CC BY
16Плотность состояний приповерхностных электронов кристалла в постоянном электрическом поле.
Пейсахович Ю.Г.( e-mail: ygp@nspu.nsu.ru) Новосибирский государственный педагогический университет
1 Введение.
Одной из важных задач физики твердого тела является изучение структуры волновых функций и энергетического спектра электронов в кристалле мезоскопического размера при наличии внешних статических полей. Во внешнем электрическом, магнитном поле, при неоднородных деформации или профиле легирования характерная длина изменения непериодической части потенциальной энергии электрона в объеме может быть порядка длины решетки. С ростом напряженности такого внутреннего поля делаются все менее эффективными применение периодических граничных условий и разложимость огибающих решений в тригонометрические ряды Фурье с основной гармоникой периода длины решетки, использование квазиимпульса и связанного с ним однородного фазового К-пространства с ячейкой на одно квантовое состояние по объему равной обратному объему кристалла.
В нашей работе [1] было показано, что при включении постоянных скрещенных магнитного и электрического полей разрушение однородности К-пространства начинается с границ зоны Бриллюэна, описывается сильной сингулярностью метрики обратного пространства по расстоянию от Брэгговской плоскости, и этот коллапс ведет к особенности в плотности состояний.
Сильнее всего электрическое поле влияет на состояния, волновые функции которых имеют самые длинноволновые огибающие и по энергии находятся вблизи порогов зон, в полосе ширины ей, где и - приложенная разность потенциалов. Электроны в этих состояниях оказываются наиболее прижатыми к границе, их формальное описание весьма напоминает описание таммовских поверхностных состояний [2]. Однако, в отличие от таммовской, поверхностная локализация в электрическом поле имеет место даже для бесконечно высокого потенциального барьера у границы.
Подчеркнем, что рассматриваемый нами случай слабого поля противоположен пределу очень сильной связи в узлах и сильного электрического поля, который приводит к спектральной лестнице Ванье-Штарка и в последнее время широко обсуждается в связи с экспериментами в полупроводниковых сверхрешетках [3]. Наша ситуация типична для металлов или полупроводников, когда, при достаточно слабой связи электронов с решеткой, из-за экранировки поля или столкновений с границами, примесями и другими дефектами в объеме на длине свободного пробега нельзя создать большую разность потенциалов, передающую электронам энергию, сравнимую с шириной зоны.
Уменьшение плотности состояний на порогах зон существенно изменяет аналитический характер ван-хововских особенностей, причем вид этих особенностей определяется не только размерностью решетки, но и очень сильно зависит от величины и ориентации внешнего электрического поля относительно кристаллографических осей . Предсказываемые зависимости проявляются в межзонной плотности состояний и доступны экспериментальной проверке по оптическим [4] и фотоэмиссионным [5] спектральным распределениям.
Выявленные особенности могут составить основу дополнительного механизма, объясняющего отклонения от линейного закона Ома в висмуте [6],[7] и некоторых полупроводниках [8]. Подробнее этот механизм будет обсужден в следующей статье [9].
2 Выбор модели.
Рассмотрим одномерную модель кристалла в статическом внешнем поле. Потенциальную энергию электрона представим в виде
и(х) = U0 (ж) + Vs(x) + V(x)
(1)
где U0 (ж) —периодическая часть энергии взаимодействия электрона с решеткой, состоящей из N ячеек с периодом элементарной трансляции с/, Vs(ж) описывает барьеры на границах при ж < 0 и ж > Nd} а У (ж) — непериодическое возмущение. Для стационарного уравнения Шредингера значения решений ф(ж) в двух точках Х\ и ж2 связаны трансфер-матрицей
М,
Х2Х\
Ф
ф>
XI
ф'
<1ф
dx
(2)
Матрица перехода МХ2Х1 выражается через матрицы Вронского фундаментальной системы решений фДж) и ф2(ж),взятые в Х\ и ж2 [1],[10]
Мх
Ф1 Ф2\
ф[ ф>2)
Ф1 Ф2\
ф[ ф’2)
(3)
Будем рассматривать состояния с энергией ниже потенциальных барьеров на границах, которые считаем прямоугольными и расположенными при Х\ = жд < 0 и Х2 = XR > Nd. Подставляя в (2) связанные с ними граничные условия фg = Х1Ф0 и фф = —ХгФй (xi и Хг ~ коэффициенты экспоненциального затухания под барьерами) имеем уравнение на спектр энергии
D(M) = М21 + Х1М22 + V 3/ц + Х1ХгМ12 = 0 (4)
в котором = 1, 2) -элементы трансфер-матрицы М = Mj^nMnoM0q, где выде-
лены матрицы перехода через нерегулярные приграничные участки (0,0) и (N,N), как и XhXr они происходят от потенциала У(ж) кристалла.
3 Энергетические зоны и таммовские поверхностные состояния.
Если непериодическое поле отсутствует V(x) = 0, то матрица перехода М = M<i0 на период решетки d является матрицей монодромии [11] для уравнения Шредингера. Ее целая степень выражается формулой Абеле [10]
Мп = Un-1(t)M-Un-2(t)I, I 2 ' S|, \/ (5)
где /—единичная матрица, а коэффициенты равны полиномам Чебышева 2-го рода
[i2]
, , sinKnd . .
Un-i(t) = ————-, \t < 1, Rd = arccos t (6)
sm A d
Е-Д) ее (sign N > h Kd = ln(|/| + yj\t\2 - 1) (7)
Волновую функцию в узле решетки х = nd получаем из
(t') „=м"Мл (4) =(I) Ч’* <8»
то есть а) собственное решение устойчиво в зоне с комплексными значениями на единичном круге характеристических показателей мультипликаторов (логарифмов собственных значений М)[4], когда |t| < 1 и огибающая волновой функции осциллирует с периодом 2жК~1, б) собственное решение неустойчиво, но может произойти таммовская локализация у граничных поверхностей для действительных значений характеристических показателей после их столкновения, когда |t| > 1, характерная длина экспоненциального затухания огибающей вглубь кристалла Аж = К~1. . Это справедливо для любой формы периодических барьеров U0 (ж) при длине кристалла L = Nd меньше длины свободного пробега электронов относительно неупругих процессов рассеяния.
Поскольку MN0 = MN, то спектральное уравнение (4) можно записать в виде
UN-^t) = AUN-2(t), А = D(rho)D(m)~1 (9)
rh = \l \ \ \l Мщ). rriQ = \l \ \ ,\/lin а) при |t| < 1 в зонах устойчивости это дает
sm(KL + 6(К)) = 0 (10)
A sin Кd
tg в(К)
1 + A cos Кd
Параметр К естественно отождествить с квазиимпульсом, однако из-за ограниченности кристалла в пространстве счетное множество допустимых значений К в зоне Бриллюэна определяется корнями уравнения
KL + 6(K) = vtt, и = 1,2,..., ЛГ — 1 (11)
Функция 6(К) описывает слабое отклонение от однородности А"—пространства на порогах вблизи границ зон Бриллюэна. Это проявляется в метрике фазового пространства квазиимпульсов
du
L
7Г
1 +
1 d6(K) L dl<
dl<
(12)
и в плотности состояний du/dE} поскольку К = К(Е) из (6), при этом в зависит от К как явно, так и через энергию, которая входит в А. Для нарушений периодичности мелкого по х масштаба (резкая граница, одиночные примеси), очевидно, что dd/dK <С L. Ниже мы покажем, что это неравенство может заметно нарушаться для возмущений периодичности U(ж), масштаб которых сравним с мезоскопическими размерами кристалла.
В рассматриваемом модельном случае 6(К) = 0, если D(rh0) = 0 или если m0 = I и XhXr оо, т.е. барьеры на границах непроницаемы.
б)при |t| > 1, ( |t| = chKd) и # > 1 из (9) получаем уравнение на спектр таммовских состояний
eRd = ±Д (13)
где верхний знак соответствует t > 1, нижний t < —1.Видно, что для пластин тоньше длины квантовой корреляции показатель К в гиперболических огибающих (7),(8) одинаков у левой и правой границы и зависит от формы барьеров на обеих. Уравнение (13) не имеет решений, если m0 = I и барьеры непроницаемы(уу, уд —> оо). .
4 Система во внешнем поле.
Если на систему действует непериодическое поле У (ж), то матрица перехода через N ячеек
ЛГ—1
Э/ \п = Мп+1)Гг М \.\ | ... Мп+1)Гг... .\/2.| 3/1 л (14)
п=0
В каждой из унимодулярных матриц Мп+перехода через элементарную ячейку (га, га + 1) выделим добавку Тп, связанную с полем V(х)
Обозначим
Gn ее м~птпмп = тп + - с2-А)/Сг (16)
где тп = ТпМ — МТп—коммутатор, a jl = М — tl—бесследовая матрица, тогда
Mm = MN(I + G(N))
(17)
N-l N-1N-1 N-l N-l N-l N-1
G(N) = EG„+EE + +EEE С'СЧ. + ...+ П (MA) (18)
n=0 n=0 i’>n n=0 i’>n j>i n—0
В (18) всего IV подсумм, подсумма р—го порядка содержит слагаемых и связана с частичными суммами Фурье-разложений возмущающих матриц (16) по полиномам Чебышева. В Gn и G(N) имеется сильная сингулярность при |t| ~ 1, то ость на порогах зон [1]. С приближением к пороговой сингулярности все подсуммы в (18) становятся одного порядка, но в непосредственной окрестности порогов зон суммированию наиболее расходящихся диаграмм соответствует решение уравнения типа уравнения Ванье, которое получим, если запишем вторую разностную производную
(А л -")(#)
(19)
Вблизи порогов зон |t| = 1 одношаговые или двухшаговые матрицы (15) близки к единичным. Раскладывая их элементы по малому возмущению уравнения Шредин-гера е — V(nd) имеем
ф" +
2т*
V(x)) -0 = 0, т*
r I
)'(й)
t=± 1
(20)
где е - расстояние по энергии от порога, т* - эффективная масса, что позволяет рассчитать ход огибающих волновых функций и плотность состояний. Подчеркнем, что в (20) не используются теорема Блоха и представление Ванье [13].
Далее будем считать, что при х = 0 и х = L имеются непроницаемые стенки ( Mqо = MNfj = I,Xi = Хг 00 , таммовские состояния отсутствуют ), тогда спектральное уравнение (4) имеет вид (Мдг0) 12 = 0 или
UN-1{t) = WN-2{t) (21)
г ____________G12(N)_________
^12(1 + G22{N)) + MnGi2(N)
Уравнение (21) , как и (9) , является точным, однако в нем очень существенна зависимость от t, IV и V{x) через G(N). Достаточно сильное поле V{x) качественно изменяет характер зонного спектра вплоть до невозможности пользоваться понятиями блоховской теории. Так, в сильном электрическом поле Мп+выражаются через функции Эйри и при сильной связи электронов в ячейках мы получаем
спектр в виде лестницы Ванье-Штарка [3]. Нас будет интересовать другой предельный случай настолько слабого и плавного поля У(ж), что еще можно эффективно использовать представления фазового пространства квазиимпульсов и квазиклассического приближения. Эта ситуация обычна для физики металлов [13] , когда при |t| < 1 решения (21) образуют энергетические зоны состояний с почти периодическими огибающими волновых функций ip(nd) = (Mno)i2V’/(0) и ”квазиимпульсами”К, а при |t| > 1 дают серию локализованных полем V(х) состояний с гиперболической огибающей масштаба К~1. В однородном электрическом поле это поверхностные состояния блоховских электронов ”прижатых”к границе. Существенно, что они сгруппированы вблизи дна и потолка разрешенной зоны и, в отличие от таммовских состояний, не требуют конечности скачка поверхностного барьера.
5 Система в электрическом поле.
В однородном электрическом поле V(x) = —eFx. У порогов t = =Ы, в области пределов применимости приближения эффективной массы т* имеем
du
de
в
л/2 m*L
2ттН
фо ~ 1
(22)
Внутри области где неоднородность К—пространства велика, добавка G не мала и в суммах (18) следует учитывать высшие гармоники. Для решений, соответствующих |t| > 1 все подсуммы в (18) одного порядка, в масштабах постоянной решетки d решение неустойчиво по Ляпунову. Для дырочных состояний вблизи потолка зоны огибающая волновой функции ip(nd) с ростом п сначала растет по закону shKL, а затем при п > 1/Kd из-за вклада в (18) подсумм высокого порядка в ней проявляются осцилляции большой амплитуды, описывающие прижим электронов к правой стенке и увеличение скорости составляющих их прямой и отраженной парциальных волн. Для электронных состояний вблизи дна зоны то же поле прижимает частицы к левой стенке. Решение уравнения (20) для электрона массы ш* в прямоугольной яме ширины L с однородным электрическим полем V(x) = —eFx имеет вид
Ф{х) = 7г (Ai(£0) Bi(£) - Bi(£0) Ai(£)) ф'(0) (23)
где £ = (ж — хо)//, £о = —Жо/I, Жо = s/N F, l~l = Я-2/,3(2m* |е| У)1^3, а дискретный спектр е определяется уравнением
Ai(6>) Bi(a) - Bi(e0) Ai(a) = О, a = (£ - x-0)/l (24)
Плотность состояний растет с е, так в слабом поле F для широкой пластины L жо /У / ( пока Ае |е| FL /У е /У Ае (|е| FdjАе)2^3, где Ае = h2/2т*d2— параметр порядка ширины зоны ), уравнение (24) сводится к Ai(£0 ) ~ sin(2 |Д|2/3 /3 + 7г/4) = О, откуда, как известно [14]
du
de
1
el Fd
\/ 7гАе
2(3
e\FL
(25)
где (| е | Fd) 1 = (du/de) ws ~ плотность состояний лестницы Ванье-Штарка.
С другой стороны, припороговая плотность состояний в одномерном кристалле du/de = (3/л/ё} она сравнивается с (25) при г ~ \e\FL, что согласуется с оценкой (22) , то есть относительное число локализованных электрическим полем приповерхностных состояний у порога в зоне (v/N) ~ (|е| FL/Ле) ' определяется отношением приложенной разности потенциалов |е| FL к ширине зоны Ае. Результаты (22),(25) объединим в интерполяционную формулу
du
de
/с
\/6
(26)
/ЦЛ
'
1
<
(Зо
\e\FL
2е
е| FV
е| FL е е| FL > е
Интерполирующая функция /(е, F) качественно напоминает /0(е, F) = (1 + |е| FL/2е)~1 Плотность состояний имеет экстремум вблизи г = |е| FL.Уменьшение плотности состояний (26) означает, что зона становится шире примерно на eFL. В пределе очень сильного поля eFL > Ае плотность состояний должна стремиться к постоянной плотности Ванье-Штарка (eFd)~l.
При выводе (26) совсем не учитывалось размытие особенностей, связанное с процессами неупругого рассеяния электронов. Для этого длина регулярной решетки L должна быть мала по сравнению с длиной свободного пробега Л = (ph/m*7), где 7-эффективное затухание, тогда, если eF Л 7, то имеется резерв для выполнения неравенства eFL > 7 и особенность будет наблюдаема. Аналитический вид размытой особенности плотности состояний получим сверткой (26) с мнимой частью функции Грина Ge(E) электронов [5]
du
de
7 dv
l3jlmGc(E)f(y,F)-(:
(27)
тогда
ImGe(E)
1 7
тг (e — E)2 + д2
du
de
+ 72)1/2 {
2
O + iTA
(МИГ1,
e\FL < e FL >
(28)
6 Двух- и трехмерные ван-хововские особенности в электрическом поле.
Слабое электрическое поле изменяет характер пороговых ван-хововских особенностей также в двух- и трехмерных кристаллах. Поскольку у уравнения Шредингера с потенциальной энергией V(r)=-eFr в координатах кристаллографических осей происходит разделение переменных, то (в пренебрежении размытием 7) плотность состояний (26) можно отнести к каждому измерению
dui
АД, A) ^=de, Д
Li
2 7Г
му/2
б2!
(29)
где га* — эффективная масса, Д — длина кристалла вдоль г—оси, Д — проекция электрического поля на эту ось.
6.1 Двумерная решетка: г = £\ + е2, £; = pf, Pi пропорциональны квазиимпульсам Ki только в глубине зоны Бриллюэна. Вводя эффективные полярные координаты pi = р cos р2 = р sin <р имеем
du= du\du2 = А1А2Ф2 О de
(30)
В удалении от порога £ ^> |е| ДД
*2 М = 920 М (l - г-1 Ей |е| Д , «={( (31)
где д2 ~ (3{ ~ (1 У- 10)7Г— параметры формы ’’изоэнергетических” поверхностей у порога.
Вблизи порога £ <С |е| ДД
(1.)если порог локализован у грани зоны Бриллюэна, перпендикулярной г—оси
Ф2(е) = ДАН FiLi)-1 (32)
(2.)если порот локализован у утла, то
2
Ф2 (е) = ДА П (Iе! FiLi)-1 (33)
г = 1
где А/, Ас ~ 7Г— структурные факторы. Характер особенности зависит от ориентации электрического поля: если в (1.) поле F параллельно грани, то вместо линейной зависимости (32) имеем ступенчатую (31), а если в (2.) поле параллельно грани, то квадратичная зависимость (33) переходит в линейную (32).
6.2 Трехмерная решетка: г = £\ + £2 + £3, £; = р2, используя эффективные сферические координаты pi = р cos 1?, р2 = р sin 1? cos <р, р3 = р sin 1? sin tp имеем
du= duidu2du3 = /?i/32/?зФз (Д de
J I’d,ip)
Далеко от порога г |е| ДД
Фз (г) = За'Л ^ Д 4 Iе! FiL^j , — Д; — (1 ^ 10) 7т
(34)
(35)
Вблизи порога г <С |е| ДД
(1.)если порог на грани, перпендикулярной г—оси
Ф3 (е) = /3/£3/2 (|е| FiLi)-1 , & ~ тт (36)
при Fi —>■ 0 вместо (36) имеем корневую зависимость (35)
(2.)если порот на ребре, параллельном оси г = 3 , то
2
Ф3 (е) = /Зг£5/2 П (И F*Li)~l , & ~ тг (37)
г = 1
при этом, если одна компонента Fi —>■ 0, то имеем (36), а если обе, то - (35), (З.)если порот в углу зоны, то
з
Фз (е) = &£7/2 П (И ДД)”1 , & ~ я (38)
г = 1
аналогично предыдущим случаям, при повороте поля с выключением его компонент, особенность ослабляется с последовательным переходом к (37), (36) или (35).
Таким образом, в слабом электрическом поле характер пороговых особенностей электронного спектра не слишком длинной решетки eFL <С eFX < Ае сильно изменяется в зависимости от положения дна или потолка энергетической зоны в зоне Бриллюэна и от ориентации электрического поля относительно кристаллографических осей. Этот эффект можно проверить в оптических [4] и фотоэмиссионных [5] экспериментах.
7 Заключение.
Таким образом, показано, что при включени слабого поля с длиной изменения порядка длины кристалла, состояния блоховских электронов у экстремумов зон преобразуются в своеобразные поверхностные состояния. Их спектральное уравнение, длина локализации и форма огибающей волновых функций похожи на характерные для таммовских состояний.
На примере модели с прямоугольными барьерами в квазиклассическом приближении проанализирован коллапс пространства квазиимпульсов и перестройка спектра.
Для случая постоянного электрического поля найдена плотность состояний у порогов зон. Показано, как поле изменяет характер Ван-Хововских особенностей в зависимости от ориентации при разных размерностях решетки.
Список литературы
[1] Peisakhovich Y.G., J.Phys.A: Mat. and Gen.,32,3133(1999)
[2] Тамм И.Е., Z.Phys,76,849(1932)
Дэвисон С. Левин Дж. Поверхностные (таммовские) состояния М.,Мир,(1973)
[3] Басс Ф.Г.,Булгаков А.А.Детервов А.П., Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками.М.,Наука (1989)
Wannier G.H., Phys.Rev.,181,1364 (1969)
Zak J., J.Phys: Cond.Matt.,8,8295(1996)
[4] Набутовский В.М.,Пейсахович Ю.Г., ЖЭТФ,68,164(1975)
[5] Набутовский В.М.,Пейсахович Ю.Г., ЖЭТФ,70,1081(1976)
[6] Боровик Е.С., ДАН СССР,91,771(1953)
[7] Шабанский В.П., ЖЭТФ,27,147(1954)
Каганов М.М.,Песчанский В.Г., ЖЭТФ,33,1261(1957)
[8] Конуэлл Э., Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях.М.,Мир (1970)
[9] Пейсахович Ю. Г. (след, статья)
[10] Peisakhovich Y.G., J.Phys.A: Mat. and Gen.,29,5103(1996)
[11] Якубович Я.А.,Старжинский B.M., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами,,М.,Наука(1972)
[12] Пашковский С.Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.,Наука( 1983)
[13] Лифшиц И.М.,Азбель М.Я.,Каганов М.И., Электронная теория металлов. М.,Наука (1971)
Займан Дж.,Принципы теории твердого тела.М.,Мир(1974)
[14] Флюгге 3.,Задачи по квантовой механике.т.1,М.,Мир(1974)
