CC BY
58
УДК 621.396.96
ЗАСТОСУВАННЯ МОДУЛЯРНО1 АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ АЗИМУТА У ФАЗОВИХ ПЕЛЕНГАТОРАХ1
Куц В. Ю., к.т.н.; Куц Ю. В. д.т.н., професор
Нацгоналъний технгчний унгверситет Украгни «КиХвсъкий полтехнгчний ¡нститут», м. Кигв, УкраХна
y.kuts@ukr.net
MODULAR ARITHMETIC APPLICATION TO CALCULATE THE AZIMUTH FOR
PHASE DIRECTION FINDER
Kuts V.Y., PhD; Kuts Y. V., Doctor of Engineering, Professor
National Technical University of Ukraine, "Kyiv Polytechnic Institute ", Kyiv, Ukraine
Вступ
Фазовi радюпеленгатори e важливим класом фазових радютехшчних систем [1]. Вони призначеш для визначення пеленга - кута Mi®: напрямком на об'ект спостереження (джерело радюсигнаив з гармошчною несучою) i одшею з площин, прийнятих за початок вщлшу кутових координат. У авiа-цшнш i морськiй нашгаци зазвичай пiд пеленгом розумiють азимут.
Для тдвищення точностi визначення пеленга в широкому дiапазонi йо-го значень використовують антеннi системи з декшькома базами та збшь-шують величини баз (вiдстань мiж фазовими центрами антен). Внаслiдок цього фазовi зсуви прийнятих елементами антени сигнаив можуть багато-кратно перевищувати штервал [0,2п) !х однозначного визначення. Напри-клад, у фазовому радiопеленгаторi з базою 1 м та довжиною хвилi 0,1 м для однозначного визначення пеленга в секторi кулв (-0,25п, 0,25п) не-обхiдно забезпечити однозначне вимiрювання фазових зсувiв сигналiв в дiапазонi (-14,14л, 14,14п).
В роботах [2, 3] наведено вiдомi способи оброблення результалв фазових вимiрювань i усунення !х багатозначностi для фазових пеленгаторiв. Традицiйний спосiб полягае в тому, що точне значення пеленга отримують за результатом вимiрювань на найбшьшш базi, а вимiрювання для шших баз використовують для послщовного усунення фазово! багатозначностi вiд меншо! бази до бiльшоi. 1нший спошб, в якому всi результати вимiрю-вання використовуються i для усунення багатозначносп, i для точного ощ-нювання пеленга, грунтуеться на застосуванш до результатiв фазових ви-мiрювань принципу максимально! правдоподiбностi.
Попереднiй анашз показав, що iнший перспективний i малодослщже-
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/l 171
ний cnoci6 розв'язання дано! задачi пов'язаний з використанням системи залишкових класiв (СЗК) [4, 5, 6], яка е основою модулярно! арифметики. Ця числова система мае здатнють виявляти i коригувати помилки процесу перетворення i оброблення даних. Можливiсть використання СЗК у бага-тошкальних фазовимiрювальних системах грунтуеться на спiльнiй власти-вост - модульному характеру подання числових даних в СЗК i даних фа-зових вимiрювань [7].
Метою статл е аналiз застосування можливостей медулярно! арифметики для усунення багатозначност фазових вимiрювань пiд час обчислен-ня азимуту в фазових пеленгаторах.
Постановка завдання досл1дження
/у
Визначаеться кутова координата (азимут) джерела випромiнювання коливань вiдносно лшшно! приймально! антени фазового пеленгатора. Приймання сигнаив здiйснюеться рознесеним у просторi елементи лшшно! антени з широкими дiаграмами направленостi та щентичними фазочас-тотними характеристиками. Прийнятi сигнали мають вид
и (t,ах, li) = cos [2nft - ф1 (ax, )], t e [<°JC),
де Ui, f, ф i (ax, ^ ) - вiдповiдно амплiтуда, частота i початкова фаза сигналу на виходi /-того елементу антени (i=0, 1, 2), ф1 2 e [0,2п), ф0 = 0; li - фазо-метрична база антени; Tc - час спостереження сигналу, Tc > 1/ f. Похибка вимiрювання фазових зсувiв сигнашв вiдсутня. Необхiдно визначити умови, за яких задача ощнювання азимуту фазо-
вим методом на основi результапв вимiрювання значень фг- e [0,2п), i = 1,2
мiж елементами антени зводиться до задачi вiдновлення цiлого числа з йо-го представлення в СЗК.
Теоретичш викладки
Спочатку розглянемо питання вщновлення та обчислення цших чисел з !х поданнi залишками в СЗК. Представленi в позицшнш системi числення
цiлi числа А з певного робочого штервалу 0, А) вiдображаються в СЗК множиною невiд'емних залишкiв at вщ дiлення А на iншi цш числа - мо-дулi системи, як утворюють множину взаемно простих чисел (p, i = 1, m),
тобто АСЗК = (a1v.., am ), at e [0, pt), де ai = A mod pi, i = 1, m.
Один зi способiв вщновлення чисел А з !х представлення АсзК грунтуеться на китайськш теоремi про залишки [4]. Вщновлення А можливе у ра-зi взаемооднозначно! вiдповiдностi А та АсзК , що досягаеться виконанням наступних умов: 1) модулi системи е взаемно простими числами; 2) мак-
m
симальне вщновлюване число задовольняе нерiвностi Amax < А = ^ pi. За
i=1
виконання цих умов юнуе обернене перетворення ^ А, згiдно з яким число А обчислюеться за алгоритмом
А = £ агВ; (mod Ap ), (1)
i=1
де (B1,...Bi,... Bm) - система ортонормованих базисiв, яка обчислюеться для вибраних модулiв системи i може бути визначена за викладеною в [4] методикою.
Приклад 1. Розглянемо представлення числа А=33 в СЗК за системою модулiв (5, 7): Азк = (3, 5). Для обрано! системи модулiв максимальне вiдновлюване число Amax = 34.
Для вщновлення числа в десятковш системi числення визначимо систему ортонормованих базишв: B = (21, 15). Умова ортонормованост поля-гае у виконаннi для елеменпв базису сукупностi наступних сшввщношень: B mod p = 21mod5 = 1, B mod p2 = 21mod7 = 0, B2 mod p = 15mod5 = 0, B2 mod p2 = 15mod7 = 1. Результат обчислення за (1) дорiвнюе A = (3 • 21 + 5 -15) (mod 5 • 7) = 138mod35 = 33.
Однiею з важливих особливостей СЗК е можливють органiзацi! контролю (чи навт виправлення) помилок, якi виникають тд час отримання за-лишкiв, виконання арифметичних операцш з ними та вщновлення числа.
Для цього основу СЗК доповнюють додатковим модулем pm+1 > pt, i e 1, m
(чи декiлькома модулями). Нова СЗК (повна система) мае повний дiапазон
m+1
перетворення чисел [0, Ап), де Ап = ^ = Appm+1. Спотворення будь
i=1
якого залишку в новому представленнi (a1,..., am+1) приводить до того, що
rm+1 Л
вцщовлене число А = ^ <згВг (mod^i)? Де ~ нова система
V i=1 J
ортонормованих базисiв, переходить з робочого дiапазону 0, Ар) в забо-
ронений дiапазон
Ар, Арpm+1), що е ознакою помилки.
Приклад 2. Доповнимо систему модулiв прикладу 1 модулем 8. В новш системi модулiв (5, 7, 8) Ап = Ap • 8 = 280, а число А=33 мае представлення
Асзк = (3, 5, 1). Нова система ортонормованих базишв -B = (56, 120, 105). Обчислення за (1) дае наступний результат
у! = (3 • 56 + 5 • 120 +1 • 105)(тос15 • 7 • 8) = 873тос1280 = 33. У раз1 спотворення одного з залиппав, наприклад для Д:зк = (3, 4, 1), маемо
А = (3 • 56 + 4 -120 +1-105)(шоё5 • 7 • 8) = 753шоё280 = 193 е[33, 280].
Ця властивiсть СЗК може бути використана для оргашзацп пошуку та виправлення грубих помилок тд час обраховування даних багатошкаль-них фазових вимiрювань, в тому числi i даних фазових пеленгаторiв.
Перейдемо до визначення умов отримання результапв вимiрювань фа-
а
зового пеленгатора в СЗК. Розглянемо випадок визначення азимуту * у двобазовому фазовому пеленгаторi з лшшною антенною решггкою, пред-ставленою на рис. 1.
Рис. 1. Схема приймання сигналу рознесеними у простор! елементами антени
Елементи лшшно! антени рознесеш у просторi вщносно базового еле-мента (з шдексом /=0) на вiдстанi 11, 12. Вважатимемо, що вiдстань вiд пеленгатора до джерела сигналу набагато бшьша за базу 12, що дозволяе вважати хвилю плоскою, i крiм того /1 = р1А!, 12 = р2а/, де А/ - квант баз антени, р1, р2 - цiлi числа.
Затримка сигнаив, що надходять на перший i другий елементи антени вщносно нульового становить
/ ,ч / Бт а *
^ (а *,// ) = J--
с
I = 1,2.
(2)
де с - швидюсть поширення сигналу у середовишд.
Повнi фазовi зсуви сигнаив мiж нульовим та /-тим (/=1,2) елементами антени, з урахуванням (2), аналггично визначаються як
l
фi (а х, h ) = 2л -г sin а х, 1 =1,2 • (3)
à
a ïx доступш однозначному вимiрюванню частини в межах штервалу [0,2л)
Ф, (а х, ) = 2TC-A-P- sin а х ( mod2rc), i = 1,2, (4)
À
де à - довжина хвии в середовищi.
Оскiльки у фазовому пеленгaторi фaзовi зсуви (3) утворюються на од-нiй незмiннiй робочш чaстотi, це в загальному рaзi не дозволяе скласти для цих величин систему незалежних рiвнянь, на основi якоï можна було би отримати розв'язання зaдaчi бaгaтознaчностi вимiрювaнь. Проте модуль-ний характер залежност фi (ах, - ) вiд азимуту обумовлюе шшу можли-
вiсть усунення бaгaтознaчностi фазових вимiрювaнь на основi застосуван-ня модулярной арифметики до результалв багатошкальних фазових вимь рювань.
Отримаемо умови, за яких задача усунення багатозначност фазових вимiрювaнь, вiдповiдно i однозначного визначення азимута ах у великому секторi кутiв, зводиться до зaдaчi вiдновлення цiлого числа з його представлення в СЗК. Скористаемось принципом аналогш.
Рiвняння (4) шляхом замши D = a- sin ах та à = aàp1 p2, де AÀ - доля довжини xвилi, можна звести до рiвняння виду
Ф1(2) (а х, -i ) = 2л л ,D ( mod2^) • (5)
AÀp2(1)
Рiвняння (5) аналопчне виразу для фазового зсуву сигнаив багатошка-льного (багаточастотного) фазового вимiрювaчa вiдстaнi з усуненням бага-тозначност в СЗК [8]. Це обгрунтовуе формальну можливiсть представлення залишюв як результату обчислення цiлоï частини вщ величини D/aà за модулями p1, p2. Трансформуючи отримaнi в [8] результати на
процес оброблення фазових зсувiв у пеленгaторi зроблено наступний ви-сновок. Для зведення зaдaчi визначення пеленгу до зaдaчi вiдновлення щ-лого числа за його представленням в СЗК у двобазовому пеленгaторi необ-хщно вибрати:
1) модулi СЗК як пару взаемно простих чисел p1, p2 ;
2) бази антени пропорцiйними числам p1, p2 ;
кванти aфi вимiрювaння фазових зсувiв сигнaлiв обернено пропорцш-но значенням модулiв СЗК:
aф1 = % , aф2 = ^ •
За виконання цих умов мае мюце наступне представлення залишюв через фазовi зсуви сигнаив
и+
а1(2) (а*,11(2)):
Р2(1) 2л
Ф1(2) (а*,11(2))
(6)
Враховуючи (1) та (6), направляючий синус з похибкою до кванту ви-значення фазового зсуву обчислюеться як
Б1п а,
X
■А
X
( 2
АрР2 А/Р\Р2 V' =1
Е а (а*,/гЦ (шойА).
(7)
Рiвняння (7) дае однозначне в широкому секторi кутiв значення азимуту, проте воно мае значну похибку квантування, обумовлену рiвнем кван-тiв Афг. Для пiдвищення точностi визначення а* за рахунок використання можливостей фазових вимiрювачiв щодо прецизiйного вимiрювання фазо-вих зсувiв сигналiв, в (7) замють числа А необхщно пiдставити його уточ-нене (з дробовою частиною) значення
(2 N Г ~ „ч П+
Ат= Е а (а*, /г Ц |(Ш0Й Ар)"
V/ =1
А
2л
2лР
X
(шоё2л)
+
А
2л
2лР
X
(шоё2л). (8)
З урахуванням (7) i (8), значення азимуту вираховуеться за формулою
{ л л
аЛ
агоБт
4
X
А/Р\Рг
(9)
Сектор однозначного визначення азимуту обмежений кутом ' X л
а
*,шах
агоБт
А
шах
А/Р\Рг
Приклад обчислення азимуту у фазовому пеленгаторi iз застосуванням
СЗК
Прошюструемо процес обчислення азимуту за алгоритмом (9) у фазовому пеленгаторi числовим прикладом.
Приклад 3. Нехай плоска електромагнiтна хвиля, що змiнюеться в часi за гармошчним законом, падае на двобазову лшшну антену (рис.1) пiд ку-
том ах = 60,75 . Задамо вщношення А^ = 1,1, i нехай бази антени вiдно-
V-11
сяться як
% - /13-
Необхщно за результатами вимiрювання в штерваи [0,2л) фазових зсувiв сигнаив пеленгатора визначити азимут а*.
Виходячи з вихщних даних, приймаемо р1 = 11, р2 = 13, отже Ар = 11-13 = 143. Перевiримо коректнiсть поставлено! задачi через вико-
нання умови ах < а
х ,тах
а х,тах - агС81П
( в градусах)
л
(11-13 -1)
1
11 -13 -1,1 у
180
к
64,2 > а = 60,75
Розв'язання задачi виконаемо у 2 етапи. 1 етап - тдготовка даних (пряма задача).
Обчислення ортонормованих базишв дае наступний результат: В1 - 66, В2 - 78. Результати ощнки очшуваних фазових зсувiв сигналiв за формулами (3), (4) наведен в табл. 1.
Таблиця 1
Фазовий зсув База ¡^ База ¡2
Ф1 (ах ), рад 66,3328 78,3933
Ф/ (ах ), рад 3,501 2,9951
ча).
2 етап - визначення ах за даними фазових вимiрювань (обернена зада.
Розрахунок залишюв за виразом (6) дае наступний результат:
И+
а
1 (а х, ¡1 )-(ах, 12 )-
13
2-к 11
- 3,501
2-к
- 2,9951
-[7,2435]+- 7,
f
-[5,2435]+- 5.
Обрахування числа А за (1) дае результат
А - (7 - 66 + 5 - 78) тоё(143) -137,
а його уточненого значення за формулою (8)
А -137-5 + 5,2435 -137,2435. Значення азимуту вираховуеться за (9)
180
ах - агсБт
^137,2435л
ч 1,1-11 -13 у
- 60,7499
к
що вщповщае вихiднiй умовi прикладу.
Таким чином доведено можливють представлення даних вимiрювань фазових зсувiв сигналiв у фазових пеленгаторах в СЗК i усунення на цш основi багатозначност фазових вимiрювань. Найбiльш важлива власти-вiсть СЗК для фазового пеленгатора полягае у можливост контролю пра-вильностi усунення багатозначностi, яка реаизуеться шляхом збiльшення елементiв антени i ускладненням алгоритму оброблення даних. Це дозво-ляе зберегти високу точшсть визначення азимута в умовах значного змен-шення вiдношення сигнал/шум, що приводить до тдвищення iмовiрностi грубих помилок тд час усунення багатозначност у фазових пеленгаторах.
Тому подальшi дослщження такого способу побудови фазових пеленгато-piB буде спрямовано на розробку способу фазового пеленгування для ви-падку використання лшшно1 антени з числом фазометричних баз три i бь льше.
Висновки
Використання властивост модульностi фазових зсувiв сигналiв дозво-ляе використати можливостi модулярно! арифметики для фазометрiï i звес-ти усунення багатозначностi фазових вимiрювань в пеленгаторах до задачi обчислення цшого числа з його представлення залишками за певною системою модулiв. Така можливiсть реаизуеться вибором фазометричних баз антени пеленгатора та кванлв вимiрювання фазових зсувiв сигнаив з ште-рвалу [0, 2п) пропорцiйно модулям системи залишкових класiв.
Отриманi результати перевiренi на задачi обчислення азимуту у двоба-зовому фазовому пеленгаторi з вщношенням баз 11/13 та розрахунковим максимальним значенням азимута ~ 64о.
Застосування модулярноï арифметики до процесу усунення багатознач-ностi вимiрювань у разi збiльшення числа баз бiльше двох дозволить нада-ти фазовому пеленгатору новоï властивостi - здатностi до виявлення та ви-правлення грубих помилок.
В подальшому необхiдно провести додатковi дослiдження з метою ана-лiзу обчислювального процесу та оцшювання вiрогiдностi виявлення помилок усунення багатозначност фазових вимiрювань у пеленгаторi в за-лежностi вiд вщношення сигнал/шум.
Перел1к посилань
1. Пестряков В. Б. Фазовые радиотехнические системы (основы статистической теории) / В. Б. Пестряков. - М. : Сов. Радио, 1968. - 468 с.
2. Денисов В. П. Фазовые радиопеленгаторы / В. П. Денисов, Д. В. Дубинин. -Томск: Томский госуд. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2002. - 251 с. -ISBN 5-86889-067-1.
3. Денисов В.П. Исследование работы фазового пеленгатора с квазиоптимальным устранением неоднозначности на наземних трассах / В. П. Денисов, В. Д. Дубинин, М. В. Крутиков, А. А. Мещеряков // Доклады ТУСУРа. - № 2 (24), часть 1. - 2011. - С. 715.
4. Акушский И. Я. Машинная арифметика в остаточных класса / И. Я. Акушский, Д. И. Юдицкий. - М. : Сов. радио, 1968. - 440 с.
5. Omondi A. Residue Number Systems. Theory and Implementation / Amos Omondi, Benjamin Premkumar. - London : Imperial College Press, 2007. - 296 p.
6. Куц В. Ю. Представлення i оброблювання даних вимiрювань в системi залишкових клаав // Комплексне забезпечення якост технолопчних процеав та систем ; матер. V м1жнар. наук.-практ. конф. - Черншв, 2015. - С.257. - Режим доступу: http://www.stu.cn.Ua/media/files/conference/Tezy%20-%202015.pdf#257
7. Куц Ю. В. Статистична фазометр1я / Ю. В. Куц, Л. М. Щербак. - Тернопшь: Тер-нопшьський державний техшчний ушверситет, 2009. - 383 с. - ISBN 966-305-013-6.
8. Куц Ю. В. Вим1рювання кумулятивних фазових зсув1в / Ю. В. Куц // Техшчна
електродинамша. - 2001. - №5. - С. 67-72.
References
1. Pestryakov V. B. (1968) Fazovye radiotekhnicheskie sistemy (osnovy statisticheskoi te-orii) [Phase radio engineering systems (basic statistical theory)]. Moskow, Sov. Radio, 468 p.
2. Denisov V. P. and Dubinin D. V. (2002) Fazovye radiopelengatory [Phase finders]. Tomsk, TUSUR, 251 p.
3. Denisov VP., Dubinin D.V., Krutikov M.V., Mescheryakov A.A. (2011) Quasioptimal method to avoid the ambiguity of bearing estimation by terrestrial finder. Proceedings of Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, No 2-1, pp. 7-15. (In Russian)
4. Akushskii I. Ya., Yuditskii D. I. and Akushskii I. Ya. (1968) Mashinnaya arifmetika v ostatochnykh klassa [Machine arithmetic in the residual class]. Moskow, Sovetskoe radio, 440 p.
5. Omondi A. and Premkumar B. (2007) Residue Number Systems. Theory and Implementation, London, Imperial College Press Publ, 312 p. doi: 10.1142/9781860948671
6. Kuts V. Yu. (2015) Predstavlennia i obrobliuvannia danykh vymiriuvan v systemi zalyshkovykh klasiv [Submission and processing of measured data in the residual number system]. Kompleksne zabezpechennia yakosti tekhnolohichnykhprotsesiv ta system [Comprehensive quality assurance processes and systems], V Int. Conf., Chernihiv, p. 257.
7. Shcherbak L.M. and Kuts Yu.V. (2009) Statystychna fazometriia [Statistical phasemeter], Ternopil State Technical University, 383 p.
8. Kuts Yu. V. (2001) Vymiriuvannia kumuliatyvnykh fazovykh zsuviv [Measuring the cumulative phase shifts]. Tekhnichna elektrodynamika, No 5, pp. 67-72.
Куц В. Ю., Куц Ю. В. Застосування модулярной арифметики для обчислення азимута у фазових пеленгаторах. Розглянуто та проанал1зовано задачу однозначного визначення азимута у фазових радюпеленгаторах на основ1 представлення i обчислення результатгв вимiрювань в числовт системi залишкових кламв. Сформульовано умо-ви, за яких задача усунення багатозначностi фазового пеленгування зводиться до за-дачi вiдновлення цтого числа, представленого залишками у системi залишкових кламв. Наведено алгоритм оброблення та моделювання задачi визначення азимута у двобазо-вому фазовому радiопеленгаторi.
Ключов1 слова: фазовий пеленгатор, кутова неоднозначтсть, система залишкових класiв.
Куц В. Ю., Куц Ю. В. Применение модулярной арифметики для вычисления азимута в фазовых пеленгаторах. Рассмотрена и проанализирована задача однозначного определения азимута в фазовых радиопеленгатора на основе представления и вычисления результатов измерений в числовой системе остаточных классов. Сформулированы условия, при которых задача устранения многозначности фазового пеленгования сводится к задаче восстановления целого числа, представленного остатками в системе остаточных классов. Приведен алгоритм обработки и моделирования задачи определения азимута в двухбазовом фазовом радиопеленгаторе.
Ключевые слова: фазовый пеленгатор, угловая неоднозначность, система оста-точних классов
Kuts V. Y., Kuts Y. V. Modular arithmetic application to calculate the azimuth for phase direction finder
Introduction. Phase finders are designed for precise determination of the radiation source angular position. Avoiding the ambiguity measuring the signalphase shift exceeding 2n is an important task in such systems. A new way to solve the problem associated with the use of residue number system (RNS) is proposed.
Problem statement. Azimuth of radiation source fluctuations relative to the two bases linear receiving antenna is defined. It is necessary to define the conditions under which the problem of estimating the azimuth based on the measurement of signals phase shifts
G [0,2n) between antenna elements is reduced to the recovery of a whole number from its RNS residues.
Theoretical results. The possibility of RNS used for phase multiscale systems is based on such common property as the modular nature both numerical data RNS representations and phase measurements. The azimuth determining problem bringing to the problem of reconstructing the whole number from its RNS residues for two bases finder is necessary. Firstly, it's to select the modules RNS as a pair of relatively prime numbers; secondly, it's to select the antenna base proportional RNS modules; thirdly, it's to select the quanta of measuring the phase shift signal is inversely proportional to the value of the RNS modules:
An example of calculating the azimuth of the direction finder for the phase two bases, that confirms the correctness of the proposed method is shown.
Conclusion. The possibility of using RNS phase direction finder is implemented by selecting an antenna base and phase shift quantum measurement proportional to the RNS modules. In this case, the ability to identify and correct azimuth blunders is the process of eliminating ambiguity measurement acquiring a new quality. A new data processing algorithm and it's new property can significantly reduce the probability of serious errors in the phase finders.
Keywords: phase finder, angular ambiguity, residue number system
