Магнитооптические свойства фотонных кристаллов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.61

МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННЫХ

КРИСТАЛЛОВ

А. К. Звездин

Магнитооптические свойства материалов с периодически модулированными свойствами - фотонных кристаллов (или band-gap materials) рассмотрены с точки зрения возможности использования их для управления потоками электромагнитного излучения и параметрами фотонных кристаллов. Показано, что в магнитном поле, ориентированном в базисной плоскости 2D-фотонного кристалла, происходит конверсия мод ТЕ <-» ТМ - эффект, аналогичный магнитооптическому эффекту Фарадея. Коэффициент конверсии мод возрастает при приближении частоты электромагнитных волн к граничным частотам разрешенных зон. Подобным образом ведет себя и относительный сдвиг фаз Фть между ТЕ- и ТМ-модами, возникающий в магнитном поле, ориентированном перпендикулярно базисной плоскости 2И-фотонного кристалла - эффект, аналогичный линейному магнитному двулуче-преломлению в оптике.

Материалы с периодически модулированными оптическими свойствами фотонные кристаллы - привлекают в последние годы большое внимание [15]. Основная идея, инициировавшая поток исследований в этой области, заключается в использовании математической аналогии между уравнением Шредингера, описывающим движент электрона в кристалле, и уравнениями Максвелла для оптически периодической среды.

Основываясь на этой аналогии, были предсказаны материалы с оптической запре щенной зоной для фотонов [1, 2]. Большой физический и практический интерес пред ставляет эффект подавления спонтанной эмиссии света внутри запрещенной зоны и.

наоборот, возможности ее увеличения в разрешенных зонах. Этот эффект обусловлен, главным образом, модификацией плотности состояний фотонов в периодической среде по сравнению с вакуумом и предсказан еще в 1946 г. для оптического микрорезонатора (гшсгосауНу). Его называют эффектом Перселла [6].

Большое внимание уделяется вопросам прохождения и отражения электромагнитных волн в фотонных кристаллах [5, 9]; исследовались эффекты квантовой электродинамики [5], нелинейные эффекты [9].

В настоящей работе рассмотрено влияние магнитного поля на распространение электромагнитных волн в фотонном кристалле. Показано, что магнитное поле вызы вает эффект конверсии ТЕ- и ТМ-мод, который является аналогом известного эффекта Фарадея в традиционной оптике. Обсуждается эффект линейного магнитного двулу-чепреломления, возникающий в магнитном поле, ориентированном перпендикулярно направлению распространения волн. Магнитооптика фотонных кристаллов представляет большой физический и практический интерес, так как в этой области возникаю! новые возможности управления потоками электромагнитного излучения, а также параметрами фотонных кристаллов.

Рассмотрим диэлектрическую оптически неоднородную среду, характеризуемую ди электрической проницаемостью = Функция б(г) является периодической

функцией координат, т.е.

е(г + а,) = е(г), (г = 1,2,3), (1)

где {аг} - элементарные векторы решетки фотонного кристалла.

Влияние магнитного поля будем учитывать при помощи вектора поляризации [10, 11]:

Рт(г) = «боб(г)д(г)[ш,Е], (2)

где е0 = 8.85 ■ Ю-12 Ф/м, г) - магнитооптический параметр или параметр Фойг-та, диэлектрического материала, пропорциональный внешнему магнитному полю Вег,

<< 1); т- единичный вектор вдоль магнитного поля (или намагниченности). Будем предполагать также, что относительная магнитная проницаемость среды ц = 1, тогда уравнения Максвелла представляются в виде:

л

V хН = -(еос(г)Е + Рт(г,<)),

(V ■ Н) = О,

(3)

У{еое(г)Е + Рт(г,<)} = 0,

где ц0 = 4ж ■ Ю-7 Вб/м2.

Обычно в теории фотонных кристаллов используют в качестве "основного" поля поле Н, тогда после исключения электрического поля из системы (3) получается уравнение для поля Н(г,£) (при Рт = О, Е « Н ~

£яН(г) = ^Н, (4)

с

где

является линейным эрмитовым оператором, поэтому при исследовании (3) можно использовать хорошо разработанный математический аппарат квантовой механики.

В рамках поставленной задачи удобнее работать с электрическим полем Е(г). Исключая #(г) из (3), получим

£еЕ = -/-V х V х Е - ^Е = —^рт(г). (6)

б(г) с2 С2б0е(г)

Линейный оператор Се не эрмитов, но уравнение (6) можно "эрмитизировать", переход; к новым переменным Ф(г) = ^/е(г)Е(г) [5]. Тогда уравнение (6) можно записать в виде:

^_7^Ф(г) = 0, (7)

где

1 - [ - 1 - 1 га;2 - - -

т = -7=У X { V х -=Ф(г) \ - —<Э{г)т х ф(г) = {По + V)Ф

\/е(г) I Уе(г) i С

и возмущением V является второе слагаемое в (8). Важным свойством уравнений (8) (а также (3)) является их ковариантность относительно масштабных преобразований, что позволяет переносить результаты исследования фотонных кристаллов, полученные

в одном диапазоне частот, на другие диапазоны и другие соответствующим образом сконструированные кристаллы.

Рис. 1. Зонные диаграммы для 2D-фотонного кристалла с квадратной элементарной ячейкой в базисной плоскости -симметрия). а - период структуры, А, - четные моды, б, нечетные моды, Е - двукратно вырожденные моды, Г, X, М, А, £ - экстремальные точки зоны Бриллюэна; (а) - ТЕ-мода, (б) - ТМ-мода [5].

Легко убедиться, что операторы Ti, Tío, V являются эрмитовыми. Оператор Tío достаточно хорошо изучен в работах [5]. Собственными функциями оператора 7~¿o являются векторные функции Блоха (или Флоке) Фпк = и„к(г)егкг_и"', где к - квазиимпульс фотона, п - номер соответствующей волновой зоны; u(r-f а,-) = u(r). Соответствующие собственные значения a;n(k) образуют "полосатый" спектр (рис. 1) с чередующимися разрешенными и запрещенными зонами. Мы будем полагать, как обычно, вектор к при надлежащим первой приведенной зоне Бриллюэна. Эти свойства собственных функции и собственных значений хорошо известны в физике кристаллов (см., например, [12]) и являются следствием периодической структуры оператора "Но(г)-

Характерным свойством фотонного кристалла является то, что функции Ф„к(г) подразделяются на два типа: квазипродольные моды Ф^к(г) и квазипоперечные Ф ,'k(r). Первые Ф„к(г) определяются как [5]:

Фпк(г) = (9)

где bn - вектор обратной решетки, с - нормировочная константа. Легко видеть, что

V х Ф^к = О,

откуда следует, что

КоУЬпк = о, (10)

т.е. квазипродольным модам соответствует собственное значение, равное 0. Следует —» —* - —¥ Т заметить, что V\/бФ„k ф 0, т.е. моды Ф„к не являются реально существующими полями.

но они важны с математической точки зрения, так как без них система функций Ф„к(г)

не является полной.

Поперечные моды Ф^к(г) удовлетворяют уравнению

ИоФ[к(г) = (11)

Они соответствуют реальным электромагнитным волнам (divy/e4>^k = 0).

Функции Ф„к(г) образуют полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве оператора Tí о (и V). Хотя функции (9) не ортогональны друг другу, но их можно ортогонализировать, используя известную процедуру Шмидта. Зная собственные функции и собственные значения оператора Tí0, легко построить его запаздывающую функцию Грина, которая в данном случае имеет вид:

GiATi* = 77 ¿w—ГЧ^-Г +-7—ГЧй-' 12

где 6 —* 0, V - объем фотонного кристалла. Функция Грина позволяет свести основное уравнение (7) к интегральному:

ф. = ф о + у dr'G^j (г, г', u>) Vjk (г') Ф* (г'), (13)

которое решается методом итераций, используя малый параметр Q. С другой стороны, модифицированный магнитным полем энергетический спектр фотонного кристалла естественно определяется полюсами функции Грина уравнения (7), которая задается уравнением

G(a;) = G0(a;) + (G0(a;)-V-G(a;)), (14)

где символом (...) обозначается свертка по координатам. Это уравнение также решается методом итераций. При взятии свертки интегрирование ведется по элементарной ячейке фотонного кристалла.

< Ку

М1 м

V

X X >

г д

х< м ъ м

Рис. 2. Первая зона Бриллюэна и экстремальные точки 2Б квадратной решетки.

Оставляя анализ уравнений (13, 14) для будущего, в данной работе мы ограничимся рассмотрением магнитооптических эффектов в районе экстремальных (высокосимметричных) точек зоны Бриллюэна (Г, X, М и др. (рис. 2)), в которых закономерности распространения света кардинально отличаются от таковых в случае пространственно однородных сред. Кроме отмеченной выше трансляционной симметрии фотонный крн сталл может обладать симметрией относительно поворотов Сг, Сз, С4, Сб, зеркальных отражений и инверсии.

Совокупность таких конечных операций симметрии, переводящих фотонный кристалл в самого себя, вместе с операцией ¿'-тождественного преобразования, составляет точечную группу (? фотонного кристалла. Это означает, что для любого принадлежащего точечной группе (? (V/? £ (7), имеет место равенство

Яе(г) = е(/Г\г) = е(г), (15)

т.е. фотонный кристалл инвариантен относительно преобразований группы (?.

Симметрия собственных функций фотонного кристалла относительно элементов симметрии его точечной группы очень важна для понимания его оптических свойств, в том числе и магнитооптических (подробности см., например, в [5, 12]). Рассмотрим этот вопрос на примере 20-фотонного кристалла, оптические характеристики которого не зависят от координаты 2, а в плоскости ху его структура характеризуется

квадратной элементарной ячейкой. Точечной группой такого кристалла является труп па C4v = {Е, С4, С41, С2, (тх, (Ту, ad, a'dj, где С2, С4, С4-1 - повороты вокруг оси г на 7г, 7г/2 и —7г/2, соответственно; ах, ау, сг^ - зеркальные отражения в плоскостях, проходящих через ось z и оси х, у, диагонали ху ш х -у квадрантов декартовой системы координат. Операторы группы G преобразуют также и векторы к, принадлежащие зоне Бриллюэна. Каждый к-вектор характеризуется своей Gk-группой, которая является подгруппой группы G. Gk-группа общей точки зоны Бриллюэна содержит только один тождественный элемент. Группы некоторых особых точек, занимающих симметричные позиции в зоне Бриллюэна, являются более содержательными. Так, в случае 2.0-фотонного кристалла с группой С4„ имеет место следующая последовательность подгрупп:

G г = G м = С4„, Gx = {E,C2,ax,ay} = C2v, G д = {E,(Ty} = Cih, Gy, = {E,<rx} = C\h.

Из зонной теории кристаллов известно, что классификация собственных функций оп< ратора TÏq может быть произведена на основе неприводимых представлений G^-групп.

Таблица 1

Неприводимые представления и характеры для точечной группы C\v

Civ Е 2С4 с2 2 av 2 ad

А! 1 1 1 1 1

¿2 1 1 1 -1 -1

вх 1 -1 1 1 -1

В2 1 -1 1 -1 1

Е 2 0 -2 0 0

Таблица 2

Неприводимые представления и характеры для точечной группы Сг,,

С*2и Е с2 (Ту

Л 1 1 1 1

А2 1 1 -1 -1

в! 1 -1 1 -1

В2 1 -1 -1 1

Таблица 3

Неприводимые представления и характеры для точечной группы

Е а

А 1 1

В 1 -1

Таблицы 1-3 характеризуют эту возможность. В них буквами А и В обозначены одномерные представления и буквой Е - двумерное. Одномерные представления относятся к невырожденным собственным модам, а двумерные - к двукратно вырожденным. Последние относятся только к точкам Г и М зоны Бриллюэна.

Особенно большое значение имеют элементы зеркального отражения а,. Для 'Ю-фотонных кристаллов наличие зеркальных элементов в некоторых (7к-группах позволяет разделить собственные моды на два типа, отличающиеся четностью относи гель но отражения в данной плоскости: четные (А) и нечетные (В) моды. Этот факт очень важен, в частности, для установления правил отбора для процессов отражения и прохождения волн через фотонный кристалл, нелинейных процессов, исключения нефи зических Ф^г-мод и др. Ниже он используется для вычисления матричных элементов оператора возмущения V в (7).

В случае 2£>-фотонного кристалла дополнительная симметрия 2 —> —г дает возмож ность разделить все моды на два типа: ТЕ-моды (Ег,Нх, Ну) и ТМ-моды (Ех, Еу, Н каждая из которых, как отмечено выше, характеризуется дополнительно четностями относительно отражений в соответствующих вертикальных плоскостях.

При рассмотрении магнитооптических эффектов различают две основные геометрии эксперимента: а) продольная, или Фарадея, геометрия, когда электромагнитные волны распространяются вдоль внешнего магнитного поля, т.е. к||Н; б) поперечная, или Фош та, геометрия, когда к _1_ Н.

Здесь мы ограничимся магнитооптическими эффектами, которые проявляются вблизи экстремальных (симметричных) точек зоны Бриллюэна. При этом будем предпола гать, что волновой пакет формируется в фотонном кристалле из функций Блоха Ф„к, принадлежащих одной или двум (в зависимости от конкретной ситуации) волновым зонам, а вектор к принадлежит достаточно малой окрестности вблизи особой точки. Это приближение подобно адиабатическому приближению в теории твердого тела и применимо при достаточно малой величине возмущения V.

Рассмотрим сначала продольную геометрию для 2£)-фотонного кристалла. В качестве экстремальной точки выберем для определенности точку Г зоны Бриллюэна (рис. 1, 2). Пусть квазиимпульс волны к||х°||Н. Функция Фпк(г) может быть в указанном выше приближении представлена в виде:

Фпк(г) = с^ТЕеТЕ + с\+ ст2 Ф™егм, (16)

где

Фт*(г) = иТЕ (г)е{кх~*ш*,

Ф™(г) = и™(г)е**~ы, (17)

Фь(г) - \1Ь{г)е1кх~{ш\

где и1Ь(г), и™(г), и£/(г) - периодические функции, принадлежащие выбранной полосе с индексом п = щ, зависимостью которых от к в указанном выше приближении можно пренебречь. Нетрудно показать, что коэффициент 4 = 0 в случае продольной геометрии, поэтому второе слагаемое будет ниже опущено. Подставляя (16) в (8), получим

(По + Пг + У- ипк = 0, (18)

где

^оипк = -7=^ X V X

Vе Vе

гк ^ ипк 1 -* и„к к п.1ипк = — х V х —^ + —х гк х —¡=т--х к х ипк,

л/б л/б V6 л/б б

ги!

Уипк =--—£(г)[типк],

с

ипк(г) = С1и^ + с2и™.

Рассмотрим сначала экстремальную точку Г, т.е. к и 0. В нулевом порядке по к и (5 решениями уравнения (18) служат функции Блоха при к = 0, соответствующие различным зонам. Функции и„0(г) образуют полную систему для разложения произвольной функции, обладающей трансляционной симметрией фотонного кристалла. Следовательно, они могут служить базисом для разложения и„ок(г) в ряд по теории возмущений. В наинизшем порядке теории возмущений по /Н1 и V, получим:

[(шТу-и^а-г^^с^О,

[{и™)2 -ш*]с2 + ш'>(0)с1 = 0, (19)

где

( ТЕ\2 г, ТЕ\2 , 2.2 оТЕ

I, ТМ\2 ( ТМ\2 , 2.2 оТМ [и) =Н ) ,

(£> = («Т£|д(г)|и™),

рТЕ(ТМ) _ >аТЕ(ТМ)

б(г)

и

ТЕ(ТМ)

В следующем порядке теории возмущений по сохраняется общая структура уравнс ния (19) для коэффициентов с\ и с2, но коэффициенты /3Т£,(™' перенормируются.

2пТЕ

к /3

к2(и

ТЕ

е(г)

ТЕ

и

> + £

1(ЦТД|К1|Ц™)|2 ¿•в™ _ (,,,ТЕ\2-

(20)

^ К™)2 -

Аналогично перенормируются параметры ¡3™ и ((^). Поэтому далее мы будем счи тать параметры [3 и ((^) перенормированными в указанном смысле. Следует заметить, что в формуле (19) для (3ТЕ (также и /31М) при суммировании по п (п ф п0) следует

учитывать полосы с той же четностью, что и исходная. Наоборот, в соответствующем выражении для ф следует учитывать лишь состояния противоположной четности. Из (19) следует:

((^)2--2)(К™)2—2)--4(<?>2 = 0. (21)

Для выяснения принципиальной стороны дела примем = и™ = ы0, /57£ = /З'м = /?. Тогда из (21) следует (при /3 < 0)

к+ =

и

'л/Щ

{ \1/2

(22)

где знаки + и — относятся к двум квазициркулярно поляризованным волнам:

^■■«-м-^»;«-- (23)

Приставка "квази" здесь отражает тот факт, что волны (23) характеризуются произведением быстроосциллирующих функций иТЕ{х) и и™(х) и сравнительно медленно изменяющихся "огибающих" ехр(г'А;±х). Термин "циркулярно поляризованный" в строгом значении можно отнести здесь только к "огибающим". Подставляя (22) в (17), получим

ТЕ

и

ТБ

где

Ак = к+ - к_ =

и

иТЕ(х) соэ А кх —и™(х) вш Акх

(. ,2 \ 1/2 / 2 \ 1/2'

(24)

, иг

и*

Формула (24) показывает, что в процессе распространения электромагнитной волны вдоль магнитного поля в фотонном кристалле происходит взаимное преобразование (или конверсия) мод. Если на "вход" фотонного кристалла поступает ТЕ-волна, то из-за гиротропии она по мере распространения превращается в ТМ-моду и т.д. Так проявляется эффект Фарадея в фотонном кристалле. Коэффициент преобразования (или угол поворота плоскости поляризации огибающей волны после прохождения волной расстояния, равного единице длины), равен

ф\ V"2 )

(25)

Из (25) следует, что Фс увеличивается при и —> шо, что находится в соответствии с фундаментальным свойством фотонных кристаллов: вблизи экстремальных точек зоны Бриллюэна происходит критическое замедление распространяющихся волн (т.е. их групповая скорость стремится к 0), что приводит к возрастанию времени взаимодействия "волна - кристалл" и возрастанию соответствующих эффектов.

В более общем случае нужно принять во внимание, что ф ш™ и /3ТЕ ф д/. Это, очевидно, проявится в том, что фазовые (и групповые) скорости ТЕ и ТМ будут не равны друг другу, т.е. возникнет эффект двулучепреломления. Его проявление, в свою очередь, в эффекте конверсии мод состоит также как и в двулучепреломляющих кристаллах, в том, что коэффициент преобразования мод уменьшится по величине и будет осциллирующей функцией от длины распространения светового луча. Подобный эффект известен также в интегральной магнитооптике [10, 11].

Проведенное рассмотрение эффекта конверсии мод нетрудно обобщить на другие экстремальные точки зоны Бриллюэна. Наибольшего внимания заслуживает весьма распространенная ситуация (рис. 2), когда в районе экстремальной точки находятся края зон двух разных полос ш„(к) (они могут быть вырожденными или достаточно близкими друг к другу). Эти случаи будут рассмотрены в отдельной публикации.

Поперечная (Фойгта) геометрия. Магнитное линейное двулучепреломление. Пусть Н||г0, к||х0 и

где (е,-Ф,'|е,-Ф^> = 8ц (г* = ТЕ,ТМ,Ь) и, согласно (10), Шь(х) = 0.

Легко убедиться, что при подстановке (26) в (7) система уравнений (7) разделяется на две независимые подсистемы: одна для ФГЕ, другая для Ф™ и Ф1. Первая (для ТЕ)

Ф = с^ТЕ{х)еТЕ + с2Ф™(х)егм + с3Ць{х)еь,

(26)

(27)

Вторая подсистема после умножения ее последовательно на Ф^а^е^, и Ф™(х)етм и взятия операции свертки принимает вид:

иЛз - ги;2(Фь|д(г)|Ф™)(е1[тетм])с2 = 0,

(К™)2 - ы2)с2 - га;2(Ф™|д(г)|Фь)(еТЛ/[те^])сз = 0,

(28)

откуда следует:

и2 = к™)2( 1-К?11Т\

(29)

или

1/2

(30)

¡ЗГЕ

где |<2г| = |<Ф^З(г)|Ф™)|. Заметим, что {(¿) в (19) и (¿г в (29) определяются различными матричными элементами, поэтому правила отбора для проявления эффектов конверсии мод и магнитного линейного двулучепреломления отличаются.

Сравнивая (27) и (30), получим относительный сдвиг фаз ТЕ- и ТМ-волн на единицу длины

Аналогом рассмотренного эффекта магнитного линейного двулучепреломления в оптике кристаллов является эффект Фойгта (или Коттона-Мутона). По сравнению с последним формула (31) демонстрирует резкое увеличение сдвига фаз Вть вблизи >кс тремальных точек зоны Бриллюэна, происходящее по той же причине, что и выше рассмотренное увеличение коэффициента конверсии мод.

Таким образом, магнитное поле, ориентированное в базисной плоскости 27)-фотонного кристалла, индуцирует конверсию мод: ТЕ <-> ТМ. Коэффициент преобразования мод испытывает критическое возрастание при приближении частоты электромагнитных волн к граничным частотам разрешенных полос частот (или, другими словами, при приближении к экстремальным точкам зоны Бриллюэна). Аналогично ведет себя относительный сдвиг фаз Вть между ТЕ- и ТМ-модами, возникающий в магнитном поле, ориентированном перпендикулярно базисной плоскости 21)-фотонного кристалла.

Работа поддержана проектами РФФИ (02-02-17389), Интеграция (Б-0056).

Ш2

(31)

где полагается, что (3ТЕ = /3™ = (3.

ЛИТЕРАТУРА

[1] УаЫопоуНсЬ Е. РЬуз. Иеу. ЬеП., 58, 2059 (1987).

[2] J о h n S. Phys. Rev. Lett., 58, 2486 (1987).

[3] J о a n п о р о u 1 о s J. D., Meade R. D., and Winn J. N. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light (Princeton, Sept. 1995).

[4] J о h n s о n S. G., Joannopoulos J. D. Photonic Crystals: The Road from Theory to Practice (Kluwer Acad. Publ. 2002).

[5] S а к о d a K. Optical Properties of Photonic Crystals (Springer, 2001).

[6] P u г с e 1 1 E. M. Phys. Rev., 69, 681 (1946).

[7] P e n d г у J. В., M с К i n n о n. Phys. Rev. Lett., 69, 2772 (1992).

[8] Ontaka K., Tanabe Y. J. Phys. Soc. Jap., 65, 2276 (1996).

[9] S а к о d a K., Ontaka K. Phys. Rev., B54, 5742 (1996).

[10] Z v e z d i n А. К., К о t о v V. A. Modern magnetooptics and magnetooptical materials, IOP Publishing, 1997.

[11] Звездин А. К., Котов В. А. Магнетооптика тонких пленок, М., Наука, 1988.

[12] Харрисон У. Теория твердого тела, М., Мир, 1972.

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 31 января 2003 г.