ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОЦЕНКИ ТЕХНОГЕННОГО РИСКА СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87:614.8:504

Острейковский В.А.

Ostreikovsky V.A.

Перспективные математические модели количественной оценки техногенного риска сложных динамических критических систем

Promising Mathematical Models of Quantitative Assessment of Technogenic Risk from

Complex Dynamic Critical Systems

В статье рассмотрены восемь классов математических моделей количественной оценки значений техногенного риска от эксплуатации сложных динамических критических систем. Приведены примеры применения новых разработанных моделей. Даны преимущества и недостатки различных классов моделей.

The article describes eight classes of mathematical models quantifying the values of technogenic risk from the operation of complex dynamic critical systems. Examples of the application of newly developed models, advantages and disadvantages of the different classes of models are supplied.

Ключевые слова: математическое моделирование, техногенная безопасность, техногенный риск, прогнозирование, оценка риска.

Key words: mathematical modeling, technogenic safety, technogenic hazards, forecasting, risk assessment.

Введение

Последняя треть века характеризуется чередой тяжелых мировых катастроф. Первые два десятилетия века продолжает печальный список мировых чрезвычайных событий. Только за два года 2010-2011 произошли еще три техногенные катастрофы: Саяно-Шушенская ГЭС (Россия, 2010), разлив огромного количества нефти на нефтедобывающей платформе (Мексиканский залив, 2010), разрушение четырех активных зон ядерных реакторов на атомной электростанции «Фукусима-1» (Япония, 2011). Если к этому добавить потери десяти спутников и одной космической станции за полтора года в России, то, по-видимому, человечество ожидают мрачные перспективы. В данном плане чрезвычайно актуальным является развитие и совершенствование одного из важных разделов теории безопасности сложных динамических высокоопасных систем -теории техногенного риска. Вопросы анализа, оценки и прогнозирования аварий и катастроф являются в настоящее время не только актуальными, но и становятся одной из главных проблем выживания человечества.

Как известно, одним из важных количественных показателей безопасности является техногенный риск, который обычно определяется как произведение суммы вероятностей исходных событий (отказа, аварии, катастрофы) на последствия (ущерб) от этих событий.

В статье принимается, что риск есть не что иное, как возможный ущерб при соответствую-

щем значении вероятностей исходных событий и ущерба. Эти величины в общем случае являются независимыми случайными величинами либо случайными функциями времени.

Постановка задачи количественной оценки техногенного риска

Количественное значение риска определяется с помощью выражения:

п п

я=£ я=£ ,

г = 1 г = 1

где ^ - вероятность исходного события и Ci -

последствия (ущерб) от исходного события (отказа, аварии, катастрофы). Данный подход обычно интерпретируется двумерной кривой Ф. Фармера (рис. 1).

Рис. 1. Развитие модели риска по Ф. Фармеру [5; 6]

При этом под значением самого риска на рис. 1 понимается значение возможного ущерба С при соответствующем значении вероятности Q. При этом исходные события должны рассматриваться по всему дереву событий исследуемой системы.

Недостатками данного подхода являются следующие:

1) неучет изменения величин С и Q и во времени;

2) величины С и Q в общем случае являются либо случайными величинами, либо случайными функциями времени (случайными процессами);

3) не учтены законы распределения исходных событий и ущерба, а также влияние значений их параметров.

Отмеченные факторы соответствуют реальной эксплуатации сложных динамических систем.

Классификация моделей техногенного риска от эксплуатации систем [2-4]

Рассмотрим множества: Q = q2, ..., qn}, qi е Q, г = 1, п - множество возможных вероятностей исходных событий (отказов, аварий, катастроф), C = (с1, C2, ..., Cn}, ^ е C, г = 1,п -множество последствий (ущерба) от свершения 7-х исходных событий, и е T - множество моментов времени, г7 е Я - множество возможных

п

рисков,

г = 1

Очевидно, что Я = Н{ Q ■ С ■ Т} или в скалярной форме

Я^, с, () = (г)ег (г),

г = 1

где Н - оператор, реализующий отображение

Q ■ С ■ Т ^ R.

Или

Я^, с, t) = Н{^ to, Яo(qo, со, Я(q, с ^ },

где t - текущий момент времени, в который определяется риск;

^ - начальный момент наблюдения за состоянием системы, t > to;

q0, с0, Я0 - вероятность исходных состояний динамической системы, ущерб и риск в начальный момент времени наблюдения за состоянием системы.

Соотношение множеств Q, С и Т показано на рис. 2.

Рис. 2. Графическая интерпретация соотношения множеств риска К, вероятностей исходных событий Q, ущерба С во времени Т эксплуатации

Оператор Н может быть представлен набором более простых операторов:

Н = {Н; }, у =

Число т видов оператора Н зависит от сложности системы, взаимодействия подсистем, блоков и элементов в системе (т.е. характером внутренних связей), влияния внешней среды, количества звеньев в иерархии управления, видов опасностей и угроз, а также различных других факторов.

Ниже представлены классы моделей. Класс моделей 1. Вероятности исходных событий qi и ущерб С7 являются случайными и независимыми величинами. Тогда риск Я определяется классическим способом по Ф. Фармеру:

п _

Я = Н1 с} = £ , г = 1, п.

г = 1

Класс моделей 2. Вероятности исходных событий qi и ущерб с7 являются независимыми случайными величинами [2], задаваемыми в общем случае своими законами распределения ¡а(^сТ) и fc(c/qi) (см. рис. 1). Тогда

Я = Н2 с}

(Г) = Л /вс (д, = [[ /в (д)/с {с^дйс,

где Fя(r) - функция распределения риска; Ж - область определения, задаваемая как:

Ж :

[0 < д < 1,0

0 < с < с

и

Класс моделей 3. Вероятности исходных событий qi и ущерб с являются зависимыми случайными величинами с функцией связи Q = а(с). Тогда

R = Нз с/я}

да а(с)

Рк (г) = Ц //с (я, с)ёЯёс =| | / (д)/с {с^ёс,

Щ 0 0

0 < я < 1

Щ2:

0 < с < с (г)

1 тах V /

Класс моделей 4. Вероятности исходных событий и ущерба являются случайными функциями времени (случайными процессами), в общем случае как зависимыми, так и независимыми.

Тогда для независимых случайных процессов с распределениямиУе^, 0 иуС(с, 0:

R = Н4 с,

(г) = Ц /в (я, г)/с (с, г) ёя(г) ёс(г).

Ж3:

[0 < я < 1

0 < с < с (г).

I тах V /

Возможны и другие формы взаимосвязи между множествами е, С и Т. Например, такие как учет предысторий во времени значений техногенного риска R, е и т.д.

Виды законов распределений вероятностей исходных событий и ущерба

В качестве исходных законов распределения случайных величин выбраны широкоизвестные в математической системе и теории надежности законы: Гаусса, Рэлея, Вейбулла, Стьюдента и др.

1. Нормальный закон распределения - описание критического коэффициента интенсивности напряжений при коррозионном растрескивании металлов. Часто используется в форме усеченного распределения.

2. Логарифмически нормальный закон распределения используется при статистическом анализе дефектности сварных соединений основного металла ВВЭР.

3. Закон распределения Вейбулла - распределение глубины дефектов теплообменных труб парогенераторов ВВЭР.

4. Экспоненциальное распределение - одно из наиболее часто встречающихся распределений в теории надежности и в теории массового обслуживания.

5. Гамма-распределение широко используется в теории надежности и в теории массового обслуживания.

6. Бета-распределение часто используется для описания доли дефектных изделий в партии.

7. Распределение Рэлея применяется для описания распределения неотрицательных случайных величин, являющихся векторной суммой двух нормальных случайных величин с равными дисперсиями.

8. Распределение экстремального значения. Наибольшее практическое значение имеет закон распределения экстремальных значений для выборки случайных величин, распределенных на бесконечном интервале.

9. Распределение Парето иногда используется как простейшая математическая модель изменения интенсивности отказов приборов на этапе приработки. В работе на примере данных о величине потерь и частоте неблагоприятных событий в авиации выдвинута идея о подчинении этих данных закону Парето и приведено численное обоснование этого предположения.

10. Распределение Стьюдента (^распреде-ление). Распределение Стьюдента широко применяется в задачах обработки экспериментальных данных. Распределение Стьюдента может рассматриваться как асимптотическая аппроксимация.

Класс моделей 5. Плотности вероятностей исходных событий описываются уравнениями в частных производных.

Пусть ДО - непрерывный одномерный однородный марковский процесс с конечным эвклидовым фазовым пространством. Как известно, данный процесс описывается функцией е(0, у, t, У) -вероятность того, что если объект, находящийся в момент времени 0(0 > 0) в состоянии у, то в момент времени ^ > 0) будет находиться в одном из состояний Ус О, где О - 0 - алгебра подмножеств фазового пространства. Функция е(0, у, ^ У) удовлетворяет известному уравнению Колмогорова - Чепмена, а плотность вероятности перехода у(0, у, t, У) - уравнениям в частных производных (прямое и обратное уравнения Колмогорова).

50 ^ *( ' дук д2/(0, у, г, У)

+ 2 V',* У '

+ Х д[ак (0, У) / (0, У, г, У )]-

дг У*

5 2

* (0, У)/(0, У, г, У) ] =

' дУ.дУ*

и

Щ

Инфинитезимальные характеристики случайного процесса ДО ВПО позволяют определять не только вероятности перехода на временном интервале [ио, tk], но и вычислять распределение различных функционалов от процесса, в частности: время достижения процессом некоторой области и распределения значения процесса в непрерывной области до достижения момента tk.

Класс моделей 6. Плотности вероятности исходных событий описываются уравнениями частных производных при наличии скачков изменения состояния динамических систем.

Уравнения (1) являются корректными моделями известных фундаментальных законов сохранения:

д/ю (х, 2, у, г) ^ дА1^ (/, x, z, y, г) =

дг дх.

= Б'(а> (/, х, 2, у, г), (2)

х, у, 2 е Яп, г > 0, ю еП,

где f = {/ж)} - неизвестная вектор-функция (в нашем случае - это qi(t)); х, у, г е Я" - пространственные координаты; А] и Б* - операторы, считающиеся заданными характером моделируемых физических процессов в объектах;

П - множество параметров ю, нумерующих уравнения (2).

Законы сохранения вида (2) идеально отображают функционирование объектов, описываемых в общем случае системами нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциаль-ных уравнений.

Класс моделей 7. Для случаев, когда правая часть уравнения (2) имеет разрыв, необходимо переходить к моделям уравнений Лиувилля -Власова:

д/(2, г) | д[/(2, г)Р(2)] _ 0

дг д2 ' >

/(2, г)|г=0=/°(2), ^

где А?, t) - плотность вероятности распределения состояния системы в фазовом пространстве Я в момент времени V,

р(г) - поле скоростей изменения состояния системы в фазовом пространстве Я{^}; f °(г) - начальная плотность вероятности распределения состояния системы в фазовом пространстве Я.

Хотя уравнение Лиувилля является уравнением неразрывности и основополагающим зако-

ном сохранения, который определяет статистические решения уравнений динамических систем, однако возможны применения этого уравнения и при наличии скачков изменения состояния динамических систем.

Класс моделей 8 [1]. Использование методов теории катастроф (рис. 3).

ПрЫ£0К

а б

Рис. 3. Прыжок катастрофы:

а - убывающий характер изменения выходного параметра 7(Г); б - возрастающий характер изменения 7(Г)

В будущем вызывают интерес еще два класса моделей.

Класс моделей 9. Использование моделей теории самоподобия и фракталов.

Класс моделей 10. Использование моделей теории возможностей.

Примеры вычислений значений рисков (рис. 4).

Изк=д*с

100

О10 С

Рис. 4. Графическая интерпретация риска в трехмерном изображении

Аналитические зависимости плотности риска (см. таблицу).

Для более наглядного представления результатов моделирования были построены графики полученных функций плотности распределения риска (рис. 5-9).

Аналитические выражения плотности риска для независимых Q и С

Распределения вероятности и ущерба

Плотность распределения риска

0-Гаусса тд >3ад С-Гаусса тс >3ос

•/>) = Н "(г / Я ~те )2/2а;?} ¿Я

0-Рэлея С-Рэлея

/м (г ) =

а ч °2 0 я

[1ехр{—я2 /2аЯ"2 /2я2ас2}

йЯ-

0-Вейбулла С-Вейбулла

/к ( г ) = ая X я ас\г 1 ^ ^ " "1

ехр |—— X (-Г

0-логнорм С-логнорм

л (г))1ехр |—12—тИ ^

2пГаяас О Я

2а2

2а2

0-Стьюдента С-Стьюдента

I, (г) =

и +1

д_

У 2 У

п„ +1

11

7Г - П П Г

V я с

п

_

У 2 У

пс 1 о Я

пя +1

Л^"^ г

У п У

2 / 2 / 1 +

2

^Я

0-усеч. норм. С-усеч. норм.

[—ехр I — — ( Г / Я —т )2

[Я I 2о2 2О2

I, ( г ) =

йя

2паяас

ф I а 2Я — тя ^ —ф I а1 я — тя ^

а_

_ У Я У У Я У J

^ . а. — т I .,[ а, — т

ф| —^-с. 1—ф| 1 с

О

п +1

1, 1,

1,

1,]

1,

1,

МГ)

б

Рис. 5. Зависимость плотности/я(г) для нормальных законов распределения случайных величин Q и С:

а - тд = 0,1; тс = 1,0; Стд = 0,01; Стс = 0,2; б - тд = 0,1; тс = 1,0; Стд = 0,03; Стс = 0,1

Жг)

3,8Е-09

3,0Е-09

2,5Е-09

2,0Е-09

1,5Е-09

1,0Е—09

/"(г)

2,4Е-09

1,8Е-09

1,4Е-09

1,0Е-09

6,0Е-09

Жг)

1,1Е-07

1,5Е-0 7

1,0Е-07 9,5Е-

9,0Е-0 8

8,5Е-0 8

8,0Е-0 8

0,5

0,5

1,5 а

1,5 б

2,5

2,5

0,5

1,5

2,5

Рис. 6. Зависимость плотности/я(г) для законов распределения случайных величин Q и С,

распределенных по закону Вейбулла:

а - ад = 0,2; ас = 0,1; Хд = 10-4; Хс = 10-4; б - ад = 0,5; ас = 0,1; Хд = 10-4; Хс = 10-4;

в - ад = 1,2; ас = 0,1; Хд = 10-4; Хс = 10-4

Г

0

2

3

Г

0

1

2

3

0

2

3

/"(г)

3.1Е-04

2,6Е-04 2ДЕ-04 1,6Е-04 1,1Е-04 ■■ 6,0Е-05 1,0Е-Е0 5

О

Г

0,5

1,5

2

2,5

3

Рис. 7. Зависимость плотности/к(г) для логнормальных законов распределения случайных величин Q и С:

тд = 0,1; тс = 1,0; Од = 0,03; Ос = 0,3

Рис. 8. Зависимость плотности/я(г) для законов распределения случайных величин Q и С, распределенных по закону Стьюдента; щ = 9; Пс = 9

Рис. 9. Зависимость плотности fQc с) для законов распределения случайных величин, распределенных: Q - по закону Стьюдента, С - закону Вейбулла:

а - ас = 10; Хс = 0,0001; Пд = 10; б - ас = 10; Хс = 0,0001; Пд = 20; в - ас = 20; Хс = 0,0001; Пд = 10; г - ас = 25; Хс = 0,0001; Пд = 10; д - ас = 30; Хс = 0,0001; Пд = 10

д

Рис. 9. Окончание

Заключение

1. Моделирование рисковых ситуаций в теории техногенного риска представляет сложную задачу ввиду большого разнообразия и особенностей конкретного проявления рисковых ситуаций. Поэтому при разработке моделей техногенного риска целесообразно использовать различные подходы для их построения: аналитические, статистические и экспертные. Каждый из данных классов моделей имеет как свои преимущества, так и недостатки. В связи с этим желательно применять их комплексно.

2. Так как в сложных динамических системах техногенный риск обычно представляется в виде двумерных случайных величин, заданных на разных вероятностных пространствах (рисковая ситуация - исходное событие и последствия -ущерб), то измерение риска связано с оценкой случайных величин как функций элементарных исходов от аргументов, имеющих разный смысл. Поэтому в данной ситуации риски отождествляются с функциями распределения.

3. Одной из главных задач теории безопасности сложных высокоответственных динамических систем является прогнозирование аварий и катастроф с вероятностью «почти-нуль». В этом плане отождествление «понятия риска» с определением «вероятности некоторого события» неконструктивно. Особенно это значимо для оценки риска как показателя безопасности при маловероятных редких событиях. Поэтому рядом исследователей предлагается производить оценку значений риска с использованием двух разнородных по смыслу мер риска, отражающих двойственность свойств риска как события с некоторой мерой первого рода - случайности и второго - опасности состояния системы или процесса.

4. Задача сравнения рисковых ситуаций (или упорядочивания рисков) формально сводится к введению на множестве случайных величин или множестве функций распределения отношения порядка. В теории сравнения вероятностных распределений предполагается, что решения, прини-

маемые людьми в тех или иных ситуациях, определяются полностью или частично предпочтениями, заданными на множестве вероятностных распределений величин возможного ущерба.

5. При сравнении рисковых ситуаций техногенного характера целесообразно использовать теорию функций полезности. Возрастание функции полезности при сравнении техногенных рисков является естественным требованием. В зоне большого ущерба функция полезности должна резко возрастать по абсолютной величине, а затем, возможно, переходить в почти постоянную функцию. Это побуждает к уменьшению вероятности катастрофы.

6. В подавляющем большинстве ситуаций, связанных с анализом данных по техногенным катастрофам, можно утверждать, что число случайных факторов, влияющих на наблюдаемые величины, само является случайным и изменяется от наблюдения к наблюдению. Поэтому вместо различных версий центральной предельной теоремы, обосновывающих нормальность распределения наблюдаемых случайных величин в классической статистике, в ситуациях техногенного риска следует опираться на их аналоги для выборок случайного объема.

Если число случайных факторов, определяющих наблюдаемое значение случайной величины исходного события или ущерба, само является случайной величиной, распределение которой может быть приближено гамма-распреде-лением с одинаковыми параметрами (например, является отрицательным биномиальным с вероятностью успеха, близкой к единице), то те функции от значений случайных факторов, которые в классической ситуации считаются асимптотически нормальными, в действительности являются асимптотически стьюдентовскими. Следовательно, в силу довольно широкой применимости гамма-моделей с одинаковыми параметрами и отрицательных биномиальных моделей, распределение Стьюдента может рассматриваться в задачах оценки техногенного риска как вполне разумная модель.

7. При рассмотрении конкретных технических систем вероятность Q и ущерб С можно рассматривать как случайные величины, которые имеют свои распределения ^(д) и /с(с). Ущерб С есть случайная величина, а вероятность события Q также может считаться величиной случайной, потому что она оценивается с некоторой степенью достоверности по ограниченной выборке (например, по статистике аварий). То-

гда мы имеем систему двух случайных величин с заданными распределениями (пусть они и экспериментальные) и можем ставить вопрос о поиске совместного распределения fQc(q, с). При этом возможны два варианта предположений: случайные величины Q и С независимы (некорре-лированы); и случайные величины Q и С зависимы (коррелированы).

Нахождение двумерной плотности вероятности fQc(q, с) дает нам возможность оценить вероятность событий с различным сочетанием значений распределений Qi и С,.

8. Для аналитического представления случайных величин Q и С целесообразно использовать широкоизвестные в теории надежности и безопасности следующие законы распределения: закон Гаусса, логарифмически нормальный, Вейбулла, гамма-распределения, экспоненциальное распределение, бета-распределения, распределения хи-квадрат, Стьюдента, Рэлея, Паре-то, усеченное нормальное и др.

9. Аналитические выражения для функций плотности fR(r') зависят от параметров соответствующих законов распределений, что является преимуществом с точки зрения простоты определения функций распределения риска FR(r). Определение параметров законов плотностей fQ (д) и Сс) можно получить двумя путями. Первый путь - по статистическим данным реальной эксплуатации конкретного объекта или его аналогов; второй - методами математического моделирования на ЭВМ. Второй путь, естественно, имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с первым. Для первого пути точность получения параметров законов распределения случайных величин по экспериментальным, статистическим данным всегда связана с проблемами обработки малых выборок.

10. Для функций распределения Гаусса и Рэ-лея наблюдается быстрое приближение функции плотности риска к нулю с ростом значения риска в незначительных пределах. Логарифмически нормальный закон, закон Вейбулла в определенном диапазоне и закон Стьюдента имеют тяжелые хвосты, больше соответствующие реальным данным о редких событиях аварий.

11. Как и в случае, когда значение техногенного риска зависело от одинаковых законов распределения случайных величин Q и С, так и в рассматриваемых их комбинациях (рис. 9) виды законов распределения случайных величин и параметры законов распределения существенно влияют на значение техногенного риска.

Литература

1. Острейковский В. А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М. : Высш. шк., 2005. 326 с.

2. Острейковский В. А., Генюш А. О., Шевченко Е. Н. Математическое моделирование техногенного риска ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2010. 96 с.

3. Острейковский В. А. Математические модели теории техногенного риска : монография ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2012. 253 с.

4. Острейковский В. А. Теория техногенного риска: математические методы и модели : монография ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2013. 320 с.

5. Острейковский В. А., Швыряев Ю. В. Безопасность атомных станций. Вероятностный анализ. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. 352 с.

6. Рябинин И. А. Логиковероятностный анализ проблем надежности, живучести и безопасности. Новочеркасск : Южно-Российский гос. техн. ун-т (Новочеркасский политехнический институт) : Лик, 2009. 600 с.