CC BY
6УДК 504:519.87
СОЧЕТАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЕЙ И УЩЕРБА В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОГЕННОГО РИСКА
12 1 В. А. Острейковский , А. С. Павлов , Е. Н. Шевченко
1 Сургутский государственный университет, ova@ivt.surgu.ru, elenan_27@mail.ru 2 Русатом, Автоматизированные системы управления, a-s-pavlov@mail.ru
В статье рассмотрены методы оценки техногенного риска сложных систем. Получены новые аналитические зависимости для функций и плотностей риска для случая комбинации независимых случайных величин вероятностей исходных событий и ущерба сложных систем применительно к законам Парето, Эрланга и гамма-распределения.
Ключевые слова: техногенный риск, вероятность исходного события, ущерб, функция распределения, плотность распределения, законы Парето, Эрланга и гамма-распределения.
COMBINING LAWS OF DISTRIBUTION INCIDENTAL VALUES OF PROBABILITY AND DAMAGE IN PROBLEMS OF SIMULATION OF TECHNOGENIC RISK
V. A. Ostreikovsky 1, A. S. Pavlov 2, E. N. Shevchenko 1
1 Surgut State University, ova@ivt.surgu.ru, elenan_27@mail.ru 2 Rusatom, Automated Control Systems, a-s-pavlov@mail.ru
The methods of technology-related risk estimation of complex systems are considered in the article. New analytic dependencies for risk functions and densities are obtained for the case of a combination of independent random probabilities of initial events and damage to complex systems applied to the Pareto principle, Erlang, and Gamma distribution.
Keywords: technology-related risk, initial event probability, damage, distribution function, density of distribution, Pareto principle, Erlang and Gamma distribution.
Введение. Концепция приемлемого риска в техническом регулировании постулирует невозможность снизить риск до нуля. Причина изменения риска сложной технической системы во времени состоит в увеличении как вероятности исходных событий, так и размера возможного ущерба от этих событий ввиду износа технической системы.
При анализе технических систем вероятность Q и ущерб С можно рассматривать как случайные величины, которые имеют свои распределения /q(^) и /С(с). Ущерб С есть случайная величина, а вероятность события Q также может считаться величиной случайной, потому что она оценивается с некоторой степенью достоверности по ограниченной выборке (например, по статистике отказов и аварий). Тогда мы имеем систему двух случайных величин с заданными распределениями и можем ставить вопрос о поиске совместного распределения fQc(q, с).
Ранее авторами настоящей статьи опубликованы результаты исследований [1-4], в которых систематически изложено количественное оценивание риска при использовании аппроксимации распределений случайных величин Q и С законами Гаусса, Вейбулла, Рэлея, Стьюдента, логарифмически-нормального и экспоненциального. Вместе с тем известно, что потоки исходных событий аварий и катастроф сложных критически важных систем и ущерба от них, как правило, отличаются от простейших потоков событий, являются стохастически
зависимыми и, следовательно, возникает необходимость рассматривать потоки редких событий с ограниченным последействием. В этом случае удобной математической моделью являются потоки Эрланга.
Целью настоящей статьи является получение и анализ аналитических зависимостей для оценивания техногенного риска с использованием комбинаций законов Парето, Эрланга и гамма-распределения.
Аналитические зависимости для оценки техногенного риска при независимых случайных величинах вероятностей исходных событий и ущерба для разных сочетаний законов распределения. В [4-5] показано, что функция распределения случайной величины риска Я будучи выраженной через совместное распределение вероятности и ущерба имеет вид:
Рк(г) = <г) = <ч,с) = Г<гс(Ч, с)йЧйс = ^ СЫЧ, с)йЧйс, (1) плотность распределения г) равна
= (2)
Область интегрирования Ж подчинена условиям: (0 <Ч <1;
^ ч
При рассмотрении случая независимых переменных Q и С выражения (1), (2) видоизменяются следующим образом
Рц(г) = ¡1 Г0/Ч ШГсШчйс, (3)
Гя(.г) = £-чГ«Шс($Лч. (4)
Общий вид функций плотности распределения законов Парето, Эрланга и гамма-распределения приведены в табл. 1 [5].
Таблица 1
Закон распределения Плотность распределения,
Гамма -Ах Акхк1 е Г(к )
Эрланга А(Ах)к-1 ^ (к-1)!
Парето кдкт хк+1
Возможны случаи, когда распределения вероятностей исходных событий и ущерба имеют разные виды законов распределения плотностей и fс(с). В табл. 2 приведены
интересующие нас законы распределения случайных величин Q и С, применяемые в теории техногенного риска. Подробное описание законов распределения и их параметров приведено в
[5].
_Таблица 2
Закон Плотность распределения Плотность распределения
распределения вероятности, ф) ущерба, ¡с{ с)
Гамма Аа 4 Г(кч) Хсксскс-1 * с Г(кс)
Окончание табл. 2
Закон распределения Плотность распределения вероятности, ф) Плотность распределения ущерба, ¡с{ с)
Эрланга (ка - 1)! Хс(Хсс)кс-1 ^ ( кс-1)\
Парето каЧт дкч+1 ксЧт скс+1
Выкладки, позволяющие получить выражения для плотностей распределения и законов распределения:
1. Зависимости / (г) и (г) для сочетания законов распределения Парето для вероятности Q и гамма-распределения для ущерба С:
2. Зависимости / (г) и (г) для сочетания законов гамма-распределения для Q и
Парето для С:
с тп
р М - Г1 гс1 ка к ^е-ЫксС*
ПУТ) ~ Jo )о ЛЯ ЧЯ 9 пкя) скс+1
йсйц —
3. Зависимости (г) и (г) для сочетания законов распределения Парето для Q и Эрланга для ^ С:
4. Зависимости /Я (г) и (г) для сочетания законов распределения Эрланга для Q и Парето для С:
5. Зависимости (г) и (г) для сочетания законов гамма-распределения для Q и Эрланга для С:
_ Лд
/0С д^с^е'^яЯ+Лсс)^.
6. Зависимости /я (г) и (г) для сочетания законов Эрланга для Q и гамма-распределения для С:
Хак*Хсксгкс-1 Г1 к _(я ч+яс1)
Мй!1««' е
= (ЙЬ /о1 /: ^^е-^^сй,
В табл. 3 представлены плотности распределения техногенного риска для случая, когда одна из величин Q или С имеет распределение Эрланга.
Таблица 3
Распределение случайных величин Плотность распределения риска, /к(г)
вероятность, Q ущерб, С
Эрланга Гамма Г( кс)( ка-1)\)0
Гамма Эрланга АакчАсксгкс-1 г^ _а а+хт\ а С , 1 акч с-1е (А«а+Аса>йа Г( ка)( кс-1)\]0Ч 4
Эрланга Парето Л кЧк гкс г1 Ла ксСт 1 чкч+кс-1е-хчаац (ка-1)\гкс+1)0Ч 4
Парето Эрланга каЧшЛксгкс-1 Г1 1 -яг (кс-1)! 1п дкч+кс+1 е йЧ
Алгоритм и математическое моделирование функций плотности распределения техногенного риска. Как видно из аналитических зависимостей, выражения для функций плотности риска /я(г) зависят от параметров соответствующих законов распределений, что является преимуществом с точки зрения простоты определения функций распределений риска ¥я(г). Определения параметров законов плотностей /¿(ц) и f,с(с) можно получить двумя путями: первый - по статистически данным реальной эксплуатации конкретного объекта или его аналога, второй - методами математического моделирования ЭВМ.
Чтобы получить близкую к истинной оценку риска, необходимо выполнить следующий алгоритм:
1) на основе эксперимента или известной функциональной зависимости определить связь между случайными величинами вероятности исходных событий Q и ущерба от них С;
2) экспериментально или на основе априорных знаний определить распределения Q и С и по формулам, представленным в табл. 3, определить функции распределения риска;
3) на основе требований к уровню безопасности системы (объекта) определить максимально допустимые отклонения ущерба и вероятностей исходных событий .
Поскольку среди параметров законов распределений Q и С, как правило, есть известные величины, то требования к отклонениям параметров Q и С могут быть преобразованы в требования для отклонений конкретных штатных контролируемых параметров объектов и, таким образом, к обеспечению безопасности объекта.
В качестве примера были выбраны сочетания законов распределения независимых случайных величин Q и С и параметры законов, представленные в табл. 4.
_Таблица 4
Распределение
№ случайных величин Значения параметров распределения
вероятность, а ущерб, С
1 Эрланга Эрланга ку = 1, Ац = 10-3, кс = 1, Лс = 10-3
2 Эрланга Гамма ку = 1, Ац = 10-3, кс = 0.5, Хс = 10-3
3 Гамма Эрланга кц = 0.5, = 10-3, кс = 1, Лс = 10-3
Численный эксперимент по плану, приведенному в табл. 4, описан в [3]. Значения параметров распределений взяты на основании исследований, выполненных авторами статьи в Обнинском институте атомной энергии НИЯУ МИФИ по исходным событиям отказов оборудования при длительной эксплуатации энергоблоков РБМК-1000 Смоленской и ВВЭР-1000 Калининской АЭС и в Сургутском государственном университете по данным эксплуатации нефтепромысловых трубопроводов одного из месторождений Западной Сибири за период с 1986 по 2010 гг. Параметры распределений для других сочетаний законов распределения случайных величин Q и С даны в табл. 5.
Таблица 5
№ Распределение случайных величин Значения парамет ров распределения
а С а С
1 Парето Гамма К = 1 Чш = 0,1 ко = 0,5 Ас = 0,5
2 Гамма Парето К = 0,5 ъ = 0,5 кс = 1 Чш = 0,1
3 Парето Эрланга К = 1 Чш = 0,1 кс = 1 Ас = 0,5
4 Эрланга Парето К = 1 АЧ = 0,5 кс = 1 Чш = 0,1
5 Гамма Эрланга К = 0,5 АЧ = 0,5 кс = 1 Ас = 0,5
6 Эрланга Гамма К = 1 Ач = 0,5 кс = 0,5 Ас = 0,5
Для более наглядного представления результатов моделирования были построены графики полученных функций плотности распределения риска _Дг) (рис. 1-6).
1
Рис. 1. Зависимость /г) для распределения Парето 2 и гамма-распределения для С к„ = 1; qm = 0,1; кс = 0,5; = 0,5
0.4
«3
Пг> 02
0.1-
I
Рис. 2. Зависимость /(г) для гамма-распределения 2 и распределения Парето С к„ = 0,5; \ = 0,5;
кс = 1; qm = 0,1
Рис. 3. Зависимость /(г) для распределений
Рис. 4. Зависимость /(г) для распределений
Парето 2 и Эрланга С к„ = 1; qm = 0,1; кс = 1; Хс= 0,5 Эрланга 2 и Парето С к„ = 1; ^ = 0,5; кс = 1; qm = 0,1
0.4
Рис. 5. Зависимость /г) для гамма-распределения Рис. 6. Зависимость /(г) для распределения
Q и распределения Эрланга С к„ = 0,5; = 0,5; Эрланга Q и гамма-распределения С к„ = 1;
кс = 1; = 0,5 = 0,5; кс = 0,5; = 0,5
Заключение. Получены новые аналитические зависимости для функции и плотности распределения техногенного риска для случаев независимых случайных величин вероятности исходных событий и ущерба применительно к различным комбинациям законов распределения (Парето, Эрланга и гамма-распределения).
По приведенным результатам необходимо отметить, что в настоящее время при анализе техногенной безопасности и риска, как правило, используются математические модели на основе экспоненциального закона распределения. Такая методология характерна для простейших потоков опасных событий (отказов и аварий). Однако на практике такая оценка является поверхностной. Зачастую это не соответствует действительности при анализе процессов, протекающих в сложных динамических системах на больших интервалах времени, при приближении систем к участку возрастания интенсивности опасных событий. В этих случаях необходимо при приближении к большому значению срока службы объекта использовать модели потоков событий с ограниченным последействием или вообще непростейших потоков событий. В этом плане чрезвычайно актуальным становится использование приведенных в настоящей статье математических моделей комбинированного типа для законов распределения опасных событий.
Особенно важны результаты решения таких задач при оценке фактора времени на всех этапах жизненного цикла сложных критически важных систем длительного срока службы и ресурса.
Литература
1. Острейковский В. А., Павлов А. С., Погореловский М. А. Математическое моделирование техногенного риска сложных технических систем при гамма-распределении вероятностей исходных событий и ущерба // Надежность и качество сложных систем. 2016. № 2 (14). Пензен. гос. ун-т. С. 85-96.
2. Острейковский В. А., Павлов А. С., Шевченко Е. Н. Моделирование техногенного риска сложных динамических систем с использованием распределения Парето // Вестн. кибернетики. 2016. № 1. С. 39-44.
3. Кобзарь А. М. Прикладная математическая статистика : для инженеров и науч. работников. М. : Физматлит, 2006. 816 с.
4. Мазур И. И., Иванцов О. М. Безопасность трубопроводных систем. М. : ЕЛИМА, 2004. 1104 с.
5. Махутова Н. А., Гаденина М. М. Анализ риска и повышение безопасности водо-водяных энергетических реакторов. Ин-т машиноведения им. А. А. Благонравова РАН. М. : Наука, 2009. 499 с.
6. Рябинин И. А. Логико-вероятностный анализ проблем надежности, живучести и безопасности. Новочеркасск : Юж.-рос. гос. техн. ун-т ; Лик, 2009. 600 с.
7. Акимов В. А. Надежность технических систем и техногенный риск. М. : Деловой экспресс, 2002. 368 с.
8. Вишняков Я. Д. Общая теория риска : учеб. пособие для вузов. М. : Академия, 2008. 368 с.
