CC BY
4УДК 62-932.2: 004.021 doi:10.18720/SPBPU/2/id21-158
Фалеев Сергей Павлович,
главный специалист НИОКТР, канд. техн. наук, доцент, акад. МАН ИПТ
ПЛАНИРОВАНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ
Россия, Санкт-Петербург, ООО «Центр диагностики, экспертизы и сертификации» faleev.serge.paul@gmail. com
Аннотация. Приведены рекомендации по планированию измерений и созданию систем в новых предметных областях с передовыми цифровыми технологиями с целью изучения свойств объектов, измерения их параметров и управления ими. Созданные модели и методы компьютерной разработки и оптимизации в ряде случаев, получаются упрощенными, затрудняющими подбор датчиков и алгоритмов обработки их сигналов, что даёт невысокое качество чувствительных элементов, не достаточную эффективность управления, рост издержек, увеличение времени на исследования. Проблемам планирования измерений посвящен ряд исследований и разработок, включая классические труды К. Гаусса, Ж. Фурье, П. Че-бышева, Э. Титчмарша, В. Паули, Н. Железнова, Д. Вакмана. Были созданы теории интегрального и дифференциального исчисления, интегралов Фурье, комплексных функций и аргументов, доказана важность нестационарности, как фактора притока новой информации, особая распространенность нормального распределения вероятности, определены понятия амплитуды, фазы и частоты, минимально-фазовых сигналов, разработана комплексная модель, включающая характерные черты широкого класса предметных областей.
Ключевые слова: системный анализ, планирование измерений, компьютерная разработка, компьютерная оптимизация, комплексная модель.
Sergei P. Faleev, Chief R&D Specialist, Cand. Tech. Sciences, Associate professor, Acad. International Academy of Sciences on Information, Information Processes and Technologies (IASIPT)
MEASUREMENT PLANNING
Russia, St. Petersburg, LLC "Center for Diagnostics, Expertise and Certification", faleev.serge.paul@gmail. com
Abstract. Recommendations are given for planning measurements and creating systems in new subject areas with advanced digital technologies in order to study the properties of objects, measure their parameters and control them. The created models and methods of computer development and optimization in a number of cases are simplified, complicat-
ing the selection of sensors and algorithms for processing their signals, which gives a low quality of sensitive elements, insufficient control efficiency, increased costs, and increased research time. A number of researches and developments are devoted to the problems of measurement planning, including the classic works of K. Gauss, J. Fourier, P. Chebyshev, E. Titchmarsh, V. Pauli, N. Zheleznov, D. Wackman. Theories of integral and differential calculus, Fourier integrals, complex functions and arguments were created, the importance of nonstationarity was proved as a factor in the inflow of new information, the special prevalence of the normal probability distribution, the concepts of amplitude, phase and frequency, minimum-phase signals were defined, a complex model was developed, including characteristic features of a wide class of subject areas.
Keywords: systems analysis, measurement planning, computer development, computer optimization, complex model.
Измерения всегда базируются на априорной (известной до опыта) информации. На основе априорных данных строят или выбирают физическую или математическую модель объекта измерений [1]. Ошибки, допущенные на этом этапе, в дальнейшем невозможно исправить. Несоответствие реального объекта приписываемой ему модели служит источником погрешности, которую обычно называют погрешностью классификации и относят к методическим составляющим общей погрешности измерений. Эта погрешность присутствует в результатах измерений всегда, так как невозможно построить или выбрать модель, полностью адекватную объекту измерений, что, в ряде случаев, существенно затрудняет управление таким объектом.
Начинающие исследователи при разработке новых предметных областей продолжают применять в качестве моделей поведения объектов действительные функции: синусоиду, прямоугольную, треугольную и пр. волны, определенные на бесконечных интервалах или их отрезки. В этом им «помогают» многие CAE — системы инженерного анализа и симуляции физических процессов (англ. Computer-aided Еngineering), которые применяются совместно с системными комплексами для проектирования — CAD-системами Computer aided Design), либо интегрированы непосредственно в них [2]. Такие решения патентуются [3], однако, при повышении требований к точности, быстродействию, расширению функциональности систем измерения параметров объектов и управления ими быстро проявляются слабости такого подхода.
За прошедшие века учеными были найдены краеугольные априорные свойства физических моделей.
В. Паули (1943) одним из первых отметил, что энергия осциллятора должна бы изменяться с двойной частотой осцилляции, однако этого не происходит, следовательно, адекватным описанием осциллятора является комплекснозначная функция.
Полуфинитность сигнала (имеющего причину, начало) однозначно приводит его к виду комплекснозначного аналитического сигнала с компонентами, связанными преобразованием Д. Гильберта (1911) [4].
Конечность (финитность) энергии сигнала приводит его к нулевому среднему значению и статистической недетерминированности [5].
Центральные предельные теоремы — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному дают в руки исследователей мощнейший математический аппарат гауссовских процессов [6]. Даны единственные определения амплитуды, фазы, частоты сигнала [7].
Однозначно определена через преобразование Гильберта связь амплитуды и фазы для минимально-фазовых систем [8]. Найден вычислительный прием расчета всех выше приведенных соотношений для систем реального времени [9]. Сформулирован состав комплексной модели сигналов, указан метод синтеза алгоритмов оценки ее параметров и некорреляционного пути спектрального анализа [10, 11].
В силу центральной предельной теоремы, рассматриваемый круг задач базируется на гауссовской модели и распределениях, с ней связанных функционально. Комплексная модель сигнала (КМС), как и любого физического информационного процесса, состоит из аналитического сигнала, его производных и первообразных, число которых определяется видом изображения по Фурье действительного сигнала или конечностью вторых моментов производных и первообразных. КМС может быть вычислена с той или иной точностью для всех практически используемых сигналов. В ряде случаев, часть компонент КМС может быть измерена соответствующими датчиками. КМС строго определяет параметры сигнала, его спектральные функции, служит основой синтеза алгоритмов анализа, реализующих для не полностью известных сигналов на основе избыточности этой модели эффективные оценки.
Пусть u(t) — действительный сигнал, имеющий изображение по Фурье U (jw). Комплексный сигнал s(t) = u(t) + jv(t) называется аналитическим, если выполняется условие полуфинитности его изображения по Фурье
S(ja) = 0 <^a< 0 .
При этом мнимая компонента связывается преобразованием Гильберта с действительной. Преобразование Гильберта линейное и представляет собой свертку сигнала u с главным значением весовой функции 1/ nt.
Преобразование Гильберта представляет собой широкополосный фазовращатель на 90° с коэффициентом передачи, равным единице на всех
частотах, кроме нулевой. Поскольку реальные физические процессы имеют конечную длительность и ограниченную среднюю энергию, в них отсутствует постоянная составляющая. Сигналы и и V, сопряженные по Гильберту, ортогональны. Модули изображений по Фурье компонент аналитического сигнала совпадают |и((ю) = ^((ю) = ( + и2)1/2 за исключением точки о)=0 , но интересующие нас сигналы, как указано выше, имеют нулевую составляющую и(/0) = 0.
Перечислим теперь несколько свойств аналитического сигнала. Поскольку изображение по Фурье аналитического сигнала является односторонним, т. е. отлично от нуля только для положительных частот, аналитическими сигналами также оказываются целые положительные степени аналитического сигнала и их изображения по Фурье тоже односторонние. Например, б2 =(и + .V)2 = и2 - V2 + 2^, здесь действительная и мнимая части сопряжены по Гильберту = г|и2 - V2 ].
Представив аналитический сигнал в показательной форме
Б = и + .¡V = аехр((ф) = ао (1пЬ + jф), где а = а0Ь — амплитуда; а0 — некоторое значение амплитуды, принятое за исходное; Ь — безразмерный коэффициент; р — фаза, и разложив в
ряд экспоненту и + ¡V = а0
1 + 1пЬ + .р + (1пЬ + .р)2
1! 2!
видим, что справа должен находиться аналитический сигнал, действительная и мнимая части которого связаны преобразованием Гильберта р = г[1пЬ] + кл, где добавка кл радиан допустима, так как преобразование по Гильберту константы равно нулю.
Производные и первообразные аналитического сигнала являются также аналитическими сигналами, что следует из линейности оператора преобразования Гильберта, и существуют, если сходится интеграл
_ ^ <
о
где п = 1 соответствует первой производной, п = 2 — второй, п= -1 — первообразной (интегралу) первого порядка, п= -2 — второго и т. д.
Совокупность аналитического сигнала, его существующих производных и первообразных называются комплексной моделью действительного сигнала.
Построение аналитического сигнала не содержит предположений о том, является ли действительный сигнал и(1;) детерминированным или случайным. Достаточно в случае случайного сигнала, чтобы существова-
1 ад
ло изображение по Фурье и(1) = — [ ехр(.ш1;)Ш(.ш)
2л —
—ад
в смысле какого-нибудь из видов вероятностной сходимости.
Согласно модели физических информационных процессов профессора Н. А. Железнова, «сигналы описываются случайными функциями и в них сохраняются основные принципиальные свойства физических информационных процессов». Важнейшим из свойств являются финит-ность (конечность по времени) и конечность средней энергии сигнала. По теореме Дэвисона, финитность функции корреляции, следующая из финитности сигналов, и ограниченность средней энергии сигналов являются достаточными условиями недетерминированности модели. Сигналы в информационной модели, в общем случае, описываются нестационарным случайным процессом, причем его можно считать центрированным относительно своих средних значений.
Таким образом, комплексная модель информационных процессов (сигналов) соответствует финитным действительным сигналам с конечной энергией, которые являются реализациями информационного процесса с нулевым средним значением. Поскольку для сигналов с нулевым средним значением выполняется равенство модулей изображений по Фурье компонент соответствующего аналитического сигнала, постольку и сопряженный по Гильберту сигнал V является также статистически недетерминированным и по крайней мере, полуфинитным или финитным.
Заметим, что энергии производных информационного сигнала с ростом порядка производной растут быстрее, чем у квазианалитических функций, и не позволяют вычислить будущее значение сигнала (например, суммируя ряд Тейлора) даже при наличии произвольно большого количества известных значений производных и значения самого сигнала в текущий момент времени.
Аналитический сигнал, образованный из информационного действительного сигнала, также является информационным, поскольку и его мнимая компонента — информационный сигнал. Из информационных сигналов будет состоять и вся комплексная модель сигнала, поскольку компонентами производных и первообразных аналитического сигнала будут также информационные сигналы (конечно, если они существуют).
Класс информационных сигналов широк и, согласно теореме Дэвисона, включает все практически возможные физические сигналы, которые, как известно, можно представить в виде некоторого волнового процесса или дуального ему потока квантов. Следовательно, физические меры сигналов существуют в форме аналитического сигнала при соблюдении единственного условия: сигналу должен соответствовать поток квантов с одним знаком массы. Это условие выполняется весьма широко — в рамках справедливости постулата А. Эйнштейна о положительной определенности энергии кванта (£ >0).
Комплексная модель сигналов дает в руки инженеров мощный инструмент для создания приборов и устройств обработки сигналов. Нор-
мальный случайный процесс наиболее часто встречается в практических задачах. Одномерная плотность вероятности нормального случайного процесса с нулевым средним значением (если оно ненулевое, мы его примем за начало отсчета) представляется следующей функцией
1 и) ,
"1 [и(0] = -
гехр-
^лЩ)' 1 20(0
где и — действительный нормальный случайный процесс; Б — дисперсия процесса и(1) При изменяющейся дисперсии эта функция все равно остается плотностью вероятности мгновенного значения и(1) Если существуют в среднеквадратическом смысле производные и первообразные нормального случайного процесса, то они также являются нормальными в силу линейности операторов дифференцирования н интегрирования. Сопряженный по Гильберту с нормальным процесс у(1;) такие нормален в силу линейности оператора свертки и имеет такую же дисперсию, как и исходный действительный процесс, поскольку, модули изображений по Фурье обоих процессов совпадают. Спектральная плотность мощности или квадрата амплитуды 7(ш) и спектральная плотность амплитуды Л(ш) также совпадают у квадратурных процессов.
Введем линейный оператор Ь"и(1) = рпи(1), где р=с1/с111 . В совпадающие
моменты времени совместная четырехмерная плотность вероятности У4
процессов Ь(Си(1;),Ь(Су(1;),Ььи(1 + т),Ььу(1 + т) нормальная и имеет ковариационную матрицу
Б Н О В
- Н Б - В О
- О - В О
в - о - w о
т = 0
Б 0 0 В
0 Б
В0
0 - В О 0 В 0 0 О
элементы которой имеют следующий вид:
1 ад
1 Г 2С
Б(т) = — I ш 2(ш)ео8штСш , *
-ад 2С
Н(т) = [ш sgnш2(ш)э1пштсСш
9 гг *
В(Т) =
<2(т) =
2п ^
^с+ь-1 ад
2ж ]
[Ш+ь2(ш)cosштсСш ,
-ад
с+ь+1 ад
2ж
[шс+ь2 (ш) sin штсСш
и может быть записана следующим образом
ехр-
фСи)2 + (¡Су)2 ]+(Ёи)2 + (¿у)2 - 2В(ЁиЁу - /с'у/Ьп)
у(ёи, Ь\ ёи, ёу) =-
2^- в)
4ж2(ГО- В)
При ё = 0, Ь = 1, что соответствует операторам тождественному и дифференцирования, получим известную четырехмерную плотность вероятности совместимого распределения в совпадающие моменты времени компонент нормального аналитического сигнала и его первой производной
ю2(и2 + V2) + и2 + V2 -2ю*(иУ-уи)
, . .. ехр 2Б(ю2 -ю*2)
V 4(и,у,и, у ) = -
44 ' ' ' ' 4^2Э2(ю2-ю*2)
где Б = Б(0) — дисперсия действительного процесса; ю*=Б(0)/Б — средняя частота спектра; ю*=^0(0)/Б — среднеквадратическая ширина спектра. Совместная плотность вероятности 0 сечений комплексной модели в N моментов времени может быть представлена в виде:
01Ч = (2л)ёе!М-1/2 ехр(-ХтМ-1Х/ 2), где ёе! М — определитель ковариационной матрицы для 4N значений процессов Хт = ||и1,у1,1Д 1,У1,и2,...,'У^|.
В случае некоррелированности сечений комплексной модели выражение для совместной плотности вероятности значительно упрощается:
0N = (2лБа2)-2n ехр|-(2ла2)-1 ]Г[(ю*2 +а2)(и;2 + у2) -2ю*(и;У; -у;и;) + и2 + V2]!.
1=1
В данной формуле приняты следующие обозначения параметров гауссовского сигнала: дисперсия
ад
Б = л-110(ю)ёю ,
0
средняя частота
ад
ю* = (лБ) 1 |юО(ю)ёю
0
и полоса спектра процесса а
ад
а2 = (лБ) 11 (ю -ю*)20(ю)ёю ,
0
где О(ю) — спектральная плотность квадрата амплитуды сигнала.
На основании приведенных выше плотностей вероятности информационных сигналов и их параметров получаются максимально правдоподобные оценки параметров сигнала. Алгоритмы оценок являются предпроцессорами стандартных процедур обнаружения изменений параметров сигналов, вызванных загрязнениями территорий.
Разработана также концепция совокупности огибающих и переносчиков, метод поиска экстремума овражистых функционалов и уточнения аргументов экстремума анализом переносчиков [12].
Разработан метод практически независимого формирования амплитуды и фазы сигнала, найдены уравнения систем, вырабатывающих оценки частотных параметров комплексной модели [13].
Выполнен ряд компьютерных исследований свойств гауссовой комплексной модели [14, 15].
Осуществлена практическая реализация алгоритмов обработки комплексной модели на микропроцессорах [12] и в корреляционно-экстремальных системах управления [16].
Заключение
Настоящая работа предназначена для информирования начинающих и действующих исследователей о выявленных объективных соотношениях, которые характерны для моделей всех информационных процессов и которые помогают в планировании измерений, подборе датчиков и типовых алгоритмов обработки их сигналов, повышения качества чувствительных элементов, в выборе контуров управления объектами, что может помочь преодолеть односторонний взгляд на изучаемый процесс и получить возможность применять апробированный алгоритмический инструментарий при освоении новых задач и новых предметных областей.
Список литературы
1. Планирование измерений // Справочник химика 21. - URL: https://chem21.info/info/806684/ (дата обращения 10.09.2021).
2. CAE - системы инженерного анализа // PLMpedia. - URL: http://plmpedia.ru/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1% 80%D0%B8%D1%8F:CAE_%E2%80%93_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0% B5%D0%BC%D1%8B_%D0%B8%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1 %80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB% D0%B8%D0%B7%D0%B0 (дата обращения 10.09.2021).
3. Информационно-поисковая система Интернет портала ФИПС. -URL: https://www.fips.ru/elektronnye-servisy/informatsionno-poiskovaya-sistema/ (дата обращения 18.09.2021).
4. Титчмарш Э. Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. Перевод с английского Д. А. Райкова. - Москва-Ленинград: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 418 с.
5. Железнов Н. А. О принципиальных свойствах моделей физических сигналов и предельных значениях их основных параметров. // Труды, вып. 74. Л.: ЛИАП, 1972. - С. 3-10.
6. Петров В. В. Предельные теоремы классического типа для сумм независимых случайных величин. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. - 1991. - Том 81. - С. 10-38.
7. Вакман Д. Е. Об определении понятий амплитуды, фазы и мгновенной частоты сигнала. // Радиотехника и электроника. - 1972. - 17, 5. - С. 972-978.
8. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы, ч. 1. - М.: Сов. радио, 1967.
9. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. - М.: Сов. радио, 1979. - 312 с.
10. Фалеев С. П. Расчет и моделирование устройств обработки сигналов систем управления: Учеб. Пособие. - Л.: ЛЭТИ (ЛИАП), 1980. - 110 с.
11. Фалеев С. П. О некорреляционном методе в некоторых задачах спектрального анализа. // Сб. научных трудов XXIV Международной научной и учебно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении». Ч. 2. - СПб: Политех-пресс, 2020. - С. 163-169.
12. Фалеев С. П. Микропроцессорные чувствительные элементы. В кн. Применение микропроцессоров в системах управления. - М.: МПИ, 1991. - С. 139-165.
13. Кулыгина Л. А., Калюжный В. П., Фалеев С. П. Исследование на ЭВМ частотных чувствительных элементов систем управления. - Л.: ЛИАП, 1985.
14. Виноградова Е. П., Фалеев С. П., Шепета А. П. Автоматизация анализа и синтеза оценок параметров комплексной модели сигнала: доклад на V Научной сессии аспирантов и соискателей ГУАП, посвященной Всемирному дню космонавтики. - СПб: ГУАП, 2002. - С. 309-316.
15. Бакин Е.А., Фалеев С.П. Применение системы компьютерной математики Maple для анализа комплексной модели гауссовского процесса. // В сборнике: Практика применения научного программного обеспечения в образовании и исследованиях. - СПб: СПБПУ, 2007. - С. 63-65.
16. Konovalov E.A., Faleev SP^on-elated-extremal systems and sensors. // Aerospace navigation systems. Chiechester, 2016. - Pp. 179-201.
УДК 517.92
doi:10.18720/SPBPU/2/id21-159
Лэ Ван Хань1, аспирант;
Фирсов Андрей Николаевич1,
д-р техн. наук, профессор
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ЕЁ ПАРАМЕТРОВ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ
1 2
' Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический
университет Петра Великого,
1 2 levankhanhth@gmail.com; anfirs@yandex.ru
Аннотация. В работе представлены аналитические и численные методы решения некоторых обратных задач управления динамическими системами при малых возмущениях параметров этих систем. В результате был построен математический алгоритм вычисления диапазонов малых возмущений параметров динамической системы, удобный для его реализации с помощью пакета MatLab; построенный алгоритм реализован в среде пакета MatLab; приведен пример расчета диапазона устойчивости для модельной схемы каскада химических реакторов с заданными параметрами.
