Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 2, С. 19-30

УДК 517.95

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Ж. А. Балкизов

При определенном условии на коэффициенты, входящие в рассматриваемое уравнение, в работе найдено условие однозначной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Единственность решения задачи доказана методом Трикоми, а существование — методом интегральных уравнений. Решения, получающиеся относительно следа от искомого решения интегральных уравнений, найдены и выписаны в явном виде. Показано, что в случае, когда нарушено условие теоремы, однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно-независимых решений.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, первая краевая задача, задача Гур-са, задача Коши, функция Миттаг-Леффлера.

На евклидовой плоскости независимых переменных ж и у рассмотрим уравнение п_ / (-У)" ихх - пуу + а(-у)(т-2)/2пх, у < 0,

У ихх

- Пуу + 6у(га-2)/2пх,

У > 0,

(1)

где а Ь т п — константы, причем т > 0 п > 0.

Через обозначим область, ограниченную характеристиками

С2 2

-1 = АС1 : ж - тЪ(-у)(т+2)/2 =0'

т + 2

уравнения (1) при у < 0, выходящими из точек А = (0,0) и В = (г, 0), пересекающимися в точке С = (г/2, у1) и отрезком АВ прямой у = 0 а через «2 —

область, ограниченную характеристиками

= АС2 : ж -

2

п+2

(п+2)/2 = 0

а4 = С2В : ж + у(™+2)2 = г п+2

уравнения (1) при у > 0, выходящими из точек А и В, пересекающиеся в точке С2 =

© 2016 Балкизов Ж. А.

г{т+2) 4

2/(т+2)

, У2

г{п+2) 4

2/(п+2)

5

(г/2, У2) и отрезком АВ прямой у = 0 У1 = —

П = П и П2 и вде / = {(ж, 0) : 0 < х < г} — интервал АВ прямой у = 0 (рис.

Методами функционального анализа и интегральных уравнений в работе [1] была исследована краевая задача со смещением для уравнения (1) в случае, когда = 0 и коэффициент Ь = 0. В работе [2] получена априорная оценка решения первой и второй задачи Дарбу для общего вырождающегося гиперболического уравнения

— ^(у)ижж + а(ж, у К + Ь(х, у)иу + с(ж, у)и = / (х, у) (2)

с коэффициентом &(у) > 0 при у = 0, который может обращаться в нуль при у = 0. В случае, когда в уравнении (2) коэффициент &(у) = (—у)т, т = 1 (шоё2), а коэффициенты а(х,у), Ь(х,у), с(х, у) этого уравнения и его правая часть /(ж, у) удовлетворяют условиям Геллерстедта в работе [3] доказано существование и единственность функции Грина — Адамара С(х,у; с помощью которой выписывается решение второй задачи Дарбу для уравнения (2). В работе [4] были поставлены и исследованы характеристическая задача Коши и задача Гурса для класса вырождающихся внутри области гиперболических уравнений вида (2). В работе [5] сделаны некоторые обобщения по постановке и исследованию первой и второй задачи Дарбу для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения вида (2). В работе [6] в описанной выше области П для уравнения (1) при а = 0 Ь = 0 исследована краевая задача с разрывными условиями склеивания в случае, когда данные задаются на противоположных сторонах 02 и аз характеристического четырехугольника П. Исследованию задачи со смещением для уравнения (1) в области П посвящена работа [7]. Задачи со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, содержащего слагаемые с младшими производными исследованы в работе [8]. Достаточно полная библиография по вырождающимся гиперболическим уравнениям имеется в монографиях [9-12].

Регулярным в области П решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х,у) из класса и(х,у) £ С(0.) П С1(^) П С2(0,\ и их(х, 0), иу(х, 0) £ Ь(0,г), при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.

В работе исследуется следующая

П

условиям

и(х, у) = ^(х) (V (х, у) £ СТ2), (3)

и(х, у) = ^2(х) (V (х, у) £ СТ4), (4)

где (х), ^2(х) — заданные функции из класса С1 [г/2,г], причем (г) = (г).

Задача 1 относится к классу краевых задач, определенному в работе [13] и названному в монографии [11, с. 236] первой краевой задачей для уравнения параболо-гиперболического типа.

Теорема 1. Пусть коэффициенты а и Ь уравнения (1) таковы, что И^тг, (2а — т)2 + (26 — п)2 ф 0.

1

< Введем обозначения:

и(х, 0) = т(х), 0 ^ х ^ г, (5)

uy(x, 0) = v(x), 0 < x < r. (6)

В области уравнение (1) совпадает с вырождающимся гиперболическим уравне-

нием вида

(-y)m Uxx - Uyy + a(-y)(m-2)/2Ux = 0, (7)

порядок вырождения которого равен то, а в области ^2 — с уравнением

учхх - Пуу + 6у(га 2)/2пж = 0 (8)

п

Найдем решение задачи Коши (5)-(7). В характеристических координатах

уравнение (7) приводится к уравнению Эйлера — Дарбу — Пуассона

д2 и в1 ди а1 ди

+ т——= 0, (9)

д£дп £ - п д£ £ - п дп

гтте <Т1 — т~2а Я, — т+2а

1Де «1 — 2{т+2) ' Р1 — 2(т+2) '

Пусть вначале |а| < у. Общее решение уравнения (9) в этом случае выписывается по формуле [9, с. 14]

п

и(£, п) = (п - ^)1-а1 -в1 ^ Ф(в)(в - е)в1-1(п - в)а1 -1 ^в

£

п

+ I Ф(в) (5 - (п - 5)-в1 Йв, £

где Ф(в) и Ф(в) — произвольные функции из класса С[0,г] П С2]0,г[.

Положив в = £ + ¿(п - £), представление (10) перепишем в следующей форме:

(10)

1

*(е, п) = (п - а1-"1 -в1 У ф [е + (п - Ot] t-ai (1 -1)-

о

i

+ / +(п - e)t] tei-1(1 - t)ai-i dt.

ei dt

(11)

Область fii в характеристических координатах (£, п) переходит в треугольную область вида ^i = {(е, п): 0 < е < п < r}, а начальные условия (5)-(6) переходят в условия

и(е,е) = Т(е), [2(1 - ai - ei)]-ai-в1 lim (п - еГ+в1 (Uf - Un) = v(е). (12) Удовлетворяя общее решение (11) условиям (12), находим

B(ai.ßi) B(1 - ai, 1 - öi)

где В(р, д) = ^ ¿р-1(1 — ¿)9-1 ^ — интеграл Эйлера первого рода (бета-функция).

Таким образом, решение задачи (12) для уравнения (9), в случае, когда |а| < Ч^ имеет следующий вид:

1

= иетук+с -- о«-1 *

о

- [2{1В~^_ у]ТР1Р в - о1-1-"1} ие+^-да-^а-г^.

о

(х, у)

и(х,у) =

В(а1,в1) 7

о

1

х + ^-у^ЧЫ- 1)

В (1 — аь 1 — А) 1 о

Из (13) при условии (3) находим

1

1

1 _

г/ (—— 1)

^^ ~~+ 2

4в1-1(1 —¿)°1-1^

(13)

Г"1 (1 — 4)-в1

«(ж, у) к = / ^ [ж + (^ — ж)(2^ — 1)] (1 — ¿)а1_1 (Й

о

1

(1 — а — А)"1+в1-1

—ЖГ I V \х + (г — X

(г — х)1-а1-в1У V [х + (г — х)(24 — 1)] 4-а1 (1 — 4)-в1 ^ = (х).

В (1 — аь 1 — А)

о

С помощью замены в = х + (г — х)(24 — 1) последнее соотношение приводится к виду

г

(2г — 2х)1-а1 -в1

В (01,^1)

J т(в)(в + г — 2х)в1 -1 (г — в)а1 -1 ^в

2х-г

[2(1 — а — в1 )]а1+в1-1

г

У V(в)(в + г — 2х)-а1 (г — в)-в1 ^в = (х).

В (1 — аь 1 — А)

2х-г

2х — г х

г

(г _ х) 1-«1 -в1 Г

х

г

х

Воспользуемся далее следующим определением оператора дробного интегро-дифференцирования [14, с. 28]: оператором дробного (в смысле Римана — Лиувилля)

у

интегро-дифференцирования порядка |а| с началом в точке а £ [А, В] С К называется оператор .^Х, который действует на функцию £ Ь[А,В] по формуле:

х

П^Ф) = /V Г(а+1) <Р® л, а < о,

а

й[а]+1

= 8ёп И+1(Ж _ а > О,

где sgn [а]+1(г) означает знак числа я, а Г(ж) — интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция). С учетом приведенного выше определения, соотношение (14) перепишется в следующей форме:

Г(в1 )(г - ж)

_ ж)1-«1 -в1

■Д-?1 [г(¿)(г - ¿)а1-1]

В («1,^1)

[2(1 - а - в1 )Р1+в1-1 Г(1 - а1)

В (1 - аь 1 - в1)

^гх

-1

V (¿)(г - ¿)-в1 =

ж+г 2

Обращая уравнение (15) относительно функции V(ж), находим

где

71

V(ж) = 71Я1-а1-в1 т(г) - 72(г - ж)в1 Д1-"1

_2Г(1-Д)Г(а1+Д)_

гыг(1 - «1 - А) [2(1 - «1 - /?1)Г+/31:

72

г + г

(15)

(16)

Г(«1)71

ГК+А)'

Так как т(ж), гр1 (^г1) € С[0,г], а т'(ж), ^ (^у1) € ¿[0,г], то пользуясь свойством

оператора дробного дифференцирования порядка 0 < а < 1 [15, с. 43]

ягхг) =

^(г)

(г - ж)-а - (г),

Г(1 - а)

(17)

с учетом условия согласования т(г) = ^(г), выражение (16) перепишем в следующей форме:

,, /г + г

ф) = -ъо^+ЫАЪ +1(г - А^М ■

(18)

Соотношение (18) есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функциями т(ж) и г/(ж), принесенное из области ^ на линию у = 0 в случае, когда |а| < у.

Если а = у, то в уравнении (9) коэффициенты а\ = О, Д = и решение задачи (5)-(7) имеет вид [9, с. 15]

и(ж, у) = т

ж+

2

т+2

(-у)(

т+2)/2

+

т + 2

2

ж +^-(-у)(™+2)/2 (2^-1)

т+2

(1 - г)-в1 йг. (19)

Удовлетворяя (19) граничному условию (3) на характеристике -2 = С1В, приходим к равенству

/ т -I- г \

(20)

ф) = (2 - 20!)-* (г - ж^

2

V

Если же а = — тр, то а.\ = /?1 = 0. Решение задачи (5)-7) в этом случае имеет вид [9, с. 151

и(х, у) = т

2

х

т + 2

(—у)(

т+2)/2

+

2у

т+2

2

х

т+2

(—у)(т+2)/2 (24 — 1)

(1 — 4)-а1 & (21)

Из представления (21) с учетом условия (3) приходим к фундаментальному соотношению между функциями т(х) и V(х) следующего вида:

V (х) =

(2 - 2«!)-" Г(1-а0

—2^-ха1 т '(4) + Я-ха1 V

£ + г 2

(22)

Аналогично, используя следующие представления решения задачи (5), (6), (8) в об-П2

и(х,у) =

В (а2,в2)

х + ^72У{п+2)/2(-Ш~1)

4в2-1(1 — 4)а2-1 ^

+

В(1 — а, 1 — в2)

га2(1-г)~^(И, |б|<|, (23)

V

1

1

1

у

V

и(х,у) = т

х+

п + 2

(п+2)/2

+

п + 2

1

6=^, (24)

2

и(х, у) = т

т__?_„(п+2)/2

Ж п + 2У

+

п + 2

х

п+2

у(п+2)/2 (24 — 1)

п

(1-^"а2сЙ, 6 = --, (25)

с учетом условия (4) находим следующие фундаментальные соотношения между функциями т(х) и V(х), принесенные из области П2 на линию вырождения J:

и(х) = 73Я"ж(а2+/32)^) - |(г - ж)^""2^ ' < I

Кж) = -(2 - 2/32)-Ь (Г - ж)'32 , 6 =

(2 — 2а2)-а2 Г. ^ „-а, „ (4 + г

V (х) =

Г(1 — а)

2^-а2 т' (4) — Я-«2 ^2

Ь=

(26)

(27)

(28)

1

2

V

2

2

В формулах (23)-(28)

n - 2b n + 2b

a2 = 777-—TT, P2 =

2(n + 2)' 2(n + 2)'

_2Г(1 - ß2)r(a2 + ß2)__Г(02)73

73 = ^ -гттгт:-ГТТТ^ТйТ' 74 =

Г(а2)Г(1 - а2 - в2) [2(1 - а2 - в2)]а2+в2' ' г(а2 + в2)' Докажем сначала единственность решения задачи 1. Рассмотрим интеграл

r

J* = J т(x)v(x) dx.

При ^i (x) = 0 го соотношений (18), (20), (22) для различных значений а получаем соответственно равенства

ф) = \а\ < (29)

то

ф)=0, а = —] (30)

2(2 — 2a\)~ai т

=--r(l-ai) rx ü = ~~2' ^

Воспользуемся следующим свойством положительности оператора дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана — Лиувилля) порядка a < 1 [16, с. 46]: для любого 0 < a < 1 и любой функции u(x) G Ag[0,r] скалярное произведение (u, Daxu)o ^ 0, причем (u, Daxu)0 = 0 тогда и только тогда, когда U = 0.

В силу данного свойства при |а| < у из соотношения (29) с учетом (17) будем иметь,

J* = J Т(x)v(x) dx = -Yi ^ Т(x) D-x(ai +в1)т'(t) dx о о

r

= Yi У т(x) Di-^1 +в1)т(t) dx = Yi (V(x), Di-(ai +в1 V(t))о ^ 0.

(32)

Стало быть, и при а = —у из соотношения (31) также получим неравенство ,Г* ^ 0, а при а = у из (30) получаем равенство Т* = 0.

Аналогично из соотношений (26)-(28) с учетом (17) в случае однородной задачи 1, находим

ф) = 7зЦГ*(а2+/%Уф = -7зЯ'х (а2+/32)г№, |Ь| < (33)

п

Кж) = 0, 6=-; (34)

2 (2 — 2а2)-а2 2 (2 — 2а2)-а2 1 п

= г(14) = - Г(1 -ат("- 4 = -2- (35)

Отсюда при |6| < ^ и 6 = — 77 следует, что интеграл ^ 0, а при & = § интеграл ,1* = 0.

(2а - т) + (26 - п)2 =0 теоремы 1 для рассматриваемого интеграла J*, с одной стороны, имеет место неравенство J* ^ 0, а с другой /* ^ 0, откуда заключаем, что J* = 0. А равенство J* = 0 в силу приведенного

выше свойства положительности оператора дробного интегро-дифференцирования может иметь место в том и только в том случае, когда т(х) = 0. При этом из соотношений (29)—(31) и (33)-(35) следует, что и V(х) = 0. Тогда из формул (13), (19), (21), (23)-(25) заключаем, что и(х, у) = 0 в области П, откуда и вытекает единственность решения задачи 1.

Перейдем к доказательству существования решения задачи 1. Пусть вначале |а| < и |6| < Для определенности предположим, что т < п. При т > п исследование проводится аналогично. Исключая из соотношений (18) и (26) искомую функцию V(х), с учетом условий (3)^(4) относительно т'(х) приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка

71Я-х(а1 +в1)т'(4) + 7зЯ-х(а2 +в2)т' (4)

= |(г - (*±Г) + |(г _ , (36)

т (г) = тг, (37)

где тг = ^1(г) = ^2(г).

Применим к обеим частям уравнения (36) оператор дробного дифференцирования Я«х+в1 и воспользуемся следующим законом композиции операторов дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [14, с. 44]:

|4 — а|а+в <^(в) = |х — а|в Ях+в |4 — а|а

который является справедливым для любых а £]0,1], в < 0 й ^>(х) £ £[0,г]. Тогда уравнение (36) перепишется в следующей форме:

т'( ж) + ^В~Т5т'(г) = ^(ж), (38)

71

где 6 = {а2 + р2) ~ (СХ1+Р1) = (т+2)~(Г12) >

ВД = х)-аЧ%{г - ¿Г+М + - ■

Относительно т'(х) уравнение (38) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром

К (х,4) = (4 — х)5-1 /Г(5). Интегрированными ядрами ядра К(х,4) служат функции

кп(= п = 0,1,2,...,

а функция

71

где = ^ г(№+//) — функция типа Миттаг-Леффлера, служит резольвентой

ядра К(х, 4).

С помощью резольвенты В, [х, —ядра К{ж,£) решение уравнения (38) выписывается в явном виде по формуле

. 71

(г) йг,

откуда

т(х) = т(г) - I |1 -^-х)5Е1/5

г-х)5-,ё + 1

. 71

(г) йг.

(39)

Для остальных значений параметров а и 6 решение т(ж) задачи, получающейся после исключения функции V(ж) из соответствующих фундаментальных соотношений находятся по формулам:

г

т(ж) = Г (г) - ^ I (г - (г -

х

71 V

, /г + г

т , п

Н<-,& = -;

г

т(ж) = т(г) - 111 -^-х)5Е1/5

. 71

^2 (г) йг,

. . т , п

г(ж) = г (г) - ^ I (г - (г -

йг

7з V 2 У

т . п

а = т, 1Ы < з;

г + ж\ (2 - 2^1 )-в1

Ф) = ЧгЧ " ^ ^

г + г

г

г(ж) = г(г) - I !^1-^-х)5Е1/5

——(£ — ж)5; $ + 1 . 75

(г) йг,

тп а = —, о = —; 22

тп

г + г

тп

а =--, о = —;

2 ' 2'

Г

Г

2

Г

2

г

т(х) = т(г) - I {1 -^-х)5Е1/5

75

тп

а =--, 6 = —,

2 ' 2'

где

21-а1 (1 — а1)-«1 21-а2 (1 — а2)-а2 75 =-^-ч-> 76 =

^ = ^

Г(1 — а1)

72(г — ж)-«1 Я^1 (г — 4)а1+в1 V'

Г(1 — а2)

4 + г

+ 76 я-5 V2

4 + г

74 (г - ( Ц^) - (г + х

^4(х) =

1

275

75^1

г+х

с /V + 4

2 у ' гх Т1 \ 2

Если т = п, то а1 + в1 = а2 + в2> а потому уравнение (36) в этом случае перепишется в следующем виде

Я-«1 +в1)т '(4)

1

2(71 + 7з)

72 (г - а)* Ух + 74 (г -

(40)

Решение задачи (37), (40) имеет вид

т '(х) =

откуда

72

2 (71 + 7з)

яах1+в1 (г—¿)в1 я-«1 V'

/ / Г + 5

+ 74^02 +в2 (г — 4)в2 Я-«2 V2

/ / Г + 5 ~2~

г

т{х) = т{г)~П^Тъ)1 (г-^О^Цг-зГ^

X

г

74 I (г- г)-а2о%(г -

2(71 + 7з)

После того, как функция т(х) найдена по одной из перечисленных выше формул, функцию V(х) легко найти из соответствующих фундаментальных соотношений. Тогда решение исследуемой задачи 1 выписывается как решение задачи Коши для уравнения (1) в соответствующей области П1 или П2. >

В случае, когда имеет место равенство (2а — т)2 + (26 — п)2 = 0 из (20) и (27) заключаем, что для разрешимости исследуемой задачи 1 необходимо, чтобы заданные функции Vl(ж) и V2 (х) удовлетворяли условию

(2 - 2/3\)~131 (г - х)?1 (^у^) + (2 " 2/32)-/32 (г - х)~& ^ (^у") =

(41)

При выполнении равенства (41) однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно независимых решений вида

и(ж,у) = д

х+

2

I + 2

|у|

(1+2)/2

— g(г),

2

2

где д(ж) — произвольная функция из класса С 1[0, г] П С2]0, г[; I = т при у < 0 и I = п при у > 0. Общее решение задачи 1 при соблюдении условия (41) дается формулой

= g

x +

2

l + 2

I (1+2)/2

g(r)

+

/ + 2

i

/^ [Ж + ТТ2|y|(i+2)/2 (2i "1}](1 "trmi+2) dt>

где г/*(ж) = (2 - 2/31)-^(г - ж= -(2 - 2/32)_/32(г - ж)"^

Таким образом, в отличие от строго гиперболических уравнений, для которых однородная первая краевая задача имеет только тривиальное решение [13], однородная первая краевая задача для вырождающихся гиперболических уравнений вида (1) при (2а — т)2 + (26 — п)2 = 0 будет иметь нетривиальное решение.

Автор выражает благодарность А. М. Нахушеву за постоянное внимание и поддержку.

Литература

1. Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР.—1969.—Т. 187, № 4.-С. 736-739.

2. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Диф. уравнения.—1971.—Т. 7, № 1.—С. 49-56.

3. Gellerstedt S. Sur un equation linearre aux derivees partieelles de type mixte // Arkiv Mat., Astr. och Fysik.-1937.-Bd. 25A, № 29.-P. 1-25.

4. Калъменов T. Ш. О характеристической задаче Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Диф. уравнения.—1973.—Т. 9, № 1.—С. 84-96.

5. Нахушев А. М. К теории краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений // Сообщения АН ГССР.-1975.-Т. 77, № З.-С. 545-548.

6. Кумыкова С. К., Нахушева Ф. В. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Диф. уравнения.—1978.—Т. 14, № 1.—С. 50-64.

7. Кумыков а С. К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Диф. уравнения.—1980.—Т. 16, № 1.—С. 93-104.

8. Салахитдинов М. С., Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Диф. уравнения.—1981.—Т. 17, № 1.—С. 129-136.

9. Смирнов M. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.—Минск: Вышэйшая школа, 1977.— 160 с.

10. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов.— Самара: Самарский филиал СГУ, 1992.—161 с.

11. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных.—М.: Наука, 2006.— 287 с.

12. Калъменов Т. Ш. К теории начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Цикл научных работ Т. Ш. Кальменова.—Алматы: ИМММ, 2013.—406 с.

13. Нахушев А. М. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Диф. уравнения.—1978.—Т. 14, № 1.—С. 66-73.

14. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—301 с.

15. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.—Минск: Наука и техника, 1987.—688 с.

16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение.—М.: Физматлит, 2003.—271 с.

Статья поступила 30 июня 2015 г. Балкизов Жираслан Анатольевич

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, научный сотрудник отдела уравнений смешанного типа РОССИЯ, 360017, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: [email protected]

THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A DEGENERATE HYPERBOLIC EQUATION

Balkizov Zh. A.

Under certain hypothesis on the coefficients the condition is found for unique solvability of the first boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation in the region. The uniqueness of the solution of the problem is proved by Tricomi method and existence by the method of integral equations. The solutions obtained with respect to the traces of the sought solution of integral equations are found and written out explicitly. It is shown that whenever the hypothesis of the theorem is violated, then the homogeneous problem corresponding to the problem under study has an infinite number of linearly independent solutions.

Key words: degenerate hyperbolic equation, first boundary value problem, Goursat problem, Cauchy problem, Mittag-Leffler function.