Сравнительный анализ свойств комплексного и аналитического сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ

УДК 681.514

DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-4-253-260

сравнительный анализ свойств

комплексного и аналитического сигналов

С. И. Зиатдинов, А. В. Аграновский

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,

190000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]

Выполнен сравнительный анализ ошибок измерения амплитуды и частоты аналитического и комплексного сигналов. Показано, что использование преобразования Гильберта для получения аналитического сигнала вносит погрешности при формировании квадратурной составляющей. Для случаев амплитудной и частотной модуляции несущего колебания рассчитаны относительные ошибки измерения амплитуды и частоты в широком диапазоне отношений средней частоты к ширине спектральной плотности сигнала.

Ключевые слова: комплексный сигнал, аналитический сигнал, спектральная плотность, амплитуда, частота, квадратурный сигнал, преобразователь Гильберта, ошибки

В радиотехнических системах наиболее часто используется квазигармонический сигнал вида [1]:

x(t) = A(t )cos[ro0t + ф(Г)], (1)

где A(t), Юо, ф(^) — огибающая, средняя частота и начальная фаза сигнала.

Однако такой сигнал не обеспечивает однозначного определения флуктуирующих амплитуды, начальной фазы и мгновенной частоты ю^) = Юо + ф(t), так как для произвольной функции ф^) всегда можно найти функцию A(t), удовлетворяющую равенству (1). При наличии пары сдвинутых по фазе на 90° (квадратурных) сигналов

x(t) = A(t) cos^t + ф^)], j

y(t) = A(t)sin^ot + )] J возможно однозначно определить основные параметры сигнала (1):

A(t) = 4x2(t) + y2(t); tft) = arctg(y(t) / x(t)) - ю^) = У(t)x(t) — y(t)x(t). (3)

A (t)

В работе [2] проанализированы методы получения квадратурных сигналов с использованием преобразователя Гильберта и линии задержки. Случайный x(t) и квадратурный (сопряженный по Гильберту) уг (t) сигналы связаны друг с другом парой преобразований [3]:

/ч 1 7 x(l)„ /ч 1 ^ уг (/)„ Уг (t) = - J ~dl, x(t) = — J ¿j—jdl. (4)

П —7 t l П —7 t l

При использовании линии задержки квадратурный сигнал описывается выражением Улз (1) = х(^ - Т), где Т — время задержки сигнала х(1).

В -г ( ) 2АЮО 2 В частном случае для спектральной плотности Г(ю) =-2-2 комплексного

Аю + (ю - ю0)

сигнала 2 (1) = х(1) + уу (1) были получены соотношения, описывающие коэффициенты взаимной корреляции точного квадратурного сигнала у(1) и полученные с использованием преобразователя Гильберта уг (1) и линии задержки улз (1) сигналов:

2 ю0; ( пАю^

Рг (0) = - arct^ ; р Лз (0) = exp п Аю

V 2юо ;

2

где g , Юо, Аю — дисперсия, средняя частота и ширина спектральной плотности сигнала. Таким образом, преобразователь Гильберта и линия задержки в случае широкополосного сигнала x(t), т.е. при -Юо < 1, вносят большие искажения в формируемый квадратурный сигнал Аю

( рг (0) « 0, рлз (0) « 0). И лишь для узкополосного сигнала x(t), >> 1, оба способа позво-

Аю

ляют получить практически точное значение квадратурного сигнала (рг (0) « 1, рлз (0) « 1).

Вместе с тем в известной литературе отсутствуют сведения о влиянии степени узкополосно-сти сигнала x(t ) на ошибки измерения его амплитуды и частоты.

Цель настоящей работы — проанализировать влияние соотношения средней частоты Ю0 и ширины спектральной плотности Аю на ошибки измерения амплитуды и частоты комплексного и аналитического сигналов. Эти сигналы в общем виде записываются соответственно следующим образом:

z (t) = x(t) + jy(t), zr (t) = x(t) + jyT (t) . Выражения (2) позволяют представить комплексный сигнал в виде

z (t ) = x(t ) + jy (t ) = A(t У[ю0г+ф(г )]. Используя прямое преобразование Фурье, спектральную плотность комплексного сигнала представим следующим образом:

œ œ

Gz О) = J z(t)e—jmdt = J A(t)ej(°0tej^(t)e~j<otdt. (5)

—œ —œ

Введем обозначения g (t) = eJ°^0t, f (t) = A(t)e°^(i ). Спектральные плотности функций f(t) и g(t) определяются выражениями [3]:

œ œ œ

Gg O) = J g (t )e—j(0tdt = J e-j (ю—^dt = 5[ю — ю0], Gf j) = J f (t)e—jwtdt,

—œ —œ —œ

где S[*] — дельта-функция.

В результате функцию g(t) можно представить в виде интеграла Фурье

i œ i œ

g (t ) = — J Gg (jю)eJЮtdю = — J 5[ю — ю^^ю.

2п —œ 2п —œ

Подставив этот интеграл в (5), получим

Gz О) = J f (t )

1 œ

— J S[b — ю0Уы db

2п —c

1 œ

= — J Ô[b — ю0]

2п —œ

œ œ

e—j(ùtdt =

J f(t)e—j(ю—b )fdt

db.

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной t представляет собой спектральную плотность функцииJ(t) при частоте ( ю — b ), т.е. G/[j(ю — b)], следовательно

1 7

Gz j) = — J 5[b — Ю0]G/ [j(Ю — b)]db = Gf [j(Ю — Ю0)]. (6)

2П —7

Таким образом, спектральная плотность комплексного сигнала z(t) „группируется" относительно средней частоты Ю0 и может содержать как положительные частоты ( ю > Ю0 ), так и отрицательные ( ю < Ю0 ). При этом форма спектральной плотности комплексного сигнала не зависит от Ю0, которая может принимать и положительные, и отрицательные значения. В результате статистические характеристики флуктуирующих амплитуды, частоты и фазы комплексного сигнала не зависят от его средней частоты.

Определим частотные свойства аналитического сигнала zT (t) = x(t) + jyT (t), где уг (t) — квадратурный (сопряженный по Гильберту) сигнал, полученный в соответствии с преобразованиями (4).

Согласно (4), импульсная характеристика преобразователя Гильберта имеет вид

hT (t) = 1/ nt.

Тогда его частотная передаточная функция представляется следующим образом [3]:

7

WT О) =J h (t)e—jЮtdt. (7)

—7

С учетом нечетности функции hp (t) формула (7) может быть записана в виде

„г, . , .7 sin(юt) , Г—j, ю > 0, W (jю) = — j J —^ dt = ^

—7 nt [ j, ю < 0.

Преобразователь Гильберта можно рассматривать как фильтр, модуль частотной передаточной функции которого равен единице, а фазовая частотная характеристика представляется следующим образом:

Г—n /2, ю > 0,

фг(Ю) = ] /2 ' 0 (8)

[л /2, ю < 0.

В общем виде спектральная плотность аналитического сигнала записывается как

G j) = Gx (jю) + jGyr ((9)

где Gx (Gyг (jю) — спектральная плотность сопряженных сигналов x(t), уг (t) соответственно.

С учетом выражения (8) в области положительных частот получим

Gyr j) = —jGx Ю > ^ (10)

в области отрицательных частот

GyF j) = jGx CM Ю < 0. (11)

После подстановки соотношений (10) и (11) в (9) находим, что

G ию) = 2Gx СМ Ю > 0.

Таким образом, в спектре аналитического сигнала, в отличие от спектра комплексного,

есть составляющие лишь с положительными частотами, поэтому при > 1 (широкополосный

Ю0

сигнал) происходит деформация спектральной плотности аналитического сигнала и как следствие — изменение статистических характеристик амплитуды, частоты и фазы аналитического

сигнала. При узкополосном сигнале x(t) (-ДсЮ<<1, со 0 > 0) статистические характеристики

Юо

комплексного и аналитического сигналов практически совпадают.

Поскольку степень деформации спектральной плотности аналитического сигнала при уменьшении средней частоты зависит от конкретной формы спектральной плотности, в качестве примера рассмотрим влияние отношения Дсо / ю о на характеристики амплитудно-

модулированного и частотно-модулированного колебаний.

Амплитудно-модулированное колебание можно записать в виде

x(t) = A[1 + Me(t )]cosco 0t, (12)

где e(t) — модулирующий сигнал, М — коэффициент амплитудной модуляции (АМ).

Используем в качестве модулирующего сигнала функцию типа „меандр" (рис. 1), для нее ряд Фурье в тригонометрической форме имеет вид [3, 4]:

e(t) = — [ cos cnt -1 cos 3cnt+1 cos 5cnt -1 cos 7юп +... |, (13)

n v 3 5 7 )

где юп = , F — частота повторения колебаний.

e(t)

i i E

-E- 0 к

-rot

Рис. 1

Подставив (13) в (12) и раскрыв скобки, получим

x(t) = A cosco 0t +

cos(c0 -юп)t-3cos(co0 -3юп)t+5cos( ю 0 -5юп)t--1cos( ю 0 -7юп)t +... + cos(c0 + юп )t - -3cos(c0 + 3 юп )t+"~cos( ю0 + 5 юп )t - 7cos(co 0 + 7 юп )t +...

+-AM n

(14)

Согласно выражению (8), после преобразования Гильберта спектральные составляющие с частотами (со0 + июп) > 0 сдвигаются по фазе на -л/2, а составляющие с (со0 -исоп) <0 — на п /2.

Рассмотрим частный случай, когда Ю0 > 0; ( Ю0 -юп) > 0 ( Ю0 -июп) < 0, и=3, 5, 7, ...

Спектр такого комплексного сигнала показан на рис. 2.

Ап ▲

2_

_L

го0-7гоп

го 0—5 гоп

i

го0-3гоп

0 го0

го0-гоп го0+гоп го0+3 гоп Рис. 2

I w го

го0+5гоп го0+7гоп

1

2

При этом выходной сигнал преобразователя Гильберта можно записать в виде

yr (t) = A sin ro0t +

+-AM n

sin(ro0 - юп )t - 3 sin(ro0 - 3юп )t -1 sin(ro0 - 5юп )t + 7 sin(ro0 - 7юп )t -...

+ sin(ro0 + юп )t - 3 sin(ro0 + 3юп )t + -1 sin(ro0 + 5юп )t - 1 sin(ro0 + 7юп )t +...

(15)

В этом случае амплитуда и частота аналитического сигнала находятся из соотношений

Аг(t) = VX2(t) + y2(t); Юг(t) = У<'>X(A С)Í('> . (16)

Аг 2(t)

Нормированные среднеквадратические отклонения амплитуды и частоты аналитического сигнала от значений этих параметров комплексного сигнала вычисляются по следующим формулам:

s¡[ A(t) - Аг (t )]2 ^(t) - щг (t )]2 (17)

ол =--■;-, ою = --, (17)

А ю0

где черта сверху означает осреднение по времени.

С помощью соотношений (14)—(17) были рассчитаны нормированные среднеквадратические отклонения о л и ою для различных значений -Ю°. Ширина спектра сигнала оценива-

Дю

лась по уровню 0,5 относительно амплитуды А несущего колебания с частотой Ю0. Расчеты проводились при коэффициенте амплитудной модуляции М=0,8 и частоте модуляции юп = 2п рад/с (1 Гц). При этом ширина спектра сигнала составила Дю = 4п рад/с (2 Гц). Результаты расчетов величин о л и ою в относительной форме представлены на рис. 3.

Проанализировав полученные данные, можно отметить, что при отношении -Ю°«1

Дю

нормированные среднеквадратичные отклонения ол и ою составляют соответственно 75 и

36 %, а при -Ю° > 10 — не превышают 10 %. Дю

Рассмотрим вариант частотно-модулированного сигнала. При произвольной форме модулирующего сигнала e(t) решение поставленной задачи чрезвычайно сложно. Поэтому для получения в явном виде математических выражений рассмотрим случай частотной модуляции (ЧМ) несущего сигнала гармоническим колебанием

e(t) = E cos Qt,

где E, Q — амплитуда и частота модулирующего колебания.

В результате полная фаза частотно-модулированного сигнала определяется выражением

kE

9(t) = ю^ + — sin Qt + ф0 = ю^ + m sin Qt + ф0,

k — коэффициент ^опо^ион^ос™, m = M — инде,сс угловой модуляции, ф0 — начальная фаза.

Тогда выражение (1) принимает вид

x(t) = А cos^0t + m sin Qt + Ф0). (18)

Найдем частотный спектр сигнала (18). Для упрощения математических выкладок положим Ф0 = 0. После несложных преобразований формулу (18) можно записать следующим образом:

(20) (21)

(22)

x(t) = A cos(m sin Qt)cos ю ot - A sin(m sin Qt)sin ю ot. (19)

Входящие в формулу (19) сомножители cos(m sin Qt) и sin(m sin Qt) являются периодическими функциями времени и могут быть разложены в ряд Фурье [3]:

sin(m sin Qt) = 2 Ji (m) sin Qt + 2 J3 (m) sin 3Qt + 2J5 (m) sin 5Qt +...; cos(m sin Qt) = J0 (m) + 2 J2 (m) cos 2Qt + 2 J4 (m) cos 4Qt +..., где Jn (m) — бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента m. После подстановки соотношений (20) и (21) в формулу (19) получим

x(t) = A[ J0 (m) cos ю 0t -

-2 J1 (m) sin Qt sin ю 0t + 2 J2 (m) cos 2Qt cos ю 0t - 2 J3 (m) sin 3Qt sin ю 0t...]. Развернем выражение (22)

x(t) = A cos( ю 0t + m sin Qt) = A{ J0 (m) cos co0t +

+J1 (m)[cos( ю0 + Q)t - cos( ю0 - Q)t] + J2 (m)[cos( ю0 + 2Q)t - cos( ю0 - 2Q)t] +

+J3 (m)[cos( ю 0 + 3Q)t - cos( ю 0 - 3Q)t] + J4 (m)[cos( ю 0 + 4Q)t - cos( ю 0 - 4Q)t] +

+..................}.

Из выражения (23) следует, что при ЧМ спектр сигнала состоит из бесконечного числа боковых частот юп = ю 0 ± nQ, где n — любое целое число. При этом амплитуда каждой гармоники An = Jn (m)A зависит от значения m.

На основании соотношений (8), (16), (17) и (23) были рассчитаны нормированные сред-

неквадратические отклонения о а и о ю для различных значений Расчеты проводились

Дю

при m=9 и Q = 2п рад/с (1 Гц). При этом ширина спектра сигнала составила Дю = 12п рад/с (6 Гц). Результаты расчетов нормированных величин о а и ою представлены на рис. 4. Про-

ю0 1 ,,

анализировав полученные данные, можно отметить, что при —— = 1,4 нормированные сред-

(23)

Д

СОл

неквадратичные отклонения о а и ою составляют соответственно 30 и 9 %, а при —— > 2,5 —

Д

не превосходят 1 %.

J0

A . _ffl_ %

A ' Ю0 '70

60

50 40 30 20 10

A

A

5s

ю0

30

20

10

0 2 4 6 8 10 12 14

Рис. 3

Аю

1,6 2,0 Рис. 4

Аю

ю

0

Проанализировав полученные результаты, можно отметить, что при ЧМ среднеквадра-тические отклонения о а и оЮ значительно меньше, чем при АМ. Это объясняется тем, при большом индексе угловой модуляции (m>10) спектр частотно-модулированного сигнала имеет практически прямоугольную форму с резко затухающими боковыми гармониками. Когда средняя частота Ю0 больше ширины спектра сигнала Дю , ее влияние на среднеквадратиче-ские отклонения о а и оЮ значительно меньше для ЧМ, чем для АМ. Для m<<1 ширина спектров частотно-модулированных и амплитудно-модулированных сигналов практически одинакова. В результате влияние средней частоты на среднеквадратические отклонения о а и оЮ в

обоих случаях одинаково.

В настоящей работе можно сделать следующие выводы:

1) преобразователь Гильберта вносит ошибки при формировании квадратурного сигнала, что приводит к погрешности оценки амплитуды и частоты аналитического сигнала по сравнению с комплексным сигналом;

2) для получения на базе аналитического сигнала нормированных среднеквадратиче-ских ошибок измерения амплитуды и частоты сигнала, меньших 10 %, необходимо обеспечить при АМ отношение средней частоты сигнала к ширине его спектра > 10, что спра-

ДЮ

ведливо лишь для узкополосных сигналов;

3) при ЧМ с большим индексом угловой модуляции для получения на базе аналитического сигнала нормированных среднеквадратических ошибок измерения амплитуды и частоты сигнала, меньших 1 %, достаточно обеспечить -Ю° > 2,5 ;

Дю

4) результаты работы позволяют для конкретных видов сигналов обоснованно дать определение узкополосного и широкополосного сигнала.

список литературы

1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. 678 с.

2. Зиатдинов С. И. Анализ методов формирования квадратурных сигналов // Радиотехника. 2013. № 5. С. 23—26.

3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

4. Балакришнан А. В. и др. Теория связи / Пер. с англ. под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1972. 324 с.

Сведения об авторах

Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государствен-

ный университет аэрокосмического приборостроения; E-mail: [email protected]

Андрей Владимирович Аграновский — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

метрологического обеспечения 12.10.15 г.

Ссылка для цитирования: Зиатдинов С. И., Аграновский А. В. Сравнительный анализ свойств комплексного и аналитического сигналов // Изв. вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59, № 4. С. 253—260.

COMPARATIVE ANALYSIS OF CHARACTERISTICS OF COMPLEX AND ANALYTICAL SIGNALS

S. I. Ziatdinov, A. V. Agranovsky

St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 190000, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]

A comparative analysis of accuracy of amplitude and phase measurements for complex and analytical signals is carried out. It is shown that retrieving of analytical signal with the use of the Gilbert transform, introduces errors when quadrature component is derived. Relative errors of measured amplitude and phase values are calculated in a wide range of values of the ratio the average frequency to the width of the signal spectral density, for the cases of amplitude and phase modulation of carrying oscillation.

Keywords: complex signal, analytical signal, spectral density, amplitude, frequency, quadrature signals, Gilbert transform, errors

Data on authors

Sergey I. Ziatdinov — Dr. Sci., Professor; St. Petersburg State University of Aerospace In-

strumentation; E-mail: [email protected] Andrey V. Agranovsky — PhD, Associate Professor; St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

For citation: Ziatdinov S. I., Agranovsky A. V. Comparative analysis of characteristics of complex and analytical signals // Izv. vuzov. Priborostroenie. 2016. Vol. 59, N 4. P. 253—260 (in Russian).

DOI: 10.17586/0021-3454-2016-59-4-253-260