МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОГЕННОГО РИСКА СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЕТО Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОГЕННОГО РИСКА СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЕТО

В. А. Острейковский А. С. Павлов 2, Е. Н. Шевченко 1

1 Сургутский государственный университет, ova@ivt.surgu.ru, elenan_27@mail.ru 2 Обнинский институт атомной энергетики, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

В статье рассмотрены возможности применения распределения Парето для оценки значений параметров техногенного риска сложных систем. Получены новые математические модели, позволяющие оценивать техногенный риск для случаев независимых и зависимых между собой вероятностей исходных событий и ущерба, распределенных по закону Парето. На примерах отказов оборудования сложных динамических систем показана возможность использования распределения Парето при оценке техногенного риска.

Ключевые слова: техногенный риск, исходное событие, ущерб от исходного события, математическое моделирование, распределение Парето.

TECHNOLOGY-RELATED RISK MODELING IN COMPLEX DYNAMIC SYSTEMS USING THE

PARETO DISTRIBUTION

V. A. Ostreykovsky 1, A. S. Pavlov 2, E. N. Shevchenko 1

1 Surgut State University, ova@ivt.surgu.ru, elenan_27@mail.ru 2 Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering, National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)

Applications of the Pareto distribution to the assessment of technology-related risk parameters in complex systems have been considered. New mathematical models for technology-related risk estimation in case of Pareto-distributed independent and dependent initial event probabilities and damage values have been obtained. With complex dynamic system equipment failures as examples it is shown that the Pareto distribution can be applied to the assessment of technology-related risks.

Keywords: technology-related risk, initial event, damage from the initial event, mathematical modeling, Pareto distribution..

Введение

Главным аспектом теории безопасности сложных динамических систем (СДС), относящихся к классу критически важных, является оценка техногенного риска редких негативных событий с тяжелыми последствиями. К таким системам относятся, в частности, объекты энергетики системы транспорта углеводородов. Катастрофы типа Чернобыля, Бхопала, Фукусимы происходят в среднем один раз в несколько лет и даже десятков лет. Отсутствие такого рода катастроф даже в течение достаточно длительного времени эксплуатации объектов СДС не исключает их появления в будущем. Вместе с тем разрушительные последствия таких катастроф делают их вероятное значение в течение заданного промежутка времени весьма значимым фактором.

Показатели техногенного риска по известным вероятностям исходных событий аварий и катастроф и ущерба от них вычисляются с помощью известных в статистике распределений: Гаусса, Вей-булла, Рэлея, экспоненциального, Стьюдента [1-3]. Указанные законы распределения составляющих параметров техногенного риска (вероятностей исходных событий и ущерба от них) СДС описывают вероятностные закономерности генеральных (полных) выборок случайных событий. Однако в целом ряде задач теорий надежности и безопасности приходится использовать неполные («усечённые») выборки отказов и аварий. Поэтому часто возникает необходимость использовать законы распределения, учитывающие эту особенность. К числу таких законов распределения случайных величин относятся,

например, распределения Парето и Эрланга. Целью данной статьи является разработка математических моделей оценки техногенного риска с использованием распределения Парето.

Постановка задачи

Распределение Парето часто применяется к исследованию выборок, из которых заранее изымаются объекты с количественными признаками, превышающими некоторый заданный уровень хтах (или наоборот, хтщ).

Распределение Парето задаётся функциями:

ъ(х)=рц < х} = 1 - (х);

(1)

к (х) =

х

к + 1

(2)

где ^(х) и /(х) - соответственно функция и плотность распределения случайной величины

В формулах (1) и (2) х > хт и к > 0, т.е. область мыслимых значений данной случайной величины ^ есть полупрямая (хт, + оо). Функция плотности / имеет вид монотонно убывающей кривой, выходящей из точки (хт, к/хт).

Основные числовые характеристики распределения Парето существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к величине параметра к:

- математическое ожидание М£ = хт (существует при к > 1);

- дисперсия Щ = ^ _ 1)к(к _ 2) х"т (существует при к > 2);

- момент п-го порядка М£п = к к пхт (существует при к > п).

Концепция приемлемого риска в техническом регулировании [4] постулирует невозможность снизить риск до нуля. Причина изменения риска сложной технической системы во времени состоит в увеличении как вероятности исходных событий, так и размера возможного ущерба от этих событий ввиду износа и старения СДС.

В общем случае техногенный риск

Я = Н{<$-С},

где Q - вероятность исходного события отказа (аварии, катастрофы); С - ущерб (последствия) от исходного события. Оператор Н характеризует взаимосвязь случайных величин Q и С.

При анализе технических систем вероятность Q и ущерб С можно рассматривать как случайные величины, которые имеют свои распределения /¡д (д) и / (с). Ущерб С есть случайная величина, а вероятность события Q также может считаться величиной случайной, потому что она оценивается с некоторой степенью достоверности по ограниченной выборке (например, по статистике аварий). Тогда мы имеем систему двух случайных величин с заданными распределениями и можем ставить вопрос о поиске совместного распределения/<дс(д, с). При этом возможны два варианта предположений: случайные величины Q и С независимы (некоррелированы); случайные величины Q и С зависимы (коррелированы).

В [1-3] показано, что функция распределения случайной величины риска Я имеет вид:

1 г/ч

ЪК(г) = Р(Я < г)= Р(Я < ч, о) = кдс(ч, о)йч йо =

,/ Jw

а плотность распределения/я(г) равна

'Я(Г) = И Ч' 0

Область интегрирования Ж подчинена условиям:

О J о

'дС(Ч, С)йч йо,

(3)

о < Ч< 1 W: < о<о<г .

ч

Тогда, зная вид законов распределения и значения их параметров / (д) и /с (с), можно определить вид и значение параметров функции распределения БЯ(г) и плотности / (г) техногенного риска.

Аналитические зависимости для функции распределения и плотности распределения риска при вероятностях исходных событий аварий и катастроф и ущерба от них, подчиняющихся закону Парето:

Случай 1. Вероятности исходных событий Q и ущерба С независимы. При этом формулы (3), (4) при независимых величинах Q и С видоизменятся следующим образом:

Пг/Ч

¡я Шс (о)йчйс, (5)

¡к(г) _ 0 1 ¡я ¿ч. (6)

Получим аналитические выражения для функции распределения и плотности распределения риска в случае, если вероятность исходных событий и ущерб имеют одинаковое распределение Парето. Подставим в формулы (5) и (6) выражения, описывающие функции распределения (1) и плотности (2) распределения вероятности исходных событий и ущерба соответственно, и получим:

М« ^оСт_ИсИп _ Ь Ь кЧсНс [1 Г 1

Рк(г) _ Чг+Т ПТ+ГйсйЧ _ кчксятстс Ь + 1 Ь + 1 ¿ЫЧ; (7)

Уо Jo ЧЬ + 1 сЬс + 1 J0 чкч + ;сЬс + 1

¡я (г) _ 0 Ч¡Я Шс(г) ¿Ч _ 0 1 ^Мт^^Ф+гГ¿Ч _

о Ч \Ч/ Jо Ч Ч

(ч)

и Г1 1 Ь Ь ЧкЧскс Г1

ЬЬ / 1 г/„_ЬЧКсЧтст Ьс - Ь„ - 1,

_ ЬЧЬсЧКтС I -^7ГГ¿Ч _"Т + 1т I Ч«с- Ь- 1йЧ- (8)

'О ппкЧ + 1 '

ЧЧ

(О

Определение параметров законов плотностей /(д) и /с(с) можно получить двумя путями: первый путь - по статистическим данным реальной эксплуатации конкретного объекта или его аналогов, второй - методами математического моделирования на ЭВМ.

Далее рассмотрим класс моделей техногенного риска, когда допущение о независимости случайных величин Q и С снимается. Пусть ущерб является функцией вероятности исходных событий:

с _а(Ч). (9)

В [2, 3] показано, что риск с учётом зависимости между вероятностью исходных событий и ущербом определяется по формуле:

Рк(Ч, с) _ ¡с/Я(Ч, с)Я(Ч)йсйЧ, (10)

J Jw1

где область интегрирования Ж1 подчинена условиям:

О < Ч < 1

Щ : |

О < с < о(ч) '

Случай 2. Пусть случайные величины ущерба и вероятности исходных событий имеют линейную зависимость вида:

с _ Ь0 — Ьтч; Ь; _ О. Подробный вывод формул для функции и плотности распределения риска представлен в [2, 3]:

рк («• Ч) _ М! I'"¡«(^г;1) ¡ЯЬ _ 0 (11)

1) = ¿Г 1ьр-^Ьк'=° (12)

Получим аналитическое выражение для функции и плотности распределения риска в случае, если вероятность и ущерб имеют одинаковое распределение Парето. Согласно формулам (11) и (12), подставив выражения, описывающие функции и плотности распределения риска, для закона распределения Парето получим:

¡к(Г = к /0 1 ^ 1 ^ + 1 ^ = ккк1(1тЧ [0 дкч + 2(ко- г/а)ка + 1 й1; (13)

Рк (Я,с) = Т

1 Г Га(Я каат каа>

_ ка

к1 ]о ]о ака+ 1 (к_^Лка+1 к1

йсйа =

2ка „1 „„,(а\ ^ка + 1

ЯаГ г1 Г1

к

-йсйа =

к1 к Л ака + 1(ко - с)ка + 1

Ла(а) 1

. . ака + 1(к0 - с)ка + 1

= ккак2а2ка

— к1 каат

йсйа■ (14)

Таким образом, получены новые аналитические зависимости функций и плотностей распределения техногенного риска для законов распределения Парето С и Q при линейной связи между этими величинами.

Случай 3. Пусть случайные величины ущерба и вероятности исходных событий имеют экспоненциальную зависимость вида:

с=

-к1а

к > 0■

Подробный вывод формул для функции распределения и плотности распределения риска представлен в [3]:

где ко, к1 > 0.

* (я.Г) = к- ^ 1

к1 !о ]о г

г

а 1 ( (а)й-йа, а

(15)

/А 1 Г1 Лп к0 - \п а

¡к (а,-) = / ¡^-^ ) ¡((а)йа.

1 Jо

(16)

где к0, к1 > 0.

Получим аналитическое выражение для функции и плотности распределения риска в случае, если вероятность и ущерб имеют одинаковое распределение. Согласно формулам (15) и (16), подставив выражения, описывающие функции и плотности распределения вероятности и ущерба, для закона распределения Парето получим:

¡к (г) = -г-

1

гк1

каЧп

ака

+ 1

(\П ко -\п Я \

V к )

ка + 1

йа =

кдаш

2какка

(а \п к1 )ка +1

йа;

(17)

к

а

а

1

п

г

о

о

1 Г1 га(ч) 1

^я с) = ьЫ г г"-. +1 ^ =

_ ЩдШ4 г1 г°(ч) 1 кк + 1

к. Л Л сдкя + 1(\п(ко/о))кя + .

йсйд =

= ^ [ Г ск+Чь1/С))к,. <18»

Таким образом, получены новые аналитические зависимости функций и плотностей распределения техногенного риска для законов распределения С и Q при экспоненциальной связи между этими величинами.

Моделирование функций плотности распределения техногенного риска

Для выполнения численного эксперимента были выбраны сочетания законов распределения СВ Q и С, представленные в таблице. Конкретные значения параметров распределений выбранных законов взяты на основании большого числа статистических исследований, выполненных авторами данной публикации на кафедре АСУ Обнинского института атомной энергетики Национального исследовательского ядерного университета Московского инженерно-физического института, применительно к надёжности и безопасности оборудования ядерных энергетических установок типа ВВЭР-1000 (Калининская АЭС), РБМК-1000 (Смоленская АЭС), БН-600 (Белоярская АЭС) и ЭГП-6 (Билибинская АЭС), а также на кафедре информатики и вычислительной техники Сургутского государственного университета по надёжности и безопасности систем нефтепромысловых трубопроводов одного из месторождений Западной Сибири.

Таблица 1

План численного эксперимента

№ функции Распределение случайных величин Значения параметров распределения

й С й С

1 Парето Парето Чш = 0,1 кЯ = 0,5 Сш =0,1 кс = 1

2 Парето Парето Чш = 0,1 кч = 1 Сш = 0,1 кс =2

Для наглядного представления результатов моделирования были построены графики полученных функций плотности распределения риска/д(г) (рис. 1, 2).

Заключение

1. Распределение Парето относится к классу так называемых усечённых распределений, что позволяет описывать вероятностные закономерности в неполных («усечённых») генеральных совокупностях. Распределение Парето часто применяется в описательной статистике. Оно иногда используется как простейшая математическая модель изменения интенсивности отказов объектов на этапе приработки.

2. В практике оценки значений параметров техногенного риска распределение Парето встречается до сих пор по сравнению с другими известными в математической статистике распределениями редко. Значения показателей риска с использованием этого распределения в данной статье получены впервые.

3. Получены новые аналитические выражения для функции плотности распределения техногенного риска для нескольких случаев: 1) когда вероятности исходных чрезвычайных событий и ущерба от них независимы; 2) при зависимых между собой вероятностях исходных событий и ущербом, описываемых распределением Парето с учётом линейной и экспоненциальной формы связи.

020

1М-■-1-■-1-■-1-■-1 ■ и

0 1 2 3 4 5

г

Рис. 1. Зависимость ¡к (г) для закона распределения Парето случайных величин Q и С с параметрами дт = 0,1; ст = 0,1; кч = 0,5; кс = 1

Di-■-1 i I i-1-1-1-1-1

0 1 2 3 4 5

г

Рис. 2. Зависимость ¡r (r) для закона распределения Парето случайных величин Q и C с параметрами qm = 0,1; cm = 0,1; kq = 1; kc = 2

4. Приведены результаты моделирования значений функций плотности распределения риска с

применением распределения Парето по конкретным значениям параметров законов распределения отказов оборудования атомных электростанций и систем нефтепромысловых трубопроводов.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 14-01-00230).

ЛИТЕРАТУРА

1. Острейковский В. А. Математические модели теории техногенного риска : монография ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2012. 253 с.

2. Острейковский В. А. Теория техногенного риска: математические методы и модели : монография ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2013. 320 с.

3. Острейковский В. А., Шевченко Е. Н., Микшина В.С. Количественная оценка риска в теории техногенной безопасности сложных динамических систем // Итоги науки. Т. 1 : Избранные труды международного симпозиума по фундаментальным и прикладным проблемам науки. - М. : РАН, 2013. Гл. 2. С. 12-31.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей : учебник для вузов. 7-е изд. стер. М. : Высш. шк., 2001. 575 с.

5. Вишняков Я. Д., Радаев Н. Н. Общая теория рисков : учеб. пособие для студ. высш. учеб. завед. 2-е изд. М. : Академия, 2008. 368 с.

6. Острейковский В. А., Генюш А. О., Шевченко Е. Н. Математическое моделирование техногенного риска ; Сургут. гос. ун-т ХМАО - Югры. Сургут : ИЦ СурГУ, 2010. 83 с.

7. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. 816 с.