побудуемо систему рiвнянь для МДФ СЗК, вiдповiдну (2):
(qn - r) p3mod(qn - r + q) = qp3mod(qn - r + q) = +1
< (qn - r + q) p3mod (qn - r) = qp3mod (qn - r) = ±1 (3)
(qn - r)(qn - r + q) mod p3 = ±1.
Розглянемо спочатку першi два рiвняння (3), яш з урахуванням вщповвд-них математичних перетворень набудуть такого вигляду:
| z mod (qn - r + q) = +1
I z mod (qn - r) = ±1,
де z=qp3.
Ця система розв'язуеться за допомогою китайсько1 теореми про залишки, що передбачае пошук оберненого елемента за модулем. Оскшьки вираз (4) роз-глядаемо в загальному виглядi, без числових значень, то в цьому випадку засто-сувати розширений алгоритм Евклща неможливо. Для пошуку оберненого елемента зручно використати метод, описаний у [17]. До 1 потрiбно додати модуль i перевiрити, чи дiлиться отриманий результат нацшо на вiдповiдне число. Як-що нi, то модуль додаеться доти, поки результат не буде цшим числом, яке i е шуканим оберненим елементом. Отже:
, ,-1 , , , , кЛqn - r + q) +1
(qn - r) mod (qn - r + q )=-q 'mod (qn - r + q ) =--^--:
q
(qn - r + q) 1mod (qn - r) = q-1mod (qn - r) = к (qn—r) +1,
(5)
(6)
r
q
1nod(qn - r) = q 'mod(qn - r) = ~ -'
q
де к1, к2 дор1внюють кiлькостi доданих модул1в (qn - r + q) та (qn - r) ввдповвд-но. Тодi запис виразу розширеного алгоритму Евклiда
к (qn - r) +1, , к (qn - r + q)+1, ,
--(qn - r + q)--^--1-(qn - r )= 1 (7)
показуе рiвнiсть коефiцiентiв к1 = к2 = к в обох рiвнянняx (5) i (6).
-1 ,t \t \ k (qn - r)(qn - r + q)+1 p3 =-q 1mod (qn - r)( qn - r + q)=----—---=
(10)
(11)
Далi розглядаемо китайську теорему про залишки для чотирьох випадов, записаних в (4): (1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1). Друга та третя пари залишюв при-водять до складних для аналiзу вираз1в:
j/ ^ ^ ,2k(qn - r)(qn - r + q) + 2(qn - r) + q
z mod(qn - r)(qn - r + q) = ±——-—-—-—--—- mod(qn - r)(qn - r + q), (8)
q
з яких, як показують чисельнi розрахунки, отримуеться або p3< p2, або взагалi не виконуеться трете рiвняння системи (3).
З першо! та четверто! пари залишкiв можна записати
z mod (qn - r + q)(qn - r ) = ±1. (9)
Тодi з (9), аналогiчно до (5), (6), шукаються вiдповiднi оберненi елементи:
-1 ,t \t \ кз (qn - r)(qn - r + q)+1
p3 = q mod (qn - r)( qn - r + q)=—^-—--;
q
qn q
(b - k3) (qn - r)(qn - r + q) -1
q '
де k3 дорiвнюе юлькосп доданих модулiв (qn - r + q) (qn - r). Дал^ враховуючи (10), (11), з третього р1вняння (3):
r 2 ± 1
p3 = qn (n +1)-r(2n +1)+-. (12)
q
На рис. 1 показано залежнкть модуляр3 ввд параметрiв q та r при n=3, а на рис. 2 - залежнiстьр3вщ n та r при сталш рiзницi q=p2 -р1=5, зпдно з (12), де в чисельнику останнього доданка прийнято (r2-1). Як видно з рис. 1, при малих q i великих r модуль р3 змiнюеться гiперболiчно, в iнших випадках - лiнiйно. На рис. 2 графком е параболо!'д, а модуль р3 зростае штенсившше при малих r i великих n.
Це пояснюе, що, наприклад, для q=7 третiй модуль можна знайти тшьки при r=1 та r=6. Крiм цього, якщо р2-р1=1, тобто q=1, r=0, або jp2-/'1=2 (q=2, r=1), то третi модулi можуть набирати по два значения вiдповiдно: р3= n2+n±1 та р3= 2n2-(1±1)/2. У табл. 1 наведено аналиичш вирази для третього модуля р3 та можливого диапазону обчислень Р залежно вiд числа n при змЫ значення q вiд 1 до 7. Щкавим е випадок, коли третiй модуль дорiвнюе сумi абсолютних величин двох попередшх. Тодд з (12) можна отримати
r2 ±1
qn (n +1)-r (2n +1)+--= 2 (qn - r)+ q. Перейшовши до квадратного рiвияния
q
r2 - qr (2n-1) + q2 (n2 - n-1)± 1 = 0 ввдносно r, знайдемо:
r = q (2n-^V 5q2 ± 4 (14)
2 '
тобто вираз (5q2±4) мае бути повним квадратом деякого числа. У табл. 2 представлено можливi набори модулiв, отриманi згiдно з (14), для рiзних q.
Рис. 1. Залежтсть модуля р3 в^д Рис. 2. Залежтсть модуля р3 в^д
параметрiв q та г при п=3 параметрiв п та г при сталш
рiзницi модулiв q=р2 -р1=5 З виразу (12) випливае умова юнування третього модуля, яка мае вигляд
г2то&ц = ±1. (13)
Табл. 1. Аналтичт вирази для модуля р3 та можливого дiапазону обчислень Р
залежно вiд числа п при змiнi параметрiв q та г
№ ц г Р1 Р2 Р3 Р
1 1 0 п п+1 пг+п+1, пг+п-1 пц+2п"+2пг+п, п4+2п^-п
2 2 1 2 п-1 2 п+1 2п2, 2пМ 8п4-2п7, 8п4-6п7+1
3 3 2 3 п-2 3 п+1 3п7-п-1 27п4-18п'-12п7+5 п+2
4 3 1 3 п-1 3 п+2 3п7+п-1 27п4+18п'-12п7-5 п+2
5 4 3 4 п-3 4 п+1 4п1-2 п-1 64^-64^-12^+14 п+3
6 4 1 4 п-1 4 п+3 4пА+2 п-1 64^+64^-12^-14 п+3
7 5 4 5 п-4 5 п+1 5п2-3 п-1 125п4-150п'+27 п+4
8 5 3 5 п-3 5 п+2 5пг-п-1 125^-50^-50^+11 п+6
9 5 2 5 п-2 5 п+3 5п7+п-1 125^+50^-50^-11 п+6
10 5 1 5 п-1 5 п+4 5п7+3 п-1 125п4+150п'-27 п+4
11 6 5 6 п-5 6 п+1 6п-4 п-1 216^-288^+30^+44 п+5
12 6 1 6 п-1 6 п+5 6п^+4 п-1 216п4+288п"+30пМ4 п+5
13 7 6 7 п-6 7 п+1 7^-5 п-1 343п4-490п'+84п7+65 п+6
14 7 1 7 п-1 7 п+6 7^+5 п-1 343п4+490п'+84п7-65 п+6
Табл. 2. Можливi набори модулiв, отримат згiдно з (15), для рiзних q
№ ц г Рх=цп-г р2= цп-г+ц Р3=Р1+Р2
1 1 п-2 2 3 5
2 2 2 п-3 о 3 5 8
3 3 3 п-5 5 8 13
4 5 5 п-8 8 13 21
5 8 8 п-13 13 21 34
6 13 13 п-21 21 34 55
7 21 21 п-34 34 55 89
Зпдно з даними табл. 2, значения отриманих модyлiв, параметра q, а також ввдповвдних числових величин для r утворюють послiдовнiсть Фiбоначчi, у якш кожен наступний елемент дор1внюе cyMi двох попереднiх. Крiм цього, параметр r записуеться аналiтично, однак модyлi, що отримуються з його допомогою, на-бувають конкретних числових значень.
Висновки. У цiй роботi представлено метод побудови набору з трьох мо-дyлiв, якi утворюють модифшовану досконалу форму системи залишкових кла-сiв, на основi розв'язку систем конгруенцш за умови, коли ввдома рiзниця мiж першими двома модулями. Отримано формулу, яка визначае умову кнування вiдповiдного набору модyлiв, та описано графiчнi залежностi третього модуля ввд рiзних параметр1в. Представлено аналиичш вирази для пошуку третього модуля та можливого дiапазонy обчислень, mi визначаються вiдповiдно другим та четвертим степенями рiзницi перших двох модyлiв. Показано, що бyдь-якi три послвдовш елементи у послiдовностi Фiбоначчi утворюють модифiкованy досконалу форму системи залишкових клас1в.
Лiтература
1. Задiрака В.К. Комп'ютерна арифметика багаторозрядних чисел / В.К. Задiрака, О.С. Олексюк. - К. : Вид-во НУ "Львшська полiтехнiка", 2003. - 264 с.
2. Omondi A. Residue number systems: theory and implementation / A. Omondi, B. Premkumar. - London : Imperial College Press. - 2007. - 296 p.
3. Краснобаев В. А. Метод арифметического сравнения данных, представленных в системе остаточных классов / В.А. Краснобаев, А.С. Янко, С.А. Кошман // Кибернетика и системный анализ : сб. науч. тр. - 2016. - Т. 52, № 1. - С. 157-162.
4. Chervyakov N.I. An Approximate Method for Comparing Modular Numbers and its Application to the Division of Numbers in Residue Number Systems / N.I. Chervyakov, M.G. Babenko, P.A. Lyakhov, I.N. Lavrinenko // Cybernetics and Systems Analysis. - 2014. - Vol. 50, № 6. - Pp. 977-984.
5. Pikh V. Synthesis of High-performance Components of Spectral Analyzers and Special Processors for Data Encryption in Rademacher-Krestenson's Theoretical-numerical Basis / V. Pikh, V. Kimak, B. Krulikovskyi // Proceedings of the XIII-th International Conference "The Experience of Designing and Application of CAD Systems in Microelectronics (CADSM-2015)". - Polyana-Svalyava (Zakar-pattya), Ukraine. - 2015. - Pp. 182-184.
6. Yatskiv V. Multilevel method of data coding in WSN / V. Yatskiv, Su Jun, N. Yatskiv, A. Sac-henko, O. Osolinskiy // Proceedings of the 2011 IEEE 6th International Conference on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Technology and Applications (IDAACS-2011). -Prague, Czech Republic. - 2011. - Pp. 863-866.
7. Березький О.М. Статистичне оброблення цнтолопчних зображень / О.М. Березький, К.М. Березька, С.Ю. Потна, Г.М. Мельник // Вюник Хмельницького национального ушверсите-ту : зб. наук. праць. - Сер.: Техшчш науки. - 2012. - № 5. - С. 161-164.
8. Andrijchuk V.A. Modern Algorithms and Methods of the Person Biometric Identification / V.A. Andrijchuk, I.P. Kuritnyk, M.M. Kasyanchuk, M.P. Karpinski // Proceedings of the Third IEEE Workshop on Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Technology and Applications (IDAACS-2005). - Sofia, Bulgaria. - 2005. - Pp. 403-406.
9. Kasyanchuk M.M. Algorithms theory of RSA and El Gamal in differentiated notation of Rade-macher-Krestenson basis / M.M. Kasyanchuk, I.Z. Yakymenko, O.I. Volynskiy, I.R. Pituh // Reports of Khmelnitsky National University. Technical sciences. - 2011. - № 3. - Pp. 265-273.
10. Yakymenko I. Matrix Algorithms of Processing of the Information Flow in Computer Systems Based on Theoretical and Numerical Krestenson's Basis / I. Yakymenko, M. Kasyanchuk // Proceedings of the X-th International Conference "Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science" (TCSET-2010). - L'viv - Slavske. - 2010. - Pp. 241.
11. Николайчук Я.М. Теорiя джерел шформаци / Я.М. Николайчук. - Тернопшь : Вид-во ТзОВ "Терно-граф", 2010. - 536 с.
12. Касянчук М.Н. Теория и методы построения системы модулей модифицированной совершенной формы системы остаточных классов / М.Н. Касянчук, Я.Н. Николайчук, И.З. Якименко // Проблемы управления и информатики : сб. науч. тр. - 2016. - № 4. - С. 109-115.
13. Nykolaychuk Ya.M. Theoretical Foundations of the Modified Perfect form of Residue Number System / Ya.M. Nykolaychuk, M.M. Kasianchuk, I.Z. Yakymenko // Cybernetics and Systems Analysis. - 2016. - Vol. 52, № 2. - Pp. 219-223.
14. Kasianchuk M. Conception of theoretical bases of the accomplished form of Krestenson's transformation and its practical application / M. Kasianchuk // Proceedings of the 4-th International Conference "Advanced Computer Systems and Networks: Design and Application" (ACSN-2009). -L'viv. - 2009. - Pp. 299-301.
15. Касянчук М.М. Теорш та математичш закономiрностi досконало! форми системи за-лишкових клаив / М.М. Касянчук // Питання отишзаци обчислень (ПОО - XXXV) : пращ Мiж-нар. симшетуму. - Т. 1. - Кив - Кацивел^ - 2009. - С. 306-310.
16. Касянчук М.М. Побудова трьохмодульно! модифжовано! досконало! форми системи залишкових клаав на осж^ розв'язку квадратного ргвняння / М.М. Касянчук // 1нформатика та математичш методи в моделюванш : зб. наук. праць. - 2016. - Т. 6, № 1. - С. 19-25.
17. Касянчук М.М. Теорш алгорипшв перетворень китайсько! теореми про залишки в мат-рично-розмежованому базис Радемахера - Крестенсона / М.М. Касянчук, Я.М. Николайчук, 1.З. Якименко // Вюник Национального ушверситету "Львгвська щштехнжа". - Сер.: Комп'ютер-ш системи проектування. Теорiя i практика. - Львгв : Вид-во НУ "Львгвська полiтехнiка". - 2010. - № 688. - С. 118-125.
Надтшла до редакцп 29.09.2016р.
Касянчук М.Н. Построение модифицированной совершенной формы системы остаточных классов на основе решения систем конгруэнций
На основе решения систем конгруэнций разработан метод построения набора из трех модулей, образующих модифицированную совершенную форму системы остаточных классов, при условии, если известна разница между первыми двумя модулями. Получено условие существования соответствующего набора из трех модулей и описаны графические зависимости третьего модуля от различных заданных параметров. Представлены аналитические выражения для поиска третьего модуля и возможного диапазона вычислений. Показано, что любые три последовательные элемента в последовательности Фибоначчи образуют модифицированную совершенную форму системы остаточных классов.
Ключевые слова: система остаточных классов, модифицированная совершенная форма, модуль, конгруэнция, распараллеливание.
Kasianchuk M.M. Construction of a Modified Perfect Form of the Residual Class-Based Systems Based on Solution of Systems of Contingencies
Based on solution of the congruential systems we exploited the method of constructing a set of three modules which forming a modified form of the perfect system of residual classes, and difference between the first of two modules was taking into account. The condition of existence of the corresponding set of three modules has achieved and the graphical dependence of the third module from various preset settings has described. The analytical expressions were presented for exploration of the third module and a possible range of calculations. It was shown that some of three consecutive elements in the Fibonacci sequence have formed a modified form of perfect system of residual classes.
Keywords: system of residual classes, modified perfect form, module, congruence, paralle-lization.
