PIFAGOR UCHLIGINI FRAKTALLANISHI Текст научной статьи по специальности «Математика»

ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI' RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY

PIFAGOR UCHLIGINI FRAKTALLANISHI

1Ibragimov Husniddin Hikmatovich, 2Jovliyev Aziz Ismanqul o'g'li

1'2Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti, Surxondaryo, Denov https://doi.org/10.5281/zenodo.11122317

Annotatsiya. To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasida katetlari yordamida ajratilgan kesmalar bilan teng yonli uchburchak orasidagi bog'lanishlar, teng yonli uchburchak va Rn fazoda n o 'lchamli Pifagor g'ishti orasidagi bog'lanishlar ko'rsatilgan. Hamda bu ishda teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar orasidagi fraktal bog'lanishlar chizma hamda sxemalarda aks ettirilgan. Eyler g'ishtining qirralari va diagonalini hosil qiluvchi qo 'shimcha r E Z parametrli tenglama keltirilgan.

Kalit so'zlar: pifagor soni, Pifagor taxtasi, Pifagor g'ishti, Eyler uchligii, Eyler g'ishti, diagonal, to'g'ri burchakli uchburchak, teng yonli uchburchak, parametrli tenglama.

Agar butun musbat a, b va c sonlari uchun a2 +b2 = c2 tenglik o'rinli bo'lsa, (a, b; c) uchlikka Pifagor uchligi deyiladi.

1-teorema. Agar a, b va c Pifagor sonlari bo 'lsa, u holda ixtiyoriy n uchun quyidagi

(n — 2)(c — a)2+(b — (n — 2)(c — a)) +

(n-l)(n-2) +(--j--(c -a) + a-(n- 2)b)2 =

(n-1)(n-2) = (--j-~(c -a) + c-(n- 2)b)2

tenglik o 'rinli bo 'ladi.

Quyida 1-teoremadan n ning ba'zi qiymatlari uchun natijalar olamiz n = 2 uchun, b2 + a2 = c2

n = 3 uchun, (c — a)2 + (a + b — c)2 +(c — b)2 = (2c — a — b)2 n = 4 uchun, (c — a)2 + (c — a)2 +(b + 2a — 2c)2 + (3c — 2a — 2b)2 = (4c — 3a —2b)2

n = 5 uchun, (c — a)2 + (c — a)2 + (c — a)2 +(b + 3a — 3c)2 +

(6c — 5a — 3b)2 = (7c — 6a — 3b)2 kabi natijalarga ega bo'lamiz.

2-teorema. Agar a , b va c Pifagor sonlari bo 'lsa, u holda ixtiyoriy n uchun quyidagi

(n — 2)(c + a)2+(b + (n — 2)(c + a)) +

(n — 1)(n — 2) +(--j--(c + a) — a + (n — 2)b)2 =

(n — 1)(n — 2) = ( --j-~(c + a) + c + (n — 2)b)2

tenglik o'rinli bo'ladi.

Endi 2-teoremadan n ning ba'zi qiymatlari uchun natijalar yozamiz n = 2 uchun, b2 +a2 = c2 Pifagor teoremasi. n = 3 uchun, (c + a)2 + (a + b + c)2 +(c + b)2 = (2c + a + b)2 n = 4 uchun, (c + a)2 + (c + a)2 +(b + 2a + 2c)2 + (3c + 2a + 2b)2 =

(4c + 3a + 2b)2

n = 5 uchun, (c + a)2 + (c + a)2 + (c + a)2 + (b + 3a + 3c)2 +

+(3b + 5a + 6c)2 = (Je + 6a + 3b)2

ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI' RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY

Endi 2-teoremadan foydalanib (3,4; 5) va (4,3; 5) Pifagor uchliklari yordamida qurish mumkin bo'lgan ikki seriya Pifagor g'ishtlari qirralari hamda diagonalini 1- jadvalda keltiramiz

[2-17 bet]:

\G' 2-teorema yordamida qurilgan 2-teorema yordamida qurilgan

e\ Pifagor g'ishtlari Pifagor g'ishtlari

(3,4; 5) (4,3; 5)

\ Qirralari Diagonali Qirralari Diagonali

E3 (8,12,9) 17 (9,12,8) 17

E4 (8,8,20,29) 37 (9,9,21,29) 38

E5 (8,8,8,28,57) 65 (9,9,9,30,59) 68

E6 (8,8,8,8,36,93) 101 (9,9,9,9,39,98) 107

E7 (8,8,8,8,8,44,137) 145 (9,9,9,9,9,48,149) 155

1-jadval. Xulosa.

Endi 2-teoremadan n ning ba'zi qiymatlari uchun: n = 2 uchun, b2 +a2 = c2 (a, b;c) - Pifagor uchligini, n = 3 dan (c + a)2 + (a + b + c)2 + (c + b)2 = (2c + a + b)2 (c + a, a + b + с, с + b; 2c + a + b) - Pifagor to 'rtligini,

n = 4 dan (c + a)2 + (c + a)2 +(b + 2a + 2c)2 + (3c + 2a + 2b)2 = (4c + 3a + 2b)2

(c + a, с + a, b + 2a + 2c, 3c + 2a + 2b; 4c + 3a + 2b) - Pifagor beshligini hamda (с — a, с — a,. .. , с — a, b + (n — 2)(c + a),

(n-3)ta

(п-1)(п-2) (c + a) — a + (n — 2)b; (n-1)(n-2) (c + a) + c + (n — 2)b) - Pifagor n ligini yozishimiz mumkin.

Demafc, bitta Pi/agor uch/igidan qirra/ari butun musbat

Pi/agor n Zigini, ya'ni n oZchamZi Pi/agor gishtZatini qurish mumfcin.

3-teorema. ^gar (a, b; c) Pifagor uchligi bo'lsa, u orqali bir juft Pifagor uchligi (a11, b11; c11) va (a12, b12; c12) ni ushbu:

a11 = 2a + b + 2c, b11 = a + 2b + 2c, c11 = 2a + 2b + 3c a12 = 2a — b + 2c, b12 = a — 2b + 2c, c12 = 2a — 2b + 3c qoida yordamida hosil qilsh mumkin.

Buni quyidagicha 1-sxemada tasvirlaymiz (izoh: + ushbu belgi, o'rniga qo'yishda qo'shishdan, — ushbu belgi o'rniga qo'yishda ayirishshdan kelib chiqqan ma'nosi o'rnida):

b- (2a±b+2c,a±2b+2c,2a±2b+3c) f^~>(q11, b11; C11)

, ; l"_>(^12, ¿12; Ci2)

1-sxema.

Xuddi shuningdek, olingan (a11, b11; c11) va (a12, b12; c12) larni har biriga 3-teoremadan foydalanib:

(2aii±bii+2cii,aii±2bii+2cii,2aii±2bii+3cii) f + (q21, b21; C21) ...

l —(a22, ^22; c22) "■

"11;

(ai2,bi2;ci2)

к

ga ega bo'lamiz.

(2ai2±bi2+2ci2,ai2±2bi2+2ci2,2ai2±2bi2+3ci2) ( + (q23, b23; C23) ...

l —(a24, ^24; c24) "■

"ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI" RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY

Agar (a2i, b2i; C21), fa2, b22m> c22), fas, ^23'; C23) va fa4, b24; C24) larni har biriga 3-teoremadan foydalanib:

. (2a2i±b2i+2c2i,a2i±2b2i+2c2i,2a2i±2b2i+3c2i) ( + (a31,b31. C31) (a21,b21'.C2l) >}-(n h .r )

I (a32,°32;t32)

u22. C22)

faз, u23. C23)

(2a22±b22+2C22,a22±2b22+2C22,2a22±2b22+3C22) ( + fa3, b33; C33)

t (&34, b34.C34)

(2a23±b23+2c23,a23±2b23+2c23,2a23±2b23+3c23) f + (a35, b35; C35)

l-(aз6, b36; C36)

, , . (2a24±b24+2C24,a24±2b24+2C24,2a24±2b24 + 3C24) \+(ao7,bo7; Co7)

fa4,b24.C24) -37 ,3/ 3/J

L (a38, °38. c38)

ga ega bo'lamiz.

Demak, ushbu fraktal jarayonni 3-teoremadan foydalanib cheksiz davom ettirish mumkinligi ko'rinib qoldi.

Misol uchun (3,4; 5) Pifagor uchligi yordamida uch bo'g'in fractal jarayonni 2-sxemada korsatamiz:

/(696,697;985)(

(119,120.169) ),"■

(20,21; 29V yi456*17;505K:

(77,3685f(36°'319;481)y:-

(3,4; S)i y(288.175;377K:

(55,48-,73)W57;385)y

(12,5; 13)' y228,145;273)y

/(224,207 ;305)( '

(45,28,53) ( )y

y(168,95;193)/::

2-sxema.

Endi quyida hajmi eng kichik Eyler g'ishtini keltiramiz [1,3-15 bet]. 442 + 1172 = 1252 \1172 + 2402 = 2672 2402 + 442 = 2442

(3,4; 5)

4-teorema. Agar (a, b; c) Pifagor uchligi bo'lsa, u holda ixtiyoriy r E Z uchun x = a[(br)2 - c2] ■ {(2b[(br)2 - c2(2r - 1)])2 - (c[c2 + (r2 - 2r)b2])2}, y = b[(br)2 - c2(2r - 1)] ■ {(2a[(br)2 - c2])2 - (c[c2 + (r2 - 2r)b2])2}, z = 4abc[(br)2 - c2] ■ [(br)2 - c2(2r - 1)] ■ [c2 + (r2 - 2r)b2]

"ANIQ VA TABIIY FANLARNING RIVOJLANISH ISTIQBOLLARI" RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI 2024-YIL 7-MAY

noldan farqli x, у va z sonlari Eyler uchligi bo'ladi. Isbot. Teoremaning isboti quyidagi

x + у ^xy X + Z —

y2 + z2 = d2z tengliklarni tekshirish orqali amalga oshiriladi.

Bunda, Eyler g'ishtining yon yoqlarining diagonallari quyidagilar bo'ladi:

dxy — (c[c2 + (r2 - 2r)b2])3, dxz — a[(br)2 - c2] • {(2Ь[(Ьг)2 - c2(2r - 1)])2 + (c[c2 + (r2 - 2r)b2])2}, dyz — (b[(br)2 - c2(2r - 1)] • {(2a[(br)2 - c2])2 + (c[c2 + (r2 - 2r)b2])2}.

REFERENCES

1. A. A'zamov.Eyler g'ishtlari. Fizika, matematika va informatika. 2012.№1, 52-56.

2. Abdullayev J.I., Ibragimov H. H. Pifagor taxtasiyordamidaPifagor g'ishtlarini qurish. Ilmiy axborotnoma. Samarqand, 1-son (119), 2020. 15-21.

a. Abdullayev J.I., Ibragimov H. H.Pifagor va Eyler g'ishtlari. Buxoro davlat universiteti Ilmiy axboroti. Buxoro, 2022/6(94). 10-15.

3. Abdullayev J.I., Ibragimov H. H. Pifagor va Eyler g 'ishtlari uchun parametrik tenglamalar. Ilmiy axborotnoma. Samarqand, №3/(139) 2023.29-34.

4. H.H.Ibragimov.Pi/agor sonlari va Eyler g'ishti.Tadbirkorlik va pedagogika.Ilmiy-uslubiy jurnal. 2023-yil, 1-son , 198-207 betlar.

5. By Samuel Bonaya Buya end Whiteeagle Joshua Daddah.

6. A_method_of_Finding_Perfect_Euler_Bricks. 07.01.2017. 1-15.

7. Oliver Knill. Treasure Hunting Perfect Eyler bricks. 24.02.2009. 1-5 .

8. Е.А.Горин, Степени простых чисел в составе пифагоровых троекб Матем. просв., 2008, выпуск 12. 25.02. 2023 г. 106-107 ст.

9. Ворон А.В. Способ получения эйлеровых параллелепипедов на основе значений котангенса пифагоровых троек.24.03.2024).

10. Dickson L.E. History of the theory of numbers. Volume II: Diophantine analysis. Chelsea Publishing Co., New York, 1966.

11. Long, Calvin T. Elementary Introduction to Number Theory. 2nd ed. - Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950, 1972. - 46 p.

12. Leech J. The rational cuboid revisited // American Mathematical Monthly,